عضویت العربیة English
امام جواد علیه‌السلام: عزّت مؤمن در بى نیازى او از مردم است. بحارالأنوار، ج 75، ص 109

کاربردهای مشتق (علوم ریاضی )

کاربردهای مشتق (علوم ریاضی )
سه شنبه 3 اسفند 1389  03:08 ب.ظ

 

مشتق کاربردهای بسیار وسیعی دارد که در زیر نمونههای مهمی را ذکر میکنیم.

پیدا کردن شیب خط
پیدا کردن خطی که دریک نقطه بر یک منحنی مماس یا عمود است. برای معادله خط
(y=f(x ، شیب خط قاطع برابر است با: m ، m=tanθ را شیب یا ضریب زاویهای میگویند. خطی که بر مماس بر منحنی عمود باشد، خط قائم بر منحنی مینامیم. بنابراین اگر m≠0 شیب خط مماس و m شیب خط قائم بر منحنی باشد، آنگاه داریم: m.m= -1

از مشتق میتوان در ساختن جامدادی ، وسایل نظامی ، در ساختن
قطب نما و غیره استفاده کرد یعنی میتوان با استفاده از مشتق شیب مثلا جامدادی را محاسبه کنیم. مثلا در ساختن دیدبانی میتوان از ضریب زاویهای استفاده کرد. در صورتی که شیب در نقطه n مساوی صفر باشد آنگاه مماس بر منحنی در این نقطه، خطی افقی یا موازی محور x است. بنابراین خط قائم بر منحنی در این نقطه، خطی عمودی یا موازی محور y خواهد بد و داریم: ∞ = (m(a ...



پیدا کردن سرعت 
اگرجسم متحرکی را در نظر بگیرد که روی محوری حرکت میکند. فرض کنید t ثانیه پس از شروع حرکت، فاصله جسم از مبدا برابر (S=S(t باشد. 
1- (S=S(t را معادله حرکت جسم متحرک روی محور OS نسبت به نقطه O مینامیم. 
2- نسبت مسافت پیموده شده از لحظه t=a تا t=b به زمان b≠a) b-a) را 
سرعت متوسط در فاصله زمانی a,b مینامیم، پس  = سرعت متوسط در فاصله زمانی a,b 
سرعت متوسط را مقدار متوسط تغییر مسافت در فاصله زمانی 
a,b نیط می نامند. 
3- اگر سرعت متوسط در فاصله زمانی 
a,t، وقتی t به سمت a میل میکند، حد داشته باشد، آن حد را سرعت لحظهای یا بطور خلاصه سرعت جسم متحرک در لحظه t=a مینامیم و با علامت (v(a نشان میدهیم. سرعت لحظهای یعنی حد سرعت متوسط.. (V(a را مقدار لحظهای تغییر مسافت نسبت به زمان در لحظه t=a نیز مینامند. یعنی اگر از معادله مسافت مشتق بگیریم، آنگاه مقدار سرعت به دست میآید. (V(t)=S(t 

محاسبه تغیرات یک کمیت نسبت به دیگری 
با استفاده از مشتق میتوان مقدار تغییرات یک کمیت را نسبت به کمیت معین دیگری، وقتی این دو کمیت به وسیله تابعی به هم مربوط هستند، به دست آورد. مثلا اگر (g(r مساحت دایرهای به شعاع r باشد، داریم: g(r) = π r2 
آنگاه مقدار لحظهای تغییر مساخت دایره نسبت به شعاع آن برابر است با g(r) = 2πr 
مقدار لحظهای تغییر مساحت این دایره، وقتی شعاع آن برابر مقداری مثل r=1 باشد، برابر است با: g(1) = 2π 

پیدا کردن شتاب 
اگر (S(t معادله حرکت جسم متحرک باشد آنگاه V را متوسط سرعت در یک فاصله زمانی میگویند. اگر از سرعت متوسط مشتق بگیریم مقدار 
شتاب حرکت بدست میآید. که شتاب را با (a(t نشان میدهند یعنی شتاب در لحظه t میباشد. (a(t)=V(t)=S"(t 

محاسبه انرژی جنبشی 
میدانیم 
انرژی جنبشی جسمی به جرم m و سرعت V عبارت است از mV2/2 برای بدست آوردن انرژی جنبشی میتوان سرعت را از طریق گرفتن مشتق از معادله حرکت بدست آورد سپس مقدار V را در معادله انرژی جنبشی قرار داد. 

پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم نسبی توابع 
اگر تابعی در یک نقطه از یک بازه اکسترمم نسبی داشته باشد و مشتق تابع نیز در آن نقطه وجود داشته باشد آنگاه مشتق تابع در آن نقطه مساوی صفر است. منظور از اکسترمم نسبی داشتن ماکزیمم یا مینیمم نسبی در یک نقطه است. ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی به صورت زیر تعریف میشوند: 

  • تابع f در نقطه d یک "ماکزیمم نسبی" دارد هر گاه (f(d)≥f(x
  • تابع f در نقطه C یک "مینیمم نسبی" دارد هر گاه (f(c)≤f(x

پیدا کردن تابع صعودی و نزولی 

اگر برای همه مقادیر (xε(a,b داشته باشیم: 

  • اگر مشتق f بزرگتر از صفر باشد آنگاه f تابعی صعودی است.
  • اگر مشتق f کوچکتر از صفر باشد آنگاه f تابعی نزولی است.

تعیین نقاط بحرانی توابع 

نقطه C از قلمرو f را یک نقطه بحرانی f مینامیم، در صورتی که یکی از دو شرط زیر برقرار باشد: 
1- مشتق f در نقطه c وجود نداشته باشد. 
2- مشتق f در نقطه C مساوی صفر باشد. 
  • فرض کنید C یک نقطه بحرانی تابع f(c)=0,f باشد، داریم:
  • اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C کوچکتر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C ماکزیمم نسبی دارد.
  • اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C بزرگتر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C مینیمم نسبی دارد.

پیدا کردن تقعر، تحدب و نقطه عطف 

  1. منحنی (y = f(x را در نقطه ( (C , f(C ) مقعر مینامیم، اگر مشتق در نقطه C وجود داشته باشد و برای هر x متعلق به این بازه در بالای خط مماس بر منحنی واقع باشد.
  2. منحنی (y=f(x را در نقطه ( (C , f(C ) محدب مینامیم، اگر مشتق f در نقطه C وجود داشته باشد برای هر x متعلق این بازه در پایین خط مماس بر منحنی واقع باشد.

یا داشته باشیم: 
  1. اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C بزرگتر از صفر باشد، آنگاه منحنی f در نقطه c مقعر است.
  2. اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه c کوچکتر از صفر باشد، آنگاه منحنی در نقطه C محدب است.
  • نقطه عطف: اگر روی یک منحنی نقطهای وجود داشته باشد که در آن نقطه تقعر منحنی بر تحدب تغییر کند یا بر عکس، آن را یک نقطه عطف مینامیم. یا میتوانیم بگوییم: f"(C) = 0

قضیه مقدار میانگین 

اگر تابع f روی 
a,b روی (a,b) مشتقپذیر باشد، آنگاه لااقل یک نقطه C در بازه باز (a,b) وجود دارد بطوری که: 



قضیه رول (Rolle) 
اگر تابع f در بازه بسته 
a,b پیوسته، و در بازه باز (a,b) مشتق پذیر، و به علاوه مقدار تایع f در نقطه a و مقدار تابع در نقطه b با هم برابر و مساوی صفر باشند. آنگاه لااقل یک نقطه مانند C، وجود دارد که متعلق به بازه باز است بطوری که مشتق تابع f درنقط C مساوی صفر است.

hossein3010

hossein3010
کاربر نقره ای
تاریخ عضویت : خرداد 1389 
تعداد پست ها : 1946
محل سکونت : تهران
دسترسی سریع به انجمن ها