نویسنده: هارولد دیویس
ترجمه: مهران اخباریفر
ترجمه: مهران اخباریفر
در این جمله ی بارها تکرار شده که «ابداع لگاریتم، با کم کردن زحمت محاسبات، عمر ستاره شناسان را دو برابر کرد» مبالغه نشده است. معرفی لگاریتم که انقلابی در فن محاسبه به پا کرد، نزدیک به آغاز قرن هفدهم صورت گرفت. ابداع لگاریتم را عموماً به جان نپر، ملاکّ مرکیستون (1) نسبت می دهند که قلعه اش نزدیک ادینبورگ بود.
یکی از مزایای لگاریتم در این واقعیت نهفته است که عمل ضرب را به عمل جمع تبدیل می کند. اما این ایده کاملاً جدید نبود، چون روش های دیگری را نیز می توان به همین شیوه به کار برد. مثلاً فرمول
وقتی که جدول «ربع مجذورها» در دسترس باشد ابزار سودمندی برای ضرب است (جداول زیادی از این نوع برای تسهیل کاربرد این فرمول منتشر شده اند که کامل ترین آن ها جدولِ جِی. بلاتر (2) است که در سال 1888 منتشر شد و ربع مجذورهای همه ی اعداد صحیح از 1 تا 200000 را به دست می دهد).
فرمول زیر نیز به اندازه ی فرمول قبلی به عنوان ابزار ضرب سودمند است:
در واقع مورخان ریاضی حدس زده اند که این فرمول منشأ ایده های نپر بوده است، چون او جداول خود را به صورت لگاریتم سینوس زاویه ها ساخت.
نپر در سال 1614 نخستین کتاب خود را منتشر کرد که در آن ماهیت لگاریتم توصیف و جدولی از لگاریتم سینوس های طبیعی داده شده بود. در واقع این کتاب کوچک حاصل بیست سال کار مداوم با هدف کاهش زمان و افزایش دقت انجام محاسبات عددی ضرب، تقسیم و استخراج ریشه ها بود. کتاب بعدی که پس از درگذشت نپر در سال 1619 منتشر شد، جزئیات چگونگی محاسبه ی لگاریتم ها را به دست می داد.
گرچه امروزه اغلب مفهوم لگاریتم به مفهوم نما وابسته می شود، ارائه ی اولیه ی لگاریتم توسط نپر بر پایه ی این ارتباط نبوده است. او با بررسی سرعت های دو نقطه که هر کدام روی یک خط متمایز و هر دو در یک جهت حرکت می کنند به مفهوم لگاریتم رسید.
خط اول ( شکل 1-3) پاره خطی با طول ثابت AB=a است؛ و خط دوم، DE، نیم خطی است که از یک طرف تا بینهایت امتداد دارد. یک نقطه روی DE با سرعتی ثابت برابر با سرعت اولیه ی نقطه ی دیگر حرکت می کند و این نقطه ی دوم روی AB با سرعتی که متناسب با فاصله اش از B کاهش می یابد حرکت می کند. اگر C و F مواضع متناظر دو نقطه در لحظه ی مفروضی از زمان باشند و y و x فاصله های نشان داده شده باشند، آن گاه y را لگاریتم نپری x می نامیم.
نپر در ابتدا عدد (فاصله) DF را «عدد مصنوعی» (3) نامید، اما بعداً با استفاده از دو واژه ی یونانی arithmos به معنی «عدد» و logos به معنی «نسبت»، واژه ی لگاریتم را ابداع کرد.
لگاریتم در پایه ی 10، که امروزه «لگاریتم معمولی» نامیده می شود، توسط هنری بریگز (4)، استاد هندسه ی کالج گرشام (5) در لندن محاسبه شد. او چنان تحت تأثیر روش های نپر قرار گرفته بود که به قلعه ی مرکیستون سفر کرد. مباحثات این دو نفر به این نتیجه رسید که لگاریتم 1 باید 0 باشد و لگاریتم باید 10 باشد – یا به طور معادل – لگاریتم 10 باید 1 باشد.
بریگز با اشتیاق فراوان به سر کار خود بازگشت و در سال 1624 جدول لگاریتم های اعداد بین او 20000 و از 90000 تا 100000 را با دقت چهارده رقم اعشار منتشر کرد. فاصله ی بین 20000 تا 90000 توسط آدریان ولاک (6) پر شد، اما او دقت را به ده رقم اعشار کاهش داد. ولاک علاوه بر این محاسبه ی قهرمانانه، لگاریتم های سینوس ها، تانژانت ها و سکانت ها را نیز به ازای هر دقیقه از کمان محاسبه کرد. کتاب او در سال 1628 به عنوان ویرایش دوم جدول های بریگز منتشر شد.
دیوید اسمیت معتقد است که «بی تردید ابداع لگاریتم بیش از هر تأثیر دیگری بر کاربرد کسرهای اعشاری موثر بوده است». علی رغم این واقعیت که نپر در اولین جداولی که منتشر کرد هیچ استفاده ی صریحی از کسرهای اعشاری نکرده است، با اصلاحات بریگز، دانستن کسرهای اعشاری برای استفاده ی عملی از لگاریتم ضروری شد.
بریگز اصطلاح مانتیس (7) را معرفی کرد که واژه ای یونانی به معنی «جمع» یا «وزندار کردن» است. واژه ی «مشخصه» (8) توسط بریگز پیشنهاد شد و ولاک آن را به کار برد.
بحث لگاریتم بدون ذکر کارهای یکی از معاصران نپر، یوبست (یا یوست) بورگی (9)، اهل سویس، کامل نیست (نام او را گاهی به شکل لاتینی آن، یوستوس بورگوس (10) ذکر کرده اند). بورگی در سال 1620 کتابی منتشر کرد و در آن جدولی به دست داد که اساساً جدول آنتی لگاریتم هاست. چون این کتاب شش سال پس از کتاب اول نپر منتشر شد، نپر اولین کسی است که مفهوم لگاریتم را کشف کرد، ولی این دو کار مستقل از هم صورت گرفته اند.
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول
یکی از مزایای لگاریتم در این واقعیت نهفته است که عمل ضرب را به عمل جمع تبدیل می کند. اما این ایده کاملاً جدید نبود، چون روش های دیگری را نیز می توان به همین شیوه به کار برد. مثلاً فرمول
وقتی که جدول «ربع مجذورها» در دسترس باشد ابزار سودمندی برای ضرب است (جداول زیادی از این نوع برای تسهیل کاربرد این فرمول منتشر شده اند که کامل ترین آن ها جدولِ جِی. بلاتر (2) است که در سال 1888 منتشر شد و ربع مجذورهای همه ی اعداد صحیح از 1 تا 200000 را به دست می دهد).
فرمول زیر نیز به اندازه ی فرمول قبلی به عنوان ابزار ضرب سودمند است:
در واقع مورخان ریاضی حدس زده اند که این فرمول منشأ ایده های نپر بوده است، چون او جداول خود را به صورت لگاریتم سینوس زاویه ها ساخت.
نپر در سال 1614 نخستین کتاب خود را منتشر کرد که در آن ماهیت لگاریتم توصیف و جدولی از لگاریتم سینوس های طبیعی داده شده بود. در واقع این کتاب کوچک حاصل بیست سال کار مداوم با هدف کاهش زمان و افزایش دقت انجام محاسبات عددی ضرب، تقسیم و استخراج ریشه ها بود. کتاب بعدی که پس از درگذشت نپر در سال 1619 منتشر شد، جزئیات چگونگی محاسبه ی لگاریتم ها را به دست می داد.
گرچه امروزه اغلب مفهوم لگاریتم به مفهوم نما وابسته می شود، ارائه ی اولیه ی لگاریتم توسط نپر بر پایه ی این ارتباط نبوده است. او با بررسی سرعت های دو نقطه که هر کدام روی یک خط متمایز و هر دو در یک جهت حرکت می کنند به مفهوم لگاریتم رسید.
خط اول ( شکل 1-3) پاره خطی با طول ثابت AB=a است؛ و خط دوم، DE، نیم خطی است که از یک طرف تا بینهایت امتداد دارد. یک نقطه روی DE با سرعتی ثابت برابر با سرعت اولیه ی نقطه ی دیگر حرکت می کند و این نقطه ی دوم روی AB با سرعتی که متناسب با فاصله اش از B کاهش می یابد حرکت می کند. اگر C و F مواضع متناظر دو نقطه در لحظه ی مفروضی از زمان باشند و y و x فاصله های نشان داده شده باشند، آن گاه y را لگاریتم نپری x می نامیم.
نپر در ابتدا عدد (فاصله) DF را «عدد مصنوعی» (3) نامید، اما بعداً با استفاده از دو واژه ی یونانی arithmos به معنی «عدد» و logos به معنی «نسبت»، واژه ی لگاریتم را ابداع کرد.
لگاریتم در پایه ی 10، که امروزه «لگاریتم معمولی» نامیده می شود، توسط هنری بریگز (4)، استاد هندسه ی کالج گرشام (5) در لندن محاسبه شد. او چنان تحت تأثیر روش های نپر قرار گرفته بود که به قلعه ی مرکیستون سفر کرد. مباحثات این دو نفر به این نتیجه رسید که لگاریتم 1 باید 0 باشد و لگاریتم باید 10 باشد – یا به طور معادل – لگاریتم 10 باید 1 باشد.
بریگز با اشتیاق فراوان به سر کار خود بازگشت و در سال 1624 جدول لگاریتم های اعداد بین او 20000 و از 90000 تا 100000 را با دقت چهارده رقم اعشار منتشر کرد. فاصله ی بین 20000 تا 90000 توسط آدریان ولاک (6) پر شد، اما او دقت را به ده رقم اعشار کاهش داد. ولاک علاوه بر این محاسبه ی قهرمانانه، لگاریتم های سینوس ها، تانژانت ها و سکانت ها را نیز به ازای هر دقیقه از کمان محاسبه کرد. کتاب او در سال 1628 به عنوان ویرایش دوم جدول های بریگز منتشر شد.
دیوید اسمیت معتقد است که «بی تردید ابداع لگاریتم بیش از هر تأثیر دیگری بر کاربرد کسرهای اعشاری موثر بوده است». علی رغم این واقعیت که نپر در اولین جداولی که منتشر کرد هیچ استفاده ی صریحی از کسرهای اعشاری نکرده است، با اصلاحات بریگز، دانستن کسرهای اعشاری برای استفاده ی عملی از لگاریتم ضروری شد.
بریگز اصطلاح مانتیس (7) را معرفی کرد که واژه ای یونانی به معنی «جمع» یا «وزندار کردن» است. واژه ی «مشخصه» (8) توسط بریگز پیشنهاد شد و ولاک آن را به کار برد.
بحث لگاریتم بدون ذکر کارهای یکی از معاصران نپر، یوبست (یا یوست) بورگی (9)، اهل سویس، کامل نیست (نام او را گاهی به شکل لاتینی آن، یوستوس بورگوس (10) ذکر کرده اند). بورگی در سال 1620 کتابی منتشر کرد و در آن جدولی به دست داد که اساساً جدول آنتی لگاریتم هاست. چون این کتاب شش سال پس از کتاب اول نپر منتشر شد، نپر اولین کسی است که مفهوم لگاریتم را کشف کرد، ولی این دو کار مستقل از هم صورت گرفته اند.
پی نوشت ها :
1. Merchiston
2. J. Blater
3. artificial number
4. Henry Briggs
5. Gresham
6. Adriaen Vlacq
7. mantissa
8. characteristic
9. Jobst Burgi
10. Jobst Byrgius
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول