مترجم: زهرا هدایت منش
منبع:راسخون
منبع:راسخون
مقاله‌ای آموزشی با نگرشی تاریخی
1.مقدمه:
در بهار سال 1369، یكی از متخصصان چینی در زمینه آشوب، مواد لازم برای تجدید نظر در كتابی كه قبلاً در این باره نوشته شده بود گرد آوری می‌كرد. فهرست او برای تجدید نظر شامل 1250 كتاب و گزارش كنفرانس، حدود 250 مقاله مروری اصیل، و بیش از 4000 مقاله پژوهشی می‌شد. آنچه بیشتر از خود این ارقام جلب توجه می‌كرد این بود كه قسمت اعظم این كارها در طی سالیان گذشته انجام گرفته بود. تا قبل از این حتی یك كتاب به ابعاد متعارف در زمینه آشوب تألیف نشده بود، و قبل از 1340/1960 فقط تعداد انگشت شماری مقاله نوشته شده بود. این ارقام حاكی از تحول انفجارآمیزی است كه (شاید) فقط با یورش ناگهانی به فعالیت در ابررسانایی گرم در سال 1988 برابری كند، یا با فعالیت جنون آمیز چند سال پیش از آن درباره نظریه ریسمان. البته این تحولات نیز هیجان فوق العاده زیادی برانگیختند، اما مفاهیم مربوط به آشوب گسترده‌ترین اثر را داشته است – این مفاهیم مكانیك، اخترشناسی، فیزیك حالت جامد، علوم زیست محیطی، هواشناسی، زیست شناسی، و بسیاری از رشته‌های دیگر را تحت تأثیر قرار داده است. از قرار معلوم انگاشت‌های مربوط به آشوب جاذبه گسترده‌ای داشته، كه منجر به پیدایش تعدادی كتاب عامه‌خوان، مقاله، و مباحثاتی در ضمیمه‌های روزنامه‌ها و مجلات شده است. كتاب غیر تخصصی‌ای كه جیمز گلیك، نویسنده مطالب علمی، درباره آشوب نوشت به مدتی طولانی‌تر از هر كتاب علمی دیگر در فهرست پرفروش‌ترین كتاب‌های نیویورك تایمز قرار داشت؛ شاید تنها استثناء كتاب درخشان تاریخ مختصر زمان نوشته استیون هاكینگ باشد. ایده‌ی آشوب، در نظر تعداد زیادی از مؤلفان و برخی از دانشمندان، یك تحول انقلابی در علم است – یك باب واقعاً جدید. حتی گفته شد كه سه بدعت علمی عمده در قرن بیستم عبارت‌اند از نسبیت، نظریه كوانتومی، و آشوب. كتاب گلیک هم, با عنوان برانگیزنده آشوب, برپایی یک علم جدید, با لحن و محتویاتش دقیقاً متضمن چنین دیدگاهی است. مخالفت جامعه علمی با این نظر چندان زیاد هم نبود. واقعاً سیلی از مقاله‌های تخصصی و عمومی کنفرانس‌ها, و دوره‌های تابستانه, که همگی به پدیده‌های آشوبی اختصاص داشتند، به راه افتاد. اینکه یک تحول ناگهانی علمی کم و بیش فنی و مجرد تقریباً همزمان سبب هیجان و جلب توجه عموم شود قدری غیر عادی است. ظهور ناگهانی یک طریقت علمی جدید و پذیرش مشتاقانه و بی درنگ با آن, مسائل مهمی، به خصوص برای جامعه مدرسان، به وجود می‌آورد.
اگر موضوع اینقدر مهم است، آیا نباید مبانی این انقلاب علمی مفروض را به نحوی در برنامه‌های درسی مطرح کرد؟
آیا موضوع آشوب واقعاً همان‌قدر که مطبوعات عامه‌خوان و برخی از دست اندرکاران ادعا می‌کنند تازه و انقلابی است؟ شاید صرفاً نمودی از علم باشد که قبلاً اهمیت آن به طور کامل دریافت نشده است. در این صورت وارد کردن آن به برنامه آموزش فیزیک نیاز به سمت‌گیری کاملاً جدید فیزیک ندارد, و مستلزم تجدید ساختار بنیادی در برنامه‌های آموزشی نیست.
ارتباط میان تحقیقات معاصر, برنامه تدریس رایج، و افکار عمومی درباره علم همواره پیچیده است. این‌ها بر همدیگر تأثیر متقابل دارند. کاملاً محنمل است که این عامه گیر شدن حیرت انگیز آشوب چنان فشاری مستقیم یا غیر مستقیم به حرفه تدریس تحمیل کند که ناچار شویم بخش بزرگی از مطالب سنتی و روش تدریس سنتی فیزیک را به نفع مطالبی از نظریه آشوب کنار بگذاریم و برای آموزش فیزیک رهیافت متفاوتی را – که احتمالاً در نتیجه این تغییرات لازم می‌آید – اختیار کنیم.
آیا قابل درک است و آیا اصلاً ارزش آن را دارد که بدانیم چرا آتشفشان آشوب، که برای مدتی اینچنین طولانی خاموش بود، در زمانی اینچنین کوتاه چنین اهمیت علمی غالبی کسب کرده است؟ مسئله متفاوت ولی با همان درجه اهمیت این است که چرا این مطالب چنین توجه عمومی فوق العاده‌ای را به خود جلب می‌کند – که آن هم مستقیماً به همه آن‌هایی که در کار تدریس‌اند مربوط می‌شود.
این پرسش‌ها را بررسی می‌کنیم و سعی می‌کنیم که ظهور و شیوع (ظاهراً) ناگهانی آشوب را به عنوان یک موضوع عمده علمی در جایگاه تاریخی, علمی، و تکنولوژیکی مناسبش قرار بدهیم. ما این بحث را خیلی نزدیک به سیر تحولات تاریخی مطلب دنبال می‌کنیم. تحلیل تاریخی این مزیت را دارد که می‌توان تغییر در مطالب مورد تأکید و روش‌ها را به سادگی مشاهده کرد. این گونه بررسی نشان می‌دهد که فکرهای بکر و رهیافت‌های نو، به ندرت زاییده تخیلات بوالهراسانه است. اغلب این گونه بدعت گذاری‌های ناگهانی و بنیادی واکنش طبیعی در مقابل موفقیت‌ها یا شکست‌های علمی، و تحولات تکنولوژی است. روش تاریخی مخصوصاً برای مطالعه آشوب مناسب است – این روش نشان خواهد داد که راه ط شده برای درک پدیده آشوب راهی غیر مستقیم و مواجه با سردرگمی‌ها و کج فهمی‌ها بوده، و هنوز هم به پایان نرسیده است. بخش 2 این مقاله به مرور مختصر مفاهیم و مفهوم شناسی مکانیک کلاسیک اختصاص یافته است. اصول و نتایج مکانیک کلاسیک بخش بزرگی از فیزیک کلاسیک را فرا می‌گیرد. قوانین عام و تغییر ناپذیر، دقت مطلق، و پیش بینی کنندگی قاطع، ایده‌هایی بودند که برحسب عادت ویژگی علم شناخته می‌شدند. از آن‌جا که اغلب این ایده‌ها از مکانیک کلاسیک نشأت می‌گیرند، بررسی دقیق و منتقدانه مبانی آن‌ها اهمیت بسیار زیادی دارد. نظریات کم و بیش غیر قابل انعطاف مکانیک کلاسیک و فیزیک کلاسیک رواج یافتند و در اغلب کتاب‌های درسی فرمول‌بندی شدند، به طوری که فلسفه فیزیک کلاسیک کم و بیش یک اعتبار پیشین کسب کرد. به علاوه، به نظر می‌رسید که بسیاری از ایده‌های کلاسیک معنای شهودی مقبولی دارند. در بخش3، نشان خواهیم داد که سیستم‌های کلاسیکی ممکن است به صورتی خیلی عجیب، حیرت‌انگیز، و غیر شهودی رفتار کنند. این مسئله اهمیت خاصی دارد، زیرا بیشتر آدم‌ها وقتی برای اولین بار درباره آشوب می‌شوند، می‌پندارند که رفتار آشوبی و نامنظم سیستم‌های مکانیکی خیلی با آنچه از سیستم‌های کلاسیکی انتظار می‌رود تفاوت دارد. همانطور که نشان خواهیم داد، اصول کلی مستنتج از مکانیک کلاسیک در واقع از معدودی سیستم به دقت برگزیده به دست آمده‌اند. تعمیم‌ها و نتیجه گیری‌ها حاصل از این نمونه‌های کلاسیکی غیر عادی اغلب به انتظارات غیر واقعی و غلطی انجامیده است – که همه آن‌ها هم به ویژگی‌های عام مفروض برای فیزیک و علوم راه یافته‌اند. در بخش4، در باره اولین شناخت‌ها از رفتار آشوبی بحث می‌کنیم. ژول هانری پوانکاره (1233 تا 1291/1854تا1912)، به هنگام مطالعه مسئله سه جسم، پی برد که این سیستم ممکن است منجر به چنان مسیرهای پیچیده‌ای شود که او (پوانکاره) حتی نکوشید که آن‌ها را رسم کند. این واقعیت که سیستم‌های نسبتاً ساده ممکن است چنان رفتار پیچیده ترسناکی به نمایش بگذارند که حتی نتوان آن را به صورت تحلیلی توصیف کرد. برای (معدود) فیزیک دانانی که از نتایج پوانکاره مطلع بودند، موجب شگفتی و حتی ضربه وحشتناکی بود.
در آن زمان هنوز معلوم نبود که رفتار پیچیده و نامنظم سیستم سه جسم که پوانکاره کشف کرده بود واقعاً تا چه حد عمومیت دارد. تحلیل مسائل دیگر بیش از حد دشوار بود. تازه بعد از ظهور کامپیوتر بود که تحلیل رده‌های وسیعی از مسائل ممکن شد. این تحول در بخش 5 مورد بحث قرار خواهد گرفت. به کمک کامپیوتر، ترسیم مسیری که پوانکاره از توصیف آن عاجز بود میسر شد. با استفاده از کامپیوترها و امکانات گرافیکی آن‌ها معلوم شد که رفتار آشوبی، برخلاف تصورات قبلی، تقریباً یک خاصیت عمومی است و نه رفتار ناپسند برخی سیستم‌های پیش ساخته، نشان داده شد که بسیاری معادلات با ظاهر ساده فریبنده در بسیاری زمینه‌ها رفتار آشوبی بروز می‌دهند. نمودهای متفاوتی از آشوب وجود دارند، که در بخش 5 خلاصه شده‌اند. در بخش 6 به یکی از موضوعات اصولی مطرح شده در این مقاله باز می‌گردیم: آیا باید اطلاعات مربوط به آشوب را همواره در برنامه آموزشی گنجاند، و اگر باید چگونه؟ نشان خواهیم داد که حتی برای سیستم‌های کاملاً ساده رفتار آشوبی رفتاری عادی است. شناخت این مسئله که سیستم‌ها در مد آشوبی رفتاری کاملاً متفاوت با سیستم‌های دینامیکی منظم دارند، اهمیت دارد. این رفتار متفاوت و غیر قابل پیش بینی، یکی از دلایل توجه عامه به حرکت آشوبی است، که با حرکت‌های قالبی و از نظر هندسی ساده مربوط به مکانیک کلاسیک سنتی بسیار تفاوت دارد. گنجاندن مبانی رفتار آشوبی در برنامه عادی فیزیک اگرچه ممکن است نوعی تن دادن به مد روز جلوه کند، اما به نظر می‌رسد که اقدام منطقی و مفیدی باشد. پدیده‌های مربوط جالب‌اند و موضوع را می‌توان در سطوح مختلف بررسی کرد. و این همه می‌تواند دانشجو را به این مبحث علاقه‌مند کند. به خاطر داشته باشید که علم هم مد روز دارد. آشوب هم اگرچه از ترفندهای مناسب روابط عمومی (اثر پروانه، چرخه‌های محدود، آشوب نرم و سخت) بی نصیب نیست، اما به قدر کافی غنی هست که در برنامه‌های درسی گوناگون گنچانده شود. آنچه بسیار ضرورت دارد این است که باید بین توصیف رفتارهای منظم و رفتارهای آشوبی توازنی منطقی برقرار باشد. اشتباه بزرگی خواهد بود اگر قرار باشد بحث درباره رفتار آشوبی جای مطالعه رفتار سازمان یافته و منظم را بگیرد یا از ارزش آن بکاهد. آنچه اهمیت دارد این است که سیستم‌ها می‌توانند رفتارهای گوناگونی از خود بروز بدهند. این مطلبی است که همه دانشچویان و دانش آموزان آن را درک کنند. اینکه آیا انجام تغییرات ضروری در برنامه‌های درسی در داخل ساختار اداری موجود امکان دارد یا نه، خود مسئله‌ای است که احتمالاً از درک ماهیت دقیق خود آشوب دشوارتر است.
2. دیدگاه قالبی مربوط به دترمینیسم مکانیک کلاسیک
مکانیک کلاسیک حرکت اجسام را به نیروهایی که بر آن‌ها وارد می‌شود ارتباط می‌دهد. اگر بخواهیم دقیق باشیم، ماهیت، منشأ، و مشخصه این نیروها خارج از حوزه مکانیک کلاسیک قرار می‌گیرد، اما همین که این نیروها را (از آزمایش اصل موضوع، یا حدس) شناختیم حرکت حاصل به وسیله قوانین مکانیک تعیین می‌شود. فرمول بندی این طرح در قالب قوانین نیوتون به طور شایانی موفق بوده است. این فرمول بندی امکان توصیف، محاسبه، و پیش بینی رفتار دینامیکی (یعنی حرکت و مسیرهای) تعداد زیادی از سیستم‌های خاص را فراهم کرده است. نمونه‌های مشهور و برجسته کارایی این فرمول بندی عبارت‌اند از پیش بینی بازگشت دنباله‌دار هالی که در سال 1682 مشاهده شده بود (بازگشت پیش بینی شده در 1757) و درک مدارهای بیضوی سیارات، بر مبنای مشاهدات فوق و نمونه‌های فراوان دیگر و انگیزش حاصل از کشف قوانین پایستگی، برخی ویژگی‌های کلی مکانیک کلاسیک استنتاج شد: سیستم‌های کلاسیکی به گونه‌ای منظم، سازمان یافته و قابل پیش بینی رفتار می‌کنند. پرسش‌های دینامیکی مشخص (موقعیت ذرات، سرعت‌های مداری) را می‌توان با استفاده از یک فرمول یا کاربرد یک معادله مناسب پاسخ گفت. آگاهی از قوانین پایستگی، اعتقاد عمومی قبلی مبنی بر ویژگی علیتی – جبری مکانیک کلاسیک را تقویت کرد، به طوری که به محض شناخت نیروها، وضعیت حال، وضعیت آینده را به طور یگانه و برای همه زمان‌ها تعیین می‌کرد، و امکان پیش بینی دقیق را فراهم می‌آورد. اغلب متون، و عملاً کتاب‌های درسی، و تقریباً تمام مواد درسی مکانیک کلاسیک از این الگوی کلی پیروی می‌کنند: قوانین عمومی و تغییر ناپذیری برای حرکت وجود دارند، که امکان استنتاج رفتار دینامیکی و پیش بینی دقیق و نامنظم و نامبهم حرکت را فراهم می‌آورند. این نظرها چنان موفق و وسوسه آمیز بودند که جستجو برای یافتن قوانین مشابهی را در تمام زمینه‌های فیزیک (و در بیشتر رشته‌های علوم) برانگیختند. این جنبه‌های مرسوم مکانیک کلاسیک در واقع مبتنی بر خواص ریاضی معادلات حرکت‌اند. این معادلات عبارت‌اند از یک مجموعه از N معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم، یا N2 معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول. ریاضیدانان سه قضیه که ارتباط مهمی با فیزیک دارند اثبات کردند. آن‌ها با نام گذاری N2 متغیر با
(تکانه) و 
(مكان) نشان دادند كهالف) اگر
در یك وضعیت اولیه (در یك زمان) معلوم باشند یك مجموعه جواب 
برای هر زمان دیگر وجود دارد.ب) فقط و فقط یك جواب از این دست وجود دارد.
ج) اگر داده‌های اولیه اندكی تغییر كند، مقادیر
در زمان‌های بعد نیز چندان تغییر نخواهد كرد.این عبارت را می‌توان به صورت كمی درآورد.
قضیه (الف)، یعنی اثبات وجود جواب، چندان به كار فیزیكدانان و اختر شناسان نمی‌آمد. شاید، مشاهده مستقیم مدار سیارات اقناع كننده‌تر از اثبات ریاضی قضیه وجود بود. قضیه (ب)، اثبات یكتایی جواب، مستقیماً مربوط می‌شود به تصور فیزیك‌دان از علیت، این قضیه حاكی از آن است كه داده‌های اولیه، بدون ابهام، به طور یكتا و برای همیشه آینده را تعیین می‌كنند. به همین صورت، قضیه (ج)، ظاهراً متضمن آن است كه جنبه‌های كمی حركت خیلی نسبت به داده‌های دقیق اولیه حساس نیستند، و در نتیجه نظم و پایداری قابل ملاحظه‌ای به حركت نسبت می‌دهد.
واضح است كه این قضایای ریاضی برای خصوصیات فیزیكی كه به طور ضمنی و جهانی به همه سیستم‌های دینامیكی نسبت داده شده‌اند، اساسی‌اند. متأسفانه این قضیه‌ها موضعی‌اند؛ اعتبار آن‌ها فقط در حوزه محدودی از فضا – زمان اثبات شده است. قضیه‌های جهانی، كه وجود جواب و یكتایی آن را در تمام زمان‌ها نشان بدهند، به طور كلی وجود ندارند. از آن‌جا كه اصول فیزیكی معمولاً از قضایای موضعی استنتاج شده‌اند، اصلاً روشن نیست و عموماً حقیقت هم ندارد كه آن‌ها اعتباری عام دارند. مثلاً برای بعضی سیستم‌ها، جواب یكتا همواره یكتا نمی‌ماند. به طور كلی، درباره پایداری مسیرها در یك مدت نامتناهی شناخت خیلی كمی داریم؛ دو پیكر بندی كه در ابتدا خیلی نزدیك به همدیگر هستند ممكن است در زمان‌های خیلی طولانی به طور دلبخواهی از همدیگر دور شوند. به علاوه، قضیه‌های ریاضی موضعی در شرایط خاصی صادق‌اند، مثلاً در غیاب برخوردهای مكرر، كه در بیشتر موارد نمی‌شود وجود چنین شرطی را تضمین كرد. به این ترتیب ویژگی‌های عام مكانیك كلاسیك كه بعضی‌شان از تعمیم‌های مربوط به سیستم های خاص و یا بر پایه قضیه‌های محدود ریاضی به دست آمده‌اند، هیچ اساس كلی ندارد. روشن نیست كه آیا فیزیكدانان و اختر شناسان از مبنای سست ریاضیدانی باورهای (ناگفته) خود آگاه بوده‌اند یا نه، اما كم و بیش روشن است كه آن‌ها خیلی هم نگران این مسئله نبوده‌اند. دانشمندان تقریباً همیشه مسائل ساده كاملاً مشخصی را بررسی می‌كنند كه در آن‌ها بتوان ویژگی‌های حدس زده شده (یا مورد انتظار) را صریحاً تحقیق كرد، بنابراین اعتبار كلی اصول علیت و قابلیت پیش بینی مطرح نمی‌شود. به علاوه، مكانیك كلاسیك تعدادی موفقیت‌های درخشان (بی هیچ ناكامی مشخصی) در طی یك دوره چند ساله داشته است. بنابراین شگفت انگیز نیست كه اصول طریقت مكانیك كلاسیك، علی رغم مبانی مشكوك آن، به طور همگانی و بدون انتقاد پذیرفته شده باشد، مثلاً، هنگامی كه در مدار مشاهده شده اورانوس بی‌نظمی‌هایی دیده شد كه با محاسبات انجام شده با دقت مورد لزوم توافق نداشت، فرض نشد كه قوانین نیوتون ناقص‌اند یا وقتی تا به این حد خارج از منظومه شمسی باشیم صدق نمی‌كنند، تمام این انحراف‌ها و ناسازگاری‌ها را می‌شد كاملاً معقول تلقی كرد. در عوض، اعتماد به طرح كلاسیك آن‌قدر زیاد بود كه انحراف مشاهده شده را به ستاره جدیدی كه تا آن زمان مشاهده نشده بود – نپتون – نسبت دادند. به این ترتیب قوام مكانیك كلاسیك ایجاب می‌كرد كه مشاهدات عینی موجود آن زمان كنار گذاشته شود. در مجموع، ایده‌ها، مفاهیم، و معادلات مكانیك كلاسیك موفقیت گسترده‌ای داشتند و بدون بررسی كامل پذیرفته شده بودند. بر پایه این تجربیات، یك باور عمومی هم وجود داشت كه در واقع تا حد ایمان رسیده بود – اینكه مكانیك كلاسیك واكنش علی اجسام را به نیروها توصیف می‌كند، و حركت منظم و قابل پیش بینی در مدارهای هندسی ساده را نتیجه می‌دهد. این جلوه‌ها بی آنكه به طور كامل تحلیل، اثبات، یا نقد شوند پذیرفته شده بودند. در واقع این خواص از بررسی مفصل نمونه‌هایی معدود – در مجموع پنج یا شش نمونه – مشتمل بر نوسانگرهای هماهنگ، ژیروسكوپ، و چند تایی دیگر استنتاج شده بودند. این سیستم‌ها واقعاً خواص منظمی دارند، كه در آن موقع به همه سیستم‌ها تعمیم داده شده است. فرض اساسی این بود كه سیستم‌های مورد مطالعه سیستم‌هایی نوعی و نمونه‌ای‌اند، به طوری كه نتایج مبتنی بر رفتار آن‌ها اعتبار عام خواهد داشت همچنین باور عمومی بر این بود كه مسائل پیچیده‌تر فقط از نظر فنی با این نمونه‌های خاص تفاوت دارند. این یعنی كه تصور می‌شد امكان طراحی روش‌های تقریب‌گری مناسب برای حل مسائل پیچیده‌تر وجود دارد. این روش‌ها ممكن است ظرافت بیشتری داشته باشند و جزئیات بیشتری را مطرح كنند، ولی ویژگی‌های كلی حركت را دست نخورده باقی می‌گذارند. (مدارها ممكن است قدری وول بخورند).
این‌گونه روش‌های تقریبی و رویه‌های اختلال در انواع فراوانی از مسائل فیزیكی و به خصوص اختر شناسی بسیار موفق بوده‌اند، كه این هم خود تأكید مجددی است بر اعتماد به مفاهیم، مبانی، و نتایج مكانیك كلاسیك بنابراین شگفت انگیز است – اگر نگویم رعب انگیز – كه تمام ویژگی‌های كلی منسوب به مكانیك كلاسیك در حالت كلی غلط است مسائل تحقیقاً حل شدنی مسائل نوعی نیستند؛ در واقع آن‌ها كاملاً استثنایی‌اند و تعمیم‌های مبتنی بر آن‌ها می‌تواند گمراه كننده باشد.
در طی سال‌های اخیر، سیستم‌های علی كاملاً قابل قبولی ساخته شده‌اند كه خواص غیر منتظره زیر را به نمایش می‌گذارند:
معادلات ساده می‌توانند به حركت‌های نامنظم و خیلی پیچیده با مسیرهای فوق العاده پیچ در پیچ منجر شوند.
معادلات و سیستم‌هایی كه فقط جزئی اختلاف با هم دارند ممكن است در دراز مدت از نظر كیفی به رفتار متفاوتی بینجامند.
داده‌های اولیه با اختلافی جزئی برای بعضی سیستم‌ها ممكن است به حركت‌های اساساً متفاوتی بینجامند.
همه مسائل را نمی‌توان با استفاده از روش‌های اختلال از جواب تحقیقی، بدون تغییر دادن ویژگی كیفی جواب‌ها، بررسی كرد.
به طور خلاصه، معلوم شد كه همه آن خواص منظمی كه چنین مطمئن به مكانیك كلاسیك نسبت داده شده بود، عموماً اشتباه است. مدتی مدید طول كشید تا تأثیر این بینش كاملاً احساس شود. گرچه نمونه‌های منفردی برای دانشمندان متعددی شناخته شده بود، مفاهیم كلی تا بعد از سال 1970 هنوز به صورت بخشی از فیزیك درنیامده بود. شاید حیرت انگیزترین نكته این باشد كه فروریختن انتظارات كلاسیكی، كه با كار پوانكاره در سال 1910 غیر قابل اجتناب شد، در هیچ كتاب درسی كلاسیكی مورد تأكید قرار نگرفت و فقط در چند كتاب به آن اشاره شد. در هیچ یك از كتاب‌های درسی دبیرستانی یا سال اول دانشكده هرگز خاطر نشان نشد كه مثال‌هایی كه مورد بحث قرار می‌گیرند فوق العاده گزینشی‌اند، و اینكه نسبت دادن این ویژگی‌ها به رفتار سیستم‌های كلاسیكی در كل فوق العاده گمراه كننده خواهد بود (كه هست).
این كه جامعه فیزیك به چه كندی وادار به مصالحه با دیدگاهی اساساً متفاوت درباره مكانیك كلاسیك شد – كه مطالعات پوانكاره ایجاب می‌كرد – نیز به همان اندازه قابل ملاحظه است. این عدم توجه با ظهور و تحول مكانیك كوانتومی كه تقریباً در همان زمان اتفاق افتاد بی ارتباط نیست. اما واقعیت دارد كه نظر كلی درباره فیزیك كلاسیك مبتنی بر پذیرش بی چون و چرا و تحلیل ناشده طریقت فیزیك نیوتونی است. ادراك عامه از علم تابع دركی است كه جامعه علمی از آن دارد، بنابراین هیچ تعجبی ندارد كه معلوم شدن بی اعتباری این ایده‌ها و تعمیم‌ها نه تنها سبب هیجان و شگفتی شد بلكه قدری هم شادی و شعف به ارمغان آورد.
3.مثال‌های غیر شهودی در مكانیك كلاسیك
درك این مطلب كه حتی سیستم‌های خیلی ساده یك بعدی هم می‌توانند رفتاری غیر منتظره و مسلماً غیر شهودی بروز بدهند، اهمیت دارد. این مسئله یك بار دیگر نشان می‌دهد كه سیستم‌هایی كه به عنوان سیستم‌های نوعی اختیار كرده بودیم مجموعه‌ای به دقت گزینش شده‌اند كه بررسی و طرح و تكرار بی منتهای آن‌ها در كتاب‌های درسی، دیدگاه موجود سنتی و حتی قالبی مكانیك كلاسیك را تقویت و جاودانه كرده است. بنابراین بررسی چند سیستم كلاسیكی ساده با رفتاری شدیداً متفاوت با آنچه به طور سنتی انتظار می‌رود جالب است. این رفتار معمولاً نه تنها غیر منتظره و غیر شهودی بلكه عجیب و غریب هم هست. بعضی از این جلوه‌های عجیب را می‌توان به عدم وجود حد بالا برای سرعت‌ها در مكانیك كلاسیك منسوب كرد. سرعت‌های بینهایت كه كاملاً هم مقبول‌اند به نتیجه غیر مشهودی و حتی معما گونه – كه مسافت‌های نامتناهی را می‌توان در زمان‌های متناهی پیمود – می‌انجامد.
مثال1. از فیزك مقدماتی با مدارهای مربوط به حركت ذره در یك پتانسیل جاذبه مركزی،
آشناییم. ولی، برای ذره‌ای كه در پتانسیل 
حركت می‌كند، گونه‌های متفاوتی از حركت وجود دارد كه، با شروع از یك فاصله معین از مركز مسیری مارپیچی به طول بینهایت را در زمانی متناهی به سوی مركز طی می‌كند. آنگاه از حركت باز می‌ایستد.مثال2. حركت‌های یك بعدی وجود دارند كه در آن‌ها ذره با شروع از یك مكان متناهی در زمان t=0 در یك زمان متناهی به
می‌رود. سپس ذره به طور لحظه‌ای از 
ظاهر می‌شود، كه مسیرش را دنبال كند. اغلب x(t) رفتاری از نوع 
دارد، كه 
یك زمان معین متناهی است. اگر ε یك بازه زمانی كوتاه باشد، در آن صورت در زمان 
خواهیم داشت 
، كه كمیتی بزرگ و منفی است. از طرف دیگر، در لحظاتی كمی دیرتر از 
، داریم 
، كه كمیتی بزرگ و مثبت است، به این ترتیب در بازه‌های زمانی به اندازه ε2 در حول و حوش ، ذره در منهای بینهایت ناپدید می‌شود و بلافاصله از به علاوه بینهایت سر در می‌آورد.مثال3. یك ذره كلاسیكی را تحت تأثیر نیروی
، متناظر با پتانسیل 
در نظر بگیرید. این نیرو در خارج از مبداء هم برایx های مثبت و هم برای x های منفی دافعه است. معادله حركت عادی برای این ذره عبارت است از 
، انرژی را، كه كمیتی پایسته است، می‌توان به صورت 
نوشت. معادلات حركت را می‌توان حل كرد؛ كه توابع بیضوی به دست می‌آیند و طی آن می‌توان یك جواب ساده خاص نیز به دست آورد. تحقیق این مطلب كه 
در معادله حركت صدق می‌كند، مشروط بر آنكه a را به صورت 
اختیار كنیم، كاری ساده است.اگر موقعیت اولیه ذره را
در نظر بگیریم، b به دست می‌آید، و جواب كامل مسئله چنین است:این جواب كه به دست آوردن آن اینقدر آسان بود، جوابی خیلی خاص است. محاسبه E نشان می‌دهد كه انرژی كل صفر است، و انرژی جنبشی در تمام مراحل حركت با انرژی پتانسیل برابر است. سرعت را هم می‌توان به سادگی محاسبه كرد:
این جواب یك جواب كاملاً قابل قبول، هرچند خاص، است، ولی جنبه‌های عجیب و غریبی از خود بروز می‌دهد. اگر
مثبت باشد، ذره از سمت راست مبداء شروع به حركت می‌كند و در زمان متناهی
به +∞ رانده می‌شود، و سرعت بینهایت كسب می‌كند. این ذره آناً از x=-∞ سر بر می‌آورد و در برابر نیروی دافعه به سمت راست به حركتش ادامه می‌دهد و سرعتش كم می‌شود و در یك زمان بینهایت به مبداء مختصات می‌رسد. حال اگر موقعیت اولیه، ذره منفی باشد (یعنی ذره از سمت چپ مبداء مختصات شروع به حركت كند). سرعت ذره كه در این صورت هم به سمت راست (مثبت) است، كم می‌شود تا ذره در زمان بینهایت به مبداء می‌رسد. این ذره هرگز به x=+∞ نمی‌رود. به این ترتیب رفتار مربوط به x_0 منفی تفاوت دارد. با تغییر دادن از 
به 
، رفتار ذره به طور سرسام آوری تغییر می‌كند، و اصلاً مهم نیست كه ε را تا چه حد كوچك اختیار كنیم. این حساسیت فوق العاده نسبت به شرایط اولیه ویژگی شاخص آشوب است.به لحاظ منطقی باید چنین استنباط كرد كه این جواب یك جواب خاص مربوط به یك سیستم خاص است و نباید آن را خیلی جدی گرفت. ولی این مثال حاكی از رفتارهای غیر عادیی است كه در مكانیك كلاسیك مجاز شمرده می‌شود.
مثال4.مثال‌های واقعی‌تر دیگری هم وجود دارند كه رفتار غیر عادی و حتی ناقصی را بروز می‌دهند. مثلاً چهار ذره كه تحت تأثیر گرانش نیوتونی روی یك خط حركت می‌كنند می‌توانند حركتی را به نمایش بگذارند كه در آن سه ذره، مثلاً ذره‌های 1،3 و4 در یك زمان متناهی به بینهایت بگریزند، در حالی كه ذره 2 مرتباً به پس و پیش برود.
مثال5. مسائل پنج جسمی نیوتونی وجود دارند كه در آن‌ها یكی از ذرات بینهایت سفر رفت و برگشتی انجام می‌دهد، سه ذره دیگر در یك زمان متناهی به بینهایت می‌روند، و ذره پنجم در زمان‌های متناهی در ناحیه محدودی باقی می‌ماند. این رفت و آمدها به بینهایت و از بینهایت به این معنی است كه اندازه‌گیری‌های انجام شده در یك بازه معین محدود (بدون بررسی خیلی دقیقتر) نه امكان تعیین بدون ابهام آینده را فراهم می‌كند و نه حتی امكان تعیین تعداد ذرات موجود در سیستم را. واین به وضوح برخلاف درك متعارف از علیت نیوتونی است – كه آینده را حال رقم می‌زند. مثال‌های فراوان دیگری هم وجود دارند، كه همگی نشان می‌دهند كه سیستم‌های كلاسیكی توانایی بروز رفتاری خیلی پیچیده‌تر از سهمی‌های حركت پرتابه‌ای یا بیضی‌های سیاره‌ای را دارند.
مثال6. برای حركت منظم قابل پیش بینی ضروری است كه در معادله حركت تكینگی ایجاد نشود. برای تكینگی می‌توان یك تعریف دقیق ریاضی ارائه داد، ولی فعلاً كافی است به خاطر داشته باشیم كه در تكینگی رفتار فیزیكی غیر عادی است؛ ذره می‌توان سرعت بینهایت داشته باشد، سرعت می‌تواند به صورت ناپیوسته تغییر كند، و دو ذره می‌توانند با هم یكی شوند. این گونه رویدادها نوعاً در برخوردها صورت می‌گیرند. گاهی اوقات پس از یك برخورد (دوگانه) ممكن است حركت ادامه پیدا كند، ولی برخوردهای سه گانه و بیشتر چنین تداومی را اجازه نمی‌دهند. حركت جسم مربوط به مثال 1 به یك تكینگی می‌انجامد كه در یك زمان متناهی حاصل می‌شود. برای داشتن یك سیستم كاملاً قابل پیش بینی باید معلوم باشد یا نشان داده شود كه در هیچ زمانی نباید یك تكینگی جدی پیش بیاید. اثبات عدم حضور تكینگی در رده‌ای از مسائل مشكل و دقیق است، و فقط در چند مورد جواب معلوم است. مثلاً در سال 1356/1977 نشان داده شد در مسئله نیوتونی چهار جسمی ممكن است پیكر بندی برخوردی ناجوری به وجود بیاید. اگر چه این مورد تنها به ازای مجموعه‌ای پراكنده و تنك از داده‌های اولیه می‌تواند رخ بدهد، اما در هر حال امكان این رخداد وجود دارد. برای N=5 ، وضعیت احتمالاً از این هم بدتر است، اما هیچ مسئله مشخصی را در این مورد نمی‌شناسیم. روشن است كه سیستم‌های كلاسیكی می‌توانند به صورتی غیر عادی و غیر قابل پیش بینی رفتار كنند. این اصلاً تصویر سنتی میدان خوش تعریف، قابل اعتماد – و شاید غیر موجود – در فیزیك كلاسیك نیست.
