محاسبه مدول یانگ با مثال

مدول یانگ نسبت استحکام تنشی به استحکام کرنشی را نشان می‎دهد. در این مقاله توضیح داده می‎شود که چگونه مدول یانگ محاسبه می‎شود، تغییرات آن نسبت به دما چگونه است، و قانون هوک چیست.
مدول یانگ بعد از توماس یانگ، دانشمند انگلیسی قرن نوزدهم به این نام نامگذاری شد.
در فیزیک به خصوصیات ماده و اینکه بعد از کشیدن یا متراکم کردن آن چگونه و تا چه میزان به شکل اولیه بازمی‎گردد کشسانی یا خاصیت ارتجاعی گفته می‎شود. به بیان دیگر، اینکه یک ماده تا چه اندازه به تغییر شکل مقاوم باشد جزء ویژگی‎ها و مشخصه‎های آن ماده محسوب می‎شود. این مطلب دقیقاً مقابل این تصور ابتدائی است که اگر شیئی را بتوان بیشتر از بقیه اجسام کشید، آن شیء فنری شکل بوده و خاصیت ارتجاعی دارد. به همین دلیل، یک میله فلزی نسبت به لاستیک کشسان‎تر بوده و خاصیت ارتجاعی بیشتری دارد. یک میله فلزی، بعد از قطع نیروهای کششی یا فشاری که باعث تغییر شکل جسم می‎شود، نسبت به لاستیک خیلی بهتر شکل قبلی خود را دوباره بدست می‎آورد.
ماده می‎تواند در تمامی جهات تغییر شکل دهد. وقتی ماده‎ای در مقابل کشش یا فشارهای خطی مقاومت می‎کند، در واقع استحکام ارتجاعی و کشسانی از خود نشان می‎دهد. مقدار این استحکام با مدول یانگ داده می‎شود. در این مقاله پارامترهایی که مربوط به خاصیت کشسانی است و برای محاسبه مدول یانگ لازم می‎باشد توضیح داده می‎شوند. همچنین توضیح می‎دهیم که مدول یانگ با دما چگونه تغییر می‎کند و چه نسبتی با قانون هوک دارد.

تنش (Stress):

• وقتی جسمی تحت نیرویی فشرده یا کشیده می‎شود، نیروهای بازگرداننده داخلی در آن جسم بوجود می‎آیند که با این تغییر شکل مخالفت می‎کنند.
• به این نیروهای بازگرداننده داخلی در واحد سطح مقطع جسم تنش گفته می‎شود.
• مقدار تنش برابر است با مقدار نیروی خارجی اعمال شده در واحد سطحی که نیرو به آن سطح وارد می‎شود.
• تنش با فرمول زیر بیان می‎شود:

= F / A σ
که در آن F علامت نیرو و A مساحت است.
• واحد تنش در دستگاه استاندارد SI برابر است با واحد نیرو تقسیم بر واحد سطح که برابر است با نیوتن بر مترمربع یا همان پاسکال.
بنابراین واحد تنش همان واحد فشار است.

کرنش (Strain):

• وقتی جسمی تحت تأثیر نیرویی فشرده یا کشیده می‎شود، شکل آن تغییر می‎کند.
• به تغییر شکل جسم که در اثر این نیرو ایجاد می‎شود کرنش گفته می‎شود.
• بنابراین کرنش نسبت تغییرات طول جسم است نسبت به طول اصلی جسم.
• کرنش با فرمول زیر بیان می‎شود:
کرنش = میزان کشیدگی یا فشردگی بخش بر طول، یا
کرنش = Δl/l
• واحد کرنش: کرنش هیچ واحدی نداشته و یک مقدار بدون بعد است. زیرا برابر است با نسبت دو طول با واحد یکسان.

مدول یانگ:

• مدول یانگ در واقع مدول یا قدر مطلق استحکام کشسانی ماده است.
• خاصیت کشسانی ماده بیانگر آن است که ماده تا چه میزان نیروهایی که باعث تغییر شکل ماده می‎شوند را تحمل می‎کند، چقدر با آن مقابله می‎کند و تا چه میزان دستخوش تغییر می‎شود.
• ماده وقتی تغییر شکل می‎دهد که در طول یک محور فشرده یا کشیده شود. مدول یانگ برابر است با مقدار تنش به کرنش:

فرمول مدول یانگ = تنش تقسیم بر کرنش
σ /ε =
(F/A)/(Δ L/L) =
واحد مدول یانگ در دستگاه SI برابر است با واحد تنش به واحد کرنش.
واحد تنش پاسکال، و کرنش بدون بعد است. بنابراین واحد مدول یانگ نیز همان پاسکال می‎باشد. در عمل بیشتر از مگاپاسکال، MPa، که برابر N/mm2، و یا گیگاپاسکال، GPa، که برابر KN/mm2 است استفاده می‎شود. بعنوان مثال، مدول یانگ استیل برابر با GPa 109 × 200 می‎باشد.

تغییرات مدول یانگ با دما:

وقتی دمای ماده‎ای تغییر می‎کند، متناسب با آن، در ارتعاشات اتمی آن جسم نیز تغییراتی رخ می‎دهد. بعنوان مثال، وقتی دمای جسم افزایش می‎یابد، ارتعاشات اتمی جسم نیز افزایش می‎یابد. بنابراین وقتی جسمی دچار تنش می‎شود، متناسب با بزرگی تنش، نیروهای داخلی بازگرداننده ماده نیز تغییر می‎کنند. حجم ماده نیز، وقتی در مقابل دمای بالا قرار می‎گیرد تغییر می‎کند. بنابراین کرنشی که ماده از خود نشان می‎دهد نیز تغییر می‎کند. از آنجاییکه مدول یانگ نسبت تنش به کرنش است، مقدار آن با افزایش یا کاهش دما عوض می‎شود. واچمن (Wachtman) فرمول تجربی را پیشنهاد کرد که بیانگر وابستگی مدول یانگ به دما است و با رابطه زیر داده می‎شود:
E = E0-BT exp (-Tm/T)

• در این رابطه E0، مدول یانگ در دمای صفر درجه کلوین است.
• T، دمای مطلق است.
• B پارامتری است که مقدار آن بستگی به خواص ماده دارد و جزء مشخصه‎های ماده است. این کمیت در واقع شیب نمودار مقدار مدول یانگ برحسب دما است و به ثابت جرونایزن (Grüneisen)، یعنی γ وابسته است.
• Exp (-Tm/T) فاکتور بولتزمن است.
• Tm پارامتری است که به خصوصیات ماده وابسته است و به دمای دبای Θ مرتبط است.
• γ و Θ ثابتهایی هستند که به ترتیب، به انبساط حجمی دمایی، و دمای ویژه ماده وابسته‎اند.

مدول یانگ و قانون هوک:

قانون هوک بیانگر آن است که کششی که یک فنر تحمل می‎کند با نیرویی که به فنر اعمال می‎شود متناسب است.
در محدوده‎ای که خاصیت کشسانی ماده از بین نرفته باشد فرمول قانون هوک بصورت F=kX می‎باشد. که در آن F نیروی اعمالی به فنر، X جابه‎جایی ایجاد شده در فنر که می‎تواند میزان فشردگی یا میزان کشیدگی باشد، و k ثابت فنر است که از مشخصه‎های فنر می‎باشد.
دقت داشته باشید که بیشتر مواد وقتی در مواجهه با نیروهای تغییرشکل‎دهنده خطی قرار می‎گیرند مانند فنر رفتار می‎کنند. تفاوت اساسی که در این زمینه وجود دارد این است که بیشتر مواد، برخلاف فنر، یک مساحت سطحی دارند که باید آن را نیز در نظر گرفت. بنابراین می‎توانیم در فرمول بالا نیرو را با فشار یا همان تنش جایگزین کرده و فرمول را بصورت زیر بازنویسی کنیم:
σ = E x ε
بنابراین می‎توانیم اینطور نتیجه بگیریم که مدول یانگ همان ثابت فنر قانون هوک است که طول و سطح مقطع آن برابر 1 می‎باشد. جابه‎جایی نیز طولی درنظر گرفته می‎شود.
اجازه دهید برگردیم به مقایسه‎ای که راجع به کشسانی استیل و لاستیک داشتیم، و آن را با مدول یانگ تجزیه و تحلیل کنیم. به ازای تنش یکسان، کرنش استیل در مقایسه با لاستیک کوچکتر است. بنابراین نسبت تنش به کرنش استیل بزرگتر از لاستیک است. بنابراین مدول یانگ استیل از مدول یانگ لاستیک بزرگتر است. و درنتیجه استیل از لاستیک کشسان‎تر می‎باشد!