هندسه و ابعاد بالا

یکی از ویژگی های جذاب ریاضیات پیشرفته این است بخش عمده ای از آن با هندسه ای سر و کار دارد که در آن ابعادی بیش از سه بعد نقش بازی می کنند. این موضوع باعث سردرگمی غیر ریاضیدانان می شود. خط ها و منحنی ها یک بعد دارند، سطوح دو بعدی اند و احجام دارای سه بعد هستند. اما چگونه ممکن است شی ای دارای چهاربعد باشد؟ هر جسمی در نهایت می تواند طول، عرض و ارتفاع داشته باشد و با این سه مشخصه می توان وضعیت آن را در هر فضایی مشخص کرد. پس چرا جایی برای بعد چهارم وجود دارد؟ گاهی اوقات از زمان به بعد چهارم یاد می کنند. شاید چنین توصیفی برای زمینه های خاصی مانند نسبیت خاص مفید باشد اما هنگامی که از هندسه 26 بعدی یا حتی بی نهایت بعدی صحبت می کنیم، زمان دیگر نمی تواند دردی از ما دوا کند؛ در حالی که این هندسه ها دارای کاربردهای بسیار مهمی در ریاضیات هستند.
هندسه ابعاد بالا هم یکی دیگر از نمونه هایی است که بهترین روش درک آن استفاده از دیدگاه مجرد است. در این روش بدون اینکه نگران وجود یا ماهیت فضای بیست و شش بعدی باشیم توجه خود را بر ویژگی های آن متمرکز می کنیم. شاید به نظر عجیب به نظر برسد که چگونه می توان درباره مشخصات چیزی صحبت کرد بدون آنکه حتی درباره وجود داشتن آن مطمئن باشیم. اما این نگرانی به سادگی قابل حل است. اگر در جمله بالا کلمه « چیز » را کنار بگذارید آنگاه سؤال فوق تبدیل به این پرسش می شود که چگونه می توان درباره مجموعه ای از خصوصیات بحث کرد بدون اینکه ابتدا چیزی داشته باشیم که آن خصوصیات را به آن نسبت دهیم؟ می بینید که کار خیلی ساده تر شد چون مهم مشخصات و ویژگی ها است و نه آن شی یا چیزی که آن خصوصیات را دارد. مثلاً شما می توانید درباره خصوصیات یک رییس جمهور زن در ایالات متحده و ویژگی هایی که ممکن است داشته باشد صحبت کنید؛ در حالی که شاید هیچ گاه یک زن به این مقام نرسد.
اما چه نوع خصوصیاتی را می توان برای یک فضای بیست و شش بعدی انتظار داشت؟ بدیهی ترین ویژگی، که فضا را بیست و شش بعدی می نماید این است که برای مشخص کردن هر نقطه ای در این فضا به بیست و شش عدد نیاز داریم، همان طور که در فضای دو بعدی به دو عدد و در فضای سه بعدی به سه عدد نیاز داریم. مشخصه دیگر این است که اگر فرض کنیم شی ای 26 بعدی باشد و ابعاد آن را در هر یک از جهات دو برابر کنیم حجم آن باید برابر شود.
اما اگر بخواهیم درباره برخی خواص این فضا بحث کنیم شاید چنین نگاهی چندان جالب نباشد. به همین دلیل شاید لازم باشد نشان دهیم که این فضا از نظر ریاضیاتی– و نه فیزیکی– وجود دارد. زمانی این اتفاق می افتد که تعریف ما سازگار و فاقد تناقض باشد. همه این ها به این معنی است که ما نیاز به تعریف مدلی متناسب داریم. این مدل الزاماً همه خواص این فضا را دربر نمی گیرد. اما اگر بتواند آنچه که ما از این فضا انتظار داریم را تبیین کند می تواند خواص ثابتی که در بین آنها وجود دارد را نشان دهد.
همان گونه که اغلب رخ می دهد تعریف مدل می تواند برای کار کردن با این مفاهیم بسیار سودمند باشد.

چگونه یک فضای دارای ابعاد بالا را تعریف کنیم؟

اگر شما ایده مختصات را در ذهنتان بررسی کنید متوجه خواهید شد که تعریف یک مدل برای این فضاها به طور شگفت انگیزی ساده است. همان طور که قبلاً گفتم یک نقطه از فضای دو بعدی را می توان با 2 عدد خاص، مشخص کرد و نقطه ای در فضای 3 بعدی را نیز می توان با 3 عدد خاصی که به آن نسبت داده می شود تعیین کرد. این همان راه آشنایی است که هنگام کار با مختصات های دکارتی از آن سود می بریم. این مختصات ها را به نام رنه دکارت ریاضیدان برجسته ای که این ابزار را کشف کرد، دکارتی یا کارتزین می نامیم ( دکارت معتقد بود استفاده از این مختصات ها در خواب به او الهام شده است ).
تصویر شماره 1: 3 نقطه بر صفحه مختصات دکارتی در فضای دو بعدی شما کار را با تعیین دو جهت عمود بر هم آغاز می کنید. برای مثال می توانید جهت راست– چپ و بالا– پایین را که در شکل 1 نیز نشان داده شده است، در نظر بگیرید. به هر نقطه ای که در صفحه مشخص شود، می توان با حرکت های مشخصی به صورت افقی و سپس عمودی، دست یافت ( اگر از محل تقاطع به سمت چپ برویم می توان آن را منفی نامید و همین طور پایین رفتن از محل تقاطع بر محور عمودی نیز شامل گام های منفی می شود ). این دو مسافتی که به شکل افقی و عمودی از مرکز طی می کنید تا به نقطه مورد نظر برسید، دو عددی را مشخص می کنند که به مختصات نقطه مورد نظر شما معروف است. شکل برخی از نقاط را که با این روش مشخص شده اند نشان می دهد. عیناً مشابه این روش را می توان در فضای سه بعدی نیز به کار بست و تنها تغییری که نسبت به حالت دو بعدی دارد این است که در اینجا باید از 3 جهت استفاده کنید و در گام سوم مثلاً از صفحه به سمت خارج یا داخل آن حرکت کنید.
حال بیایید زاویه نگاهمان را اندکی تغییر دهیم. بیایید به جای آنکه بگوییم این 2 یا 3 عدد مختصات نقطه مورد نظر ما هستند بگوییم این اعداد خود نقطه مورد نظر هستند و مثلاً بگوییم نقطه (3،5). شاید برخی از شما گمان کنید این تنها بازی با کلمات است اما در حقیقت تفاوت زیادی در این دو بیان وجود دارد. با این تغییر کوچک ما یک مدل ریاضیاتی را جایگزین یک فضای واقعی فیزیکی کرده ایم. بنابراین مدل ریاضیاتی ما فضای دو بعدی شامل زوج مرتب هایی از اعداد حقیقی به شکل (a,b) خواهد بود.
اگرچه خود این زوج مرتب ها نقطه ای از فضا نیستند اما آنها را به این واسطه نقطه می خوانیم که یادآور روشی است که آن نقطه را می توان بینا کرد. به طور مشابه می توانیم مدلی برای فضای سه بعدی را با استفاده از 3گانه مرتب ( a,b,c ) ارائه دهیم و بار دیگر این سه گانه مرتب را نقطه ای در فضای سه بعدی بنامیم. هیچ راه ساده و بدیهی برای تعریف یک نقطه در فضایی با ابعاد بالاتر مانند هشت بعدی وجود ندارد. در حقیقت این نقطه چیزی جز یک 8 گانه مرتب از اعداد حقیقی نخواهد بود. 8 گانه های مرتبی مانند ( 7، 6، 0، 0، 4، 1-، 3، 1 ) و (1+ ،12- ،93/89 , ، ،π و 5) نمونه هایی از نقاط در فضای هشت بعدی هستند.
اکنون من تعریفی از یک مدل شامل مجموعه ای مرتب از اعداد را در اختیار دارم. اما این مجموعه های مرتب از اعداد هنوز چیزی نیست که بتوان آن را مثلاً فضایی 8 بعدی نامید. چرا که کلمه فضا با خود معانی هندسی خاصی را همراه دارد که من هنوز آنها را در مدل خود شرح نداده ام. در حقیقت یک فضا چیزی بیش از یک مجموعه ساده از نقاط است. برای مثال، ما درباره فاصله دو نقطه از یکدیگر، خط مستقیم، دایره ها و دیگر شکل های هندسی در صفحه ( فضای دو بعدی ) صحبت می کنیم. اما چگونه می توان این ایده ها را برای ابعاد بالاتر توسعه داد؟

تصویر شماره 2: محاسبه فاصله با کمک قضیه فیثاغورس

برای جواب دادن به سؤالاتی از این دست یک راه حل عمومی وجود دارد. مفهوم آشنایی برای فضاهای دوبعدی و سه بعدی را در نظر بگیرید. این مشخصات را بر مبنای مختصات نقاط بیان کنید و امیدوار باشید که بتوان آن رابطه مختصاتی را به فضاهایی با ابعاد بالاتر نیز تعمیم داد. بگذارید ببینیم این راه حل برای مفهومی مانند فاصله چگونه عمل می کند.
دو نقطه دلخواه در یک صفحه مانند ( 7،5 ) و ( 4،1 ) را در نظر بگیرید. می توان فاصله این دو نقطه را از روش زیر محاسبه کرد. همان گونه که در شکل 22 نشان داده شده است این کار را می توان با تعریف و رسم یک مثلث قائم الزاویه که رأس قائمه آن نقطه جدید ( 4،5 ) است آغاز کرد. بر اساس این شکل فاصله دو نقطه ( 4،1 )، ( 7،5 ) در حقیقت طول وتر این مثلث قائم الزاویه است. این طول وتر را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورس به دست آورد. طول دو ضلع قائمه این مثلث عبارتند از 4=1-5 و 3=4-7، بنابراین طول وتر برابر خواهد بود با
بنابراین فاصله میان دو نقطه مورد نظر 5 است. اگر این روش را بخواهید به شکل کلی و برای هر 2 نقطه ای مانند ( a,b ) و ( c,d ) بیان کنید، در حقیقت باید طول وتری از یک مثلث قائم الزاویه را بیابید که این دو نقطه رئوس وتر هستند. بنابراین طول هر یک از اضلاع قائم این مثلث برابر خواهد بود با ( این عبارت به معنی تفاضل مقدار a,c است ) و حال قضیه فیثاغورس به ما می گوید که فاصله دو نقطه مورد نظر از رابطه


با استدلالی مشابه می توان این فرآیند را در فضای سه بعدی نیز بیان کرد. بر این اساس فاصله هر دو نقطه ( a,b,c ) و ( d,e,f ) در فضای سه بعدی از رابطه زیر به دست خواهد آمد.
به عبارت دیگر برای تعیین فاصله میان دو نقطه شما باید مجموع مربع های تفاضل مختصات های متناظر را محاسبه و از آن جذر بگیرید ( برای واضح شدن بیشتر به یاد بیاورید که در حالت سه بعدی شما با مثلث قائم الزاویه T سر و کار دارید که رئوس آن ( a,b,c ) و ( d,e,f ) و ( a,b,f ) هستند و نقطه ( a,b,f ) رأس قائمه این مثلث بوده است ).
در این حالت فاصله طول ضلعی که به دو نقطه ( a,b,c ) و ( d,e,f ) محدود است برابر است با ( f-c ) و طول ضلع میان ( a,b,f ) و ( d,e,f ) بر اساس رابطه ای که برای تعیین طول در فضای دو بعدی داشتیم برابر است با
و در نتیجه با استفاده از قضیه فیثاغورس برای مثلث T، فاصله دو نقطه مورد نظر از رابطه ای که قبلاً ذکر شد به دست خواهد آمد.
یکی از ویژگی های جذاب این استدلال آن است که در هیچ کجای آن به این موضوع اشاره ای نشده است که نقاط مورد نظر باید در فضای 3 بعدی باشند.
بدین ترتیب ما با روشی مواجه می شویم که می تواند فاصله هر دو نقطه دلخواهی را در هر فضای دلخواهی ( فارغ از تعداد ابعادش ) حساب کند، مثلاً فاصله دو نقطه (2 و4و1- و 0 و 1 ) و (1- و 1 و 1 و 1 و 3) از فضای 5 بعدی عبارت خواهد بود از:
البته این روش ممکن است اندکی گمراه کننده هم باشد چرا که به نظر می رسد این فاصله میان دو نقطه در فضای پنج بعدی ( که در حقیقت این نقاط چیزی جز یک مجموعه مرتب از اعداد حقیقی نیستند ). یک واقعیت بیرونی است که ما آن را توصیف کرده ایم. اما در واقع آنچه ما انجام دادیم، ارائه تعریفی از فاصله بود. هیچ واقعیت فیزیک ما را مجبور نکرده بود که برای تعیین فاصله میان دو نقطه در فضای پنج بعدی این گونه عمل کنیم. از سوی دیگر از آنجایی که تعریف فوق، تعمیم طبیعی فاصله ها در فضاهای آشنای دو و سه بعدی بود، ارائه و پذیرش تعریف غیر از این به نظر عجیب خواهد آمد.
به محض آنکه کار تعریف فاصله در فضاهای مختلف به پایان رسید، ما می توانیم دست به تعمیم دیگر مفاهیم مورد نیاز بزنیم. برای مثال، یک کره، متناظری بدیهی برای دایره، در فضای سه بعدی است. حال درباره کره چهاربعدی چه می توان گفت؟ همانند مورد فاصله ما می توانیم به سادگی تعریفی از این دایره چهاربعدی ارائه دهیم به شرط آنکه قبل از آن به روشی مستقل از ابعاد فضا برای تعریف دایره و کره در فضاهای دو و سه بعدی، دست پیدا کنیم و این کار، اصلاً کار دشواری نیست. دایره و کره را می توان به صورت مجموعه ای از نقاط تعریف کرد که در فاصله مشخصی و ثابتی ( به نام شعاع ) از یک نقطه مشخص ( مرکز ) قرار گرفته اند. هیچ مانعی برای استفاده از این تعریف برای توصیف دایره ای در فضای چهار بعدی وجود ندارد و همین کار را می توان برای هر تعداد بعد دلخواه گیر نیز ادامه داد. برای مثال کره ای چهاربعدی با شعاع 3 و مرکزیت (0 و 0 و 1 و 1 ) عبارت است از تمام نقاطی که فاصله آنها تا مرکز یا همان نقطه (0 و 0 و 1 و 1) برابر 3 باشد. بر مبنای تعریفی از فاصله که قبلاً ارائه دادیم، فاصله نقطه ای مانند ( a,b,c,d ) در فضای 4 بعدی با (0 و 0 و 1 و 1) برابر است با:
بنابراین می توانیم این دایره به خصوص را به شکل همه ( a,b,c,d ) هایی تعریف که در رابطه زیر صدق می کنند.
برای مثال نقطه (1 و 2 و 1- و 1 ) یکی از نقاط این دایره خواهد بود چرا که در رابطه بالا صدق می کند.
یکی دیگر از مفاهیمی که می توان آن را تعمیم داد، مربع یا مکعب است. همان طور که در شکل 23 واضح است مجموعه تمام نقاط (a,b) که در آن a و b نیز بین 0 و 1 قرار دارند. مربعی با طول ضلع 1 را به وجود می آورد که چهار رأس آن عبارتند از: (0 و 0)، (1 و 0)، (0 و 1) و (1و1). در حالت سه بعدی می توان مکعب مربع ( یا مربع سه بعدی ) را به شکل همه ( a,b,c ) هایی تعریف کرد که aو b و c بین 0 و 1 قرار گرفته باشند بدین ترتیب 8 رأس آن عبارتند از ( 0 و 0 و 0 ) ، ( 1 و 0 و 0 ) ،( /0 و 1 و 0 ) ،( 1 و 1 و0 ) ،( 0 و 0 و 1 ) ،( 1 و 0 و 1 ) ،( 1 و 1 و 1 ) و ( 0 و 1 و 1 ). ارائه تعریفی به این شکل برای ابعاد بالاتر نیز به طور بدیهی امکان پذیر است. برای مثال کسی می تواند یک مکعب شش بعدی را به شکل مجموعه ای از نقاط ( a,b,c,d,e,f ) در نظر بگیرد که همه مؤلفه های آن بین ( 0 و 1 ) بوده و نقاط اصل این مکعب واحد شش بعدی نیز با جایگزین کردن ( 0 و 1 ) به جای مؤلفه های مختصات موجود به دست خواهد آمد. آشکارا هر بار که شکل را در یک بعد بالاتر تعریف می کنیم تعداد رئوس دوبرابر خواهند شد. ما می توانیم کارهای بیشتری از ارائه تعاریف ساده درباره اشکالی که در فضاهای با بعد بالاتر داریم انجام دهیم. اجازه دهید این موضوع را با محاسبه تعداد اضلاع یک مکعب 5 بعدی شرح دهم. هیچ تصور فوری در خصوص مفهوم ضلع در فضای 5 بعدی وجود ندارد. اما می توانیم این مفهوم را با بررسی مفهوم ضلع در فضای 2 و 3 بعدی مشخص کنیم. یک ضلع خطی است که 2 رأس مجاور را به هم متصل می کند. 2 رأس را نیز زمانی مجاور می گویند که مختصات آنها تنها در یک مؤلفه با هم تفاوت داشته باشد. یک رأس از مکعب در فضای 5 بعدی نقطه ای مانند ( 1 و 0 و 1 و 0 و 0 ) است و بنابر تعریفی که ارائه کردیم رئوس همجوار آن عبارتند از: ( 1 و 1 و 1 و 0 و 0 ) ،( 1 و 0 و 0 و 0 و 0 ) ،( 1 و 0 و 1 و 1و 0 ) ،( 1 و 0 و 1 و 0 و 1 ) و ( 0 و 0 و 1 و 0 و 0 ). به طور کلی هر رأس، 5 رأس همجوار دارد و بنابراین 5 ضلع آن خارج می شود ( خواننده می تواند با استفاده از تعمیم دادن حالت 2 و 3 بعدی معنی خطی که دو رأس همجوار را به هم وصل می کند را استخراج کند ). بنابراین از آنجایی که
رأس وجود دارد،160 =5×32 ضلع از آنها خارج می شود اما در این روش ما هر ضلع را 2 بار شمرده ایم. هر ضلع میان 2 رأس قرار دارد و ما مجموع تعداد ضلع های خروجی از همه رئوس را شمرده ایم. بنابراین تعداد مجموع اضلاع یک مکعب 5 بعدی عبارت است از 80 ضلع (80 =2÷160 )، که می توان به طور خلاصه گفت آنچه را که در این بخش انجام داده ایم تبدیل هندسه به جبر بوده است. ما این کار را با استفاده از مختصات انجام دادیم و با کمک آنها مفاهیم هندسی را به مفاهیم هم ارزی تبدیل کردیم که تنها به کمک اعداد قابل بیان هستند. بدین ترتیب اگرچه ما نمی توانیم هندسه را مستقیماً بسط بدهیم اما می توانیم جبر را توسعه و بسط دهیم و با این کار به مفهومی می رسیم که منطقاً می توان آن را هندسه ابعاد بالا نامید.

تصویر شماره 3: الف: یک مربع واحد

بدیهی است که هندسه 5 بعدی هیچ ارتباط مستقیمی با تجربه های ما از کار کردن با هندسه 3 بعدی ندارد؛ اما در عین حال فکر کردن درباره آن غیرممکن نیست و مانعی برای به کار بردن یک مدل برای توصیف و کار کردن با آن وجود ندارد.

آیا می توان فضای 4 بعدی را تصور کرد؟

به نظر کاملاً بدیهی می آید که ما بتوانیم یک فضای 3 بعدی را تصور و درک کنیم. اما نمی توانیم درباره فضای 4 بعدی همین کار را انجام دهیم و آن را مورد مداقه و بررسی قرار دهیم. با وجود این میان تصور کردن و دیدن تفاوت مهمی وجود دارد که ناشی از تفاوت دو نوع تجربه است. برای مثال اگر از من خواسته شود که اتاقی را که می شناسم اما خیلی هم آنجا نبوده ام و جزییات آن را به خاطر ندارم، در ذهن خود تصور کنم؛ بدون هیچ مشکلی آن را انجام خواهم داد. اما اگر از من بخواهند که مثلاً تعداد صندلی های آن اتاق با رنگ سقف را بازگو کنم، قطعاً موفق نمی شوم. این مثال تفاوت یک تصویر ذهنی با دیدن را نشان می دهد و مشخص می کند که یک تصویر ذهنی به هیچ وجه بیان یک منظره به شکل عکاسی شده و دقیق نیست.
در مفاهیم ریاضیاتی یکی از تفاوت های اصلی میان امکان و عدم امکان تصور یک مفهوم یا شی آن است که کسی بتواند به سؤالاتی درباره آن بلافاصله و بدون مکث و یا انجام محاسبات پاسخ دهد. البته چنین کاری نیز نسبی است. برای مثال، اگر از من خواسته شود که تعداد اضلاع یک مکعب در فضای 3 بعدی را بیان کنم، با نگاه کردن به آن مکعب می توانم پاسخ را ارائه دهم، 4 ضلع بالایی، 4 ضلع در پایین و 4 ضلع بین دو مربع بالایی و پایینی و در مجموع 12 ضلع.
اما در ابعاد بالاتر انجام این کار تنها با نگاه کردن کار آسانی نیست و افراد اغلب ناچار می شوند تا دست به استدلال و محاسبه های نظیر آنچه من درباره محاسبه تعداد اضلاع یک مکعب 5 بعدی انجام دادم، بزنند.
اما با وجود این گاهی اوقات می توان تصوری از این فضاها نیز به دست آورد، برای مثال من می توانم یک مکعب 4 بعدی را به شکل دو مکعب 3 بعدی درون یکدیگر تصور کنم هر یک از رئوس متناظر آنها با خطوطی ( در بعد چهارم ) به هم وصل شده است. با وجود آن که من هیچ تلقی دقیقی از فضای 4 بعدی ندارم اما می توانم ببینم که برای هر یک از 2 مکعب 3 بعدی 12 ضلع وجود دارد و 8 ضلع هم برای اتصال رئوس مجاور آن وجود دارد و در کل 32=8+12+12 ضلع برای این مکعب باید وجود داشته باشد. حال بار دیگر می توانم تصور کنم و ببینم که یک مکعب 5 بعدی از اتصال 2 مکعب 4 بعدی درون هم تشکیل شده است که با کمک اضلاعی، رئوس مجاور آن به هم متصل شده اند که در نتیجه تعداد مجموع اضلاع آن 80 =16+32+32 خواهد شد ( 32 ضلع برای هر یک از 2 مکعب 4 بعدی و 16 ضلع برای اتصال رئوس مجاور دو مکعب ). و این دقیقاً همان عددی است که با کمک محاسبات قبلاً به آن رسیده بودم.
بنابراین من توانایی نه چندان کاملی در تصور کردن فضای 4 و 5 بعدی دارم و البته کار در آنها بسیار دشوارتر از تصور کردن شی 3 بعدی است. برای مثال، اگر شما بپرسید که اگر یک مکعب 4 بعدی را دوران دهیم چه اتفاقی می افتد، من نمی توانم پاسخی مستقیم به آن بدهم در حالی که در مورد 3 بعدی به راحتی می توانم جواب درستی به پرسش شما بدهم. همین تصور کردن ناقص اشکال در ابعاد مختلف نیز از دشواری های متفاوتی برخوردار است. مثلاً تصور یک مکعب 53 بعدی اگر غیر ممکن نباشد حداقل به طور طاقت فرسایی دشوار است. برخی از ریاضیدانان که تخصص اصلی آنها درباره هندسه فضای 4 بعدی است، قدرت و توانایی بالایی در تصور اجسام 4 بعدی و کار کردن با آنها به دست آورده اند.
چنین حد و توانایی روان شناختی برای ریاضیات بسیار مهم است و ابعاد آن تا فراسوی هندسه گسترش می یابد. یکی از لذت هایی که باعث می شود کسی تمام عمر خود را صرف تحقیق و مطالعه ریاضیات کند، شوق دست یافتن به چنین توانایی است. توانایی که با کمک آن می توان به بسیاری از سؤالات تنها با نگاه کردن به آن پاسخ داد. در حالی که اثبات آنها نیازمند ساعت ها مباحثه است و این سؤال ها الزاماً هم از نوع هندسی نیستند. یکی از مثال های پایه ای در این خصوص صحت گزاره 471 ×638 =638×471 است. شخص می تواند با ضرب کردن هر دو طرف معادله که نیازمند یک رشته طولانی ضرب است صحت تساوی را تحقیق کند. اما شخص دیگری ممکن است این مسأله را به شکل یک مستطیل مدرج ببیند که حاصل ضرب تعداد سطرها و ستون های آن را بیان می کنند و بنابراین تعداد مجموعه نقطه ها با جابه جا کردن سطرها و ستون ها ثابت می ماند. توجه کنید که تصویر ذهنی که در اینجا ارائه شد کاملاً از یک تصویر دقیق عکاسی متمایز و متفاوت است. اگر هنوز شک داریم مستطیل 463 در 641 خانه خود را در نظر بگیرید و شروع به شمارش خانه ها کنید.

هدف از بررسی هندسه ابعاد بالاتر چیست؟

اینکه بتوانیم نشان دهیم که ایده هندسه ای با ابعاد بالا را می توان درک و توصیف کرد یک موضوع است و اینکه بتوانیم توضیحی ارائه دهیم که چرا این موضوع دارای ارزش جدی است موضوع دیگری است. در ابتدای این فصل اشاره کردم که این فضاهای چند بعدی به عنوان یک مدل، بسیار کارآمدند اما چگونه ممکن است چنین فضاهایی، با وجود آنکه ما در فضایی 3 بعدی زندگی می کنیم، فضاهایی کارآمد باشند.
پاسخ دادن به این پرسش چندان هم دشوار نیست، همانطور که در فصل 1 اشاره کردم از یک مدل می توان در زمینه های متعدد و متفاوتی استفاده کرد. هندسه 2 و 3 بعدی نیز برای کاربردهای بسیاری مورد استفاده قرار می گیرند که توصیف جهان فیزیکی تنها یکی از این کاربردها به شمار می رود. برای مثال اکثر اوقات برای بحث درباره حرکت یک شی از نموداری 2 بعدی استفاده می کنیم که فواصل طی شده در زمان های مختلف را نشان می دهد. این نمودار ممکن است به شکل یک منحنی بر صفحه رسم شود که خواص هندسی این منحنی بیانگر ویژگی های حرکت آن جسم است.
اما اینکه چرا برای توصیف حرکت یک شی از منحنی 2 بعدی استفاده می کنیم به این واقعیت برمی گردد که در حرکت یک پرتابه، ما با دو عدد مورد توجه و مهم مواجه هستیم، زمان سپری شده و مسافت طی شده و همان طور که قبلاً هم اشاره کردم می توان فضای 2 بعدی را به شکل مجموعه زوج های مرتبی از اعداد حقیقی در نظر گرفت. بنابراین بین این حرکت و فضای 2 بعدی می توان ارتباطی منطقی ایجاد کرد. این مثال می تواند ما را در درک کاربردهای فضاهای ابعاد بالاتر نیز یاری دهد.
شاید در دنیای واقعی و فیزیکی و در هیچ کجای عالم با هیچ فضایی با ابعاد بالاتر مواجه نشویم اما قطعاً موقعیت های فراوانی وجود دارد که برای مواجهه با آنها نیازمند کارکردی با مجموعه ای از اعداد هستیم که در آنها چنین فضاهایی کاربرد پیدا می کنند. من 2 مثال را در این زمینه به طور خلاصه مطرح می کنم که به کمک آن می توان درک بهتری از دیگر حالت های ممکن به دست آورد.
فرض کنید قصد داشته باشیم به توصیفی از موقعیت یک صندلی روی زمین دست پیدا کنیم اگر این صندلی به طور عادی روی زمین قرار گرفته باشد آنگاه می توان محل دقیق آن را با مشخص کردن محل تماس 2 پایه از صندلی به روی زمین تعیین کرد. مکان هر یک از این دو پایه را می توان با دو مؤلفه روی زمین تعیین کرد. در نتیجه می توانیم موقعیت این صندلی را با 4 عدد تعیین کرد. این چهار عدد با یکدیگر در ارتباط هستند چرا که فاصله میان دو پایه مورد نظر صندلی همواره ثابت است. اگر این فاصله را d بنامیم محل تلاقی دو پایه با زمین را به ترتیب ( p,q ) و ( r,s ) بنامیم؛ آنگاه بنابر قضیه فیثاغورس داریم این اساس می توانیم این 4 مؤلفه را به هم مقید کنیم. یکی از روش های بیان این وابستگی میان s,r,p,q استفاده از زبان هندسی است. در این زبان می توانیم بگوییم: ( p,q,r,s ) متعلق به فضایی چهاربعدی اند که باید در شرایط خاصی مطابق یک سطح هندسی سه بعدی با هم مربوط شوند. سیستم های پیچیده تر فیزیکی را نیز می توان به روش مشابهی مورد بررسی قرار داد و از هندسه ابعاد بالاتر برای تبیین آن کمک گرفت.
هندسه چند بعدی برای علم اقتصاد نیز ابزاری بسیار مهم به شمار می رود. برای مثال اگر شما مایل باشید بدانید که آیا خرید سهام یک کارخانه، سودآور است یا نه، آنگاه باید تصمیم خود را بر مبنای مجموعه ای از اطلاعات متنوع اتخاذ کنید که در قالب مجموعه هایی از پارامترها و اعداد بیان می شوند. اطلاعاتی مانند نیروی کار، ارزش دارایی های مختلف، بهای مواد خام و موارد مشابه تنها بخشی از این اطلاعات پایه مورد نیاز برای تصمیم گیری شما هستند. این اعداد را می توان به شکل دنباله ای فرض کرد که نقطه ای را در یک فضای هندسی با ابعاد بالا را مشخص می کند. حال کاری که شما باید انجام دهید احتمالاً تحلیل شرکت های مشابه دیگر است. با تعیین نقاط متناظر هر یک از این داده ها می توانید نواحی را از این فضا مشخص کنید که برای شما حالت مطلوب به حساب می آید و اگر نقطه مورد بررسی شما در این ناحیه قرار بگیرد آنگاه خرید سهام مورد نظر کاری منطقی و درست خواهد بود.
منبع مقاله :
گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصيرت، چاپ دوم