بازی و ریاضی

ب1: بازی دو نفره

یک بشقاب گرد میان خود و دوستتان و در کنارش دانه های سیب یا تکه های شیرینی یا هر چیزی که دوست دارید (برای بازی، نه برای خوردن) بگذارید. بهتر است تعداد این تکه ها 10 یا 11 قطعه ی چسبیده به هم باشد.
بازی چنین است که شما و دوستتان هر کدام به نوبت شروع به برداشتن تکه ها از کنار بشقاب کنید، به شرط آن که هر کدام در هر بار یک تکه یا دو تکه ی چسبیده و دنبال هم بردارید. برنده کسی است که آخرین تکه ( یا دو تکه ی چسبیده به هم) را بردارد. آری، کسی که نوبت آخر از آن وی باشد، بیشتر می خندد.

(رازی میان من و تو)

اگر می خواهی برنده شوی، همواره عدد زوجی از دانه ها، که به دو بخش همانند تقسیم شده، (روی خط تقارن) برای دوستت به جا بگذار؛ اگر از یک نیمه، دانه ای یا دو دانه برداشت، تو نیز همانند آن، از نیمه ی دیگر بردار.

ب 2: بازی حراج ( میان دو نفر)

آیا می دانید حراج چیست؟ حراج آن است که کالایی در معرض فروش قرار گیرد و سپس یک نفر حراج را با مبلغی، مثلاً ده درهم یا ده دینار، آغاز می کند؛ این بدان معنا است که وی 10 دینار بابت آن کالا می پردازد. آن گاه دیگری می گوید: 12 دینار، و سومی ناگهان قیمت را به 20 دینار بالا می برد و به همین ترتیب علاقه مندان به خرید آن کالا قیمت را بالا و بالاتر می برند تا این که حراج، در مقابل بالاترین نرخ پرداختی، پایان می یابد.
حالا بیایید حراج را به صورت بازی درآوریم: شما عددی را می گویید، مثلاً : سه، من می گویم: پنج؛ و شما می گویید: ده؛ من می گویم: یازده؛ و همین طور بالا می رویم. البته اضافه کردن اعداد باید بر حسب توافق قبلی باشد، مثلاً افزایش اعداد در هر بار باید یک عدد صحیح از 1 تا 5 باشد، تا این که به مرز مشخصی، مثلاً عدد پنجاه، برسیم. هرکس که زودتر به عدد مورد نظر برسد، برنده است.
این بازی را با دوست خود آزمایش کن، اگر مغلوب شدی، اشکالی ندارد، چرا که بازی برد و باخت دارد.

ب 3: بازی پسته (میان دو نفر)

در برابر شما و دوستتان یک مشت پسته قرار دارد. آن را به دو بخش نابرابر تقسیم می کنید، سپس دوستتان نیز یکی از آن دو بخش را به دو بخش نابرابر تقسیم می کند و بازی به همین صورت ادامه می یابد. نخستین کسی که نتواند تقسیم کند، بازنده است.
توجه داشته باشید هر مشتی را که یک یا دو دانه داشته باشد، نمی توان به دو بخش نابرابر تقسیم کرد.
در حالی که با دوستتان بازی می کنید، در جست و جوی راه تضمین پیروزی خود باشید. سعی کنید به تنهایی راز بازی را کشف کنید. ولی توجه داشته باشید که اگر برای دوستتان مشتی که دارای هفت دانه باشد، باقی بگذارید، پیروزی خود را درآن مشت تضمین کرده اید. چگونه؟

ب 4: بازی کتاب ها (میان دو نفر)

روی میز جلوی شما و دوستتان 50 کتاب قرار دارد که باید آن ها را به قفسه برگردانید، به شرط آن که هر کس در هر بار یک یا دو کتاب، برگرداند. برنده کسی است که آخرین نوبت از آن وی باشد.
زمزه ای در کوشی: اگر توانستی، همواره برای دوستت، تعدادی که دارای ضریب 3 باشد، مثل 45، 48، و غیره باقی بگذار.

ب 5: بُم! بُم! (بازی میان کودکان)

اجازه دهید با این داستان شروع کنیم:
ابوکامل شجاع بن اسلم، حساب دان مصری، از بزرگ ترین ریاضی دانان قرن چهارم هجری بود. پس از محمد بن موسی خوارزمی، که پایه های علم جبر را به عنوان نونهالی کاشت، ابوکامل و دیگر علمای اسلامی پس از وی، عهده دار آن شدند و آن نهال را به صورت درخت تنومندی درآوردند، که به طور محکم در زمین ریشه دوانده و شاخه هایش در آسمان شکوفا شده است و اینک داستانی درباره ابوکامل:
در کودکی زبان ابوکامل شجاع بن اسلم، می گرفت، از این رو دوستانش با نیرنگ و فریب او را وامی داشتند تا اعداد را بشمارد. وقتی می گفت: خمثه به جای خمسه، پنج، ثته به جای سته، یعنی شش؛ ثبعه به جای سبعه، یعنی هفت، تثعه به جای تسعه یعنی نه (1)، به او می خندیدند و با وی مزاح می کردند.
روزی از روزها، ابوکامل نزد دوستانش آمد، در حالی که بازی ظریفی را که به آن بازی شمارش می گفت، اختراع کرده بود. به محض این که گفت بیایید عدد بازی کنیم، همه نزد وی شتافتند، به این امید که فرصت جدیدی برای خندیدن پیش آمده است. آنان شش نفر بودند که با ابوکامل جمعاً هفت نفر می شدند. ابوکامل آن ها را در حلقه ای، آن طوری که در شکل دیده می شود قرار داد، و خودش در موضع «الف» قرار گرفت، و آنان را در موضع های ب، ج، د، هـ، و، ز قرار داد.
به آنان گفت: می شماریم، یک، دو، سه، ... به ترتیب و یکی پس از دیگری. من می گویم: یک، «ب» می گوید: دو، «ج» می گوید: سه، و به همین ترتیب. ولی هر گاه نوبت کسی مصادف شود با تلفظ عددی که در آن حرف «ح» یا «خ» باشد، نباید آن را بر زبان آورد و به جای آن می گوید: بُم بُم، و می دود و جایش را با هر کدام از ما که برگزیند، عوض می کند. مثلاً اگر «ب» جای «و» را انتخاب کرد، «وی» باید برود و در جای «ب» قرار گیرد. سپس شمارش ادامه می یابد. بدین ترتیب بازی می کردند. ابن اسلم بازی را شروع کرد، و نگفت واحد (یک)، چون حرف «ح» دارد، و به جای آن گفت: بُم بُم، و دوید به سوی «هـ» و جایش را با وی عوض کرد.
سپس شمارش ادامه یافت، «ب» گفت: دو، و «ج» گفت: سه، و «د» گفت: چهار، و نوبت به پنج (خمسه) رسید که در آن جا ابن اسلم قرار داشت، لذا گفت: بُم بُم، و دوید به سوی «د» و جایش را با وی عوض کرد. و شمارش از سر گرفته شد. «و» گقت: شش، «ز» گفت: هفت... تا این که نوبت به یازده (احد عشر) رسید که در آن جا ابن اسلم قرار داشت که گفت: بُم بُم، و دوید و مجدداً به موضع «الف» بازگشت و جایش را با وی عوض کرد. وقتی شمارش دوباره به عدد 15 (خمسه عشر) رسید، باز ابن اسلم آن جا بود و به همین ترتیب هرگاه نوبت عددی که در آن حروف «ح» یا «خ» بود، می رسید، ابن اسلم آن جا بود، و می گفت: بُم بُم، و سپس می دوید و جای دلخواه دیگری را برای خود برمی گزید، بی آن که دوستانش به رازی بازی پی ببرند.
وقتی یارانش نیرنگ وی را فهمیدند، او را بخشیدند و از مزاحمت هایی که برایش ایجاد می کردند، پوزش خواستند، وسپس بازی را به عنوان بازی ادامه دادند.
شما راه ابن اسلم را در شمارش اعداد 1 تا 50 دنبال کنید. راستی ابن اسلم چگونه جابه جا می شد، اگر دوستانش پنج نفر و او ششمین آنها بود؟

ب 6: بازی ستون ها (بازی یک نفره) (2)

در شکل سه ستون: س 1، س 2، س 3 دیده می شود که روی ستون (س 1) حلقه های الف، ب، ج، د، ... با قطرهای متفاوت قرار دارد. قطر هر حلقه از این حلقه ها نسبت به حلقه های پایین تر کوچک تر، و نسبت به حلقه های بالاتر بزرگ تر است. این ها در میان خود مخروطی را که محورش همان پایه های ستون است، تشکیل می دهند. در این جا از شما خواسته می شود که حلقه ها را از ستون س 1 به ستون س 2 یا ستون س 3 با شرایط زیر جابه جا کنید:
1- هر حلقه باید تنها در یکی از این ستون ها گذاشته شود.
2- مبادا حلقه ای را روی حلقه ی کوچکتر قرار دهید. این کار خطایی نابخشیدنی است!
راستی اگر ستون (س 1) دارای 10 حلقه بود، چند حرکت لازم بود؟
پاسخ:
اگر به راه حل پی نبردید، پاسخ را در بخش حل مسائل بیابید.

ب 7: مثلث های اقلیدسی

ابوالحسن احمد بن ابراهیم اقلیدسی دمشقی، از دانشمندان بزرگ علم حساب در قرن چهارم هجری بود. او جزء پیشتازانی بود که برای اصلاح حساب هندی تلاش کردند. حساب هندی در آن زمان بر روی تخته ای شنی صورت می گرفت، به نحوی که حسابگر هر گونه محاسبات را با انگشت روی شن ها می نوشت و آن گاه آن را پاک می کرد. اقلیدسی سعی کرد روند عملیات حساب را تغییر دهد، به طوری که این حساب ها نه با انگشت روی شن، بلکه با جوهر روی کاغذ، و بی آن که پاک شود، ثبت گردد. او مبتکر کسرهای اعشاری است، و در علم حساب دست به اکتشافات ظریفی از راه بازی با اعداد زده است. اینک به برخی از اکتشافات وی می پردازیم:

الف:

روی کاغذی نزد خود، این روند مثلثی را تا 9 سطر ادامه دهید. آیا می توانید بر آن ها چیزی بیافزایید؟
دو سطر دیگر اضافه کنید.
ج:
دو سطر دیگر اضافه کنید.

ب 8:

در ریاضیات تصاویر زیبایی دیده می شوند که چشم را نوازش می دهند، وذهن را پویا می کنند و باعث اندیشیدن می شوند که از آن جمله مثلثهای اقلیدسی است. بیایید آن ها را بررسی کنیم:
در مثلث الف، مجذور اعداد ، و ... را می بینیم.در مثلث ب، مجذور اعداد ، و ... را می بینیم..در مثلث ج، مجذور اعداد ، و .... را می بینیم.
گویا سه مثلث فوق تصاویری از یک مثلث به شرح ذیل است:
در مثلث الف x=10
در مثلث ب x=100
در مثلث ج x=1000
ثابت کنید که این خاصیت برای تمام مقادیر حقیقی x وجود دارد.
اگر
باشد، نتیجه ی کار چه خواهد بود؟
اقلیدسی مثلث زیر را به نمایش گذاشت:
در صحت این مسئله تحقیق کنید، و دو سطر دیگر به آن اضافه کنید.

ب 9:

آیا دوست دارید با اعداد، همان طوری که آنان بازی می کردند، بازی کنید؟ خوب، پس مجموع ارقام در هر سطر از مثلث های اقلیدسی را بررسی و مطالعه کنید.

چگونه به تنهایی بازی کنید؟

مادربزرگم به من گفت: وقتی تنها بازی می کنید، راضی به خانه بازمی گردید، چرا که نه برنده و نه بازنده ای در کار است. گفتم: در چنین کاری چه لذتی هست؟ شما هم خواهید گفت: چه لذتی دارد که من مثلث های اقلیدسی را دوباره خوانی و تکرار کنم؟ او با اعداد بازی کرد تا توانست راز آنها را کشف کند، من چه سودی از بازی آن ها می برم؟
در پاسخ شما به طور خلاصه می گویم: در بازی با اعداد، آن ها را مطالعه و بررسی و در ذهن خود مجسم خواهید کرد، و همانند یک ابزار عجیب و شگفت انگیز براندازشان خواهید کرد و چه بسا در این میانه چیزهایی را کشف کنید. شاید آنچه کشف کنید، دیگران پیش از شما کشف کرده باشند؛ اشکالی ندارد، چرا که شما آن را شخصاً و برای خود کشف کرده اید، و چه بسا فردا مطلبی برای تمام جهان کشف کنید.
مثلاً در مثلث:
و غیره...، ما مجموع ضریبهای هر سطر را بررسی کردیم و دیدیم که آن ها: 1، 4، 9، 16، ... یعنی مجذور اعداد هستند، آیا این عجیب و سؤال برانگیز است؟ من از خود دلیل این پدیده را پرسیدم، که پاسخی بدین شکل به نظرم رسید: اگر در این مثلث، x را مساوی با یک قرار دهم، مثلث جدیدی بدین شکل ایجاد می شود:
و به همین ترتیب...
هرگاه علت کاری روشن می شود، تعجب و شگفتی زدوده می شود.
من از این بازی راضی و خرسند بازگشتم، چرا که نه برنده ای و نه بازنده ای وجود دارد.

ب 10: مثلث کرجی

بدون شک ابوبکر محمد بن حسن کرجی از بزرگ ترین دانشمندان مسلمان در علم جبر به شمار می رود. او نویسنده ی دو کتاب الفخری و البدیع است که در آن ها علم جبر به روشن ترین و آشکارترین و کامل ترین شکل ممکن در دوره ی اسلامی، بیان شده است.
کرجی نیز شیفته ی بازی با اعداد بود، او بازی زیر را، که غربی ها به نادرست مثلث پاسکال می نامند، کشف و وضع کرد.
توجه کنید چگونه مثلث ساخته می شود:
1- با عدد 11 شروع می کنید، و میان دو مرتبه فاصله ی مضاعف می گذارید
2- مجموع دو رقم را در سطر بعدی، زیر فاصله ی میان آن دو، قرار می دهید، و در دو طرف این مجموع اعداد، عددهای 1 و 1 می گذارید و همواره میان مرتبه های حسابی دو برابر فاصله می گذارید.
3- در فاصله ی میان هر دو مرتبه، مجموع آن ها را در سطر بعدی قرار می دهید، و در دو طرف مجموع اعداد 1 و 1 را می گذارید.
4- این روند را، تا هر تعداد سطری که می خواهید، تکرار می کنید.

ب 11: دو مثلث بغدادی

ابومنصور، عبدالقاهر بن طاهر بغدادی، دانشمند بزرگ عرب از قبیله ی بنی تمیم بود، که شاعر در مورد آن ها گفته است:
إذا غضبت علیک بنو تمیم *** حسبت الناس کلهم غضاباً
اگر بنی تمیم بر تو خشم گیرند، گمان می کنید که همه ی مردم خشمگین هستند.
البته ابن طاهر بر کسی خشم نمی گرفت، بلکه وی آدم خیرخواه و نیکخواهی بود. او در جوانی بغداد را رها کرد و در نیشابور مستقر گردید، و شروع به تدریس و انفاق سخاوتمندانه بر دانشمندان و دانشجویان کرد. ابومنصور در روزگار پیری، دراثر فتنه و آشوبی که دراین شهر رخ داد، نیشابور را ترک کرد و در اسفراین رحل اقامت افکند و به استراحت پرداخت، تا این که در سال 429 هـ. ق وفات یافت. وقتی نیشابور را ترک کرد، مردمانش گفتند: از بدبختی های شهر ما است که ابن طاهر آن را ترک کند.
ابن طاهر در حساب مسلط و توانمند بود و در نظریه ی اعداد کارهای برجسته ای انجام داد. انیک از وی دو بازی با اعداد نقل می کنیم:
و به همین ترتیب، این بازی را با افزودن دو سطر دیگر کامل کنید، و از درستی آن مطمئن شوید.

ب 12:

و به همین ترتیب برای عددهای بعدی.
دو مثلث بغدادی را، برای یافتن نتایج و کشفیات جدید، مورد مطالعه ی استقرایی قرار دهید. به عنوان مثال نشان دهید که:

ب 13: داستان فیبوناچی

نام فیبوناچی، مبتکر معمای قبلی در مورد خرگوش ها و نیز چگونگی حل آن، لئوناردوی پیزایی و از مردم شهر پیزای ایتالیا بود. در سده های میانه علوم ریاضی در ایتالیا به دلیل نزدیک بودن این کشور به جهان اسلام و به ویژه سیسیل و مغرب اسلامی، رونق یافت. فیبوناچی جزو نخستین ریاضی دانان اروپایی بود که در ریاضیات سرآمد اقران گردید. وقتی پادشاه نرمانی سیسیل امپراتور فردریک، از شهرتش آگاه شد، وی را برای امتحان فراخواند، و سه سؤال از وی کرد که فیبوناچی با موفقیت به آنها پاسخ داد. پادشاه سیسیل سه پرسش خود را از کتاب های عربی استخراج کرده بود، که دو سؤال آن در کتاب کرجی قرار داشت.
از آن جا که مسئله ی تصاعدی خرگوش ها که فیبوناچی طراح آن بود، دارای اهمیت زیادی در ریاضیات است، از این رو چندین پژوهش و بررسی بر روی آن انجام گرفته است. بازی زیر براساس آن، استوار گردیده است:

بازی (میان معلم و شاگردانش)

دون کیشوت یا دون کیخوت شخصیت یک شوالیه ساده ی سده های میانه بود، که سروانتس از آن استفاده کرد تا شوالیه های سده های میانه را به باد مسخره گیرد. از این رو سروانتس شخصیت دون کیشوت را طوری طراحی کرد که او را سوار استر لنگ کرده با شمشیری چوبین به جنگ آسیاهای بادی می فرستد. دون کیشوت فکر می کند که چندین سرزمین را فتح کرده و بسیاری از معشوق ها را در کنف حمایت خود قرار داده است. کار وی مانند کارهای شعبده بازی است که گمان می کند با تردستی هایش معجزه می کند، ولی تمام مسئله این است که وی حقه یا نیرنگی را، که بر تردستی یا چشم بندی ( خطای چشم ) و یا استفاده از خاصیتی از خواص صدا یا نور، استوار است، به کار می برد که تماشاچیان به آن توجه نمی کنند. اگر خواستید، میان همکاران یا شاگردان خود، وانمود کنید که از قدرت ریاضی عظیمی برخوردار هستید، این بازی را انجام دهید، ولی اگر آن ها باور کردند، تو خود را باور نکن.
1- حاضران را دو به دو به صف کنید، و در مقابل هر دو نفر یک برگه بگذارید.
2- از هر دو نفر بخواهید روی برگه ی خویش اعداد را به ترتیب از 1 تا 10 به صورت عمودی، همانند جدول زیر، در 10 سطر بنویسند.
3- در سطر اول، یکی از دو نفر، هر عدد صحیح دلخواه خود را بنویسد (در جدول ما x نوشتیم) و در سطر دوم، دیگری هم هر عدد صحیحی که می خواهد بنویسد (در جدول ما y نوشتیم).
4- از هر دو بخواهید، دو عدد دلخواه خود را جمع کنند و مجموع را در ستون سوم قرار دهند.
5- و به همین ترتیب، اعداد دو سطر دوم و سوم را جمع کنند و مجموع آن را در سطر چهارم قرار دهند، و همین طور تا سطر دهم ادامه دهند، به نحوی که در هر سطر مجموع دو عدد سطر بالاتر را بنگارند.
6- از هر تیم دو نفره بخواهید که اعداد ده سطر را جمع کنند. دقت کنید، مجموعی که به دست آوردیم برابر است با (55x+88y) و این مساوی است با 11 برابر عدد سطر هفتم این مجموعه.
از این نتیجه گیری برای فریب دادن آن ها استفاده کنید، پیش از آن که آنان از جمع کردن خود پایان یابند، از میانشان عبور کنید و چنان وانمود کنید که دیر کردند، و نگاهی به سطر هفتم بیاندازید، و آن را به طور ذهنی در 11 ضرب کنید، و نتیجه را در گوشه ی برگه بنویسید و ادعا کنید که ده عدد را با یک نگاه جمع کردید.
چنین بازی ای ممکن است سرگرم کننده باشد، به ویژه هنگامی که رازی بازی برای بازیکنان فاش شود، ولی عیب آن مانند عیب بسیاری از کارهای آماتورها، در این است که امکان دارد خود بازیکن این مسئله را باور کند، همان طوری که ملانصرالدین دروغش را به کودکان، که در خانه ای نزدیک آنها ولیمه برپاست باور کرد. آیان این داستان ملانصرالدین را می دانید؟ اگر آن را نمی دانید از پدرتان بپرسید.

ب 14: بازی دیگر

آیا از ترفند شعبده باز خوشتان آمد؟ اینک یک بازی دیگر: به دوستان خود بگویید: هر کدام عدد صحیحی را در نظر بگیرند، و آن را روی کاغذی بنویسند و سپس از آنان بخواهید که عدد مورد نظر را در هزار ضرب کرده و نتیجه آن را با عدد دلخواه اولیه جمع کنند. مثلاً اگر دوست شما عدد 7 را در نظر گرفت باید آن را با عدد 7000 جمع کند، و اگر عدد 325 را در نظر داشته باید به آن عدد 325000 را اضافه کند، و به همین ترتیب. آن گاه به آنان بگویید: من می توانم عدد مورد نظر شما را بدون نگاه کردن به آن، حدس بزنم. عدد دلخواه شما بر 7 بخش پذیر است، آن را تقسیم کنید. و حالا با یک آه کشیده بگویید: وای خدای من!! می بینم بر 13 هم بخش پذیر است. آن را نیز تقسیم کنید. وقتی این کار را انجام دادند، بگویید: اینک به هر کدام از شما عدد مورد نظرتان بازگشته است.
پس از آن که اثر شوک و حالت گیجی و شگفتی از دوستان برطرف شد، بگویید: صبر کنید، من جادوگر نیستم، و فکر شما ها را هم نمی توانم بخوانم، اما من با ویژگی های حساب آشنا هستم. حالا بیایید راز مسئله را کشف کنیم. خوب چه کاری کردید؟ عددی مثلاً X را فرض کردید، سپس به آن عدد 1000X را افزودید، که مجموع 1001X شد. حال اگر بدانیم 1001=7×11×13، است شگفتی و تعجب از بین می رود.

ب 15: بازی با مربع های جادویی

این عنوان تو را فریب ندهد، جادویی درکار نیست، آنچه در این جا می بینی، جادو نیست. به مربع ABCD نگاه کن، آن یک مربع 9 خانه ای (3×3) است که در هر خانه ی آن عددی از 1 تا 9 قرار دارد. اما این اعداد به طرز شگفت انگیزی میان خانه های این مربع پخش شده است، چراکه مجموع ارقام هر سطر با مجموع ارقام هر ستون و نیز با مجموع ارقام هر قطر آن، همگی برابر و مساوی با عدد 15 می باشد.
در حالی که ما این ترتیب اعداد را امری عجیب و شگفت انگیز می دانیم، چینی های کهن آن را مقدس می شمردند. بنابر برخی افسانه های چینی، این مربع (با ارقام چینی) بر پشت لاک پشتی دیده شده است، و به همین خاطر لاک پشت ها عمر طولانی می کنند. فال گیرها همواره و همه جا برای این مربع قدرت جادویی قائل بودند، و آن را به صورت طلسم می نوشتند تا بیماران شفا یابند، غایبان بازگردند، کودکان عمر دراز داشته باشند، خانم های باردار راحت وضع حمل کنند، و زنان نازا بارور شوند. این اعتقاد به جایی رسیده بود که امپراتور چین آن را در سقف تالار سلطنتی نقش کرده بود تا وی را از دشمنانش محافظت کند.
اندیشه ی مربع های جادویی به عرب ها نیز منتقل گردید، و آن را «اوفاق» نامیدند، به گمان این که مربع ها وفق دهنده هستند و می توانند میان طرفین دعوا، صلح و وفاق و آشتی ایجاد کنند و یا این که انسان را در کارش، و مسافر را در مأموریتش و بشر را در کسب حلال، موفق سازند.
عرب ها بدین شکل مربع ها را به کار بردند، ولی برخی حسابدانان آن ها را از دید ریاضی مورد بحث و بررسی قرار دادند و راه های ایجاد مربع های سه گانه، چهارگانه، پنج گانه و بالاتر را بیان کردند. ما تعدادی از این راه و روش را به شما نشان خواهیم داد، ولی پیش از آن باید بگویم که مربع سابق میتواند به صورت های مختلفی دربیاید، مثلاٌ می توانید ستون ها را به شکل سطر و سطرها را به صورت ستون درآورید، که این کار با چرخاندن مربع به اندازه ی 90 درجه حول یکی از چهارگوشه های آن، و یا با قرینه یابی مربع نسبت به هرکدام از اضلاعش، انجام می شود. همچنین ممکن است عدد ثابتی را بر اعداد موجود در هر خانه از خانه های مربع اضافه کنیم. مثلاً اگر مربع را با اعدادی از 11 تا 19 پر کنید، یا قرینه ی آن را نسبت به خطی موازی با یکی از دو قطرش بیابید، در این صورت مربع به صورتی در می آید که گویا سطرها به ستون و ستون ها به سطر تبدیل شده است.
بنابراین، حالت های مربع جادویی زیاد است، و لذا راه حل های آن نیز بسیار زیاد می باشد. این بدان معناست که برای کشیدن هر مربع جادویی چندین راه و روش وجود دارد. ما تنها یک روش آن را به شما نشان می دهیم و دیگر بقیه ی کار با خود شماست.

ب 16:

مربع سابق را به شکل های مختلف بکشید، مثلاً با تغییر دادن سطرها به جای ستون ها ( سطرهای افقی با عمودی )، و با چرخاندن مربع دور گوشه ی A، و قرینه یابی حول یکی از ضلع های آن، حالت های مختلفی به وجود می آید. حال ببینید تعداد مربع های مختلفی که می توان از این مربع استخراج کرد، چقدر است.

ب 17: بازی مربع های فرد

مربع های فرد عبارت است از مربع های 3×3 یا یا 5×5 یا 7×7 و همانند آن ها. در این جا ما مربع 5×5 را، به عنوان نمونه جهت ارائه ی کار، انتخاب می کنیم.
این مربع دربرگیرنده ی اعداد 1 تا 25 است. اجازه دهید آن ها در پنج مجموعه به صورت زیر قرار دهیم:
1) 1، 2، 3، 4، 5
2) 6، 7، 8، 9، 10
3) 11، 12، 13، 14، 15
4) 16، 17، 18، 19، 20
5) 21، 22، 23، 24، 25
اعداد مجموعه های وسط روی قطر DB از D تا B گذاشته می شود. برای پخش کردن اعداد سایر مجموعه ها، باید نکات زیر را بدانیم:
الف):
1- مجموعه ی نخست، اولش 1، میانه اش 3، و آخرش 5 می باشد.
2- مجموعه ی دوم، اولش 6 میانه اش 8، و آخرش 10 می باشد.
3- مجموعه ی سوم، اولش 11، میانه اش 13، و آخرش 15 می باشد.
4- مجموعه ی چهارم، اولش 16، میانه اش 18، و آخرش 20 می باشد.
5- مجموعه ی پنجم، اولش 21، میانه اش 23، و آخرش 25 می باشد.
ب)
اعداد اول این مجموعه ها روی خط FEکه با قطر AC موازی است، قرار می گیرند. در عدد اول، یعنی 1 و 6 از نیمه ی خط FE به پایین و دو عدد دیگر، یعنی 16 و 21، از نیمه ی خط FE به بالا قرار می گیرند.
ج)
اعداد میانه ی این مجموعه ها، روی قطر AC، نیمه ی اول از A به پایین و نیمه ی دوم از C به بالا، قرار می گیرند.
د)
اعداد آخر مجموعه ها، زیر اعداد اول مجموعه ها، به طور اریبی ( قطری ) قرار می گیرند.
ه)
مجموعه های 1، 2، 3، 4، 5 را دنبال کنید تا ببینید چگونه در خانه ها جابه جا می شوید. محل عدد اول آن یعنی 1 را شناختید، پس عدد 2 اگر ممکن باشد بالای آن به طور قطری، قرار دارد. اگر به ضلع چپ مربع رسیدید، به ضلع دست راست بروید، و سپس به حالت قطری (اریبی) به سمت بالا بروید، و هر گاه به ضلع بالا رسیدید، به پایین بروید و بدین ترتیب تا آخر.
از دادن شرح و تفصیل اضافی خودداری می کنم و به جای آن مربع 9×9 را برایتان می کشم تا اصول و قواعد چیدن اعداد روی آن را، به اجرا دربیاورید. اگر بازی را خوب یاد گرفتید، مربع های سه گانه و پنج گانه و هفت گانه را روی کاغدی بکشید.

ب 18: بازی مربع های زوج

مربع های زوج عبارت است از مربع های 2×2، 4×4، 6×6، و همانند آن ها، روشن است که نمی توان یک مربع جادویی 2×2 ایجاد کرد، چون اگر مربع مذکور یک مربع جادویی باشد، باید:
A+B=A+D=A+C=C+D
و این امر مستلزم آن است که A=B=C=D باشد.
با توجه به معادل های فوق، این مربع جادویی از اعداد مختلفی چون 1، 2، 3، 4، از اعداد 1، 2، ...، 16 ایجاد کرد که مجموع این اعداد مساوی است با:
و مجموع هر سطر از چهار سطر مربع برابر است با:
مربع جادویی 4×4 بر اساس اقدام های مشخصی شکل می گیرد. این اقدام ها بدین ترتیب است:
1- اعداد 1 تا 8 را در 4 گروه، که مجموع هر کدام آن ها 9 باشد. به صورت (8،1)، (7،2)، (6،3)، (5،4) قرار دهید. هر گروهی از این چهار گروه، باید در سطری از چهار سطر مربع قرار گیرد.
2- این گروه ها، به طور متعادل و متوازن، در ستون ها پخش می شوند. تقسیم آن ها در ستون ها به یکی از سه روش زیر انجام می گیرد:
هر کدام از این دسته بندی ها یک حالت متوان به شمار می رود، چون مجموع اعداد در ستون ها، به صورت عددهای 10،8،10،8 یا 11،7،11،7 یا 13،5،13،5 است.
3- اینک گروه الف را در نظر می گیریم:
آنچه را که در مورد این گروه می گوییم، می توان راجع به دو گروه «ب» و «ج» نیز گفت. اکنون آنچه خواسته می شود، پخش می شود، پخش کردن این اعداد در خانه های مربع است: ما اعداد 8،1 را در یکی از حالت های بیان شده در شکل های زیر قرار می دهیم:
و در وضعیتی مشابه، اعداد 2،7 را به نحوی که 1 و 7 در یک ستون و 8 و 2 در ستون دیگری باشند، به همان صورتی که می بینید، اضافه می کنیم.
دو ستون دیگر می ماند که در یکی از آن ها در ستون ها متناوباً 10،8،108 باشد.
توجه داشته باشید که در هر سطر، دو عدد قرار دارد که مجموع آن ها 9 می باشد، و در هر ستون، دو عدد هست که مجموع آن ها 10،8،10،8 یا 8،10،8،10 می باشد.
4- همچنین توجه داشته باشید که اگر شما هر یک از این اعداد را در نظر بگیرید، خواهید دید که خانه ی سوم درامتداد قطر آن خالی است و عددی در آن نیست. عرب ها این خانه را « بیت الفیل » ( خانه ی فیل ) نامیدند. در مربع اول شکل پیشین، می بینیم عدد 1 و خانه ی فیلش که میان دو خانه 5،3 قرار دارد خالی است.
حالی در خانه ی فیل هر عدد، عددی را بگذارید که مجموع آن دو را به 17 (نیم مجموع هر سطر که معادل 34 است) برسد. در خانه ی فیل 1 عدد (1-17) را می گذاریم، و در خانه ی فیل 8 عدد (8-17) را قرار می دهیم، و به همین ترتیب تا آخر، یک مربع جادویی برایمان تشکیل شود که میان ما سازش ایجاد کند.
اما یادآوری می کنم که هر کدام از مربع هایی که می کشید، ممکن است از آن چند مربع به وجود آید، که به نظر می رسد با نخستین تفاوت های زیادی دارند.

راه حل ها:

ب 6: بازی ستون ها

برای جابه جایی حلقه ی اول «د»، آن را از ستون «س 1» بر می داریم و در ستون «س 2» قرار می دهیم. این یک حرکت. و برای جابه جایی حلقه ی دوم «ج» آن را از ستون «س 1» بر می داریم و در ستون «س 3» قرار می دهیم. سپس حلقه ی «د» را از ستون «س 2» بر می داریم و به ستون «س 3» منتقل می کنیم تا بالای حلقه ی «ج» قرار گیرد. این هم دو حرکت که مجموع آن ها (2+1) حرکت شد.
آن گاه حلقه ی «ب» را از ستون «س 1» به ستون «س 2» منتقل می کنیم، که این یک حرکت، و سپس حلقه ی «د» را از ستون «س 3» به «س 1» منتقل می کنیم، که این دومین حرکت است، و بعد حلقه ی «ج» را از ستون «س 3» به ستون «س 2» منتقل می کنیم و بالای حلقه ی «ب» قرار می دهیم، که این سومین حرکت است و آن گاه حلقه ی «د» را از ستون «س 1» به «س 2» منتقل می کنیم و بالای حلقه ی «ج» قرار می دهیم که این هم چهارمین حرکت است.
بنابراین، مجموع حرکت های لازم برای جا به جایی حلقه های «ب»، «ج»، «د» جمعاً (1+2+4) حرکت می باشد.
حالا در ستون «س 1» حلقه ی «الف» قرار دارد، در حالی که در ستون «س 2» حلقه های «ب»، «ج»، «د» قرار دارند. آنچه اکنون نیاز است، جابه جا کردن حلقه های «الف» است تا حلقه های «الف»، «ب»، «ج»، «د»، در دیگر ستون قرار گیرند.
1. حلقه ی «الف» را به ستون «س 3» منتقل می کنیم، این اولین حرکت.
2. حلقه ی «د» را به ستون «س 3» منتقل می کنیم، این دومین حرکت.
3. حلقه ی «ج» را به ستون «س 1» منتقل می کنیم، این سومین حرکت.
4. حلقه ی «د» را به ستون «س 1» منتقل می کنیم، این چهارمین حرکت.
5. حلقه ی «ب» را به ستون «س 3» منتقل می کنیم، این پنجمین حرکت.
6. حلقه ی «د» را به ستون «س 2» منتقل می کنیم، این ششمین حرکت.
7. حلقه ی «ج» را به ستون «س 3» منتقل می کنیم، این هفتمین حرکت.
8. حلقه ی «د» را به ستون «س 3» منتقل می کنیم، این هشتمین حرکت.
پس برای جابه جایی حلقه های «الف» هشت حرکت لازم است. و برای جابه جایی حلقه های «الف»، «ب»، «ج»، «د» جمعا ً حرکت لازم است. و به عنوان مثال، برای جابه جایی 10 حلقه نیاز به حرکت است.

نکته ی ظریف

اگر در ستون اساساً 64 حلقه بود، برای جابه جایی آن ها نیاز به
حرکت بود و آن معادل
حرکت است. اگر هر حرکت یک ثانیه وقت بگیرد، در این صورت زمان انتقال آن ها برابر است با
ثانیه است. اگر از این یک ثانیه بگذریم، باید بگوییم که زمان جابه جایی، تنها
ثانیه ی ناقابل طول می کشد.
اگر بگویم این مدت درازتر از عمر انسان بر روی کره ی خاکی است حرف مرا تأیید می کنید؟ بیایید بشماریم هر قرن چند ثانیه است: هر قرن 100 سال، هر سال 365 روز، هر روز 24 ساعت، هر ساعت 60 دقیقه، هر دقیقه 60 ثانیه است. بنابراین، هر قرن مساوی با (100×365×24×60×60) ثانیه است.
برای آسان کردن حساب ها می خواهم سالی طولانی تر از سال معمولی برگزینم. این سال معادل 384 روز می باشد. بدین ترتیب یک قرن مساوی با (100×384×24×60×60) ثانیه است. این قرن نسبت به قرن های معمولی بزرگ تر است. بنابراین، تعداد قرن های بزرگ در
معادل است با:
که پرانتز اخیر منتج به (
) می شود. بنابراین، مقدار فوق مساوی است با:
وقتی

پس
لذا زمان مورد نیاز بر اساس قرن های بزرگ بیش از قرن است. مهم نیست که این زمان چقدر است، فقط کافی است بدانید برابر با 1600 میلیون سال است.
اگر فرض کنیم یک میلیارد معادل هزار میلیون است، پس
ثانیه مساوی با بیش از 5/5 میلیارد قرن از قرون بزرگ است. ماشاء الله!!

پي‌نوشت‌ها:

1- او در واقع حرف سین را ث تلفظ می کرد و از این رو باعث خنده ی دیگران می شد.
2- این سرگرمی ریاضی به برج هانوی (Hanii Tower) معروف است. - م.

منبع مقاله :
سعيدان، احمد سليم؛ (1383)، لذت انديشه ي رياضي: پرسش ها، معماها و بازي هاي رياضي براي کودکان و بزرگسالان، ترجمه ستار عودي، تهران: شرکت انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ دوم