اقتصاد اطلاعاتی (3)

تعادل ادغام شونده

یادآوری می كنیم كه تعادل وقتی ادغام شونده است كه دو نوع از مشتریان بیمه نامه ی یكسانی را پیشنهاد دهند. با انجام این كار، شركت بیمه نمی تواند تفاوتی میان آنها قائل شود. درنتیجه، با مشتری با ریسك پایین مشابه با مشتری با ریسك بالا رفتار می شود و برعكس. این منصفانه است كه بگوییم كه در یك چنین تعادلی، مشتری با ریسك بالا رفتار مشتری با ریسك پایین را تقلید می كند.
برای شناسایی تعادل ادغام شونده، ابتدا بیایید رفتار شركت بیمه را در نظر بگیریم. اگر هر دو مشتری بیمه نامه ی یكسانی را در حالت تعادل پیشنهاد دهند، پس شركت بیمه با شنیدن پیشنهادها، هیچ چیزی در مورد احتمال تصادف مشتری یاد نمی گیرد. در نتیجه اگر پیشنهاد (B,p) باشد، پس مقبولیت آن می تواند منجر به این شود كه شركت بیمه منفعت مورد انتظاری برابر با:

بدست آورد كه در اینجا، یادآوری می كنم كه α احتمالی است كه در آن مشتری یك مشتری با ریسك پایین است.
پس
می باشد.
پس بیمه نامه در صورتی پذیرفته خواهد شد كه و در صورتی رد خواهد شد كه p<(πB) ̂باشد و شركت بیمه میان رد و قبول مردد است اگر باشد.
از اینرو، گروه بیمه نامه ی (B,p) كه رابطه ی را ارضا می كند، یك بخش مهم از آنالیز تعادل ادغام شونده را ایجاد می كند. شكل 1 یك چنین بیمه نامه هایی را به تصویر كشیده است. آنها برروی یك خط قرارگرفته اند كه در اصل خط منفعت صفر ادغام شونده، نامیده می شوند.
حال فرض كنید كه(B,p) پیشنهاد تعادل ادغام شونده است. با توجه به قیاس منطقی بالا، ما باید موارد زیر را داشته باشیم:

و

علاوه بر این، وقتی بحث قیاس منطقی را دنبال می كند، این بیمه نامه باید بوسیله ی شركت بیمه پذیرفته شود. بنابراین، این بیمه نامه ها بالا یا بر روی خط منفعت صفر ادغام شونده، قرار گرفته اند، بنابراین، ما باید مورد زیر را داشته باشیم:

بیمه نامه هایی كه سه نامعادله ی قبلی را ارضا می كنند، بوسیله ی ناحیه ی هاشوردار در شكل 2 نشان داده شده است. ما اكنون نشان می دهیم كه این بیمه نامه ها، بیمه نامه هایی هستند كه می توانند به عنوان خروجی تعادل ادغام شونده، بوجود آیند.

قضیه

شناسایی تعادل ادغام شونده

بیمه نامه ی یك خروجی در برخی از تعادل های ادغام شونده است اگر و تنها اگر، این بیمه نامه نامساوی های بالا را ارضا می کند.

اثبات:

بحث قبلی در مورد عبارت قضیه نشان می دهد كه باید معادلات بالارا ارضا كند تا بدین نحو خروجی برخی از تعادل های ادغام شونده شود. بنابراین این كافی است كه عكس قضیه به اثبات برسد.
فرض كنید كه رابطه های معادلات بالا را ارضا كند. ما باید اعتقادات را تعریف كنیم و یك استراتژی برای شركت بیمه تعریف كنیم به نحوی كهشامل یك تعادل پی در پی باشند.
ما اثبات قضیه ی بالا را با انتخاب این توابع دنبال می كنیم:
بنابراین، مشابه اثبات قضیه ی بالا، شركت بیمه هر انحراف را از پیشنهاد تعادلی در نظر می گیرد كه از مشتری با ریسك بالا، حاصل شده است. در نتیجه، این ماكزیمم كردن سود است كه برای پذیرش پیشنهاد استفاده می شود اگر و تنها اگر باشد (مشابه تعیین ).
به عبارت دیگر، وقتی بیمه ی تعادلی () پیشنهاد می شود، قانون Bayes نیازمند این مسئله است كه اعتقادات شركت بیمه تغییر نكنند زیرا این پیشنهاد بوسیله ی دو نوع مشتری ارائه شده است. به دلیل اینكهاست، این اعتقادات در حقیقت قانون Bayes را ارضا نمی كند. و با داشتن این اعتقادات، ماكزیمم شدن منفعت است كه در تصمیم گیری برای پذیرش بیمه نامه اثر دارد زیرا با در نظر گرفتن عبارت بالا، این منفعت ها به منفعتی غیر منفی تبدیل می شود.
بنابراین، اعتقادات شركت بیمه قانون Bayes را ارضا می كند و با داشتن این اعتقادات، این ماكزیمم شدن منفعت های مورد انتظار است كه موجب تصمیم گیری در مورد پیشنهاد بیمه نامه ی ها می شود. هنوز این مانده كه نشان دهیم دو نوع مشتری چگونه مطلوبیت خود را در مورد یك استراتژی بیمه نامه ای، ماكزیمم می كنند.
با پیشنهاد ، مشتری (با ریسك پایین یا بالا) بیمه نامه ی را دریافت می كند. با برگشتن به ، مشتری بیمه نامه ی (0,0) را دریافت می كند اگر شركت بیمه پیشنهاد را رد كند و بیمه نامه ی (B,p) را دریافت می كند(یعنی اگر باشد) اگر شركت پیشنهاد را قبول كند (یعنی اگر باشد). بنابراین پیشنهاد دادن برای هر نوع ریسك با i=1,h بهینه است اگر

و برای هر ،
.
اما این نامساوی ها كه از رابطه ی بالا حاصل شده اند (شكل 2 را ببینید). بنابراین، یك تعادل پی در پی است.
همانگونه كه در شكل 2 مشاهده می شود، به طور بالقوه، تعادل های ادغام شونده ی بسیاری وجود دارد. این آموزنده است كه نحوه ی اثر تعادل ادغام شونده بر روی تغییرات ایجاد شده در احتمال α (برای مشتری با ریسك پایین) را در نظر بگیریم.
وقتی α كاهش می یابد، ناحیه ی هاشوردار در شكل 2 انقباض پیدا می كند زیرا شیب منفعت صفر ادغام شدن افزایش می یابد در حالی كه همه ی چیزهای دیگر در این شكل ثابت باقی می ماند. سرانجام، ناحیه ی هاشوردار ناپدید می شود. بنابراین، اگر احتمال اینكه مشتری با ریسك بالا باشد، به اندازه ی كافی بالا باشد، تعادل ادغام شونده ای وجود ندارد.
وقتی α افزایش می یابد، ناحیه ی هاشور خورده در شكل 2 منبسط می شود زیرا شیب خط منفعت صفر ادغام شونده، كاهش می یابد. شكل 3 نشان می دهد كه وقتی α به اندازه كافی بزرگ باشد، تعادل ادغام شونده ای وجود دارد كه در آن، هر دو مشتری حالت بهتری نسبت به حالتی پیدا می كنند كه در تعادل جداشونده، بدست آورند. این مسئله برای مشتری های با ریسك بالا شگفت انگیز نیست. دلیل این مسئله این است كه برای مشتری با ریسك پایین جداسازی خود از مشتری با ریسك بالا، هزینه بر است.
جدسازی مؤثرنیازمند این است كه مشتری با ریسك پایین بیمه نامه ای را انتخاب كند كه مشتری با ریسك بالا آن را به ψ_h^c ترجیح نمی دهد. این مسئله موجب محدود شدن انتخاب مشتری و در حقیقت، كاهش مطلوبیت او را می كاهد. این كاهش به زیر سطحی می رسد كه او می تواند درغیاب مشتری با ریسك بالا بدست آید. وقتی α به اندازه ی كافی بالا باشد و تعادل ضعیف باشد، این بیشتر محتمل است كه مشتری با ریسك بالا حضور نداشته باشد. هزینه ی ادغام مشتری با ریسك پایین سپس به سادگی برابر است با هزینه ی نهایی بر واحد منفعت (معمولاً . در بالا این هزینه است كه او می تواند پرداخت انجام دهد، اگر نوع ریسك او شناخته شود (یعنی ). این هزینه وقتی α به سمت 1 حركت كند، ناپدید می شود.
خواننده ممكن است به این نكته توجه كنند كه در اثبات های تئوری های بالا ، اجزای معمولی و نه جذاب وجود داشته است. درهرمورد، وقتی یك ارزیابی تعادلی ساخته شود، اعتقادات تخصیص یافته برای شركت بیمه تا اندازه ای كران دار است.
یاداوری می كنیم كه در هر دو اثبات، اعتقادات شركت بیمه به نحوی ایجاد می شود كه هر انحراف از تعادل به عنوان پیشنهاد ارائه شده بوسیله ی مشتری با ریسك بالا، تفسیر می شود. اگرچه ظاهراً چیزی غیرصحیح درمورد این موضوع وجود ندارد، این مسئله احتمالاً ارزشمند است كه به عقلانی بودن یك چنین اعتقاداتی فكركنیم.
بیایید قبل از اینكه ادامه دهیم، در این مورد شفاف سازی كنیم. اعتقادات ایجاد شده در اثبات های مربوط به قضایای بالا به طور كامل با تعریف ما در مورد یك تعادل پی در پی (برای بازی علامت دهی بیمه) تطابق دارند. چیزی كه ما قصد داریم در مورد آن صحبت كنیم، این است كه آیا ما مایل هستیم تا محدودیت های بیشتری بر روی مزیت های شركت بیمه اعمال كنیم یا نه!

شفاف سازی

آیا اعتقادات تخصیص یافته برای شركت بیمه، در اثبات های ارائه شده در قضیه ی بالا ، اعتقاداتی عقلانی است؟ برای دیدن اینكه آیا این اعتقادات عقلانی است یا نه؟، یك بیمه نامه ی تعادلی ادغام شونده نمونه وار را كه در شكل 4 نشان داده شده است، را در نظر بگیرید.
با توجه به تعادل ساخته شده در اثبات تئوری قبل (كه در آن، مشتری بیمه نامه ای غیر از بیمه نامه ی را در نظر گرفته است)، شركت بیمه اعتقاد دارد كه مشتری درای احتمال تصادف بالایی است و پیشنهاد را رد می كند. اما آیا یك چنین اعتقادی در سایه ی تعادل حس می شود یا نه؟ توجه كنید كه با پیشنهاد بیمه نامه ی ، مشتری با ریسك پایین بیمه نامه ی و مشتری با ریسك بالا بیمه نامه ی را دریافت می كند.
علاوه بر این، و است. بنابراین، خواه شركت بیمه یك پیشنهاد را بپذیرد یا رد كند، مشتری با ریسك بالا قبول این بیمه نامه را بدتر از پذیرش پیشنهاد تعادلی می داند. به عبارت دیگر، اگر شركت بیمه پیشنهاد را بپذیرد، مشتری با ریسك پایین پذیرش آن را بهتر از پذیرش پیشنهاد تعادلی می داند. به طور مشابه، تنها مشتری با ریسك پایین دارای محرك برای اتخاذ پیشنهاد است. و این نشان می دهد كه یك پیشنهاد تعادلی است.
با در نظر گرفتن این موضوع، این مسئله برای شركت بیمه غیر منطقی به نظر می رسد كه اعتقاده داشته باشد، بعد از دیدن پیشنهاد ، این شركت با مشتری با ریسك بالا روبرو می شود. در حقیقت، این مسئله منطقی تر به نظر می رسد كه براین نكته پافشاری شود كه این شركت با یك مشتری با ریسك پایین روبروست. با توجه به این موضوع، ما باید محدودیت های زیر را بر روی اعتقادات شركت بیمه اضافه كنیم. این مسئله بر روی تمام تعادل پی در پی اعمال می شود (نه تنها برای آن دسته ای كه ادغام شونده هستند).

تعریف

یك معیار شهودی (Criterion Equilibrium)

یك تعادل پی در پی ، كه به ترتیب منجر به ایجاد مطلوبیت های تعادلی و در مشتری با ریسك پایین و بالا می شود، معیار شهودی را ارضا می كند اگر شرایط زیر برای هر بیمه نامه ی یا وجود داشته باشد:
اگر و باشد، پس، احتمال یك را بر اساس نوع ریسك ایجاد می كند، بنابراین،
محدود كردن توجهات به سمت تعادل پی در پی كه معیار شهودی را به طور چشمگیر ارضا می كند، موجب كاهش گروه بیمه نامه های تعادلی می شود. در حقیقت، ما با قضیه ی زیر روبرو هستیم:

قضیه

تعادل معیار شهودی

یك جفت از بیمه نامه های منفرد وجود دارد كه می تواند بوسیله ی یك تعادل پی در پی تحت حمایت قرار گیرد. این تعادل معیارشهودی را ارضا می كند. علاوه براین، این تعادل بهتریت تعادل جداشونده برای مشتری با ریسك پایین است ( یعنی است).

اثبات

ما ابتدا استدلال می كنیم كه هیچ تعادل ادغام شونده ای وجود ندارد كه بتواند معیار شهودی را ارضا كند. در واقع، ما هم اكنون این كار را در بحث خود كه در شكل 4 آورده شده است، انجام دادیم. در آنجا ما استدلال كردیم كه اگر یك خروجی از تعادل ادغام شونده باشد، پس یك بیمه نامه ی وجود دارد كه تنها بوسیله ی مشتری با ریسك پایین ترجیح داده می شود. علاوه بر این، این بیمه نامه به طور اكید بالای خط منفعت صفر در ریسك پایین قرار دارد (شكل 4). در نتیجه اگر مشتری با ریسك پایین این پیشنهاد را ارائه دهد و معیار شهودی ارضا شود، شركت بیمه باید این اعتقاد را داشته باشد كه با مشتری با ریسك پایین روبرو می شود. به دلیل اینكه به طوراكید در بالای خط منفعت صفر در ریسك پایین، قرار گرفته است، شركت بیمه باید آن را بپذیرد. اما این بدین معناست كه مشتری با ریسك پایین می تواند بازده خود را با انحراف از به بهبود یابد. این تناقض این ادعا را بیان می كند كه هیچ تعادل ادغام شونده ای وجود ندارد كه معیار شهودی را ارضا كند.
حال فرض كنید كه یك تعادل جداشونده است كه معیار شهودی را ارضا می كند. پس، با توجه به قیاس منطقی 1.8، پیشنهاد مشتری با ریسك بالا باید بوسیله ی شركت بیمه مورد قبول قرار گیرد و مطلوبیت تعادلی () باید حداقل برابر با u_h^c باشد (شكل 5 را ببینید).
بعد از آن، رویه ی تناقض را تصور كنید. دراین رویه، مطلوبیت تعادلی مشتری (u_I^*) در رابطه ی صدق می كند. حال اگر و در نظر بگیرید كه پیشنهاد برای ε مثبت و كوچك در نظر بگیرید. بنابراین، به دلیل پیوسته بودن ، نامساوی های زیر برای ε به اندازه ی كافی كوچك، صدق می كند (شكل 5 را ببینید).
دو نامساوی اول به همراه معیار شهودی بر این دلالت دارد كه در هنگام دیدن ψ_I^ε، شركت بیمه اعتقاده دارد كه این شركت با یك مشتری با ریسك پایین مواجه می شود. نامساوی سوم به همراه خاصیت منطقی منتج شده از این ارزیابی، بر این دلالت دارد كه شركت بیمه باید پیشنهاد را بپذیرد زیرا این بیمه نامه منفعت های مورد انتظار مثبتی را ایجاد می كند.
از اینرو، مشتری با ریسك پایین می تواند مطلوبیت را از طریق بیمه نامه ی پیشنهاد شده ی دریافت كند. اما سپس نمی تواند موجب پدید آمدن مطلوبیت تعادلی برای مشتری با ریسك پایین شود. این تناقض این استدلال را بوجود می آورد كه مطلوبیت تعادلی مشتری با ریسك پایین باید حداقل برابر با باشد. بنابراین، ما نشان خواهیم داد كه مطلوبیت های تعادلی دو نوع مشتری باید روابط زیر را ارضا كند:
و

حال، این نامساوی ها بر این دلالت دارد كه پیشنهادهای ارائه شده بوسیله ی دو نوع مشتری بوسیله ی شركت بیمه پذیرفته می شود. در نتیجه، فرض های فرضیه ی بالا ارضا می شوند. اما با توجه به قضیه ی بالا، این دو نامساوی می تواند یك تعادل پی در پی را حفظ كنند، تنها اگر

این مسئله باقی ماند كه نشان دهیم، یك تعادل جداشونده وجود دارد كه باید معیار شهودی را ارضا كند. ما اكنون این مورد را نیز نشان می دهیم.
دررابطه ی را در نظر بگیرید. برای تعریف اعتقادات شركت بیمه (β(0)) به صورتی كه بتوان آن را با معیارشهودی مقایسه كرد، گروه بیمه نامه های زیر را در نظربگیرید (شكل 6 را ببینید)

این گروه، گروهی از بیمه نامه هاست كه تنها مشتری با ریسك پایین ترجیح می دهد آن را به عنوان بیمه نامه ی تعادلی مورد استفاده قرار گیرد. ما اكنون و را به صورت زیر تعریف می كنیم:
این آسان است كه بررسی كنیم كه با وجود این انقباض، این اعتقادات معیار شهودی را ارضا می كند. علاوه بر این، یك فرد می تواند واقعاً از بخش مربوطه در اثبات قضیه ی بالا تقلید كند و بوسیله ی آن بررسی كند كه آیا در تعادل جداشونده واقع شده اند یا نه!
موجه بودن ذاتی یك محدودیت اضافی در اعتقادات شركت بیمه كه به طور ضمنی درمعیار شهودی وجود دارد، پیشنهاد می دهد كه تعادل جداشونده كه بهترین مورد برای مشتری با ریسك پایین است، شاید محتمل ترین خروجی در بازی علامت دهی باشد. همانگونه كه ما قبلاً صحبت كردیم، این خروجی خاص تحت اطلاعات غیرمتقارن می تواند بهتر از خروجی رقابتی كار كند. بنابراین، علامت دهی در حقیقت یكی از راه های بهبود بهره وری این بازار است.
یك راه دیگر برای بهبود بهره وری خروجی های رقابتی تحت اطلاعات غیر متقارن وجود دارد. در حقیقت، در بازار بیمه ی واقعی، این راه جایگزین بهتر عمل می كند.