تارسكی، آلفرت

[ālfret tārski]
Alfred Tarski
(ت. ورشو، لهستان، 24 دی 1279/ 14 ژانویه‌ی 1901؛ و. بركلی، كلیفارنیا [كالیفرنیا]، 5 آبان 1362/ 27 اكتبر 1983)، منطق ریاضی، نظریه‌ی مجموعه‌ها، جبر.
تارسكی، كه هم به عنوان ریاضیدان و هم به عنوان فیلسوف پرورده شده بود، پیوندهای متقابلی میان حوزه‌های گوناگون ریاضیات از قبیل منطق، جبر، نظریه‌ی مجموعه ها، و نظریه‌ی اندازه كشف كرد. او به معناشناسیِ منطق ریاضی وضوح و دقت بخشید، و در اجرای این كار برای مفهومهای مربوط به معناشناسی، نظیر حقیقت و تعریف پذیری، كه در اثر باطلنما (پارادوْكس)‌های منطقی از اعتبار افتاده بودند، اعتبار و توجیه قانونی فراهم ساخت. تارسكی مردی برون گرا، حاضرجواب، دارای اراده‌ای نیرومند، پرتحرك، و تندزبان بود. وی ترجیح می‌داد كه پژوهشهایش محصول همكاری جمعی باشد- كه گاه سراسر شب را با همكارانش به كار می‌پرداخت- و در مورد حقّ تقدم بسیار سختگیر بود. در بركلی، در مقام معلمی الهام بخش، سرپرستی بر پایان نامه‌های دكتری تعداد زیادی از متخصصان پیشگام در منطق ریاضی نسل بعد را برعهده داشت. تأثیر تارسكی بخصوص در نظریه‌ی مدلها- از حیث تشكیل مفهومها، مسائل، و روش شناسی آن- بسیار فراگیر بود. اگرچه در جبر بسیار پژوهید، اما در وهله‌ی نخست منطقدان بود و در وهله‌ی دوم جبردان بشمار می‌رفت. آثار او را، در مجموع، می‌توان نتیجه‌ی فوق العاده ثمربخشی از ارتباط متقابل میان جبر، نظریه‌ی مجموعه‌ها، و منطق دانست.
تارسكی فرزند ایگناتسی تایتلباوم، مغازه داری موفق، و همسرش، روْسه پروساك تایتلباوم، بود. (در حدود سال 1303 نامش را از تایتلباوم به تارسكی تغییر داد تا فرزندانِ هنوز متولد نشده‌اش را از خطر ضد سامی گری در امان دارد.) وی در ورشو درس خواند، و در همان جا بود كه پایان نامه‌ی دكتریش را، كه استانیسلاف لسنیئفسكی بر آن سرپرستی می‌كرد، در 1302 عرضه كرد. سایر معلمان اصلی او عبارت بودند از تادئوش كوْتاربینسكی و یان لوكاسیئویچ، در منطق و فلسفه؛ و استفان باناخ و واتسلاف شرپینسكی، در ریاضیات. دانشگاه ورشو در سال 1303 درجه‌ی دكتری در ریاضیات به تارسكی اعطا كرد. در 1297، و بار دیگر در 1299، مدت كوتاهی در ارتش لهستان به خدمت پرداخت.
تارسكی از 1301 تا 1304 در «مؤسسه‌ی تربیتی لهستان» در ورشو مربی منطق بود. سپس در دانشگاه ورشو معلم بی‌حقوق (پریوات دوتسنت) و كمك استاد ریاضیات و منطق شد. از آنجا كه سمت اخیر شغل ثابت منظمی نبود، مقام معلمی در دبیرستان ژروْمسكی را نیز با تدریس تمام وقت پذیرفت و تا 1318 هر دو سمت را حفظ كرد. در دوم تیرماه 1308 با ماریا ویتكوفسكی پیوند زناشویی بست، و از او صاحب یك پسر و یك دختر شد. از دی ماه 1313 تا خرداد 1314 در وین كار كرد، و كمك هزینه‌ای تحصیلی از انجمن كارل منگر دریافت نمود، انجمنی كه وی در بهمن 1309 به آن دعوت شده و به تدریس و سخنرانی پرداخته بود. اندك زمانی پیش از جنگ، تارسكی نامزد كرسی تدریس فلسفه در دانشگاه لووف بود، اما این مقام به لئوْن خفیستك تفویض شد. مشكل تارسكی در پیدا كردن یك شغل منظم و ثابت دانشگاهی، كه عده‌ای تقصیر را به گردن جنبش ضدّ سامی گری می‌انداختند، با نقش تأیید شده‌ی وی به عنوان یكی از منطقدانان برجسته‌ی ورشو بشدت مغایرت داشت. وی، از نظر سیاسی، سوسیالیست بود. تارسكی در 1318 به منظور مأموریتی برای سخنرانی و تدریس به ایالات متحده سفر كرد. هنگامی كه جنگ جهانی دوم درگرفت، وی در همان جا ماند، و شش سال بعد به عنوان شهروندی امریكایی به تبعیت آن كشور درآمد. با جاری شدن سیل پناهندگان از اروپا، كسب مشاغل دانشگاهی بسیار دشوار شد. با این حال، تارسكی از 1318 تا 1320 دستیار پژوهشی در رشته‌ی ریاضیات دانشگاه هاروارد بود، و در 1319 به صورت استاد میهمان در كالج شهر نیویورك نیز خدمت كرد. در سال تحصیلی 1220-1321 یكی از اعضای «مؤسسه‌ی تحقیقات پیشرفته» در پرینستن بود.
تارسكی تا 1321 شغل ثابتی بدست نیاورد تا آن كه در این سال دانشگاه كلیفارنیا در بركلی او را به عنوان مدرّس استخدام كرد. وی بقیه‌ی زندگی علمی خود را در آنجا ماند، و در 1324 دانشیار و یك سال بعد استاد صاحب كرسی شد. گستره‌ی علایق وی از آنجا آشكار است كه در 1337 «گروه منطق و روش شناسی علم» را در بركلی بنیاد نهاد، و ریاضیدانان و فیلسوفان را گردِ هم آورد تا در مسائل بنیادی به تحقیق پردازند. تارسكی، اگرچه در 1347 به صورت استاد ممتاز بازنشسته درآمد، تا پنج سال بعد به تدریس ادامه داد و سرپرستی دانشجویان دوره‌ی دكتری را برعهده داشت و تا پایان عمر به تحقیق مشغول بود. در 1360 «تقدیرنامه‌ی بركلی»، یعنی عالی‌ترین جایزه‌ای كه دانشگاه به اعضای هیأت علمی خود می‌دهد، به وی اعطا شد.
تارسكی پیوندهائی با دیگر مؤسسه‌های علمی و دانشگاهی برقرار ساخت: در 1329 و بار دیگر در 1345 به عنوان مدرّس كرسی یادبود شِرمن در كالج دانشگاهی (لندن)، در 1334 به عنوان مدرس در «مؤسسه‌ی آنری پوانكاره» (پاریس) و در 1346 به عنوان استاد فلسفه‌ی كرسی فلینت در دانشگاه كلیفارنیای لوْس آنجلس خدمت كرد. علاوه بر داشتن ارتباطهائی با اروپا، با امریكای لاتین نیز پیوندهائی صمیمانه داشت. در 1336 در دانشگاه ملی مكزیكوْ، و در سال تحصیلی 1353-1354 در دانشگاه كاتوْلیكی شیلی استاد میهمان بود.
تارسكی، به رغم دشواریهای آغازینش در مورد داشتن شغلی ثابت، افتخارهای متعدد كسب كرد. در 1314 به عضویت بنیاد راكفلر، و در 1320-1321 (و باز در 1334-1335) به عضویت بنیاد گوگنهایم درآمد. از 1337 تا 1339 در «مؤسسه‌ی میلر برای پژوهشهای بنیادی در علم» به عنوان استاد پژوهش خدمت كرد. در 1345 جایزه‌ی بنیاد یورژیكوْفسكی به وی اعطا شد. نشریه‌ی Algebra Universalis («جبر عام») تارسكی را به مناسبت كاری كه در زمینه‌ی جبر عام انجام داده بود به سردبیری افتخاری برگزید. در 1354 دكتری افتخاری دانشگاه كاتوْلیكی شیلی و در 1356 دكتری افتخاری دانشگاه مارسی به او اعطا گردید.
تارسكی چندین سال با سازمانهای ریاضی فعّالانه همكاری داشت. از 1314 تا 1318 در مقام نایب رئیس «انجمن منطق لهستان» انجام وظیفه كرد. در 1319 به عضویت كمیته‌ی اجرایی «مجمع منطق نمادی» انتخاب شد و از 1323 تا 1325 رئیس مجمع بود. در 1327 عضو شورای «انجمن ریاضی امریكا» شد. تارسكی مقام ریاست «اتحادیه‌ی بین المللی تاریخ و فلسفه‌ی علم» را برعهده داشت (1335-1336)‌و رئیس «كمیته‌ی ملی ایالات متحد در تاریخ و فلسفه‌ی علم» بود (1341-1342). در 1344 به عضویت «فرهنگستان ملی علوم» انتخاب شد. علاوه بر اینها، وی یكی از عضوهای «فرهنگستان هنرها و علوم امریكا»، عضو خارجی «فرهنگستان سلطنتی علوم و ادبیات هلند»، و عضو مكاتبه‌ای «فرهنگستان بریتانیا» بود.
تارسكی التقاطی‌تر از اكثر منطقدانانی بود كه در دهه‌ی 1300 تحصیل كرده بودند. وی نه تنها از Pricipia mathematica («اصول ریاضیاتِ») برتراند راسل و آلفرد نوْرث وایتهد و از آثار داویت هیلبرت بهره گرفت، بلكه از سنت منطق جبری پیرس- اشروْدر و از منطق لهستانی لسنیئفسكی و لوكاسیئویچ نیز بهره مند شد. هر چهار سنت بارها در كار وی اثر گذاشتند.
در رساله‌ی دكتری او تعریف پذیری رابطه‌های گزاره‌ای (propositional connectives) در نظریه‌ی انواع (theory of types) بررسی شده است، اما دامنه‌ی علایق تارسكی بسیار گسترده بود. وی در طول زندگی علمی خود صدها مقاله، و نیز تكنگاشتهائی به زبانهای فرانسوی، لهستانی، آلمانی و انگلیسی نوشت. غنای فوق العاده‌ی آثارش ایجاب می‌كند كه آن آثار بیشتر برحسب مضمون و محتوا بررسی شوند تا برحسب توالی تاریخی.
تارسكی در سال 1300 به انتشار آثارش در زمینه‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها پرداخت و تا پایان عمر به این كار ادامه داد. نخستین نوشته‌ی اساسی او (1303)، درباره‌ی مجموعه‌های متناهی، كامل كننده‌ی چندین دهه پژوهشی بود كه گئوْرك كانتوْر، ریشارت دِدِ كینت، ارنست تسرملوْ، و دیگران، انجام داده بودند. در كار او غالباً مسائل بنیادین با نتایج ریاضی می‌آمیختند- مثلاً در باطلنمای (پارادوْكس) باناخ- تارسكی (كه مطابق آن می‌توان كُره‌ای را به تعدادی قطعات معین تفكیك كرد و آنها را از نو برای ساختن كُره‌ای بزرگتر بر هم سوار نمود). تارسكی، تحت تأثیر شرپینسكی، نقش اصل انتخاب (axiom of choice) را پژوهید و نشان داد كه تعداد زیادی از گزاره‌ها (از قبیل این گزاره كه برای هر عدد اصلی نامتناهیِ M داریم: M2=M) هم ارز با این اصلند. در 1308 معتقد شد كه حساب اعداد اصلی ذاتاً تقسیم می‌شود به گزاره‌هائی كه با این اصل هم ارزند و گزاره‌هائی كه مستقل از آنند. گزاره‌های دسته‌ی اخیر، به عقیده‌ی او، بخشی از نظریه‌ی جدید هم ارزی مجموعه‌ها نسبت به رده‌ی معینی از نگاشتهای یك به یك را تشكیل می‌دهند- نظریه‌ای كه مورد بررسی دقیق تارسكی و باناخ قرار گرفت. در 1305 تارسكی ثابت كرد كه اصل انتخاب مستتر است در فرضیه‌ی پیوستار تعمیم یافته (یعنی در این فرضیّه كه برای هر مجموعه‌ی نامتناهی A، هیچ عدد اصلی‌ای میان A و مجموعه‌ی توانیِ آن وجود ندارد). علاقه‌ی او به گزاره‌های هم ارز با اصل انتخاب، و نیز دلبستگی وی به حساب اعداد اصلی صرف نظر از آن اصل، مادام العمر بود.
دومین موضوع در پژوهشهای تارسكی راجع به نظریه‌ی مجموعه اعداد اصلی بزرگ بود. در 1309 وی، با همكاری شرپینسكی، مفهوم یك عدد اصلی فوق العاده دسترس ناپذیر را شناسانید، و در 1318 اصل مجموعه‌های دسترس ناپذیر را مطرح ساخت، یعنی اصلِ عددِ اصلیِ بزرگی كه متضمن اصل انتخاب است. در 1322، در مقاله‌ای مشترك با پاول اردوْس، مفهومهای بنیادیِ «عدد اصلی سخت فشرده» و «عدد اصلی سست فشرده» را معمول ساخت. این دو دانشمند اظهارنظر كردند كه هر عدد اصلیِ سخت فشرده قابل اندازه گیری است و هر عدد اصلی قابل اندازه گیری سست فشرده است. برهانها تا سال 1340 انتشار نیافتند، یعنی تا یك سال پس از آن كه تارسكی، با استفاده از كار شاگردش- ویلیام هانف- در زمینه‌ی منطق نامتناهی وار، همچنین ثابت كرده بود كه یك عدد اصلیِ قابل اندازه گیری در میان اعداد اصلیِ دسترس ناپذیر بسیار بزرگ است، و به این ترتیب مسأله‌ای سی ساله را حل و فصل كرد.
تارسكی از 1305 تا 1307 سمیناری در ریاضیات را در دانشگاه ورشو اداره كرد. وی در آنجا بخصوص درباره‌ی ساختار نظریه‌های كامل در هندسه و نظریه‌ی گروهها پژوهید. از شیوه‌ی حذف سور (quantifier) در نظریه‌ی نظمِ گسیخته و نظریه‌ی میدانهای بسته‌ی حقیقی نیز بهره گرفت، و بدین طریق قطعی بودن این نظریه‌ها را به اثبات رسانید. كار اخیر، كه به اثبات قطعیت هندسه‌ی اقلیدسی مرتبه‌ی اول انجامید، تا سال 1327 انتشار نیافت. نتیجه‌ای كه تارسكی در 1328 در مورد قطعی بودن جبرهای بولی گرفت نیز هرگز منتشر نشد. و كشف او در 1318، با یاری شاگرد سابقش آنژی موْستوْفسكی، مبنی بر اینكه نظریه‌ی مرتبه‌ی اول خوش ترتیبیها قطعیت دارد، در 1357 انتشار یافت. غنای كشفهای تارسكی، و وضوحی كه وی از صورت انتشار یافته‌ی آنها خواستار بود، تعداد نتیجه گیری‌های انتشارنایافته‌ی او را افزایش دادند و زمان میان كشف و انتشار آنها را طولانی ساختند.
در دهه‌ی 1310 تارسكی درباره‌ی مفهوم فراریاضی دستگاه قیاسی، اصل موضوعی كردن (axiomatization) مفهوم نتیجه‌ با كلیتی كه همه‌ی انواع منطق شناخته شده‌ی آن زمان را دربرمی گرفت، تحقیق مفصّلی كرد. سپس مفهوم نتیجه را به صورت اختصاصی درآورد تا منطقهای ویژه، از قبیل منطق گزاره‌ای قدیمی، را با آن بررسی كند. او در اینجا بخصوص علاقه مند بود كه تعداد گسترشهای كامل نظریه‌ی ریاضی خاصی را تعیین كند. این تحقیق با تمایل وی به یافتن هم ارزهای صرفاً ریاضی (و بخصوص جبری) برای مفهومهای فراریاضی مرتبط بود.
مضمونی كه در آثار تارسكی تكرار می‌شد نقش نامتناهی وارها در منطق بود. او در 1305 قاعده‌ی w (صورت نامتناهی‌واری از اصل استقرای ریاضی) را تنظیم كرد، كه تا 1312 آن را مشكل آفرین بشمار می‌آورد. در 1318 نشان داد كه حتی با وجود این قاعده باز هم قضایای تصمیم ناپذیر وجود دارند. در حوالی سال 1336 تارسكی درباره‌ی منطق مرتبه‌ی اولی كه با فوْرمولهای بی‌نهایت طولانی گسترش یافته بود به پژوهش پرداخت. در 1340 نافشردگی بسیاری از این گونه زبانها به نتایج بسیار مهمی در نظریه‌ی مجموعه‌ها انجامید.
كار مشهور تارسكی در مورد تعریفهای حقیقت در زبانهای صوری شده (1312-1314) مفهوم صدق یك جمله را در یك ساختار برای منطق مرتبه‌ی اول، منطقه مرتبه‌ی دوم، و از این قبیل، بدست می‌داد. این كار تأثیری بسیار آشكار بر فیلسوفانی داشت كه به بررسی در زمینه‌ی ریاضیات علم، و زبان شناسی سرگرم بودند.
در اواسط دهه‌ی 1310 تارسكی تحقیق در رشته‌ی جبر را آغاز كرد –ابتدا به عنوان ابزاری برای بررسی منطق و سپس، در دهه‌ی 1320، بیش از پیش برای نفس خود جبر. در 1314 دربار‌ه‌ی جبرهای بولی كامل و اتوْمی- مفهومهائی كه رابطه‌ی نزدیكی با منطق داشتند- به پژوهش پرداخت. علاقه‌ی فزاینده‌ی او در اواخر دهه‌ی 1310 به ایدئالهای موجود در جبرهای بولی منعكس كننده‌ی این كشف او بود كه چنین ایدئالهایی متناظرند با مفهومهای فراریاضی یك نظریه‌ی ریاضی. وی در دهه‌ی 1320 چندین مقاله‌ی مشترك با ج.چ.مكینزی درباره‌ی جبرهای بستار (closure algebras) نوشت. در همان حال كه انگیزه‌ی اصلی تارسكی برای ابداع جبرهای بستار فراهم آوردن نظیری جبری برای مفهوم فضای توْپوْلوْژیك بود، وی نشان داد كه این جبرها ارتباط نزدیكی با منطق وجهی [modal] و منطق شهودی دارند. در 1320 نظریه‌ی روابط دوگانی را به صورت اصل موضوعی درآورد و مسأله‌ی نمایش پذیری را مطرح ساخت: آیا هر نمونه‌ای (مدلی) از این نظریه همریخت با یكی از جبرهای روابط است؟ اگرچه در 1329 راجر لیندن پی برد كه پاسخ منفی است، تارسكی در 1334 ثابت كرد كه رده‌ی همه‌ی جبرهای وابسته به رابطه‌ی نمایش پذیر درواقع یك چندگونا (variety) است. سال بعد همه‌ی چندگوناهای كامل حلقه‌ها و چندگوناهای جبرهای رابطه را تعیین كرد. آنچه با این كار درباره‌ی چندگوناها رابطه‌ی نزدیك داشت مقاله‌ی 1347 او در مورد منطقِ معادله‌ای بود.
پژوهش تارسكی درباره‌ی جبرهای رابطه به بلندپروازانه‌ترین ابداع او در جبر- یعنی جبرهای استوانه‌ای- انجامید. در دوره‌ی 1327 تا 1331 او و شاگردش فرِد تامپسن مفهوم جبر استوانه‌ای را به عنوان نظیر جبریِ منطقِ مرتبه‌ی اول تنظیم و عرضه كردند. به این معنی كه رده‌ی جبرهای استوانه‌ای از نظر هویت همان رابطه‌ای را با منطق مرتبه‌ی اول داشت كه رده‌ی جبرهای بولی با منطق گزاره‌ای دارد. تارسكی، از دهه‌‌ی 1330 تا آخر عمر- نخست با لئوْن هنكین و سپس با شاگرد سابقش دانلد مانك نیز- درباره‌ی جبرهای استوانه‌ای و نمایش پذیری آنها به پژوهش پرداخت.
یكی دیگر از حوزه‌های عمده‌ی پژوهش تارسكی در منطق موضوع تصمیم ناپذیری نظریه‌ها بود. در 1318 او و موْستوْفسكی «قضیه‌های نقص» گوْدل را به صورتی تبدیل كردند كه فقط به تعداد محدودی از اصول موضوع حساب مرتبه‌ی یكم وابسته بود، و بدین ترتیب توانستند بر تعداد نظریه‌هائی كه به تصمیم ناپذیر شهرت یافتند بمراتب بیفزایند. نتایجی كه بدست آوردند در 1332 در تكنگاشتی با عنوان Undecidable Theories («نظریه‌های تصمیم ناپذیر») انتشار یافت، و در آن تارسكی تصمیم ناپذیری نظریه‌ی مرتبه‌ی اول گروهها، شبكه‌ها، هندسه‌های تصویریِ مجرد، و (با موْستوْفسكی) حلقه‌ها را به اثبات رسانید.
تارسكی، در پژوهشهای خود پس از جنگ جهانی دوم دیگر از نظریه‌ی انواع به عنوان دستگاه بنیادی منطقی خود بهره‌ای نگرفت. در عوض، از منطق مرتبهِ‌ی اول استفاده كرد. درنهایت، برخی از صورتهای گسترش یافته‌ی منطق مرتبه‌ی اول، از قبیل منطقه مرتبه‌ی دوم ضعیف و منطقهای نامتناهی‌وار، را مورد توجه قرار داد.
درباره‌ی تأثیر شگرف تارسكی نمی‌توان تنها بر بنیاد آثار انتشار یافته‌اش بدرستی داوری كرد. وی بر بسیاری از ریاضیدانانی كه با ایشان كار مشترك انجام می‌داد تأثیر گذاشت، و به دیدگاه‌های عده‌ی زیادی از دانشجویان دوره‌ی دكتری كه متخصصانی پیشرو در منطق ریاضی شدند شكل بخشید. هنگامی كه هنوز در ورشو بود، به نحو غیررسمی بر پایان نامه‌ی موْستوْفسكی درباره‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها، مانند رساله‌ی فوق لیسانس م.پرسبورگر درباره‌ی تصمیم پذیری (1309)، سرپرستی داشت. اما در سالهائی كه در بركلی اقامت داشت بزرگترین تأثیرش را برجای نهاد. برخی از كسانی كه پایان‌نامه‌هایشان را زیر نظر وی نوشته‌اند بدین قرارند: بیارنی یوْنسان (1325)، جولیا رابینسن (1327)، رابرت ووْت (133)، چن چونگ چانگ (1334)، سالوْمن ففرمن (1336)، رابرت مانتگیو (1336)، جروْم كیسلر (1340)، خاییم گایفمن (1341)، ویلیام هانف (1342)، و جوْرج مك نالتی (1351). تارسكی به شیوه‌ی برخورد دِینا اسكات با منطق نیز شكل و جهت بخشید، اگرچه اسكات مدرك دكتریش را در پرینستن گرفت. تأثیر تارسكی فقط در ریاضیات محسوس نبود، بلكه در كار ج. و. ووجر در زمینه‌ی مبانی بدیهی (axiomatic) ‌زیست شناسی و در پژوهش پتریك ساپس راجع به مبانی بدیهی فیزیك نیز مشهود بود.

كتابشناسی

یكم. كارهای اصلی.

مجموعه‌ی مقالات تارسكی با عنوان Collected Papers در 4 جلد انتشار یافت (1986). ماترك او در كتابخانه‌ی بنكرافت، دانشگاه كلیفارنیا در بركلی، موجود است. فهرست كاملی از آثار وی در مقاله‌ای مندرج است با عنوان «Bibilography of Alfred Tarski»، از استیون گیوَنت، در JSL، 51 (1986)، 913-941. فهرستی از نام شاگردان دوره‌ی دكتری او در مجلدی از PSPM، 25 (1974)، كه به افتخار هفتادمین سالروز تولد او انتشار یافت، و نیز در اثری از هاجز (-پایین) مضبوط است.

دوم. خواندنیهای فرعی..

یك رشته مقالات درباره‌ی زندگی و آثار تارسكی در JSL انتشار یافت:«Alfred Tarski`s Work on General Metamathematics»، از و. ج. بلوْك و دوْن پیگوْتسی، 53 (1988)، 36-50؛ «Alfred Tarski and Decidable»، از جان دانر و ویلفرید هاجز، همان، 20-35؛ «Tarski on Truth and Logical Consequence»، از جان اِچمندی، همان، 51-79؛ «Alfred Tarski»، از ویلفرید هاجز، 51 (1986)، 866-868؛ «The Contributions of Alfred Tarski to General Algebra»، از بیارنی یوْنسان، همان، 883-889؛ «Alfred Tarski`s Work in Set Theory» از ازریئل لِوی، 53 (1988)، 2-6؛ «Alfred Tarski and Undecidable Theory»، از جوْرج ف.مك نالتی، 51 (1986)، 890-898؛ «The Contributions of Alfred Tarski to Algebraic Logic»، از ج.دانلد مانك، همان، 899-906؛ «Philosophical Implications of Tarski`s Work»، از پتریك ساپس، 53 (1988)، 0-91؛ «Tarski and Geometry»، از ل.و.اشچربا، 51 (1986)، 907-912؛ «Alfred Tarski`s Elimination Theory for Real Closed Fields»، از لو وان دن دریس، 53 (1988)، 7-19؛ و «Alfred Tarski`s Work in Model Theory»، از رابرت ل.ووْت، 51 (1986)، 869-882. درباره‌ی خدمات تارسكی به نظریه‌ی مدلها ← «Model Theory 1945-1971»، از چ.چ. چانگ در PSPM، 25 (1974)، 173-186؛ و«Model Theory Before 1945» از ر. ل. ووْت، همان، 153-172.
منبع مقاله :
گیلیپسی، چارلز كولستون، (1387)، زندگینامه‌ی علمی دانشوران، ترجمه احمد آرام...[ و دیگران]، تهران: شركت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول