آشنایی با فیثاغورث

مقدمه

فیثاغورث دیوانه نبود. تفکرش این گونه بود فیثاغورث تحقیقاً یکی از اولین نوابغ فرهنگ غرب است و به نظر می‌رسد که شایستگی این مقام را دارد. او آمیزه‌‌ای از هوشمندی و جنون دارد.
فیثاغورث از اولین ریاضی‌دانان و فیلسوفان بود. برتری او در حوزه‌های مختلف به این علت نبود که او برای اولین بار از اعداد استفاده کرد. او جزء اولین کسانی بود که می‌خواست توضیحی منطقی از جهان ارائه کند. می‌گویند او برای اولین بار کلمات ریاضی‌دان، فیلسوف و تناسخ روح را با معنایی که خود قبول داشت، اختراع کرد و سپس آن‌ها را در مورد خودش به کار برد. کلمه‌ی کیهان را فیثاغورث ابداع کرد و درباره جهان به کار برد. (در زبان یونانی کیهان یا cosmos به معنی نظم است و فیثاغورث آن را برای جهان به کار برد، زیرا باور داشت که جهان دارای هماهنگی و نظم کامل است.)
اطلاعات کمی از فیثاغورث در دست داریم و هرچه به او نسبت می‌دهیم، ممکن است کار شاگردان او باشد. حتی قضیه‌ی معروفی را که به نام او می‌شناسیم، ممکن است کار او نباشد. با این حال نبوغ فیثاغورث تا امروز در اوج اعتبار است. چون وقتی کشفیات تاریخ‌ساز به نابغه‌ای نسبت داده می‌شود، معمولاً کار خود او است.
برتراند راسل، فیثاغورث را بزرگ‌ترین متفکری که تاکنون به دنیا آمده، معرفی می‌کند، چه زمانی که عاقل بود و چه وقتی که عاقل نبود. اصل اساسی فیثاغورث این بود: «همه چیز عدد است.» این سخن عقیده‌ی راسل را تأیید می‌کند. کاملاً روشن است که جهان شامل چیزهایی به غیر از عدد است، در حالی که دو هزار و پانصد سال بعد اینشتین کارش را با دیدگاهی مشابه فیثاغورث دنبال کرد.
نمونه‌های زیادی از تفکرات بشری به او منسوب است. مهم‌ترین نمونه آن قضیه‌ی اوست: در مثلث قائم الزاویه با اضلاع a و b و c ضلع c روبه‌روی زاویه‌ی قائمه است:
استدلال در علوم ریاضی به این صورت بیان می‌شود (این قضیه دو قرن پیش از آن که ارسطو منطق را اختراع کند، در ریاضیات استفاده شد).

اما با تمام این نبوغ، بدون شک بهترین نمونه از نادانی فیثاغورث، مذهبی بود که او بنا نهاد. مذهب او شامل فهرستی از دستورات عجیب و غریب بود که از شاگردانش می‌خواست از آن‌ها پیروی کنند. قوانین او اجازه نمی‌داد شاگردانش چیزی را بپذیرند که قابل اثبات نباشد یا این که تغییر مسیر بدهند. پیروان او باید از چیدن گل یا گذاردن دست روی جوجه خروس سفید خودداری کنند. خوردن حبوبات مطلقاً ممنوع بود. از نظر فیثاغورث اگر حبوبات در داخل قبری تازه قرار گیرند و بعد روی آن را با مدفوع حیوانات به مدت چهل روز بپوشانند، انسان از آن متولد می‌شود.
چگونه می‌شود که انسانی با نبوغ کامل در عرصه دانش ریاضی، به چنین خرافاتی می‌تواند عقیده داشته باشد؟! با این که تصورش خیلی سخت است اما فیثاغورث به آن ها اعتقاد داشت.

زندگی و آثار

فیثاغورث حدود 565 پیش از میلاد در جزیزه‌ی یونانی ساموس در دریای اژه‌ی شرقی متولد شد. گفته می‌شود که پسر قلمزنی محلی و ثروتمند به نام منسارخوس بود، اما منابع دیگر تأکید دارند که او پسر آپولو، الهه‌ی شعر و موسیقی یونان باستان بود. برتراند راسل می‌گوید: «من خواننده کتابم را آزاد می‌گذارم تا هر کدام را که خواستند بپذیرند.»
پیش از تولد فیثاغورث، ساموس به ثروتمندترین جزیره‌ی دریای اژه تبدیل شده بود. این ثروت از سفر افسانه‌ای به ماوراء ستون‌های هرکولس ناشی می‌شد (یعنی ماوراء جبل‌الطارق در اقیانوس اطلس.) کشتی‌های سامی مملو از ثروت‌هایی بود که زبانزده عام و خاص شده بود. ساموس در نتیجه‌ی کسب این ثروت اسرارآمیز، خودش را در برابر کشورهای دوردستی مثل مصر و اسپانیا قدرت تجاری مهمی به حساب می‌آورد. یک مستعمره در جنوب اسپانیا در تارتسو ایجاد شده بود (منطقه‌ای باستانی به نام تارسیس که در عهد عتیق از آن نام برده شده است و حتی در اساطیر یونان پیش از تاریخ نیز دیده می‌شود. معادن نقره در ساحل جنوب غربی ماوراء ستون‌های هرکولس وجود داشتند که برای سفرهای افسانه‌ای اولیه انگیزه‌ی خوبی به حساب می‌آمدند).
فیثاغورث در ابتدای عصر طلایی فرهنگ یونان باستان رشد کرد و بزرگ شد. یونانیان تا دریای سیاه و تا بخش جنوبی شبه جزیره‌ی ایتالیا پیش رفته بودند. یونانی‌ها آن را به نام مگل هلاس و رومی‌ها به نام مگناگراشیا می‌شناختند. اولین معبد سنگی آن در آکروپولیس ساخته شد و فیلسوفان اولیه در سرزمین اصلی ایونا پیدا شدند (که امروزه به ترکیه معروف است). یکی از آن‌ها آناکسیمندر، معلم فیثاغورث بود.
فلسفه‌ی غرب حدود 20 سال پیش از تولد فیثاغورث با تالس مالتی شروع شد. به عبارت دیگر این عنوان تازه‌ای بود که هنوز هم نیاز به کاوش دارد.
تالس کسی بود که برای اولین بار قائل شد جهان از ماده‌ای واحد نشأت گرفته است. او در حالی که روی تپه‌های مالت قدم می‌زد، از صدف‌های دریایی فسیل شده به چیزی پی برد. او از این جا نتیجه گرفت که جهان از آب به وجود آمده است. توضیح تالس دارای ماهیت حدس و گمان هوشمندانه‌ای است. آناکسیمندر دومین فیلسوف مدرسه‌ی مالت بود. اما نسبت به استادش تالس، افکار جالب‌تری داشت. آناکسیمندر اولین فیلسوفی بود که تلاش کرد تا از پیدایش جهان توضیحی کاملاً منطقی ارائه کند. با این که نظر او ظاهراً منطقی بود، اما بعدها معلوم شد که توضیحات او قدری از مرحله پرت بوده است.
آناکسیمندر تجارت را نزد تالس آموخت، اما خیال‌پردازی او گسترده‌تر از استادش بود و دیدگاهی کاملاً علمی در تجارت داشت. او اولین فرد یونانی بود که نقشه‌ی جهان را رسم کرد؛ نقشه‌ای که سطح آن به شکل منحنی بود. او متأسفانه نفهمید که همه‌ی سطوح مدور هستند و فکر می‌کرد ابعاد زمین مانند استوانه‌ است. او فکر می‌کرد که ما در سطح بالای این استوانه قرار داریم.
مشاهدات آناکسیمندر از خورشید، او را به اختراع ساعت آفتابی سوق داد. این اختراع یکی از اتفاقات مهم فرهنگ یونان قدیم را نشان می‌دهد. پیش از آن راهی برای اندازه‌گیری زمان به طور دقیق وجود نداشت. او با این اختراع، اندازه‌گیری زمان را وارد عرصه‌ی دانش کرد و نوع بشر کنترل زمان را به دست گرفت. مشاهدات و تفکر آناکسیمندر او را به این نتیجه رساند که خورشید خیلی بزرگ‌تر از زمین است. این نوعی نظریه‌ی تجربی بود و این موضوع را که هر کسی می‌تواند برای خودش مشاهده کند. تئوری نسبیت انیشتین هم به همین صورت است. تئوری نسبیت می‌گوید: «فضا مدور و زمان نسبی است.»
آناکسیمندر محاسبه کرد که خورشید 28 مرتبه از زمین بزرگتر است. باید توجه کنیم که تنها با چشم‌هایش می‌توانست ببیند و دستگاهی مثل تلسکوپ نداشت. قدرت محاسبات او (و کامپیوترش) هم ذهنش بود. پس این نتیجه قابل توجه است. (خورشید دقیقاً 100 مرتبه از زمین بزرگ‌تر است). آناکسیمندر نقشه‌ای هم از ستارگان تهیه کرد. او می‌پنداشت که اولین موجودات زنده با تابش اشعه‌ی آفتاب بر آب باتلاق به وجود آمدند.
عقاید او را به نوشته‌هایی به نام «در طبیعت» نسبت می‌دهند. متأسفانه امروزه به جز قسمت‌هایی از مکتوبات که حدود 1000 سال بعد از او نوشته شده است، چیز دیگری در دست نیست. این‌ها اولین نوشته‌های فلسفی است که ما می‌شناسیم و مانند خیلی از سخنان دیگر آن زمان، به طور یقین هیچ کس به جز گویندگان این سخنان معنی آن‌ها را دقیقاً نمی‌داند. آناکسیمندر عقیده داشت جهان از ماده‌ای که آن را اصل نخستین همه چیز نام نهاده، به وجود آمده است. این اصل نخستین، عنصری شناخته شده مانند آب نیست. آناکسیمندر آن را بی‌حد وحصر، نامتناهی، جاویدان و تباهی ناپذیر معرفی می‌کند. خواهیم دید که این عقیده شباهت زیادی به مفهوم اعداد فیثاغورث دارد. گمان می‌شود که آناکسیمندر معلم مهمی برای نخستین نوابغ فرهنگ یونان باشد. پس عقاید اشتباه فیثاغورث از کجا نشأت می‌گیرد؟ به نظر می‌رسد که بذر این عقاید را معلم مشهور دیگری به نام فرسیدس در ذهن او کاشته است. وقتی آناکسیمندر در جایگاه کودکی نابغه باشد، فرسیدس مشخصاً جادوگر شبکه‌ی فلسفی آن عصر است. او ترکیبی از فلسفه‌بافی و بازگو کردن داستان‌های پریان را در خود دارد. برخی او را مخترع تناسخ ارواح می‌دانند. بر این اساس، بعد از مرگ، روح به زندگی خود در بدن دیگری ادامه می‌دهد و این که بالاتر یا پایین‌تر از مرتبه‌ی خود قرار گیرد، بستگی به رفتارش در زندگی اخیرش دارد. بدن چه بسا متعلق به انسان، حیوان یا حتی متعلق به گیاهان باشد. هدف از این عمل روح انجام دادن بهترین رفتار است. به این لحاظ از زندگی خیلی شاد و خرم گیاهی مانند زیتون رویگردان می‌شود و حتی از حد آدمی مقدس فراتر می‌رود تا این که سرانجام از چرخه‌ی تولد، زندگی و مرگ خارج شود.
اما این انحراف تا سال‌های طولانی مخفی ماند. فیثاغورث اولین کار در ریاضیات را در کجا انجام داد؟ آناکسیمندر دانشمند و فیلسوف بود، فرسیدس جاودگر و فیلسوف بود؛ یعنی هیچ کدام ریاضی‌دان نبودند.
فیثاغورث دانش ریاضی را طی سفر به مصر کسب کرد. در آن روزگار سفر به شرق راهی برای رشد اندیشه و ذهن به حساب می‌آمد. مصر آن روزگار با فرهنگ‌تر از یونان بود. به نظر ارسطو، دانش ریاضیات ابتدا از مصر شروع شد، چون در آن جا جمعی از کاهنان زندگی می‌کردند. سابقاً، یونانی‌ها خیلی سرگرم نزاع با یک دیگر بودند و هم دیگر را به خاطر جزئیات محاسبات ذهنی آزار می‌دادند. این جنگ در خلال دوران طلایی فرهنگ یونان ادامه یافت اما همچنان ریاضی‌دانان به این عادت شرقی گرفتار بودند و نمی‌توانستند عادت خود را ترک کنند.
در مصر باستان قصرهای پادشاهان را با آجرهای شکیلی که از گل‌های رود نیل می‌پختند، می‌ساختند. مصری‌ها در محاسبه‌ی تعداد آجرها و تعداد واحدهای لازم برای ساختن قصرها، اشکالی مثل مکعب و هرم را کشف کردند. برای این کار، مصری‌ها روی محاسبه‌ی اعداد اعشاری کار کردند. آن‌ها در محاسبه‌ی کسرها هم زبردست بودند. پاپیروس نشان می‌دهند که مصری‌ها می‌دانستند که را به صورت می‌توان نشان داد. به علاوه، این جمع را می‌توان به صورت یا بیان کرد.
طبق نظر ارسطو کاهنان وقت زیادی برای بیکاری صرف می‌کردند و در دانش ریاضی نبوغ حیرت‌آوری داشتند در جامعه‌ای پیشرفته اما سخت‌گیر، نبوغ چیزی است که برای رفع حوائج شخصی کاربرد دارد. چه بسا ریاضیات از نیارهای واقعی جامعه نشأت گرفته باشد اما احتمالاً به صورت کاملاً انتزاعی مورد توجه انسان‌های اولیه بوده است. دیوار نوشته‌های غارهای تاریک که در هند و فرانسه پیدا شده‌اند، نشان می‌‌دهند که ریاضیات مثل الگوهای هنری ساده به حساب می‌‌آمده است.
دوباره به مصر باز می‌‌گردیم و به مطالبی که فیثاغورث طی سفر به آن جا آموخت، نظر می‌‌افکنیم. مصری‌ها علاوه بر ریاضیات، مثلثات را هم کشف کرده بودند. این کلمه از نظر لغوی به معنی اندازه‌گیری زمین است. مصری‌های باستان از تکنیک‌های مثلثات برای اندازه‌گیری حدود املاک استفاده می‌کردند و هر بار که رود نیل طغیان می‌کرد، این فرایند دوباره تازه می‌شد. تمرینات مداوم به پیشرفت در مثلثات انجامید. کاتب احمز در سال 1650 پیش از میلاد نوشت که مساحت دایره برابر با قطر آن است. او نتوانست عدد پی را پیدا کند، اما فرمول او در حقیقت شکلی از اعداد پی را به دست می‌دهد که برابر با 2% است. این فرمول برای مهندسان و معماران مصری کفایت می‌‌کرد. کاتب احمز نخستین فردی است که در دوره‌ی اوج شکوفایی و بالندگی ریاضیات پدیدار شد. در حالی که او فهرست جداول ریاضی و تمرینات فکری را از منبع دیگری نسخه‌برداری کرد. بنابراین سنتی به وجود آمد که بسیاری از ریاضی دانان آن را دنبال کردند.
جالب‌تر این که وقتی فیثاغورث و قضیه‌ی او مطرح بود، مصری‌ها می‌‌دانستند که مثلث با اضلاع 3 و 4 و 5 واحد مثلث قائم‌الزاویه است. مدارک تاریخی حکایت از آن دارد که مصری‌ها ویژگی‌های دیگر مثلث شامل مثلثات پایه را می‌‌شناختند. (برطبق سنت، تالس ارتفاع هرم‌ها را با سایه‌های آن‌ها اندازه‌گیری می‌‌کرد. استفاده از دانش مثلثات قرن‌ها پیش توسط مصری‌ها رشد کرده بود).
گفته می‌‌شود که فیثاغورث از مصر عازم بابل شد (بابل را به نام مزاپوتامی هم می‌شناسند که امروزه عمدتاً در عراق جدید مدفون شده است). بابلی‌ها تا قرن ششم قبل از میلاد شهرت زیادی در ستاره‌شناسی داشتند. آن‌ها کسوف و خسوف را قرن‌ها قبل پیش بینی می‌کردند پیش‌بینی آن‌ها خیلی به واقعیت نزدیک بود و به ندرت یک روز یا بیشتر اشتباه می‌شد. تالس پیش از فیثاغورث از این تخصص استفاده کرد. ستاره شناسی تا قرن ششم میلادی برای یونانی‌ها ناشناخته مانده بود، در سال 585 قبل از میلاد، تالس به خاطر پیش بینی خورشید گرفتگی معروف شد. او تاریخ این خورشید گرفتگی را از منابع بابلی‌ها گرفته بود.
ریاضی‌دانان بابل در قلمروی محاسبات ذهنی پیشرفته‌هایی داشتند که فراتر از درک مصری‌ها بود. برخلاف مصری‌ها که مفاهیم انتزاعی و ذهنی را صرفاً در حوزه‌ی اعمال مذهبی اجرا می‌کردند، بابلی‌ها عقیده داشتند که محاسبات آن‌ها اهمیت مذهبی دارد. شیوه‌ی محاسبات آنها شکلی از مراسم مذهبی داشت و مردم را به سطح بالاتر روحی ارتقاء می‌داد. این عقیده تأثیر زیادی بر فیثاغورث داشت. بابلی‌ها معادلات خطی و درجه‌ی دو را حل می‌کردند (که خیلی به سبک مصری‌ها شبیه بود، ولی دستگاه علامتی جبر را نداشتند). بابلی‌ها در هزاره‌ی دوم پیش از میلاد با استفاده از لوح‌های گلی (که نمونه‌هایی از آن‌ها در موزه‌ی دانشگاه یِیل موجود است) مربع را با قطرهایش را ترسیم می‌کردند. اضلاع آن با خط میخی نوشته شده، اما چیز خاصی از ریاضیات روی آن نوشته نشده است. برعکس، اعداد ارزشی معادل رادیکال 2 دارد که تا شش رقم اعشار نوشته شده است (یعنی ....414213/1). از این موارد چند نتیجه‌گیری می‌توان گرفت: بابلی‌ها از روشی برای محاسبه ریشه‌ی مربع استفاده می‌کردند اما نمی‌دانستند که رادیکال 2 گنگ است. عدد گنگ را با اعشاری که اعدادش تمام می‌‌شود یا تکرار می‌‌شود، نمی‌توان نوشت. به عبارت دیگر نمی‌توان آن را دقیقاً محاسبه کرد و بنابراین معمولاً غیرقابل قیاس شناخته می‌شود. البته شناخته شده‌ترین عدد گنگ، عدد پی است.
بر مبنای این مدرک داوری می‌کنیم که یقیناً بابلی‌ها از وجود اعداد گنگ بی‌اطلاع بودند. جالب آن که از لوح‌های موزه‌ی دانشگاه ییل روشن می‌‌شود که بابلی‌ها اندکی از راهی را پیمودند که به کشف قضیه‌ای منجر شد که فیثاغورث را به شهرت رساند. بابلی‌ها رابطه‌ی بین ابعاد مثلث قائم‌الزاویه و وتر آن را می‌شناختند اما روشی ساده برای بیان آن کشف نکرده بودند. آنان پیوسته بر یافته‌های تجربی و نه علمی تکیه داشتند این شیوه‌ها در هیچ معادله‌ی جبری معروف بیان نشده است.
داستان شگفت‌انگیز در مورد فیثاغورث این است که او آن زمان حتی به طرف شرق از بابل عبور کرد. گفته شده که فیثاغورث با موبدان ایرانی و برهمن‌‌های هندی روبه‌رو شده بود. از طرف دیگر، طبق نوشته‌‌ی منابع غیر موثق او با دروییدی‌های سلتی، در بریتانی و کورن‌وال یا ولز ملاقات داشته است. با آن که چنین ملاقات‌هایی غیر محتمل به نظر می‌رسد، اما نمی‌توان آن‌ها را کاملاً رد کرد. معروف است که مستعمره‌ی اسپانیایی ساموس به نام ترمسوس با بریتانی و معدن قلع جنوب غرب بریتانیا روابط تجاری داشته است. به این ترتیب، احتمال دارد که فیثاغورث به ایران و هند سفر نکرده باشد، فقط در راه بابل و فنیقیه از دانش‌های موبدان ایرانی و برهمن‌های هندی آموخته است. بندرهای فنیقیه، تیر و سیدون مراکزی برای مبادلات تجاری شرق بود که قبلاً تا هند امتداد داشت و دو قرن بعد ارتش اسکندر بزرگ از آن استفاده کرد.
قیثاغورث در سفرش غیر از دانش ریاضی، مطالب دیگری هم آموخت. به نظر هگل، فیثاغورث تقریباً با بیشتر اسرار یونانی‌ها و بربرها (غیر یونانی) آشنا شد. اوحتی برای ورود به طبقه‌ی کاهنان مصر اجازه دریافت کرده بود. چنین آشنایی با علاقه به تحقیقات علمی انجام شده بود. اما به نظر می‌رسد که سفرهای فیثاغورث همراه با پژوهش مذهبی هم همراه بود. او دانشمندی بزرگ بود که آرزو داشت همه‌ی دانش‌ها را جذب کند. اما نیروی انگیزشی و روان‌شناسی او گویا به شکل تعجب‌آوری پراکنده بوده است. نبوغ ریاضی به همراه روحیه‌ی مذهبی متمایل به رستگاری، در یک جا جمع بود.
مسئله این است که درباره‌ی شخصیت واقعی فیثاغورث اطلاعات کمی داریم. احتمال دارد که بتوانیم خطوط کلی روحی و خرد او را تشخیص دهیم اما اطلاعات کمی از زندگی شخصی او داریم. ما از رابطه‌ی او با والدینش و یا حتی این که آیا آن‌ها را می‌شناخت، چیزی نمی‌دانیم. با کمال تعجب فقدان زندگی خانوادگی در اکثر فیلسوفان بزرگ دیده می‌‌شود و یکی از آن‌ها فیثاغورث بود. افلاطون، دکارت، هیوم، کانت و نیچه را می‌‌توان نام برد، اما به جز چند تا، بقیه در خانواده‎هایی با یکی از والدین بزرگ شده‌اند. به هر حال باید چیز غیرمعمولی رخ داده باشد. چنین خردمندان استثنایی کمیاب‌اند. اما در مورد چنین نابغه‌ای جمع ویژگی‌های موعود باوری با نبوغ فکری احتمالاً منحصر به فرد است. تنها برای مقایسه‌ی دو نفر به ذهنم خطور می‌کند: سنت آگوستین، بزرگ‌ترین فیلسوف هزاره‌ی اول و کشیشی مبلّغ با افکاری عمیق بود. پاسکال، مذهبی‌ترین متفکر قرن 17 میلادی و یکی از اندیشمندان ریاضی پیشرو بود. با این حال، هیچ کدام بنیان‌گذار هیچ مذهبی نبودند، علی‌رغم این که خردمندترین مردانی بودند که دنیا به خود دیده است.
وقتی فیثاغورث از سفر به ساموس بازگشت، چنین پیشرفت‌هایی در آینده در شرف وقوع بود. با این حال، به نظر می‌رسد که فیثاغورث احتمالاً تاکنون از عقل استثنایی خود به قدر زیادی آگاه است. شاید حتی از سر تکبر و نخوت چنین بود و چند سال بعد که به وطن بازگشت، اتفاقاتی رخ داد که می‌توان آن‌ها را مبنای این داوری قرار داد.
در این رابطه ساموس تحت فرمانروایی پلی کرات بود. او شخصی بی‌رحم و زیرک بود و مصمم بود تا منافع بازرگانی ساموس را گسترش دهد. بیشترین شهرت 100 ناوگان قوی ساموس از تجارت پُر منفعت و حتی دزدی دریایی پُر منفعت‌تر ناشی می‌شد. با این درآمدهای کثیف، پلی کرات به ساخت بناهای عظیم اقدام کرد. برطبق نظر مورخان بعدی، مانند هرودوت، در سرزمین‌های متعلق به یونان سه شاهکار دیده می‌شد. بناهای بزرگ عبارت‌اند از: معبد هرا (بزرگ‌ترین معبدی که هرودوت در سفر به سراسر یونان و شرق نزدیک دیده بود)، موج شکن فوق‌العاده برای محافظت از بندر و قنات بزرگی که شامل تونلی دو مایلی درون کوه بود. بقایای این شاهکارها را امروزه هم می‌توانیم ببینیم.
پلی کرات آرزو داشت تا مردی فرهنگی قلمداد شود. برای تحسین‌هایی که از او می‌شد سخاوتمندانه خرج می‌کرد. در نتیجه دربار او دانشمندان و هنرمندان را از سراسر اژه به خود جذب می‌‌کرد.
فیثاغورث به زودی به دانشمندی بی‌بدیل تبدیل شد. در آن روزگار، حاکمان معمولاً مترصد بودند تا اندرز صاحبان خرد را بپذیرند و فیثاغورث هم از این موضوع نقشی سیاسی بازی می‌کرد. حوادث بعدی نشان داد که او فاقد مهارت سیاسی نبوده و به نظر می‌رسد این مهارت را به جز در سرزمین خودش ساموس در جاهای دیگری نیز کسب کرده است.
وضعیت سیاسی و دیپلماتیک ساموس توانایی‌های فیثاغورث را به کمال رساند. پلی کرات قدرت را در دست خود قبضه کرده بود، در حالی که پوپولس در جشنی محلی شرکت کرده و در نتیجه دشمنان زیادی داشت. ساموس هم در وضعیت خاصی بود. ثروت ساموس موردتوجه اسپارت و آتن بود (که به طور فزاینده‌ای از ابتکار پلی کرات برای تجارت دریایی خشمگین بودند). امپراتوری ایران هم تا سرحدات آسیای صغیر توسعه یافته بود. این جا نزدیک‌ترین نقطه به تنگه‌ی ساموس بود، یعنی حدود یک مایل فاصله داشت. پلی کرات برای مقابله با این تهدید با مصری‌ها متحد شد. سپس ناگهان تصمیم گرفت سرحدات را ببندد و دشمنان سیاسی خود را به مأموریت مصر اعزام کند. روشن نیست که فیثاغورث چه نقشی در این مورد داشت. او با وجود موقعیتی که در دربار داشت، چاره‌ای نداشت جز آن که یکی از دو راه را بپذیرد. شهروند شاخصی مانند او نمی‌توانست از موضع‌گیری اجتناب کند. به هر حال پشت کردن به این اسب سرکش نمی‌تواند علت بدبختی فیثاغورث باشد، مخالفت او با پلی کرات موضوعی شخصی بود. فیثاغورث خود را برتر از حکام ستمگر می‌‌دانست و واقعاً آن را پنهان نمی‌کرد. این اشتباهی فاحش بود که از گفته‌ی خودش پشیمان نمی‌شد. تشریفات دادگاه‌ها به نفع شخص ظالم درباره‌ی این موضوع روشن است و فیثاغورث هم بهای آن را پرداخت.
در نتیجه‌ی بی‌رحمی پلی‌کرات، فیثاغورث از برگشت به ساموس منع شد و دیگر هرگز بازنگشت. براساس افسانه‌ای تاریخی، ابتدا فیثاغورث را به زندان انداختند و سپس به جنوب جزیره جایی که اکنون هم غاری تاریک و دوردست بر روی کوه است، تبعید کردند. هنوز هم مردم محلی آن را به نام مقصد فیثاغورث می‌شناسند. در سال 1955 میلادی این تفریح‌گاه ساحلی که روزی پایتخت پلی کرات بود، به افتخار مرد بزرگ ساموس یعنی فیثاغورث نام‌گذاری شد.
زمانی که فیثاغورث از ساموس تبعید شد، مردم بیش از آن چیزی که بود او را خردمندی برجسته می‌‌شناختند. این موضوع در راه و رسم معمول دوستان یونانی نشان داده شده است. آناکسیمنس فیلسوف، شاگرد زرنگ آناکسیمندر گفته که فیثاغورث از همه‌ی جویندگان دانش کوشاتر بود، اما ثمره‌ی عملی تحقیقاتش را به راحتی نابود کرد. به همین ترتیب رقابت بین ساموس و سرزمین اصلی ایونا به تجارت محدود نمی‌شد. فیلسوف ایونی، هراکلیتوس عقایدش را نوشته است و به نظر او آموزش زیاد، عقل و خرد انسان را افزایش نمی‌دهد و گرنه به فیثاغورث چیزی آموخته بود. فیثاغورث از ساموس به سمت غرب سفر کرد و در سال 529 پیش از میلاد ناگهان از مگناگراسیا سر درآورد. در آن جا در مستعمره‌ی یونانی کرتون، اقامت گزید. فیثاغورث اکنون خود را فیلسوف می‌خواند و از همان ابتدا گروهی از محصلینی که از ویژگی‌های استثنایی او با خبر شده بودند، دور او جمع شدند.
در زبان یونانی، فیلسوف به معنی دوستدار خرد است و فیثاغورث اولین کسی است که خودش را چنین معرفی می‌کند. فیلسوفان قبل را به نام اهل علم (یا انسان دانا) می‌‌شناختند. کسانی درباره‌ی اهمیت این مرحله‎ی نهایی سؤال کرده‌اند. برخی اظهار می‌دارند که فیثاغورث با فروتنی خود را عاقل به حساب نمی‌آورد. او واقعاً علاقه‌مند به تعقل بود و حتی آن را دنبال کرد اما به آن دست نیافت. این موضوع درست به نظر نمی‌رسد. این گونه کمرویی دور از شخصیت او بود. در حالی که فلسفه تنها نیم قرن بود که گسترش یافته بود، سفسطه‌گرایان قبلاً بدنام شده بودند. از همان ابتدا، با ظهور هر مرد دانایی، فلسفه جاذبه‌ی شدیدی برای شارلاتان‌ها و آدم‌های حقه‌باز و دانش آموخته داشت. فیثاغورث شاید به این علت خود را فیلسوف معرفی کرد که بین خود و عناصر قلابی فاصله بیندازد. (در حالی که خواهیم دید، منظور او از فلسفه کنار زدن رفتارهای عجیب و غریب حکیم‌های شیاد قبلی بود.)
به یقین می‌‌توان گفت که در خلال سال‌های اولیه، فیثاغورث در کرتون کارهای بزرگی در ریاضیات انجام داد. کارهای او شامل کشف قضیه‌ی معروف او بود، اگر واقعاً او و نه یکی از شاگردان او آن را کشف کرده باشد؛ موضوعی بغرنج که بعداً درباره‌ی آن بحث خواهیم کرد. پیش از این دیدیم که بابلی‌ها در حال کشف فرمولی بودند که امروزه ما آن را به نام قضیه‌ی فیثاغورث می‌شناسیم. بابلی‌ها می‌‌دانستند مثلث قائم‌الزاویه‌ای که اندازه‌ی اضلاع آن 3 و 4 باشد، اندازه‌ی وترش 15 است. در حقیقت، یک لوح خط میخی تا 15 دسته‌ی سه تایی از اعداد را شامل می‌شود که همه اضلاع مثلث قائم‌الزوایه است. اما شاید فیثاغورث (یا یکی از شاگردان او) بود که به این فرمول قطعی دست یافت:
و این هم مثلث قائم‌الزوایه است:
این فرمول به دلایل متعددی یک فرمول بنیادی است. این فرمول شرکت یونانی‌ها در دانش ریاضی را نشان می‌‌دهد. به همین دلیل است که تا به امروز یونانی‌ها را در بسیاری جهات بنیان‌گذار این قاعده به حساب می‌‌آوریم. یونانی‌ها نخستین کسانی بودند که دانش ریاضی را به صورت مطالعه‌ی تئوری محض درآوردند. اصول ریاضیات در موارد زیادی کاربرد دارد. آن‌ها با اثبات قضیه‌ها و تأیید آن‌ها حتی یک گام فراتر رفتند. بابلی‌ها و مصری‌ها قضیه‌هایی داشتند، اما آن‌ها در گروه قواعد کلی بافی ماندند. چون از دانش جبر بی‌بهره بودند و راهی برای ثبت به صورت واژگان کلی نداشتند. تنها وقتی که این کار انجام شده باشد، چنین پیشنهاداتی را با استفاده از استدلال قیاسی می‌‌توان اثبات یا رد کرد. جالب این که یونانی‌ها در آن دوره هیچ کلمه‌ای برای این موضوع نداشتند. مانند بسیاری از کلمات با ریشه‌ی عربی، مثل الکل، شیمی و تقویم نجومی، کلمه‌ی جبر هم در قرون وسطی از کلمه‌ی عربی الجبر وارد زبان‌های اروپایی شد. جبر به معنی تجدید پیمان است و می‌‌توان کلمه‌ی معادله را از آن استنباط کرد.
انتزاع، اثبات و استدلال قیاسی، سه ویژگی اساسی ریاضیات است. همه‌ی این‌ها را یونانی‌های باستان وضع کردند و به احتمال زیاد شخص فیثاغورث آن‌ها را معرفی کرد.
از آن جا که فیثاغورث نوشته‌ای از خود به یادگار نگذاشته است، مدرکی در دست نداریم که چگونه او قضیه‌اش را اثبات کرد. اقلیدس ریاضی‌دان بیش از دو قرن بعد از فیثاغورث چند اثبات از آن را در کتاب اصول نوشته است. این کتاب از دو هزار سال پیش تا به امروز هندسه را تعریف کرده است. دست کم یکی از اثبات‌ها احمالاً از فیثاغورث نشأت گرفته است. نخستین کارشناسی که برای نسبت دادن کشف قضیه‌ی فیثاغورث به او داریم، در قرن اول پیش از میلاد زندگی می‌کرد. معمار رومی ویتروویوس پولیو که امروزه او را به خاطر نظریه‌ی تناسب انسان می‌‌شناسیم. او می‌گوید شکل انسان، متناسب و به صورت مربعی است که در درون دایره احاطه شده است. مشهور است که لئوناردو آن را ترسیم کرده است. در حقیقت، ما اطلاعات یقینی کمی درباره‌ی زندگی فیثاغورث داریم، به طوری که تمایز قائل شدن بین ایده‌های او و شاگردانش برای ما غیرممکن است. به سبب فقدان آثار فیثاغورث فقط می‌‌توانیم بر آثار مریدان فیثاغورث و بعدها مفسران نظریاتش تکیه کنیم. از آن جا که فیثاغورثی‌ها قصد داشتند تا همه‌ کشفیات خود را به استادشان نسبت دهند، این‌ها هم به بحث ما کمک می‌‌کنند. فعلاً عقاید فیثاغورث را به خود او نسبت می‌دهیم، بعدها اظهار خواهیم داشت که کدام یک از پیشرفت‌های علمی کار شاگردان او بوده است.
کشف قضیه‌ فیثاغورث به تعدادی کشفیات شگفت‌انگیز درباره‌ی مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع انتگرالی منجر شد، یعنی اضلاعی که عدد صحیح‌اند (امروزه به عدد فیثاغورثی معروف است). برای نمونه، مثلثی با اضلاع 4 و3 و 5 دارای چند ویژگی است که در مثلث‌های فیثاغورثی دیگر پیدا نمی‎شود. این تنها موردی است که اضلاغ آن در تصاعد حساب وجود دارد و تنها مثلث با هر شکل با اضلاع صحیح است که مساحت آن نصف محیط آن است. تنها دو مثلث فیثاغورثی وجود دارد که مساحت آن با محیط آن‌ها برابر است. (13 ، 12، 5 و 10 ، 8 ، 6).
تغییر ریاضیات یونانی به حوزه‌ی انتزاعی صرف به این معنی است که چنین احتمالاتی را اکنون هم می‌‌توان مورد مطالعه قرار داد. میدان برای تفکر، کار و اکتشاف باز است. این احتمال وجود دارد که خطی از استدلال را دنبال کنیم و آن چه که با آن ارائه می‌‌شود را محاسبه کنیم. درها به سوی میدانی وسیع از اکتشاف ریاضی باز است.
اکتشافات بزرگ دیگری که از قضیه‌ی فیثاغورث نتیجه‌گیری می‌شود، مربوط به اعداد گنگ است. طبق قضیه‌ی فیثاغورث، مثلث متساوی‌السّاقین (یعنی مثلث با دو ساق مساوی) که اضلاع آن 1 و 1 باشند، وتر آن برابر با رادیکال 2 است.

فیثاغورثی‌ها کشف کردند که مقدار عددی رادیکال 2 را نمی‌توان به دست آورد. اندازه‌ی وتر چنین مثلثی را دقیقاً نمی‌توان به دست آورد مهم نیست که بزرگی واحدها چقدر است و از خطکش دقیق استفاده می‌شود، اندازه‌ی آن‌ها همیشه جایی بین دو خط اندازه‌گیری وسط قرار می‌‌گیرد. وقتی می‌‌خواهید طول آن را به دست آورید این موضوع درست است و وقتی که تلاش می‌‌کنید تا اندازه‌ی آن را با اطمینان بیشتر محاسبه کنید، دشوار است. واضح است که هیچ عدد گویایی برابر با رادیکال 2 نیست. اندازه‌ی آن را چه خاتمه یابد یا تکرار شود به صورت عدد اعشاری نمی‌توان بیان کرد.
و غیره برای همیشه، بدون الگوی بازگشت است. هرگاه دو ضلع مثلث قائم‌الزاویه برابر با 1 باشد، وتر آن را بر حسب آن واحد به سادگی نمی‌توان محاسبه کرد. اما ما چگونه این را می‌فهمیم؟ حتی اگر رادیکال 2 را تا میلیارد رقم محاسبه کنیم، چگونه می‌فهمیم که میلیارد و یکمین عدد آخرین رقم اعشار نیست؟ اقلیدس اثبات می‌کند که چرا چنین است، در حالی که برای هواداران فیثاغورث شناخته شده بود. این جا پای برهان خلف به میان می‌آید و نشان می‌دهد که اگر وتر با دو ضلع دیگر مثلث متناسب باشد، باید هر دو زوج و فرد باشند! اساساً!، این طور است. اگر مثلث متساوی‌السّاقین با ساق‌های 1 داشته باشیم، وتر آن را می‌توان به صورت کسر x/y بیان کرد.
اگر x و y فاکتور مشترکی داشته باشند، آن‌ها را تقسیم می‌کنیم، چه x یا y باید فرد باشند.
اما اگر بنابراین زوج است و X هم زوج است.به عبارت دیگر y فرد است.
اما فرض کنید که آن گاه (خط * دار بالا را نگاه کنید. کنید)
بنابراین:
زوج باشد معنی آن چیست.

فیثاغورث بررسی‌های عملی دور و درازی، به خصوص در حوزه‌ی هارمونی موسیقی انجام داد. او کشف کرد که هارمونی موسیقی در زخمه زدن به سیم (یا ستون هوا مانند فلوت) با ضریب‌ها مساوی است. در حقیقت، زیباترین (جالب‌ترین) هارمونی‌ها با زیباترین ضریب‌ها مساوی است. اکتاو یا هشته به ضریب 2 به 1 مساوی است. پنجم به ضریب 3 به دو مطابقت دارد و چهارم به ضریب 4 به 3 مطابقت دارد.
بررسی‌های فیثاغورث اعتقاد به ریاضی را جان تازه‌ای بخشید. برای فیثاغورث، ریاضیات چیزی بیش از نوعی کار عقلانی بود، چون با آن می‌خواست جهان را توضیح دهد. به نظر می‌رسد که هارمونی، ضریب‌ها، ویژگی‌های اعداد، سادگی و اشکال حقیقی از ماهیت عمیق برخی اعداد سخن می‌گویند و بر همه چیز حکمفرما هستند. همه‌ی این‌ها در مطالعات ستاره‌شناسی فیثاغورث دیده می‌شوند.
فیثاغورث در مطالعات ستاره‌شناسی تحت تأثیر بابلی‌ها و معلمش آناکسیمندر بود، چون او نخستین کسی بود که نقشه‌ی آسمان‌ها را رسم کرد. می‌دانیم که ستاره‌شناسی را بابلی‌ها بنیان نهادند. بابلی‌‎ها بر بالای زیگورات‌های بزرگ و منظم خود آسمان شب را مشاهده می‌کردند. امروزه می‌دانیم که بابلی‌ها در سال 1975 پیش از میلاد به طور منظم سیاره‌ی زهره را مشاهده می‌کردند. لوح‌های خط میخی باقی مانده از آن دوره، اولین ثبت منظم حوادث از جهان مادی است. در سال 747 پیش از میلاد بابلی‌ها مشاهدات منظمی از کسوف و خسوف داشتند در نتیجه به سمت پیش بینی کسوف و خسوف ماه و خورشید سوق داده شدند. بابلی‌ها به هفت سیاره (شامل ماه و خورشید) عقیده داشتند. به نظر آن‌ها هفت سیاره دارای منشأ آسمانی بودند.
حرکت ادواری اجسام فضایی عقیده‌ی فیثاغورث را به ریاضیات تحکیم بخشید. او از همان اوایل عقیده داشتند که زمین در مرکز عالم قرار دارد. آناکسیمندر اولین کسی بود که پی برد سیارات نسبت به ستارگان به زمین نزدیک‌ترند. مشاهدات فیثاغورث از حرکت سیارات او را متقاعد کرده بود که هر کدام از آن‌ها در فاصله‌ی خاصی نسبت به زمین قرار دارند. این موضوع فیثاغورث را به نتیجه‌گیری مهمی سوق داد. به نظر می‌رسد که گویا هفت سیاره و زمین به شکلی به هشته‌ی موسیقی شبیه است. سیارات (یا کرات، آن ‌گونه که ما می‌شناسیم) شبیه به سیم‌های لیر (1) است و نوعی هارمونی آسمانی تولید می‌کنند که به موسیقی کرات معروف است.
اما همیشه کسانی وجود دارند که بر سؤالات مشکل آفرین خود تأکید دارند. چرا نمی‌توانیم موسیقی افلاک را بشنویم؟ اگر تاکنون کسی آن‌ها را نشنیده، چگونه می‌گوییم که وجود دارند؟ فیثاغورث هم با این گونه سنگ‌اندازی‌ها رو به رو بود. پاسخ فیثاغورث این بود که ما انسان‌ها نمی‌توانیم موسیقی کرات آسمان‌ها را بشنویم، زیرا از لحظه‌ای که متولد شده‌ایم آن را می‌شنویم اما آن را با سکوت اشتباه می‌گیریم. قیثاغورث برای توضیح این مطلب می‌گفت، آهنگری را تصور کنید که صدای کوبیدن آهن روی سندان در دکان آهنگری را نمی‌شنود. آیا فیثاغورث قصد داشت بگوید که هارمونی عظیم سیارات احتمالاً مانند ضربات کرکننده‌ی کوبیدن پتک روی سندان است؟
با این حال فیثاغورث چطور درباره‌ی همه چیز این قدر مطمئن حرف می‌زد؟ بنا به نظر شاگردان او، فیثاغورث به مراحلی از روشن‌بینی ریاضی عرفانی رسیده بود که موسیقی کرات را می‌شنید. بعدها دوست‌داران فیثاغورث گفتند که موسیقی موردنظر او نوعی هارمونی نشاط‌آور است؛ بنابراین مدرک، آن را مانند گروه کر سندانی واگنر یا ساز کوبه‌ای جاز می‌دانند. اما به هر حال این ادعا بی‌پایه به نظر می‌رسد.
همه‌ی موارد فوق را می‌توان به صورت خیال‌بافی شاعرانه نادیده انگاشت، اما فیثاغورث دارای ذهن ریاضی بود و تجزیه و تحلیل او شامل برخی نتایج حیرت‌آور است. او چنین استدلال می‌کرد که برای تولید این موسیقی، هر یک از کرات باید با سرعت متفاوت حرکت کنند. کراتی که با سرعت بیشتری حرکت می‌کنند، نت‌های بلند‌تری در اکتاو یا هشته تولید می‌کنند. کوتاه‌ترین نت‌ها هم از سیارات کوچک‌تر که به زمین نزدیک‌ترند، تولید می‌شوند. عقیده‌ی فیثاغورث به زیبایی شبیه سادگی ریاضیات برای ماست. به عقیده‌ی او، کرات زیباترین اجسام و دایره زیباترین شکل است. زیباترین هارمونی را هم کرات مدّور که در مدار دایره‌ای شکل دور زمین حرکت می‌کنند، تولید می‌کنند. فیثاغورث در اثر مشاهدات و پیش‌فرض‌های ریاضی، نظم سیارات را در فاصله‌ای که با زمین دارند رو به افزایش محاسبه کرد: ماه، عطارد، زهره، خورشید، مریخ، مشتری و زحل. این نخستین تئوری منظومه‌ی شمسی بود که با در نظر گرفتن زمان او و این حقیقت که ابزاری در اختیار نداشت، شاهکاری قابل توجه است. ضمنماً در این تئوری این عقیده وجود دارد که زمین، کره‌ای در حال چرخیدن است که در فضا شناور است. چیزی که قبل از او کسی نگفته بود. دخالت فیثاغورث و شاگردان او در ستاره‌شناسی به همان اندازه اساسی است که کشفیّات ریاضی او چشمگیر است.
شگفت‌آور این که دقت زیاد تئوری فیثاغورث درباره‌ی منظومه‌ی شمسی سبب شد تا دیگران به بی‌دقتی‌های آن هم توجه کنند. مشاهدات پی درپی دیگری که فیثاغورثی‌ها انجام دادند، آنان را به درک این موضوع سوق داد که زهره و عطارد دور ماه می‌چرخند.
تصویر خورشید مرکزی از منظومه‌ی شمسی شروع به پیدایش کرد. فیثاغورثی‌ها این ایده را بسط دادند که زمین دور یک گوی آتشین می‌چرخد. (ولی نمی‌گفتند که آن گوی، خورشید است). آتش ما را نمی‌سوزاند، چون نیمه‌ای از زمین که رو به آتش است همیشه در حال چرخیدن و دور شدن از آن است. طبق نظر فیثاغورثی‌ها حرکت زمین به دور آتش مرکزی سبب به وجود آمدن شب و روز می‌شود.
رقبای فیثاغورثی‌ها فهمیده بودند که ماه با انعکاس نور خورشید، روشن است. نباید از نظر دور داشت که فیثاغورثی‌ها یک گام فراتر نهادند و اظهار داشتند که خورشید هم با انعکاس نور می‌درخشد و گرما را از آتش مرکزی منعکس می‌کند.
می‌بینیم که اکنون همه چیز برای توضیح دادن مرکزیت خورشید در منظومه‌ی شمسی مهیّاست. اما هیچ کدام از فیثاغورثی‌ها تصمیم نگرفتند تا این قسمت را کامل کنند. بالاخره در حدود سال 260 پیش از میلاد یعنی 18 قرن پیش از کپرنیک، اریستاخوس از ساموس به این موفقیت رسید. اهمیت ندارد بگوییم کپرنیک مدیون اریستاخوس نبود. فیثاغورثی‌ها اظهار می‌داشتند که زمین دور مرکز آتش می‌چرخد و این مطلب سبب ترغیب کپرنیک برای فعالیت‌های علمی‌اش بود؛ به طوری که حتی در کارش به اضطراب افتاد.
این کشف که نسبت‌های عددی در مورد موسیقی مصداق دارد و این عقیده که آن‌ها بر جهان حاکم‌اند، فیثاغورث را به این نتیجه سوق داد که پیامدهای آن تا به امروز باقی است. پیش از این او نتیجه‌گیری کرده بود که هر چیزی را به شکل هندسی می‌توان نشان داد، به طوری که نسبت‌ها و ویژگی‌های آن با روابط عددی مشخص شوند. اکنون او همه‌ی این‌ها را در هم ادغام کرده است و نتیجه‌گیری کرده که وجود همه چیز در جهان به کار‌کرد اعداد مربوط می‌شود.
بدیهی است که تصور جهانی که این گونه نباشد سخت می‌نماید. اعتقاد کامل به علم بر مبنای این عقیده است که همه چیز، به شکلی، مستعد اندازه‌گیری یا محاسبه است. ولی فیثاغورث یک گام فراتر نهاد و به این نتیجه رسید که جهان، عدد است. تالس هم به این نتیجه رسیده بود که جهان از آب ساخته شده است. فیثاغورث نتیجه‌گیری کرد که جهان از عدد ساخته شده است و آن را اصل مبنایی فلسفه‌ی خود قرار داد.
اما منظور فیثاغورث از این که می‌گفت: «همه چیز عدد است». چه بود؟ ایده‌ی عددی او نسبتاً پیچیده است. او عدد 1 را نقطه و عدد 2 را خط، عدد 3 را سطح و عدد 4 را مربع می‌پنداشت. از نظر شکلی به صورت زیر در می‌آید:

اعداد شکل داشتند که جهان را ساختند. بازتاب‌های این اندیشه تا به امروز در ریاضیات در مربع، مکعب و سه‌بعدی‌ها و غیره باقی مانده است.
فیثاغورث از این حد هم پا را فراتر گذاشت. عقیده‌ی او به این که جهان از اعداد ساخته شده است، او را به سوی خلق اندیشه‌های بالاتر از حد یک فیلسوف سوق داد. او تحت تأثیر اهمیت کشفیات خود قرار گرفته بود، در نتیجه فکر کرد که اعداد جواب همه چیز است و در نهایت تا آن جا پیش رفت که بر پایه‌ی اعداد مذهبی را بنیان‌گذاری نماید و خودش رهبر آن شود.
وقتی قیثاغورث به کرتون وارد شد، یک معلم بود اما تغییر او به رهبر دینی به نظر می‌رسد که بلافاصله بعد از این اتفاق افتاد. دانشجویان ریاضی و فلسفه‌ی او هم مریدان او شدند. و آن چه آموختند، در فضای مذهب بود. «همه چیز عدد است» علاوه بر توضیح علمی جهان به الهیات تبدیل شد.
فیثاغورث عقیده داشت که توانایی سکوت کردن، اولین گام به سمت درک و فهم است. نه این که همیشه نظریه‌ی معقولی برای معلم، فرد مذهبی و غیره وجود داشته باشد شاگردان او هم به دو گروه طبقاتی تقسیم شدند. گروه اول به نام «مستمعین» اجازه‌ی سخن گفتن نداشتند. آنان روزگار خود را با یادآوری سخنان مربی خود می‌گذراندند و از آن‌ها هم انتظار می‌رفت تا با این نام زندگی کنند. اعضای گروه ارشد ریاضی‌دانان نامیده می‌شدند. آن‌ها اجازه داشتند سؤال کنند و حتی در مواقعی عقاید خود را بیان کنند. آنان اجازه داشتند تا مسئولیت تحقیقات خود را به عهده بگیرند و برخی اوقات به اکتشافات ریاضی محض بپردازند. به هر حال، چنین پیشرفت‌هایی همیشه از جانب استاد پشتیبانی می‌شد. پیش از این هم تأکید کرده‌ام که تعیین کشفیات علمی فیثاغورث بسیار سخت است.
فلسفه‌ی عددی فیثاغورث قابل درک است و دلایل توجیه‌ی هم دارد. اعداد به جز در معنی عجیب و غریب خود مذهب فیثاغورث را می‌سازد. اعداد به مذکر (فرد) و مونث (زوج) تقسیم می‌شوند. به هر حال، این مقدمه‌ی اصلی، او را با دشواری‌های خاصی روبه‌رو می‌کرد. 1 به واقع اولین عدد نیست چون واقعاً عدد نیست و به کلی غیر قابل تقسیم است و در این حالت غیر قابل تقسیم بودن، کلاً با اعتقاد به نفاق ‌افکنی اعداد یا ریاضیات مخالف بود. از طرف دیگر، عدد 2 هم واقعاً اولین عدد نیست، زیرا مونث است و منع آسمانی دارد. بنابراین فیثاغورث تصمیم گرفت که 3 اولین عدد واقعی باشد. به خاطر دلایل ابتکاری، 3 اولین عدد کامل بود، چون ابتدا، وسط و انتها دارد. این را با عقیده‌ی فیثاغورث به 1 به صورت نقطه، 2 به صورت خط، 3 به صورت مسطح، مقایسه کنید. می‌خواهیم واقعاً بدانیم که او چقدر از آن دور می‌شود. فیثاغورث بعدها با اظهار این که 3 اولین عدد واقعی است، چون نخستین عددی است که با ضرب، بیش از جمع افزایش می‌یابد، کمی آن را اصلاح کرد. یعنی 3×3 بزرگتر از 3+3 است. این خصوصیت بیش از آن که صرفاً شوخی باشد، بر ویژگی‌های ریاضیات تکیه داد.
داستان‌های خیالی و عددی فیثاغورث خیلی زود به صورت جادو در همه جا گسترش یافت. عدد 5 به ازدواج ربط داده شد، چون جمع اولین عدد مونث 2 و اولین عدد مذکر 3 بود. (می‌بینیم که استدلال قیاسی، بخش مکمل مذهب و عدد نبود. اگر 3 اولین عدد کلی است، پس چطور 2 اولین عدد مونث است؟ مستمعین از پرسیدن چنین سؤالاتی منع شده بودند. وقتی که معلم درباره‌ی این موضوعات سخن می‌گفت، ریاضی‌دانان هم بر مبنای دلایل خودشان سکوت می‌کردند.)
5 با طبیعت هم مربوط می‌شد، زیرا وقتی در خودش ضرب می‌شود، جوابی به دست می‌آید که آخرش هم 5 است. فیثاغورثی‌ها کشف کردند که عدد 6 هم همین خصوصیت را دارد. امروزه به این اعداد، اتومورف می‌گویند. دو عدد اتومورف دیگر عبارت‌اند از: 25 و 76. آن‌ها هم به اعداد فیثاغورثی معروف‌اند. از این جا متوجه می‌شویم که فریبندگی مذهب فیثاغورث درباره‌ی اعداد چندان بی‌جهت هم نیست. کاوش آن‌ها از معانی ماوراء طبیعی پنهان ممکن است نادرست باشد، اما باید دانش ریاضی با ارزش‌تری را کشف کنیم.
همیشه تخیلات واضح به تخیلات بیشتری منجر نمی‌شود؛ همان طور که بینش‌های خوب الزاماً به بینش‌های بهتری منجر نمی‌شود.
او با مشاهده‌ی آسمان‌ها اظهار داشت اجرام آسمانی حرکت دورانی دارند. اگر این سخن را صحیح بدانیم، به این معنی است که هر یک از اجرام آسمانی لاجرم به جایی بر می‌گردند که حرکتشان را از آن جا شروع کرده‌اند. فیثاغورث از این جا نتیجه گرفت که دایره‌ای از دوایر یعنی سال بزرگتزر باید وجود داشته باشد. همه‌ اجرام آسمانی وقتی به مبداً حرکت خود بازمی‌گردند و گردش خود را تکمیل می‌کنند، دقیقاً همان صورت فلکی دیده می‌شود.
از این جا می‌توان استنباط کرد که آن چه یک بار اتفاق افتاده، بعدها هم دقیقاً به همان ترتیب تکرار شود.
عجیب این که، این ایده 2500 سال بعد در اندیشه‌های فردریش نیچه جولان یافت. او تنها فیلسوف بزرگی بود که خرد او به روی پرسش‌های خاصی گشوده شد.
گفت‌و‌گو با پرندگان، تنها عادت عجیب فیثاغورث نبود. مذهب او، از همه جهت حاوی برخی اعمال خیلی عجیب بود. هر کس به مذهب او می‌پیوست، باید فهرست بلند بالایی از دستوراتی را که معلم آن‌ها را ترسیم می‌کرد، انجام می‌داد. مذهب فیثاغورث هم مانند هر مذهب دیگری شامل فهرستی از چیزهایی بود که حرام شده بود. مثلاً حبوبات نحورید، اولین نفری نباشید که خوردن نان را شروع می‌کنید، اجازه ندهید پرندگان روی بام خانه‌ی شما لانه بسازند، در نور شمع به آینه نگاه نکنید. صبح که از بستر بر می‌خیزید، باید مطمئن شوید که ملحفه‌ی شما صاف و مرتب است. وقتی قابلمه‌ی غذا را از روی آتش بر می‌داریم، خاکستر را زیر و رو کنید تا اثری از آن بر جا نماند.
چرا اندیشه‌های درخشان ریاضی با خرافه‌پرستی تمام عیار در ذهن چنین ریاضی‌دانی جمع می‌شوند؟! امروزه از این چشم انداز که به علم و استدلال عقیده داریم، پرسیدن چنین سؤالاتی آسان است. در عصر فیثاغورث زمینه‌ی ذهنی با امروز تفاوت زیادی داشت. علی‌رغم جو حاکم بر آن دوران، در بسیاری جهات کشفیات ریاضی هم چنان انجام می‌شد. اعداد هنوز باید از لاک جادویی خود بیرون بیایند، چون عددشناسی زمینه جدایی از حوزه‌ی ریاضی داشت. (آیا باور نکردنی به نظر نمی‌رسد اگر بدانید برخی از مردم تا آن جا پیش رفتند که تاریخ تولدشان شخصیت آن‌ها را مشخص می‌کرد).
تحقیقات فیلسوفانه قبلاً شروع شده بود و در مسیری شگفت‌انگیز در حال پیشرفت بود. (کمتر از 250 سال بعد تالس مطالعات فلسفی را شروع کرد، افلاطون متولد شد. که به ظن قوی مهم‌ترین حکیم سوفسطایی آن زمان بوده است). ماجرای فلسفه به این معنی است که سؤالاتی را که درباره‌ی حیات و جهان وجود دارد خارج از متون اسطوره‌ای و خرافه‌پرستی (یعنی طبق مذاهب بت‌پرستی آن زمان) می‌توان پرسش کرد. با این حال، در ورای دید فلسفی روشن و نوپا، هر درخت، هر حرکت اجرام آسمانی یا پرواز پرندگان، هر عدد، هر حادثه‌ی احتمالی، همه و همه، جنبه مبهم و نشانه‌ی خود را دارند. از این بابت، عقاید فیثاغورث به دوران پیش از فلسفه شبیه بوده است. دانش ریاضی و فلسفه از مذهب گسسته شد وفیثاغورث تلاش کرد تا آن را مجدداً به مردم معرفی کند.
مانند رفتارهای مرموز دیونزیان، تمرینات علمی و ریاضی فیثاغورث در هاله‌ای از رمز و راز باقی مانده است. صرف‌نظر از قوانین مضحک و کشفیات بسیار زیاد دیگر، بقیه قابل بحث و تفحص است. در اندیشه‌های فیثاغورث گونه‌ای خویشاوندی بین عرفان و ریاضیات و رژیم غذایی و اخلاقیات وجود دارد. آن ها در همه چیز در خانه‌های مشترک با هم سهیم‌اند. در این خانه‌ها تبعیض اجتماعی بین طبقات وجود ندارد و با برده‌ها مانند بقیه رفتار می‌شود. این تساهل حتی در مورد زنان هم روا داشته می‌شود.
به نظر نمی‌رسد که این رفتار انقلابی مساوات طلب اثر تخریبی داشته باشد، یا حداقل در آغاز این گونه نبوده است. طرفداران فیثاغورث نسبت به حکمرانان و اشراف شهرهای مستعمره‌ی یونان، در جنوب ایتالیا، مهربان بودند و چندی نگذشت که فیثاغورثی‌ها دین تازه‌ای تأسیس کردند خانه‌های اشتراکی فیثاغورثی‌ها در تمام شهرهای اصلی اطراف خلیج تارانتو گسترش یافت و وفاداری آنها حتی تا دوردست‌ها را فرا گرفت. حاکمان شهرهای یونان از فلسفه‌ی فیثاغورث در برابر گسترش نفوذ ایده‌های مردم پسند حمایت می‌کردند. پس به همین دلیل، جوامع فیثاغورثی را نباید آن گونه که به نظر می‌رسد، مردم پسند دانست. احتمال دارد. انتخاب اعضای آن‌ها بر مبنای نخبه‌گرایی بوده باشد: ارواح خویشاوند طبقه‌ی تحصیل کرده، به همراه برده‌های مورد اعتماد آن‌ها. فلسفه‌ی فیثاغورث مؤلفه‌هایی از مبارزات اخلاقی داشته است، اما خانه‌های آن احتمالاً به مؤسسات آموزش عالی شبیه بوده است ترکیبی از روشنفکران اخلاقی که به اندازه‌ی امروز غیر معمول بوده است.
این ایده که همه چیز عدد است، طرفداران فیثاغورث را به این باور سوق داد که جهان دارای نظم ریاضی است. نظم موسیقی و نظم‌های کرات آسمانی جنبه‌هایی از آن است. هارمونی دیگر در شکل‌های هندسی است که به خصوص در شکل‌های طبیعی، منتظم دیده می‌شود. در زمان فیثاغورث، فقط چهار شکل فضایی منظم شناخته شده بود که عبارت بودند از: هرم، سه وجهی، مکعب، هشت وجهی و دوازده وجهی. زمانی مردم به اشکال هندسی منتظم عقیده داشتند که آن‌ها با چهار عنصر واقعی طبیعت متناظر بود. کریستا‌های پیریت آهن به شکل دوازده وجهی و طبیعی در ایتالیا یافت شد و در قرن دهم پیش از میلاد اتروریاها سنگ‌های حکاکی شده به این شکل را می‌پرستیدند. مصری‌ها سه شکل فضایی را می‌شناختند، دوازده وجهی برای آنان ناشناخته بود. حتی برای ساختن بناها و ساختمان‌ها از این اشکال استفاده می‌کردند. اما فیثاغورث روش هندسی ساختمان چهار شکل فضایی منتظم را کشف کرد.
دوازده وجهی تقریباً کره‌ای است که از 12 پنج ضلعی منتظم تشکیل شده است که گمان می‌رفت با شکل جهان متناظر است. بنابراین در درون وحشتناک است. عقیده‌ی فیثاغورث درباره‌ی دانش ریاضی خیلی مرموز بود و باید گفت که یکی از بزرگترین اسرار بود. در حقیقت وقتی کشف شد که یکی از اعضای گروه او، راز دوازده ضلعی را برای افراد بیرون فاش کرده است، دیگران او را کشتند و در فاضلاب عمومی غرق کردند. (این جدیدترین مرگی است که در نتیجه‌ی فاش کردن داده‌های ریاضی اتفاق افتاده است. این سنت تاریخی در نیمه‌ی دوم قرن بیستم در خلال جنگ سرد به اوج خود رسید.) این واقعیت که دوازده وجهی از روی پنج ضلعی منتظم (شکل‌های پنج وجهی) ساخته شد به شکل خاصی به آن اهمیت داد. پنج ضلعی و ستار‌ه‌ی پنج پیکر (پنج پایه ستاره مانند منتظم که داخل آن قرار می‌گیرد) را بابلی‌ها می‌شناختند. بابلی‌ها ویژگی‌های فوق‌العاده‌ای برای این شکل‌ها قائل بودند.

ستاره پنج پیکر داخل pentagon منتظم

پنج ضلعی منتظم
بابلی ها ستاره‌ی پنج پهلو را نشانه‌ی سلامت بدنی و روحی می‌دانستند و ویژگی‌های آن را به نسبت‌های آسمانی ربط می‌دادند (بعدها آن را نسبت طلایی می‌شناختند). شکل متناظر این نسبت خطی است که بخش کوچک آن نسبت به بخش بزرگتر متناسب با بخش بزرگ آن به کل خط است.

در ستاره‌ی پنج پهلوی قبلی، نسبت yz به yx به اندازه‌ی نسبت xy است. این نسبت xy به xz است. این نسبت، بخش‌های مختلف را به کل شکل مربوط می‌کند و اهمیت زیاد نمادها، کار بابلی‌ها را نشان می‌دهد. راز چگونگی کنار هم قرار گرفتن جهان از این جا معلوم می‌شود؛ یعنی بخش‌های آن متناسب با یکدیگرند و جمع بخش‌های مختلف به کل آن مربوط می‌شود. چگونه موجودات انسانی به جامعه به صورت کل مربوط می‌شوند و چگونه جامعه به کل جهان مربوط می‌شود. بسیاری از روابط سمبلیک دیگر هم به همین ترتیب است. چنان که در نسبت طلایی،حداکثر هارمونی با تقدس عارفانه مورد توجه است. وقتی کشف شد که ستاره‌ی پنج پهلو بر اساس نسبتی آسمانی شکل گرفته است (یا نسبت طلایی) آن را هم شکلی مقدس فرض کردند.
ستاره‌ی پنج پهلو در پنج پهلوی قبلی نسبت AB به BC نسبت طلایی است. در مورد AC به AB هم به همین منوال است. از آن جا که این شکل منتظم است، این نسبت در مورد همه‌ی خطوط کامل در کل شکل درست است. در نتیجه‌ی این نسبت‌ها ستاره‌ی پنج پهلو بسیار بزرگ فرض می‌شود، در حالی که در تمام قرون دارای اهمیت و مرموز بوده است. تا به امروز این ویژگی‌ها در بیشتر پرچم‌ها شامل هلال و ستاره‌ی مسلمانان و پرچ کشورهایی از بورکینافاسو گرفته تا ساموای غربی، چین تا ایالات متحده‌ی آمریکا دیده می‌شود. فیثاغورثی‌ها اولین کسانی اند که ستاره‌ی پنج پهلو را به صورت نشانه‌ی شناسایی استفاده کردند البته برای آن‌ها این شکل علامت رمز بوده و بیشتر شبیه دست دادن فراماسون‌ها را داشت. فراماسونری علامت رمز بود. (امروزه هم معنی پنچ پهلو برای تمام کسانی که از آن به صورت سمبل استفاده می‌کنند، مرموز مانده است).

راز بزرگ دیگری که فیثاغورثی‌ها تلاش کردند تا نزد خود نگه دارند، کشف اعداد گنگ مثل رادیکال 2 بود که قابل محاسبه نیست. این کشف ضربه‌ی بزرگی بود. به عبارت دیگر تمام ساختمان ریاضی که بر اعداد صحیح بنا شده است، به سادگی همه چیز را نمی‌تواند توضیح دهند. نظریه‌ی فیثاغورثی هرگز بر این کشف ویرانگر غلبه نکرد تا توضیح دهد که چرا فیثاغورثی‌ها تا آن جا رفتند که آن را برای خودشان حفظ کنند. گفته می‌شود که هیپاسوس فیثاغورثی از اهالی متاپونتیوم چون راز اعداد گنگ را برملا کرده بود، هم قطاران او برایش عذاب آسمانی طلب کردند و او در کشتی شکسته‌ای از بین رفت.
برخی از مورخین عقیده دارند که داستان مرگ هیپاسوس و قتل فیثاغورثی‌هایی که از راز دوازده وجهی پرده برداشتند، ممکن است که افسانه‌هایی دیگر باشد که به آن حادثه بر می‌گردد. مدارکی که درباره‌ی فیثاغورث و فیثاغورثی‌ها داریم، از بسیاری از منابع مختلف قدیمی گرفته شده‌اند و معمولاً اعتبار قابل اثباتی ندارند. چون فقط می‌توانیم مدارک تکه‌تکه‌ای را که به دست ما رسیده‌اند، باز گوییم. به هر حال، این‌ها تصاویر کلی و مشخصی را می‌سازند که تا حدودی می‌توانیم مطالبی درباره‌ آن مطرح کنیم.
از طرف دیگر، فیثاغورثی‌ها همیشه با همدیگر بد نبودند. گفته می‌شود که وقتی فیثاغورث قضیه‌ی معروفش را کشف کرد، با مریدهایش جشن گرفتند و در ضیافت با گوشت کباب شده‌ی گاو از مهمانان پذیرایی کرد. گیاه‌خواران پر و پا قرص حتماً دلیل شگفت‌انگیزی برای این نقض قوانین خود داشته‌اند.
اما بر اساس گفته‌ی مریدان فیثاغورث، او معمولاً نیروهای معجزه‌آسایی از خود نشان داده است. روزی وقتی دید که کسی سگی را شلاق می‌زند، از او خواست دست از این کار بردارد. با این حال، فیثاغورث همیشه نسبت به حیوانات چندان مهربان نبود. یک بار ماری سمی او را گزید، بلافاصله برگشت و مار را کشت. بار دیگر چند نفر از ماهیگیران ناموفق را آموزش داد تا دو بار تور ماهیگیری را بیندازند، به طوری که با گرفتن مقدار زیادی ماهی خوشحال شدند. این موارد البته افسانه است، اما در پس آن دیوانگی‌ها داستان‌هایی نهفته است. این افسانه‌ها در قرون بعد از میلاد به نام فیثاغورث انباشته شده است. از آن جا که مسیحیت زیر بنای مذهب امپراتوری روم بود، مسلک فیثاغورث به صورت مذهب زیرزمینی امپراتوری روم درآمد. برخی افراد معجزاتی به فیثاغورث نسبت می‌دهند که به معجزات مسیح شباهت جدی دارد.
عقاید فیثاغورث به صورت مذهب بنیان نهاده شد، اما مانند مذاهب دیگر آن زمان یونان نبود. این مذهب با فرض داشتن چنین ساختار اجتماعی، دستورات اخلاقی، مرموز بودن و فراگیر شدن همه جانبه، گویا در عرصه جامعه نتوانست نقش سیاسی بازی کند. دستورات اخلاقی آن هم هیچ نظریه سیاسی واقعی را شامل نمی‌شد. ما دوست داریم بیشتر درباره‌ی دموکراسی فکر کنیم تا این که گمان کنیم همه چیز عدد است.
مذهب فیثاغورث شامل قواعدی برای رهبری بود، اما بیشتر مذهبی بودند تا این که ماهیت مدنی داشته باشند، به عبارت دیگر، در موضوعات سیاسی از روش مذهبی زندگی یا حکومت قدیسین دفاع می‌کرد. نمونه‌ی مشابه آن بنیادگراهایی‌اند که از بدو پیدایش آمریکا تا خاورمیانه‌ی جدید روی کار آمده‌اند. آن‌ها مدافع دموکراسی نبودند و حکومت‌های اشرافی جنوب ایتالیا آنان را خطری برای خود به حساب می‌آوردند. به همین ترتیب، کسانی که از اصلاحات مردم سالاری حمایت می‌کردند، علاقه نداشتند تا اصلاحات اخلاقیات آن‌ها را هم در بر بگیرد. حکمرانان با مهارت این وضعیت را ساخته و پرداخته بودند و مردم هم به زودی در برابر فیثاغورثی‌ها جبهه‌گیری کردند. در نتیجه فیثاغورث و هواداران او ناچار شدند تا از منزل‌گاه خود در کرتون بگریزند.
این واقعه حدود سال 500 پیش از میلاد اتفاق افتاد. به عبارت دیگر، فیثاغورث حدود 30 سال در کرتون بوده است. گفته شده که مریدان او در کرتون آن زمان، حدود 300 نفر بوده‌اند. بنابراین احتمالاً آن‌ها در چند خانه به صورت مشترک زندگی می‌کردند. قاعدتاً برخی از پیروان او باید امرار معاش کنند، یعنی آنان حمایت از افراد خیلی پرهیزکار را وظیفه‌ی خود بدانند یا کسانی که به قدر کافی پرهیزکارند زمینه را برای آنان فراهم کنند. این مردان دارای تحصیلات ریاضی بودند، به این معنی که احتمالاً آن‌ها دارای جایگاه بالای اجتماعی بودند. به این ترتیب به درک بهتری می‌رسیم که چرا چنین جامعه‌ی مرموزی خطر به حساب می‌آید. البته برخی منابع می‌گویند فیثاغورث مسئول اصلاح گردش پولی جامعه بوده است. می‌دانیم که ضرب سکه در کرتون چه در طراحی یا تولید آن پیش از هر جای دیگری شروع شد. این حقیقت که پدر فیثاغورث حکاک بود، به اعتبار این ایده می‌افزاید که او در ضرب سکه هم دست داشته است. بسیاری از دانشمندان این داستان را قبول دارند که از دو چیز حکایت می‌کند. ابتدا این فیثاغورث در کرتون جایگاه اجتماعی بالایی داشت و از مهارت‌های سیاسی که در ساموس آموخته بود، استفاده می‌کرد. ثانیاً دانش عقلی گسترده‌ی او با موفقیت‌های عملی توأم بود. اما بار دیگر مهارت‌های سیاسی او برای بحث با هر کس که می‌خواست این نقش را بازی کند، سبب شکست او می‌شد.
بلافاصله پس از آن که فیثاغورث و پیروان او از کرتون اخراج شدند، به شهر مستعمره‌نشین دیگر یونان به نام متاپونتیوم در 100 مایلی شمال خلیج تارانتو رفتند و در آن جا مستقر شدند. فیثاغورث حدود 60 سال سن دارد. او در سن بازنشستگی بود و می‌دانست که میانگین امید به زندگی برای این دوره حدود 35 سال است. اما سال‌های تحریم خوردن حبوبات آشکارا اثر زیان بار خود را روی او گذاشته بود، چون فیثاغورث چندی بعد از رفتن به متاپونتیوم مرد. بر اساس قول دیگری وقتی که فیثاغورث شاهد سوختن خانه‌های اشتراکی توسط مخالفان بود، تا سرحد مرگ غمگین شد.
مانند بقیه‌ی زندگی فیثاغورثی‌ها، این‌ها هم قابل تأیید نیست. حقیقت امر این است که برخی مفسران جدید تا آن جا پیش رفته‌اند که حتی بحث می‌کنند که اصلاً فیثاغورثی وجود داشته است یا نه. مثل این قول که ویلیام شکسپیر همان فرانسیس بیکن است. وقتی دسترسی به حقایق، ضعیف و افسانه‌وار باشد، چنین بحث‌هایی هم امکان‌پذیر است.
اما با تمام این اقوال، به نظر می‌رسد که می‌تواند مدارک موجود درباره‌ی فیثاغورث درست باشد. همان طور که می‌توان قضیه‌ی معروف، آشنایی با اثبات ریاضی، کشف اعداد گنگ، مذهب اختراعی فیثاغورث و... را منکر شد و نوع دیگری درباره فیثاغورث قضاوت کرد.

سخن پایانی

مکتب فیثاغورث بعد از مرگ رهبر آن در سراسر جنوب ایتالیا گسترش یافت. هیپاسوس از متاپونیوم از فیثاغورثی‌ها شاخصی بود که گفته می‌شود در خلال این دوره کارهای ریاضی بزرگی انجام داده است (یعنی قرن پنجم پیش از میلاد). منابعی وجود دارد که چند کشف را بیش از آن که به فیثاغورث نسبت دهند، به او منسوب می‌دانند. زمانی که او نسبت‌های مبنایی هارمونی ریاضی را کشف کرد (یعنی 2 به 3 1 به 4 2 به 3). برخی معتقدند که اعداد گنگ را نیز او کشف کرد ولی آن‌ها را پیش از شروع سفرش پیش خود نگه داشته بود.
در سال 450 پیش از میلاد، موج بلندی از احساسات مردم سالاری به موجی از انقلابات در سراسر مگنا گراسیا تبدیل شد. در آن جا شهرهای مستعمره‌ی یونان طعمه‌ی مناسبی برای شورش‌ها و بی‌نظمی‌های مدنی شده بودند. فیثاغورثی‌ها هدف عمومی بودند و بسیاری از خانه‌های اشتراکی آنان سوخت و با خاک یکسان شد. بیش از 50 فیثاغورثی در آتش‌سوزی خانه‌ی میلو در کرتون کشته شدند. این مطلب حکایت از آن دارد که خانه‌های اشتراکی احتمالاً خیلی بزرگ بوده و شاید حیاط مرکزی داشته اشت و خانواده‌های زیادی را در خود جای می‌داده است. خانه‌ها را افراد متمول نوآیین مثل میلو به جنبش بخشیده بودند.
بعد از 450 بیش از میلاد، جنبش فیثاغورثی‌ها به دو گروه تقسیم شد. یک گروه، شامل جمعیت بزرگ مستمعین بودند که در تارانتوم مستقر بودند. این گروه اصولاً با آیین مذهبی مربوط می‌شدند. و پیوسته کسب اطمینان می‌کردند که گنجشکی بر بام خانه‌های آن‌ها خانه نسازد و کسی حیوانات دست‌آموز خانگی را نخورد. گروه دیگر، عمدتاً ریاضی‌دانان بودند که از عرض مدیترانه فرار کردند و خود را به سرزمین اصلی یونان رساندند. اتفاقاتی به وقوع پیوست و این گروه بسیاری از اصول تفننی فیثاغورثی را به نفع پیروان پر و پا قرص اصول ریاضیات منتشر کردند. چراغ راهنمای این گروه فیلولوس بود، که در تیبس زندگی می‌کرد. می‌گویند که فیلولوس کتابی به نام «در طبیعت» نوشته است. این کتاب جامع‌ترین کاری است که این اصول، فلسفه و کشفیات فیثاغورث و پیروان او را نشان می‌دهد. افلاطون این کار با به مبلغ بالایی خرید و به مقدار زیادی تحت تأثیر فلسفه‌ی او واقع شد. به جای آن که افلاطون اعداد را حد نهایی واقعیت بپندارد، عقیده‌ی انتزاعی این ایده را جانشین آن کرد که به شیوه‌ی مشابهی برای زندگی هر روزه‌ی دنیای اطراف ما تلفیق شده است.
متأسفانه خبر علاقه‌ی افلاطون به فیثاغورث و نشان دادن علاقه‌اش به شکل انتشار پول و سکه به سرعت منتشر شد. آثار دیگر فیثاغورث در باره‌ی این ایده هم خیلی زود منتشر شد. بسیاری از آن‌ها حتی تخیلی‌تر از آن به نظر می‌رسند که از اقوال مکتب فیثاغورث باشند. بحث‌های تندی درباره‌ی صحت آن‌ها تا به امرزو باقی است؛ تا آن جا که باعث شده‌اند که واقعیت اندیشه‌های فیثاغورث مغشوش دیده شود.
بعدها فیلولوس به مگنا گراسیا برگشت و با جناح مستمعین در تارانتوم تجدید پیمان کرد. در این جا او مؤلفه‌ی لازم برای سخت‌گیری ریاضی را معرفی کرد و روی شاگردش آرکیتاس تأثیر زیادی گذاشت. آرکیتاس دوست نزدیک افلاطون بود. آرکیتاس آخرین و بزرگ‌ترین فیثاغورثی اخیر بود. گویا او در هر کاری که شروع می‌کرد، موفق می‌شد. او فرمانده‌ی نظامی برجسته‌ای بود، به طوری که برای نیروهای تارانتوم چند پیروزی چشمگیر به ارمغان آورد. مهارت فلسفی او برای تحت تأثیر قرار دادن افلاطون کافی بود. افلاطون نسبت به فیلسوف‌های تازه کاری که به قلمرو او وارد می‌شدند، علاقه‌ای نداشت. او دارای هوش مکانیکی بود و نوعی پیچ، قرقره و غلطک و جغجغه اختراع کرد. همان‌طور که امروزه برای سرگرم کردن اطفال از جغجغه استفاده می‌شود، در زمان‌های قدیم از آن برای هشدار دادن استفاده می‌شد. یک فرض این است که آرکیتاس به خاطر موفقیت در فرمانده‌ی نظامی به شهرت رسید. آرکیتاس ریاضی‌دانی برجسته بود و معمای هندسی کلاسیک درباره‌ی چگونگی دو برابر کردن اندازه‌ی مکعب را حل کرد. او موسیقی‌دان هم بود.
بعد از مرگ آرکیتاس در حدود سال 350 پیش از میلاد، مکتب فیثاغورث به هیئت‌های مختلف درآمد. در دوره‌ای مؤلفه‌های اندیشه‌ی افلاطون را پذیرفت و مکتب نوفیثاغورثی شد؛ سپس در قرون بعد از میلاد، به صورت مذهبی زیرزمینی با مسیحیت رقابت می‌کرد. در حدود قرن چهارم بعد از میلاد هم به مکتبی زیرزمینی تبدیل و ناپدید شد. کسانی گفته‌اند که افراد آن جذب مکتب نو افلاطونی شدند. برخی هم می‌گویند که آن‌ها تبدیل به صاحبان بدعتی در مسیحیت شد.
صد سال بعد، مکتب فیثاغورث دوباره سر برآورد. بسیاری از انسان‌گراهای رنسانس به مکتب فیثاغورث به صورت پدر دانش‌های دقیق نگریستند. این ادعای عجیب و غریبی نبود. وقتی کپرنیک گفت که زمین به دور خورشید می‌چرخد، آن را عقیده‌ی فیثاغورث می‌دانست. بعدها گالیله، مکرراً به اندیشه‌های فیثاغورث مراجعه کرد. او به مفاهیم ریاضی او علاقه نشان می‌داد اما اشتهای سیری ناپذیری به گوشت و حبوبات داشت. لایب نیتز در قرن هجدهم فیثاغورث را ستود. لایب نیتز شخصیتی عجیب و غریب و پر کار مانند فیثاغورث بود. این ریاضی‌دان و دانشمند برجسته آلمانی خودش را وارث فیثاغورث معرفی کرد. احتمال هم دارد که این گونه بوده باشد. برطبق نظر مفسری جدید، نفوذ فیثاغورث ادامه می‌یابد، به علاوه چنین انسانی، ملی‌گرای اهل دوریس، ورزشکار، آموزگار مردم و جادوگری بزرگ شناخته شده بود. علی‌رغم چنین تحسین‌هایی، برخی فیثاغورث را به صورت ریاضی‌دانی ابتدایی می‌شناسند. کسانی که زیبایی قضیه‌ی او را نمی‌خواهند ببینند.

چند نکته‌ی فیثاغورثی

بسیاری از تفکرات فیثاغورثی‌ها درباره‌ی اعداد، ترکیبی از عرفان و ریاضیات بود. فیثاغورث دو نوع عدد کامل معرفی کرد. اولی فقط یک مثال دارد و آن هم عدد 10 است. از آن جا که عدد 10 مبنای سیستم اعشار است، کامل است. (البته این بحث توضیح واضحات است.) اگر مانند بابلی‌های قدیم، مبنای سیستم عددی را بر 60 بگذاریم یا مانند رومی‌های اراوک جنوب آمریکا مبنا را عدد 5 قرار دهیم، این اعداد هم کامل به حساب می‌آید. اما برای فیثاغورث 10 کامل بود، زیرا با جمع اولین 4 عدد برابر است:
10=4+3+2+1
به همین علت آن را دستگاه چهارتایی می‌خواندند و به صورت هرم نشان می‌دهند:

فیثاغورثی‌ها دستگاه چهارتایی و هرم آن را مقدس می‌شمردند و به عدد 10 قسم می‌خوردند. (این هرم همه‌ی اعدادی که هارمونی‌های مبنای موسیقی را می‌سازند. هم شامل می‌شود: 4:3 3:2 2:1 و هم چنین با هارمونی کرات مربوط می‌شود).
نوع دوم عدد کامل خیلی جالب‌تر است (و از نظر ریاضی ثمربخش). این عدد شامل اعدادی می‌شود که با جمع فاکتورهای آن برابر است (شامل 1، اما به جز خودش). مثلاً:
1+2+3=6
1+2+4+7+14=28
دو عدد کامل بعدی عبارت‌اند از: 496 و 8128 . در حقیقت این اعداد برای فیثاغورثی‌ها شناخته شده بود. اصول اقلیدس (فصل، 36) شامل فرمولی برای پیدا کردن اعداد کامل است که فیثاغورثی‌ها آن را کشف کرده بودند:
وقتی عدد اول است، آن گاه عدد کامل است. اعداد کامل فیثاغورث را به کشف اعداد دوست سوق داد. در این جفت عددها هر عدد با جمع فاکتورهای دیگر برابر است. کوچک‌ترین اعداد دوست عبارت‌اند از: 220و 284.
220 را می‌توان بر 55 44 22 20 11 10 5 4 2 1 و 110 تقسیم کرد. جمع این مقسوم علیه‌ها برابر با 284 است. 284 را می‌توان بر 71 4 2 1 و 142 تقسیم کرد. جمع این‌ها برابر با 220 است. برخی ادعا می‌کنند که مدرک اخیر برای دانش اعداد دوست در انجیل ذکر شده است، در حالی که وقتی جاکوب با عیسو پیمان کرد، مبلغ 220 گروت به طور نمادین به او داد.
فیثاغورثی‌ها مثلث اعداد را هم می‌شناختند.

فیثاغورث با کشف فرمول سه تایی‌های اعداد فیثاغورثی کسب اعتبار کرد، یعنی اعدادی که در این فرمول جواب می‌دهد:

فرمول کشف سه تایی‌های فیثاغورثی از قرار زیر است:

n باید عدد فرد باشد. این فرمول برای بابلی‌ها شناخته شده بود و قیثاغورث هم ابتدا به بابل رفت. تا آن زمان در یونان چنین فرمول کشف نشده بود.
اقلیدس در کتاب ششم، قضیه‌ی 31، برای قضیه‌ی فیثاغورث اثباتی عمومی ارائه می‌کند که برای فیثاغورثی شناخته شده بود:
در مثلث قائم‌الزاویه شکل روی ضلع رو به روی زاویه‌ی قائمه با شکل‌های مشابه روی اضلاع مشابه کنار زاویه‌ی قائمه برابر است.
در شکل بالا در مثلث قائم‌الزاویه‌ی ABC زاویه‌ی BAC قائمه است.
شکل روی ضلع BC با شکل‌های مشابه روی اضلاع BA و AC برابر است.

حال عمود AD را رسم می‌کنیم. از آن جا که در مثلث قائم‌الزاویه‌ی AD ، ABC از زاویه قائم‌الزاویه در A عمود را به قاعده‌ی BC رسم می‌کنیم. مثلث‌های ABD,ABC مجاور خط عمود با کل ABC و با یکدیگر مشابه‌اند.
و از آن جا که ABC با ABD شبیه است، بنابراین اگر CB با BA همانند باشد، پس AB با BD همانند است.
و از آن جا که سه خط مستقیم متناسب‌اند، یعنی خط اولی با سومی متناسب است، پس شکل روی خط اولی همانند روی خط دومی است. بنابراین از آن جا که CB همانند BD است، بنابراین شکل روی CB همانند شکل روی BA توصیف می‌شود. به همین دلیل، از آن جا که BC همانند CD است، بنابراین شکل روی BC با شکل روی CA همانند است، به طوری که به علاوه، وقتی BC همانند BD,DC است، پس شکل روی BC همانند BA و AC توصیف می‌شود.
اما BC معادل BD و DC است: بنابراین شکل روی BC هم همانند شکل‌های روی BA و AC توصیف می‌شوند.
بفرمایید، ثابت شد.
مطلب زیر اثبات ساده‌ای از قضیه است:
در شکل زیر ABX+ACX=ABC سه مثلث همانند هستند و به ترتیب روی قاعده‌های AB و ACو BC بنا شده‌اند اما مساحت مثلث‌ها در تناسب کامل با مساحت‌های مربع‌ها روی همان قاعده‌ها است، بدین ترتیب قضیه اثبات می‌شود.
اثبات چینی برای این قضیه در چوبی سوان شینگ آمده است که مربوط به سال‌های بین 500 پیش از میلاد مسیح است. به عبارت دیگر چینی‌ها هم مستقلاً به این اثبات رسیدند.
نوع ساده‌شده‌ی اثبات چینی از همه‌ی اثبات‌ها زیباتر است:

مربعی با اضلاع a+b مربعی با اضلاع c دارد که در آن رسم می‌شود. به زبان ساده، در این اثبات مساحت کل با مساحت مربع و چهار مثلث برابر است. معادله‌ی زیر به دست می‌آید:

که به شکل زیر ساده می‌شود:

امروزه حدود 400 اثبات شناخته شده برای قضیه‌ی فیثاغورث وجود دارد که بیش از هر قضیه‌ی دیگر در ریاضیات است. این‌ها را کسانی با سبک زندگی مختلف شامل جادوگرهای بابل، دانش‌آموز 14 ساله‌ای از اوهایو با هوش متوسط و نابغه‌ی 21 ساله‌ی ریاضی به نام گالویز که در درگیری به او تیراندازی و کشته شد ایجاد کرده‌اند. سرنوشت مشابهی گریبان‌گیر مؤلف برجسته‌ی اثبات قضیه‌ی فیثاغورث به نام جیمز ای. گارفیلد شد که در سال 1881 میلادی رئیس جمهور ایالات متحده‌ی آمریکا شد، اما سه ماه بعد از اجرای مراسم سوگند ریاست جمهوری به او شلیک و کشته شد. سخن آخر: مفسر باستان، آولوس جلیوس درباره‌ی این که فیثاغورث خوردن حبوبات را تحریم کرد، توضیحات مفصلی ارائه کرده است. به نظر او، چیزی که واقعاً فیثاغورث گفت عبارت بود از:
انسان‌های مفلوک، بدبخت‌های بیچاره، از خوردن حبوبات دست بردارید! آن معنی را نمی‌دهد که به نظر می‌رسد. امروزه حبوبات را برای تقویت بیضه‌های انسان مؤثر می‌دانند، بنابراین تحریم خوردن حبوبات توسط فیثاغورث، یعنی کم کردن فعالیت جنسی مریدانش (در واقع نوعی ریاضیت بدنی).

پی‌نوشت‌:

1. لیر. نوعی ساز زهی قدیمی شبیه چنگ.
منبع مقاله: جمعی از نویسندگان زیرنظر شورای بررسی، (1394)، آشنایی با مشاهیر علم، تهران: نشر و تحقیقات ذکر، چاپ اول.

منبع مقاله :
جمعی از نویسندگان زیرنظر شورای بررسی، (1394)، آشنایی با مشاهیر علم، تهران: نشر و تحقیقات ذکر، چاپ اول