یكاهای طبیعی ماكس پلانك

چكیده: در این مقاله یكاهای ارائه شده توسط ماكس پلانك بررسی می‌شود.
ورنر هایزنبرگ كه در سال 1932 به خاطر ارائه اصل عدم قطعیت جایزه نوبل فیزیك را برده است، در سال 1958 در جشن صدمین سالگرد تولد ماكس وجود كمیتی به عنوان كنترین طول جهانی را پیشنهاد كرد. هایزنبرگ تخمین زد كه مقدار این كمترین طول جهانی باید از مرتبه قطر هسته‌های ساده یعنی m باشد. پژوهشگران گرانش كه در زمینه هندسه دینامیك كوانتومی كار می‌كنند طول پلانك را به عنوان كمترین طول جهانی پذیرفته‌اند. مقدار این طول از مرتبه m و بسیار كوچكتر از برآورد هایزنبرگ است. پلانك اولین بار مقاله مربوط به طول پیشنهادی خود را در سال 1899 و متن انگلیسی آن را در سال 1959 منتشر كرد. او همراه با طول جهانی خود سه ثابت جهانی دیگر هم برای جرم، زمان، و دما ارائه كرد كه به ترتیب عبارت‌اند از
(1)
(2)
(3)
(4)
h ثابت كنش پلانك، c سرعت نور در خلأ، G ثابت گرانش، و K ثابت بولتزمن است.
با یك نظر به مقادیر این (به قول پلانك) یكاهای طبیعی متوجه مقدار فوق العاده بزرگ دما () می‌شویم. بعضی كیهان شناسان پیشنهاد كرده‌اند كه این دمای جهان در زمان مهبانگ بوده است؛ شاید بالاترین دمایی كه تاكنون وجود داشته است. طول و زمان فوق العاده كوچك به نظر می‌رسند و بنابراین طبیعی است كه پژوهشگران گرانش این مقادیر را به عنوان نامزدهای كمترین مقادیر جهانی انتخاب كرده باشند. اما چون جرم پلانك () نه خیلی كوچك به نظر می‌رسد و نه خیلی بزرگ، بعضی فیزیك‌ دان‌ها این امكان را در نظر می‌گیرند كه وقتی سرعت ذرات بنیادی (مثلاً الكترون‌ها) به سرعت نور نزدیك می‌شود جرم آن‌ها به جرم پلانك میل می‌كند؛ و این بر خلاف پیش بینی نظریه نسبیت است كه طبق آن در این شرایط جرم باید بی نهایت شود.
انتخاب h ،c وG توسط پلانك به عنوان اجزاء دستگاه یكاهای طبیعی‌اش می‌تواند مؤید علاقه او به ایجاد یك وحدت كلی بین تمام نیروهای طبیعت باشد كه امروزه آن را نظریه‌ی وحدت میدان‌ها می‌نامند. ملاحظات پلانك در مورد انتخاب ثابت‌های جهانی از سه عرصه مختلف طبیعت (h از مكانیك كوانتومی، c از نظریه نسبیت، و G از نظریه كلاسیك گرانش) گویای هدف او مبنی بر ایجاد یك وحدت بزرگ است. پلانك بر استقلال یكاهای طبیعی‌اش تأكید می‌كرد. مثلاً، بر خلاف طول استاندارد به طول‌های معیار یا به امواج نور بستگی ندارد؛ بر خلاف مقیاس‌های اندازه گیری فارنهایت و سلسیوس به هیچ وجه به نقطه ذوب یا نقطه جوش یك ماده به خصوص وابسته نیست. خود پلانك در این مورد گفته است.
.... این یكاها مستقل از اجسام یا عناصر ویژه‌اند و به همین خاطر ضرورتاً معنای خود را در همه زمان‌های و در تمام شرایط (زمینی، انسانی، و غیره) حفظ خواهند كرد. مادامی كه قانون گرانش، قانون سرعت نور در خلأ، و دو قانون اساسی ترمودینامیك معتبر باشند این یكاها هم معتبر خواهند بود. باید توجه داشت كه h ،c وG از لحاظ نسبیتی هم ناواردا هستند. یكاهای طبیعی پلانك یگانه‌اند. یكاهای دستگاه‌های دیگر مانند یكاهای اتمی و یكاهای الكتروستاتیكی و الكترومغناطیسی، شامل تركیباتی از ثابت‌های جهانی‌اند. اما اغلب به مناسبت مطالعه سیستم‌های فیزیكی خاص تدوین شده‌اند و اهمیتی به مفهوم مطلق ندارند.
پلانك روش به دست آوردن یكاهای طبیعی‌اش را توضیح نداده است. شاید با استفاده از نبوغ خود به طور شهودی به آن‌ها رسیده باشد. یك روش صوری تحلیل ابعادی در قرن بیستم تدوین شده كه احتمالاً پلانك هم آن را بلد بوده است. ما هم این روش تحلیل ابعادی را در این مقاله ارائه می‌دهیم، چون اگر روش‌های جبری با یك مثال خاص توضیح داده شوند برای خواننده جالب تر خواهند بود. برای به دست آوردن طول پلانك معادله زیر را برای هر x، y، و z حل می‌كنیم.
(5)
این روش شامل چهار مرحله اساسی است:
1. هر h ،c وG را بر حسب جرم M ، طول L، و زمان T بیانمی‌كنیم.
2. عبارت‌های حاصل از مرحله اول را در معادله (5) قرار می‌دهیم.
3. رابطه به دست آمده در مرحله دوم را به سه معادله مجزا به ترتیب برای M، L و T بسط می‌دهیم. كه در هر یك از آن‌ها توان‌های x، y، وz می‌شوند.
4. سه معادله حاصل از مرحله سوم را همزمان برای هر x، y، وz حل می‌كنیم.
انرژی را می‌توان برحسب یكاهای نیرو ضربدر مسافت بیان كرد. بنابراین معادله ابعادی آن به صورت است. حالا مبنایی داریم كه به كمك آن و با استفاده از قوانین فیزیكی زیر می‌توانیم h ،c وG را بر حسب M، L و T بیان كنیم.

λ و ν به ترتیب طول موج و فركانس نورند. ابتدا رابطه E=hν را در نظر می‌گیریم. با توجه به اینكه فركانس (ν) عكس زمان است، می‌توان نوشت و یا
(7)
به همین ترتیب با استفاده از رابطه (6) عبارت انرژی گرانشی به صورت در می‌آید، و بنابراین
(8)
چون بعد طول موج L و بعد فركانس عكس زمان است، بنابراین، معادله ابعادی سرعت با استفاده از رابطه (6) به صورت زیر نوشته می‌شود.
(9)
اگر روابط (7)، (8) و (9) را در رابطه (5) قرار بدهیم نتیجه می‌شود
(10)
حالا باید ببینیم چگونه می‌توانیم رابطه بالا را برای به دست آوردن x، y، و z به سه عبارت مجزا بسط بدهیم؟ می‌دانیم كه می‌شودM، L و T را جداگانه بر حسب جملاتی شامل نماهای x، y، و z مربوط به آن‌ها نوشت. همچنین می‌دانیم كه نماهای مربوط به هر بعد در دو طرف معادله باید با هم مساوی باشند. مثلاً اگز M مثل مورد بالا در طرف راست معادله وجود نداشته باشد، به جای آن قرار می‌دهیم (زیرا هر چیزی كه نمای آن صفر باشد مساوی یك است). به همین ترتیب در پرانتز دوم طرف چپ رابطه (10) كه M ندارد و نمای آن y است را قرار می‌دهیم. بنابراین معادله مربوط به M به صورت زیر به دست می‌آید.
(11)
اگر نماهای M را در هر طرف این معادله جمع كنیم می‌بینیم كه باید x-z=01 باشد كه از آن نتیجه می‌شود x=z.
حالا رابطه (10) را برای L به كار می‌بریم، خواهیم داشت :
(12)
كه از آن نتیجه می‌شود 2x+y+3z=1 و بالاخره در مورد T خواهیم داشت
(13)
كه از آن نتیجه می‌گیریم –x-y-2z=0 مرحله نهایی این است كه دستگاه معادلات همزمان زیر را برای به دست آوردن x، y، و z حل كنیم.
x-z=0
2x+y+3z=1
-X-y-2z=0
از حل این معادلات نتیجه می‌شود x=1/2 ، y=-3/2، و z=1/2، كه با استفاده از آن‌ها رابطه (5) به شكل زیر در می‌آید

و یا

كه همان رابطه (1) پلانك است. عین همین روش را می‌توان برای به دست آوردن و به كار برد. با این روش به تنهایی نمی‌توان را به دست آورد و رابطه دیگری هم احتیاج داریم.
ما تاكنون یكاهای پلانك را در هیچ كتاب درسی فیزیك عمومی، شیمی عمومی، و یا شیمی فیزیك مشاهده نكرده‌ایم. بنابراین آن‌ها را در این مقاله معرفی كرده‌ایم به این امید كه شاید برای معلمان دبیرستان‌ها و كالج‌ها هم جالب باشد، همان طور كه برای خود ما بسیار جالب بوده است. كنجكاوی ما در این مورد بیشتر به این خاطر است كه هر یك از یكاهای طبیعی پلانك شاید واقعاً حدی بر خواص ذرات بنیادی در جهان ما باشند.