روشی ساده برای به دست آوردن اصل ارشمیدس

برنارد له روی

بخش اختر فیزیک رصد خانه پاریس

چکیده: اصل ارشمیدس از یک راه ساده که مبتنی بر مفهوم کار مجازی است به دست می‌آید.
در این یادداشت می‌خواهم توجه خوانندگان و مخصوصاً معلمان را به توضیحی ساده از منشأ نیروی بالاتر (شناوری) ارشمیدس جلب کنم. روشی که برای به دست آوردن اصل ارشمیدس ارائه می‌شود گر چه بر ملاحظات مقدماتی انرژی استوار است ولی عموماً (دست کم در کتابهای درسی) نادیده گرفته می‌شود. در واقع تنها یک کتاب پیدا کرده ام (تاراسو و تاراسوا) که در آن از این روش ذکری رفته است.
جسم جامدی به شکل دلخواه به حجم v و جرم m در نظر می‌گیریم که در شاره ساکن تراکم ناپذیری با چگالی ρ غوطه ور است، شتاب گرائی g است.
می‌خواهیم نشان بدهیم که جسم تحت تأثیر نیرویی به طرف بالاست و برای این منظور به اصل کار مجازی متوسل می‌شویم.
ابتدا فرض می‌کنیم شاره ای وجود ندارد. برای این که جسم به اندازه h
بالا برود، مقدار انرژی لازم برابر است با
(1) E=mgh
حالا فرض کنید جسم در شاره شناور باشد. برای جا به جایی جسم به همین اندازه انرژی کمتری لازم است. زیرا حجمی‌معادل ... از ش اره تحت تأثیر گرانی، در جهت مقابل جا به جایی می‌شود. در نتیجه انرژی لازم برابر می‌شود با
(2) E=mgh-(ρv)gh
مقایسه روابط (1) و (2) نشان می‌دهد که حضور شاره موجب ظاهر شدن نیروی اضافی ρvgمی‌شود که حرکت جسم به طرف بالا را آسان می‌کند. این نیز همان نیروی بالاتر ارشمیدس است.
باید تأکید کرد که جا به جایی مورد بحث، مجازی است. زیرا اتلاف انرژی را که الزاماً با تغییر مکانهای حقیقی همراه است منظور نکرده ایم. اگر جا به جایی حقیقی در نظر گرفته شود، اتلاف انرژی به شکل جسم و چگونگی رسیدن جسم به ارتفاع هم بستگی پیدا می‌کند. (مثلاً، اتلاف انرژی در اثر وشکسانی به شکل جسم و سرعت جا به جایی بستگی دارد). از این رو اعمال اصل بایستگی انرژی به نتیجه ای منجر می‌شود که کلیت ندارد و اصل ارشمیدس از آن به دست نخواهد آمد.
روش حاضر نشان می‌دهد که نیروی بالا بر به واسطه حضور میدان شتاب، یعنی گرانی، که هم بر جسم و هم بر شاره اثر می‌کند، حاصل می‌شود.
برتری این روش از لحاظ اموزشی روشن است: دیگر لازم نیست منشأ نیروی شناوری را مرموز بدانیم و بنابراین آن را به عنوان یک اصل بپذیریم، بلکه می‌توانیم با تعابیر فیزیکی بیانش کنیم.
در پایان شاید جالب باشد بگوییم که منشأ نیروی شناوری را می‌توان در روش معمول استنتاج اصل ارشمیدس هم، که بر ترازمندی میان نیروهای وارد بر سطح و داخل جسم استوار است، نشان داد. برای پی بردن به این مطلب، کافی است جسم غوطه ور را به صورت استوانه‌های بی نهایت کوچکی که محورهای آنها در امتداد قائم است در نظر بگیریم. به علت تقارن، نیروهای فشار که در امتداد شعاع اثر می‌کنند، دو به دو خنثی می‌شوند. و از این رو وزن جسم را می‌توان تنها با نیروهای فشاری که بر بالا و پایین هر استوانه وارد می‌شوند، موازنه کرد. اما حضور گرانی منجر به قانون باسکال در مورد توزیع فشار در شاره می‌شود. نیروی برآیند حاصل از فشار وارد بر هر استوانه، درست برابر با وزن شاره هم حجم آن است. با جمع سهم مربوط به تمام استوانه ها، قانون ارشمیدس به دست می‌آید. در این روش نیز نقش اصلی را گرانی به عهده دارد، ولی چنان که مشاهده می‌شود، روش استفاده از کار مجازی ساده تر است.