اصل ارشمیدس را به روشی آسان به دست آورید

برنارد له‌روی

در این یادداشت می‌خواهیم توجه خوانندگان و مخصوصاً معلمان را به توضیحی ساده از منشأ نیروی بالابر (شناوری) ارشمیدس جلب كنم. روشی كه برای به دست آوردن اصل ارشمیدس ارائه می‌شود گرچه بر ملاحظات مقدماتی انرژی استوار است ولی عموماً (دست كم در كتاب‌های درسی) نادیده گرفته می‌شود. در واقع تنها یك كتاب پیدا كرده‌ام (تاراسو و تاراسوا، 1973) كه در آن از این روش ذكری رفته است.
جسم جامدی به شكل دلخواه به حجم v و جرم m در نظر می‌گیریم كه در شاره ساكن تراكم ناپذیری با چگالی
غوطه‌ور است، شتاب گرانی g است. می‌خواهیم نشان بدهیم كه جسم تحت تأثیر نیرویی به طرف بالاست و برای این منظور به اصل كار مجازی متوسل می‌شویم.
ابتدا فرض می‌كنیم شاره‌ای وجود ندارد. برای اینكه جسم به اندازه h بالا برود مقدار انرژی لازم برابر است با :
(1)
حالا فرض كنید جسم در شاره شناور باشد. برای جابه‌جایی جسم به همین اندازه انرژی كمتری لازم است. زیرا حجمی معادل v از شاره تحت تأثیر گرانی، در جهت مقابل جابه‌جا می‌شود. در نتیجه انرژی لازم برابر می‌شود با:
(2)
مقایسه روابط (1) و (2) نشان می‌دهد كه حضور شاره موجب ظاهر شدن نیروی اضافی
می‌شود كه حركت جسم به طرف بالا را آسان می‌كند. این نیرو همان نیروی بالابر ارشمیدس است.
باید تأكید كرد كه جابه‌جایی مورد بحث، مجازی است. زیرا اتلاف انرژی را كه الزاماً با تغییر مكان‌های حقیقی همراه است منظور نكرده‌ایم. اگر جابه‌جایی حقیقی در نظر گرفته شود، اتلاف انرژی به شكل جسم و چگونگی رسیدن جسم به ارتفاع هم بستگی پیدا می‌كند. (مثلاً اتلاف انرژی در اثر كشسانی به شكل جسم و سرعت جابه‌جایی بستگی دارد). از این رو اعمال اصل پایستگی انرژی به نتیجه‌ای منجر می‌شود كه كلیت ندارد، و اصل ارشمیدس از آن به دست نخواهد آمد.
روش حاضر نشان می‌دهد كه نیروی بالابر به واسطه حضور میدان شتاب، یعنی گرانی، كه هم بر جسم و هم بر شاره اثر می‌كند، حاصل می‌شود. برتری این روش از لحاظ آموزشی روشن است: دیگر لازم نیست منشأ نیروی شناوری را مرموز بدانیم و بنابراین آن را به عنوان یك اصل بپذیریم، بلكه می‌توانیم با تعابیر فیزیكی بیانش كنیم.
در پایان شاید جالب باشد بگوییم كه منشأ نیروی شناوری را می‌توان در روش معمول استنتاج اصل ارشمیدس هم، كه بر ترازمندی میان نیروهای وارد بر سطح و داخل جسم استوار است، نشان داد. برای پی بردن به این مطلب كافی است جسم غوطه‌ور را به صورت استوانه‌های بینهایت كوچكی كه محورهای آن‌ها در امتداد قائم است در نظر بگیریم. به علت تقارن، نیروهای فشار كه در امتداد شعاع اثر می‌كنند، دو به دو خنثی می‌شوند. و از این رو وزن جسم را می‌توان تنها با نیروهای فشاری كه بر بالا و پایین هر استوانه وارد می‌شوند، موازنه كرد. اما حضور گرانی منجر به قانون پاسكال در مورد توزیع فشار در شاره می‌شود. نیروی برایند حاصل از فشار وارد بر هر استوانه، درست برابر با وزن شاره هم حجم آن است. با جمع سهم مربوط به تمام استوانه‌ها، قانون ارشمیدس به دست می‌آید. در این روش نیز نقش اصلی را گرانی به عهده دارد، ولی چنانكه مشاهده می‌شود، روش استفاده از كار مجازی ساده‌تر است.