قانون هاردی – واینبرگ

پیش‌بینی 1: فراوانی‌های آللی یک جمعیت تغییر نمی یابد و
پیش‌بینی 2: فراوانی‌های ژنوتیپی بعد از یک نسل در نسبت (برای AA)، pq2 (برای Aa)، و (برای aa) ثابت می‌مانند و تغییر نمی‌کنند. این قانون بیان می‌کند هنگامی که این فرضیه‌ها برآورده می‌شوند تولید مثل به تنهایی فراوانی‌های آللی و ژنوتیپی را تغییر نمی‌دهد و فراوانی آللی، تعیین کننده‌ی فراوانی ژنوتیپی است.

بررسی دقیق‌تر فرضیه‌های قانون هاردی – واینبرگ:

پیش از آنکه در مورد آثار و نتایج این قانون بحث شود، نیازمند نگاه دقیق‌تر به سه فرضیه در مورد جمعیت هستیم. در ابتدا به فرضیه‌ی بزرگ بودن جمعیت می‌پردازیم. اندازه‌ی آن تا چه حدی بزرگ باشد؟
از نظر تئوری، این قانون نیازمند یک جمعیت نامحدود است اما این بیان، غیر واقعی به نظر می‌رسد. در عمل، یک جمعیت باید به مقدار کافی بزرگ باشد تا شانس انحرافات از نسبت‌های مورد انتظار باعث تغییرات اساسی و معنی‌دار در فراوانی‌های آللی نشود. در ادامه‌ی این فصل به تأثیرات اندازه‌ی جمعیت کوچک در فراوانی آلل‌ها خواهیم پرداخت.
دومین فرضیه‌ی این قانون، تلاقی تصادفی افراد این جمعیت است. بدین معنی که هر ژنوتیپ متناسب با فراوانی‌اش تلاقی یابد. برای مثال، فرض کنید سه ژنوتیپ موجود در یک جمعیت دارای فراوانی‌های 6/0=f(AA)، 3/0=f(Aa)، و 1/0=f(aa) باشند. با تلاقی تصادفی، فراوانی تلاقی بین دو ژنوتیپ هموزیگوت برابر با حاصل ضرب فراوانی آنهاست. 36/0=6/0×6/0، در حالی که فراوانی تلاقی بین هموزیگوت‌های برابر با 01/0=1/0×1/0 است.
سومین فرض در این قانون این است که فراوانی‌های آللی جمعیت به وسیله‌ی انتخاب طبیعی، مهاجرت، و جهش تحت تأثیر قرار نگیرد. اگرچه جهش در هر جمعیتی رخ می‌دهد، اما تعداد آن به اندازه‌ای محدود است که تأثیر ناچیزی بر پیش‌بینی این قانون دارد. اگرچه انتخاب طبیعی و مهاجرت عوامل تأثیرگذار در جوامع حقیقی هستند، اما هدف این قانون فقط بررسی تأثیر تولید مثل بر خزانه‌ی ژنی است. هنگامی که این تأثیر مشخص گردید، آثار سایر عوامل (برای مثال، مهاجرت و انتخاب طبیعی) را می‌توان بررسی کرد.
آخرین نکته این است که فرضیه‌های این قانون برای یک مکان ژنی به کار می‌رود. هیچ جمعیت واقعی برای همه‌ی صفات، تلاقی تصادفی انجام نمی‌دهد و هیچ جمعیتی به طور کامل عاری از انتخاب طبیعی برای همه‌ی ویژگی‌ها نیست. این قانون نیازمند تلاقی تصادفی، عدم انتخاب، مهاجرت و جهش برای تمامی صفات نیست، بلکه به همه‌ی این شرایط در مکان ژنی مورد نظر نیازمند است. یک جمعیت ممکن است در تعادل هاردی – واینبرگ برای یک مکان ژنی باشد در حالی که در سایر مکان‌ها چنین تعادلی برقرار نباشد.

نتایج و آثار قانون هاردی – واینبرگ:

قانون هاردی – واینبرگ چندین تأثیر بر روی ساختار ژنتیکی یک جمعیت دارد. یکی از این اثرها، عدم تکامل جمعیت است در صورتی که فرضیه‌های این قانون برقرار باشد، زیرا تکامل شامل تغییر در فراوانی‌های آللی یک جمعیت است. بنابراین، این قانون بر این نکته تأکید دارد که تولید مثل به تنهایی باعث تکامل نمی‌شود. سایر فرایندها از قبیل انتخاب طبیعی، جهش، مهاجرت، و شانس در جمعیت‌های کوچک برای تکامل جوامع مورد نیاز است.
دومین نتیجه‌ی مهم این قانون این است که در یک جمعیت در حال تعادل هاردی – واینبرگ فراوانی‌های ژنوتیپی را می‌توان به وسیله‌ی فراوانی‌های آللی محاسبه کرد. برای یک مکان ژنی با دو آلل، در صورتی که فراوانی‌های آللی بین 33/0 تا 66/0 باشد فراوانی هتروزیگوت‌ها به مراتب افزایش خواهد یافت و هنگامی که فراوانی‌های آللی 5/0 باشد فراوانی هتروزیگوت به حداکثر مقدار خود خواهد رسید (شکل 2-1). فراوانی هتروزیگوت هرگز از 5/0 فزونی نخواهد یافت. علاوه بر این، در صورتی که فراوانی یکی از آلل‌ها پایین باشد، فراوانی هموزیگوت آن آلل کمیاب خواهد شد و بیشترین نسخه‌های آلل نادر در افراد هتروزیگوت یافت می‌شود همان‌گونه که در شکل 2-1 می‌بینید، هنگامی که فراوانی آلل a برابر با 2/0 باشد، فراوانی هموزیگوت تنها برابر با 04/0 است، اما فراوانی ژنوتیپ هتروزیگوت (pq2)32/0 بوده و 80% از آلل‌های a در افراد هتروزیگوت است.
سومین نتیجه‌ی به دست آمده از این قانون این است که فقط یک نسل تلاقی تصادفی می‌تواند باعث ایجاد فراوانی‌های در حال تعادل ، pq2، و گردد. این حقیقت که ژنوتیپ‌ها در نسبت‌های هاردی – واینبرگ هستند به معنی جمعیت عاری از انتخاب طبیعی، جهش، و مهاجرت نیست بلکه این نیروها فقط از آخرین تلاقی تصادفی تا کنون عمل نکرده‌اند.
*توضیح شکل 1. نسبت‌های هاردی – واینبرگ برای دو آلل: محور افقی نشان دهنده‌ی فراوانی دو آلل و محور عمودی بیانگر فراوانی ژنوتیپ‌های مورد انتظار است. هر منحنی مربوط به یکی از ژنوتیپ‌هاست. هنگامی که فراوانی آلل‌ها برابر با 5/0 باشد فراوانی ژنوتیپ هتروزیگوت به حداکثر خود می‌رسد.

آزمونی برای نسبت‌های هاردی – واینبرگ:

اگر یک جمعیت در حال تعادل باشد، پس برای مکان ژنی مورد نظر تلاقی تصادفی صورت می‌گیرد و انتخاب، جهش، مهاجرت، و کوچکی جمعیت بر فراوانی‌های ژنوتیپی از آخرین تلاقی تصادفی تأثیری نگذاشته‌اند. به منظور تعیین برقراری شرایط فوق، نسبت‌های ژنوتیپی مورد نظر (تحت قانون هاردی – واینبرگ) می‌بایست با نسبت‌های ژنوتیپی مشاهده شده مقایسه شود. بدین منظور ابتدا فراوانی‌های آللی محاسبه می‌شوند. به دنبال آن فراوانی‌های ژنوتیپی مورد انتظار با به توان دوم رساندن به دست می‌آیند و سرانجام توسط آزمون کای اسکور با یکدیگر مقایسه می‌شوند.
مسئله: متخصصان ژنتیک جمعیت در مطالعه‌ای بر روی درختان صنوبر در ایالت کولورادو آمریکا، دریافتند که مکان ژنی آنزیم پروکسیداز در این درختان دارای سه ژنوتیپ ( ، ، و ) هستند. فراوانی مشاهده شده‌ی این ژنوتیپ‌ها به شرح زیر بود:

تعداد مشاهده شده	ژنوتیپ‌ها
135
44
11

آیا درختان صنوبر در این ایالت در تعادل هاردی – واینبرگ برای این مکان ژنی هستند؟
راه حل: در صورتی که فراوانی آلل هایR2 وR3 به ترتیب برابر با p و q باشد:

فراوانی‌های ژنوتیپی مورد انتظار تحت قانون هاردی – واینبرگ توسط نسبت‌های ، pq2، و محاسبه می‌گردد:

با ضریب فراوانی مورد انتظار در تعداد کل افراد مشاهده شده می‌توان تعداد مورد انتظار را برای هر ژنوتیپ محاسبه کرد:

با مقایسه‌ی تعداد قابل انتظار با تعداد مشاهده شده‌ی هر ژنوتیپ، دریافتیم که تعداد بیشتری از افراد هموزیگوت ، و تعداد کم‌تری از هتروزیگوت‌های و هموزیگوت‌های در جمعیت مورد مطالعه در مقایسه با تعداد افراد مورد انتظار است. توسط آزمون کای اسکور می‌توان تعیین کرد که تفاوت‌های مشاهده شده و قابل انتظار به واسطه‌ی شانس بوده است یا اینکه اختلاف معنی‌دار است. در این آزمون دو فرضیه‌ی مخالف هم در ابتدا مطرح می‌گردد. در فرضیه‌ی اول (موافق) مقدار انتظار را با مشاهده شده یکسان در نظر می‌گیرند در حالی که در فرضیه‌ی دوم (مخالف) فرض بر اختلاف معنی‌دار بین این دو مقدار است.

محاسبه شده با مقدار جدول مقایسه می‌شود. این جدول در انتهای فصل آورده شده است. برای به دست آوردن مقدار در جدول، درجه‌ی آزادی (1) و درصد خطا نوع اول لازم است. برای محاسبه‌ی درجه‌ی آزادی در مسائل مربوط به هاردی – واینبرگ تعداد ژنوتیپ‌های مورد نظر از تعداد آلل‌های مربوط کسر می‌شود، که در این مسئله 1=2-3 است. درصد خطا معمولاً در مسائل داده می‌شود. حال اگر درصد خطا را 05/0 در نظر بگیریم است. برای قضاوت، کای اسکور جدول را با کای اسکور محاسبه شده مقایسه می‌کنیم. در صورت بزرگ تر بودن کای اسکور محاسبه شده فرضیه‌ی صفر با 05/0 خطا رد می‌شود. در غیر این صورت دلایلی برای رد فرض موافق وجود ندارد. در این مسئله دلیلی برای رد فرض مخالف وجود ندارد و به میزان اطمینان 95% نسبت‌های هاردی – واینبرگ برقرار نیست.

تخمین فراوانی‌های آللی با استفاده از قانون هاردی – واینبرگ:

یکی از استفاده‌های کاربردی قانون هاردی – واینبرگ محاسبه‌ی فراوانی‌های آللی است در صورتی که رابطه‌ی غالب – مغلوب برقرار باشد. برای مثال، بیماری فیبروز سیستیک (2) که دارای وراثت اتوزوم مغلوب است و علائم آن شامل عفونت‌های تنفسی، هضم ناقص، و تعرق غیرطبیعی می‌باشد. در سفیدپوستان آمریکای شمالی فراوانی این بیماری تقریباً یک در دو هزار است. فرمول‌های ذکر شده برای محاسبه‌ی فراوانی آللی نیازمند تفکیک بین افراد هموزیگوت غالب و هتروزیگوت است. اما از آنجایی که وراثت این بیماری مغلوب است، تمایز بین افراد طبیعی و حامل بیماری به راحتی امکان‌پذیر نیست. اگرچه با استفاده از روش‌های مولکولی می‌توان افراد حامل را شناسایی کرد، اما پایین بودن فراوانی این بیماری، غربالگری وسیع آن را غیر عملی کرده است. در چنین شرایطی با استفاده از قانون هاردی – واینبرگ می‌توان فراوانی آلل‌ها را تخمین زد.
اگر جمعیتی برای یک مکان ژنی در حال تعادل هاردی – واینبرگ باشد، فراوانی ژنوتیپ مغلوب (aa) برابر با خواهد بود و فراوانی آللی ریشه‌ی دوم این ژنوتیپ است.
از آنجایی که فراوانی این بیماری یک در دو هزار و پانصد یا 0004/0 است، لذا است. بنابراین، حدود 2 درصد از آلل‌ها در جمعیت سفید پوست باعث بیماری می‌گردند. همچنین 1=p+q در نتیجه می‌توان فراوانی آلل طبیعی را (98/0=02/0-1) به دست آورد. سپس فراوانی ژنوتیپ طبیعی هموزیگوت و هتروزیگوت حامل بیماری را محاسبه کرد:

می توان تخمین زد که حدود 4 درصد (یک در 25) سفیدپوستان حامل این بیماری هستند.

تلاقی‌های غیرتصادفی:

تلاقی‌های تصادفی یکی از فرضیه‌های قانون هاردی – واینبرگ بین ژنوتیپ‌ها است. تلاقی‌های غیرتصادفی مسیر ترکیب آلل‌ها را برای تشکیل ژنوتیپ‌ها تحت تأثیر قرار داده، فراوانی ژنوتیپی جمعیت را تغییر می‌دهند.
تلاقی‌های جور و ناجور دو نوع از تلاقی‌های غیرتصادفی شناخته شده و متمایزند. تلاقی‌های جور به تمایل افراد مشابه برای آمیزش اشاره دارد. برای مثال انسان‌های بلندقد به ازدواج با افراد مشابه تمایل بیشتری دارند. در مقابل، در تلاقی‌های ناجور افراد غیرمشابه کشش بیشتری برای آمیزش دارند. برای نمونه می‌توان به ازدواج افراد بلندقد با کوتاه قد اشاره کرد.
یکی از انواع تلاقی‌های غیر تصادفی، خویش‌آمیزی است که شامل تلاقی‌های ترجیحی بین افراد خویشاوند است. خویش‌آمیزی در حقیقت تلاقی‌های جور بین افراد خویشاوندان است. اما تفاوت اصلی آن با تلاقی جور در این است که خویش‌آمیزی تمامی ژن‌ها را تحت تأثیر قرار می‌دهد و تأثیر آن منحصر به صفاتی نیست که موجب خویشاوندی می‌گردند.
معمولاً خویش‌آمیزی را به وسیله‌ی ضریب خویش‌آمیزی اندازه می‌گیرند که با F نشان داده می‌شود. این ضریب احتمال یکسان مبودن دو آلل به واسطه‌ی جد مشترک (3) را محاسبه می‌کند. علاوه بر این، هموزیگوت شدن می‌تواند به واسطه جد مشترک نباشد (4) (شکل 2).
ضریب خویش‌آمیزی می‌تواند از صفر تا یک متغیر باشد. ارزش صفر نشان می‌دهد که در یک جمعیت بزرگ تلاقی‌های تصادفی صورت می‌گیرد و ارزش یک بیانگر همه‌ی آلل‌ها به واسطه‌ی جد مشترک یکسان شده است. این ضریب را می‌توان به وسیله‌ی تجزیه و تحلیل شجره‌نامه‌ها یا کاهش مقدار هتروزیگوسیتی در یک جمعیت محاسبه کرد. با اینکه به جزئیات محاسبه‌ی ضریب F نمی‌پردازیم، اما بررسی تأثیر آن بر فراوانی‌های ژنوتیپ‌ها ضروری است.
هنگامی که خویش‌آمیزی رخ می‌دهد، فراوانی‌های ژنوتیپی به این صورت خواهد شد:

*توضیح شکل 2. ضریب خویش‌آمیزی می‌تواند احتمال اینکه یک فرد به واسطه‌ی جد مشترک دارای آلل‌های مشابه باشد را محاسبه نماید.
توسط خویش‌آمیزی نسبت افراد هتروزیگوت به مقدار Fpq2 کاهش می‌یابد و نیمی از این مقدار (Fpq) به هر یک از ژنوتیپ‌های هموزیگوت اضافه می‌گردد.
جمعیتی را با تلاقی‌های خودگشنی (1=F) در نظر بگیرید. فرض کنید این جمعیت در ابتدا دارای نسبت‌های هاردی – واینبرگ ( ، pq2، و ) است. به واسطه‌ی خودگشنی، هموزیگوت‌ها فقط نتاج و فرزندان مشابه تولید می‌کنند. ( تولید AA و aa×aa تولید aa)، در حالی که فقط نیمی از نتایج هتروزیگوت مشابه والدین خود هستند ( تولید ). بنابراین خودگشنی در هر نسل نسبت هتروزیگوسیتی را به نصف کاهش می‌دهد تا اینکه تمامی ژنوتیپ‌ها در آن جمعیت هموزیگوت گردند (جدول 1 و شکل 3).
* توضیح جدول 1: نسل‌های متوالی خودگشنی موجب افزایش فراوانی هموزیگوت‌ها در جمعیتی که در ابتدا =q=p5/0 بود می‌شود.
در نتیجه، تلاقی غیرتصادفی فراوانی ژنوتیپی را تغییر می‌دهد در حالی که تأثیری بر فراوانی آللی ندارد. خویش‌آمیزی تلاقی ترجیحی بین افراد مشابه است. این عمل فراوانی هموزیگوت‌ها را افزایش و هتروزیگوت‌ها را کاهش می‌دهد.
*توضیح شکل 3. خویش‌آمیزی درصد افراد هموزیگوت را در یک جمعیت افزایش می‌دهد.

پی‌نوشت‌ها:

1. Degree of Freedom
2. cystic fibrosis
3. identical by descent
4. identical by state

منبع مقاله :
علی بیک؛ هنگامه، (1393)، گذری بر سیر تکاملی موجودات زنده، تهران: انتشارات فیروزه، چاپ اول.