توجهات نیوتون

نیوتن در عملیاتش همیشه به الگوها توجه می‌کرد. از خود می‌پرسید: آیا می‌توان از الگویی که در جریان کوادراتور پدیدار شده استفاده کرد و خم دیگری را تعریف کرد که قابل مربع کردن باشد؟ خم y2 = rx را در نظر گرفت، آن را مسیر نقطۀ متحرکی شمرد ومساحت زیر آن را بر این اساس که یک خط متحرک مساحتی را می‌روبد، حساب کرد.
نکته‌ای که در این مسئله مطرح است ونیوتن هم بدان پی برده بود، قضیۀ اساسی آنالیز است. مفهوم حرکت اهمیتی اساسی در تحول روش نیوتن داشت و او با توجه به این مطلب روش خود را روش فلوکسیون‌ها نامید. این افکار پیش از پاییز 1666 در ذهن نیوتن قوام یافته بود و نیوتن آن‌ها را در چنان گسترۀ وسیعی بکار بسته بود که حتی در تصور هیچ ریاضی‌دان زندۀ دیگری نمی‌گنجید. اما کشفش را بروز نداد. بدین طریق اسباب بحث و گفتگویی فراهم آمد که بعد‌ها بر سر حق تقدم میان او و لایب نیتس درگرفت؛ زیرا لایب نیتس هم، تقریبا ده سال بعد از او به همان نتایج ـ منتهی از راهی دیگرـ رسید.
نیوتن همین که مسائلی را که بدوا مورد توجهش واقع شده بود با موفقیت حل کرد، از ریاضیات به چیزهای دیگر روی آورد. بعدها چند بار دیگر به ریاضیات بازگشت ولی با گذشت زمان از کسرت این دفعات کاسته می‌شد؛ معمولا انگیزه‌های خارجی او را به این کار وا می‌داشت. با این حال نتایج این بازگشت‌های نوبه‌ای به‌راستی حیرت آور بود؛ او این نتایج را هم مانند روش فلوکسیون‌ها منتشر نکرد. شمارشی که از خم‌های درجۀ سوم به عمل آورد، عملا سدی را که تا آن زمان در برابر آنالیز جدید وجود داشت و آن را کم و بیش یکسره محدود به معادلات درجۀ دوم می‌کرد، در هم شکست. در پاسخ به درخواست کمک محاسبی که به تنظیم جدول ریشه‌ها مشغول بود، نظریۀ درون¬یابی را ابداع کرد. کارهای مهمی در هندسۀ تصویری انجام داد. دستاوردهایش در ریاضیات محض بیش از آن بود که فقط شهرتی ماندنی برایش کسب کند.
نیوتن، کمابیش در همان اواسط دهۀ 1660 که به ریاضیات روی آورده بود، حکمت طبیعی جدید، از جمله علم مکانیک، راه هم کشف کرد و گوشۀ چشمی به مسائل این علم انداخت. البته غور کامل او در فیزیک نطری (سوای اپتیک) مدت‌ها بعد، در یک دورۀ دو سال و نیمه، پس از دیداری که هالی در اوت 1684 از او کرد، اتفاق افتاد.
همین که نیوتن به مسئلۀ حرکت مداری ـ که هالی برایش مطرح کرده بود ـ پرداخت، نخستین وظیفه‌اش آن شد که علم مکانیک را بنا کند. شمار نظرپردازی‌های دینامیکی در 1684 بسیار زیاد بود. اساس بیشتر آن‌ها هم ضربه و نیرویی بود که تصور می‌شد هر جسم متحرکی متضمن آن است. ولی هنوز علم دینامیک به درد خوری وجود نداشت. نیوتون علم دینامیک را به صورت امروزی آن در ماه‎‌های آخر سال 1684 و ماه‌های اول 1685 عملا از هیچ به‌وجود آورد. این کار اگرچه حاصل ذوق و نبوغی غیر عادی بود ولی از جنبۀ فهم اصول دینامیکی بود که در سینماتیک حرکت شتاب دار یکنواخت گالیله مضمر بود. این کار اگرچه محتاج به مهارت ریاضی بسیار زیادی نبود ولی به ذهنی نیاز داشت که به راحتی بتواند در قالب کمیات بیندیشد و پیامد‌های ضروری روابط متقابل کمی دقیق را دریابد. نیوتون از چشمۀ غنی این استعداد‌هایش در این کار بهره گرفت.
لب کلام پرینکیپیا عبارت بود از کاربست علم دینامیک در مسائل حرکت مداری و اثبات این که قوانین کپلر پیامد‌های ناگزیر همان اصول دینامیکی هستند که اساس و زمینۀ سینماتیک گالیله¬اند. تصور این که کسی بتواند چنین کاری را انجام دهد ولی حساب دیفرانسیل و انتگرال را به خوبی نداند، غیر ممکن است. پس پرینکیپیا نخستین کتاب فیزیک جدید است، نخستین کتابی است که به زبان جدید آنالیز نوشته شده است. برداشت متداول این است که زبان پرینکیپیا زبان هندسۀ کلاسیک است، و نیوتون هم خود با حرف‌هایی که در گرماگرم مجادله‌اش با لایب نیتس بر سر حق تقدم زده، به اشاعۀ این نظر کمک کرده است. کتاب را که باز می‌کنیم فرمول‌های نسبت‌های هندسی را می‌بینیم نه روابط تحلیلی آنالیز را. نیوتون مدعی شد که نخست اثبات‌های کتاب را به روش خود انجام داده و سپس آن‌ها را در قالب هندسۀ ترکیبی ریخته است، و از این راه کوشید ثابت کند که در استنتاج روش فلوکسیون‌ها مقدم بوده است. کسانی که دست نوشته‌های نیوتون را مطالعه کرده‌اند این داستان را قبول ندارند. اما کسی هم که پرینکیپیا را به دقت مطالعه کند مرتکب این اشتباه نمی‌شود که ریاضیات آن را هندسۀ کلاسیک بشمارد. پرینکیپیا از ابزار نسبت‌ها استفاده می‌کند، اما مفاهیمی که در پس این ابزار پنهان است از حساب دیفرانسیل و انتگرال نشأت گرفته است نه از هندسۀ کلاسیک.
قضیۀ ششم از کتاب اول، که قضیه‌های بعدی بر آن مبتنی است، مربوط به اندازۀ نیرو و در هر نقطه از یک مسیر منحنی الخط است. در این قضیه از یک نقطۀ P واقع بر مسیر صحبت می‌شود و از انحرافی که مسیر در نقطۀ مجاور Q ، نسبت به خط مماس بر خم در P، پیدا می‌کند. نیوتن نیرو را در P حساب می‌کند و برای این کار فرض می‌کند که به "این کمیت فضایی (یعنی کمیت مورد نظر در سه بعد) باید آن مقداری را نسبت داد که مالا، وقتی نقاط P و Q بر هم منطبق می‌شوند، اختیار می‌کند". از نظر مفهومی سرو کار ما به هیچ وجه با دنیای هندسۀ یونانی نیست بلکه با دنیای نسبت‌های تغییرات لحظه‌ای، یعنی دنیای آنالیز است. چند سطر بعد نیوتن به قضیۀ ششم (و چارچوب مفهومی آن) متوسل می‌شود تا این نکتۀ مهم را نشان دهد که بیضوی بودن یک مدار، قانون نیروی عکس مجذور را (نسبت به یکی از کانون‌ها) ایجاب می‌کند، و این یکی از دو دلیل عمده‌ای است که پایه‌های اصل گرانش عام را تشکیل می‌دهند.
دلیل دیگر، که برای اصل گرانش به همین اندازه اساسی است، قضیۀ هفتاد و یکم است که به نیروی جاذبۀ میان یک سطح کروی ویک نقطۀ مادی خارجی مربوط می‌شود.اساس استدلال در این قضیه جمع کردن جاذبه‌های اجزای دیفرانسیلی سطح است که به دنیای مفاهیم حساب انتگرال تعلق دارد. به همین سیاق، تعداد زیادی از اثبات‌های این اثر صریحا مبتنی بر فرض " تربیع اشکال منحنی الخط" است. یکی از دست¬نوشته‌های ریاضی نیوتن حاکی از آن است که نیوتن اندک زمانی پیش از تدوین پرینکیپیا، از دنیای فکری دکارت روی گردانده و به کاوش مفهوم نسبت‌های اول و نهایی به مثابه شالودۀ روش فلوکسیونی خود پرداخته بود، شالوده‌ای که هم مستقل از صورت‌های مختلف آنالیز دکارتی بود و هم مطمئن‌تر از آن‌ها. او این روش را، که نشان دهندۀ وضع تفکر ریاضی او در آن ایام بود،در مورد مسئله‌ای در فیزیک نظری ـ که حاصل دیدار هالی بودـ به کار بست.نیوتن نسبت‌های اول و نهایی را شالودۀ روش فلوکسیونی می‌دانست نه جانشینی برای آن.