مترجم: زهرا هدایت منش
منبع:راسخون
 

 

نوشتة آلبرت آینشتاین

امّا موجودات سطح کروی احتیاج ندارند به سفر دور دنیا بپردازند تا پی ببرند که در یک جهان اقلیدسی زندگی نمی‌کنند. می‌توانند در هر بخش از «دنیا»یشان خود را به این امر متقاعد سازند، به‌شرط آن که به تکة خیلی کوچکی از این دنیا اکتفا نکرده باشند. آن ها از نقطه‌ای آغاز می‌کنند و «خط‌های مستقیمی» ( که از نظر فضای سه بُعدی قوسهایی از دایره عظیمه-اند) با طول های مساوی در همه جهات رسم می‌کنند. آنگاه خطی را که رأس‌های آزاد این خطوط را به هم وصل می‌کند «دایره» می‌نامند. در یک سطح مستوی، نسبت محیط دایره به قطر آن، وقتی هر دو با یک خط کش اندازه گرفته‌شده باشند، بنابر هندسه مسطحۀ اقلیدسی ، برابر است با مقدار ثابتπ که به قطر دایره بستگی ندارد. موجودات مسطح ما این نسبت را برای سطح کروی برابر با مقدارπ=sin⁡〖(r/R)〗/((r/R)) خواهند یافت که از π کوچک‌تر است، و هرچه شعاع دایره بسته به R شعاع «جهان کروی» بزرگ تر شود، تفاوت آن با π بیشتر قابل ملاحظه خواهد بود. موجودات کروی به‌ وسیلة این رابطه می‌توانند شعاع «جهان» خود را، حتی وقتی‌که فقط یک بخش نسبتاً کوچک جهان کروی برای اندازه‌گیری در اختیارشان باشد، تعیین کنند. امّا اگر این بخش به راستی خیلی کوچک باشد، دیگر نمی‌توانند ثابت کنند. بر یک «جهان» کروی قرار دارند نه بر سطح اقلیدسی ؛ چون تفاوت میان تکة کوچکی از یک سطح کروی با قطعه‌ای به همان اندازه از یک صفحه ، بسیار ناچیز است.
بنابراین، اگر موجودات سطح کروی بر سیاره ای زندگی کنند که منظومة خورشیدی ما بخش ناچیزی از آن جهان کروی باشد، هرگز با هیچ وسیله‌ای نمی‌توانند دریابند که آیا در جهانی متناهی زندگی می‌کنند یا در جهانی نامتناهی؛ زیرا آن «تکه از جهان» که در دسترس آن هاست، در هر دو حال عملاً مسطح یا اقلیدسی است.
نتیجه مستقیم این بحث آن است که برای موجودات کروی ما، محیط یک دایره نخست با شعاع آن افزایش می‌یابد تا به «محیط جهان » می‌رسد، و از آن پس به‌تدریج کم می‌شود، و با افزایش شعاع رفته‌رفته به صفر می‌رسد. طی این فرآیند، مساحت دایره هم چنان به افزایش خود ادامه می‌دهد تا اینکه بالأخره با مجموع مساحت کل «جهان کروی» برابر شود.
شاید خواننده بپرسد چرا ما «موجودات» خود را بر یک سطح کروی قرار داده‌ایم و بر سطح بسته دیگری نگذاشته‌ایم. امّا این انتخاب به دلیل این واقعیت انجام گرفته است که در میان تمام سطوح بسته، تنها کره این خاصیت را دارد که تمام نقاط آن هم ارز هستند. درست است که نسبت محیط c یک دایره به شعاع r آن بستگی دارد، امّا این نسبت به ازای مقدار مفروضی از r برای همه نقاط «جهان کروی» یکی است؛ به عبارت دیگر، جهان کروی «سطحی با خمیدگی ثابت» است.
مانند این جهان کروی شکل دو بُعدی ، جهان سه بُعدی، یعنی فضای کروی سه بُعدی ای وجود داردکه ریمان آن را کشف کرده است. نقاط این فضای کروی سه بُعدی نیز همگی هم ارز هستند. این فضا حجمی متناهی دارد که با «شعاع» آن تعیین می شود (R2 2π2). آیا تصور یک فضای کروی امکان پذیر است؟ تصور یک فضا چیزی نیست جز تصور خلاصه‌ای از تجربۀ «فضایی» خویشتن، یعنی تجربه‌ای که می‌توان از حرکت اجسام «سخت» داشت. بدین معنا می‌توان یک فضای کروی را تصور کرد.
فرض کنید از یک نقطه در همة جهات خطوطی رسم کنیم یا نخ هایی بکشیم و روی هر یک از آن ها فاصله R را با یک خط کش مشخص سازیم. همۀ نقاط انتهایی آزاد این طولها روی یک سطح کروی قرار می‌گیرند. می‌توانیم به ‌خصوص مساحت (F) این سطح را به ‌وسیله مربعی که از خط‌کش‌ها استفاده‌شده است اندازه بگیریم. اگر جهان اقلیدسی باشد، F=4 π R2 ؛ اگر کروی باشد، F همیشه کوچکتر از 4 π R2 است. اگر R زیاد شود، F از صفر تا مقدار ماکسیممی که با «شعاع جهان» معین می‌شود افزایش می‌یابد، امّا اگر بازهم به مقدار R افزوده شود، مساحت به‌تدریج کم می‌شود تا سرانجام به صفر می‌رسد. نخست خطوط مستقیمی که مانند پرتوهای خورشید از نقطه شروع سرچشمه می‌گیرند رفته‌رفته از هم دور می‌شوند، امّا بعد به یکدیگر نزدیک می‌شوند و سرانجام دوباره در «نقطه مقابل» نقطه شروع به هم می‌پیوندند. در این صورت، این خطوط از تمام فضای کروی عبور کرده‌اند. به ‌آسانی مشاهده می‌شود که فضای کروی سه بُعدی کاملا شبیه سطح کروی دو بُعدی است: متناهی است (یعنی حجم کرانمندی دارد) ولی کرانه‌ای ندارد.
بهتر است یادآوری شود که نوع دیگری از فضای خمیده وجود دارد و آن «فضای بیضوی» است. این را می‌توان فضای خمیده‌ای دانست که در آن دو «نقطه متقابل» همسان (یعنی غیر قابل تشخیص از یکدیگر) وجود دارد. بنابراین، جهان بیضوی را تااندازه‌ای می‌توان جهان منحنی دانست که دارای تقارن مرکزی است.
از آن چه گفته شد چنین برمی‌آید که فضاهای بستۀ بدون کرانه ، قابل تصور هستند. در میان این گونه فضاها ، فضای کروی (و بیضوی) از لحاظ سادگی برتری دارد، چون تمام نقاط روی آن‌ هم ارز یکدیگرند. نتیجة بحث اینکه، جالب ترین پرسشی که از سوی اخترشناسان و فیزیکدانان پیش نهاده می‌شود آن است که آیا جهانی که در آن زندگی می‌کنیم نامحدود است یا مانند جهان کروی، محدود و متناهی است. تجربة کنونی ما برای پاسخ گفتن به این پرسش هنوز کافی نیست. امّا نظریة نسبیت عام پاسخ به این پرسش را با درجه‌ای از اطمینان امکان پذیر می‌سازد و بدین ترتیب، مشکل راه حل خود را پیدا می‌کند.

ساختمان فضا براساس نظریه نسبیت عام

بنا بر نظریة نسبیت عام، خواص هندسی فضا مستقل از ماده نیستند، بلکه به‌ وسیلة آن تعیین می‌شوند. بنابراین، فقط در صورتی می‌توانیم دربارة ساختمان هندسی جهان به نتایجی برسیم که شالودة ملاحظات خود را بر حالتی از ماده که تا کنون شناخته‌شده است قرار دهیم. به تجربه می‌دانیم که سرعت حرکت ستارگان در یک دستگاه مختصات که به‌ طور مناسب انتخاب‌شده باشد، نسبت به سرعت گسیل نور بسیار کم است. بنابراین اگر ماده را ساکن بشماریم، می‌توانیم با برآوردی اجمالی، دربارة ماهیت جهان به عنوان یک کل به نتیجه‌ای برسیم.
تا کنون از بحث پیشین دانستیم که میدان گرانشی، یعنی توزیع ماده، در رفتار خط کش ها و ساعت ها تأثیر می‌گذارد. این خود به‌تنهایی بس است که امکان اعتبار دقیق هندسة اقلیدسی از جهان ما منتفی شمرده شود. امّا می‌توان پنداشت که تفاوت جهان ما با جهان اقلیدسی اندک باشد و این تصور بسیار محتمل می‌نماید، زیرا محاسبات نشان می‌دهند که متریک فضای اطراف ما به میزان فوق‌العاده اندکی از جرم هایی حتی به بزرگی خورشید اثر می‌پذیرد. می‌توان چنین تصور کرد که از لحاظ هندسی، جهان ما شبیه سطحی است که قسمت های مختلف آن به شکل نامنظم خمیده است، ولی در هیچ جا اختلاف زیادی با صفحه ندارد؛ چیزی شبیه شبیه سطح موج دار یک دریاچه است. چنین جهانی را بهتر است جهانی شبه اقلیدسی بنامیم. فضای چنین جهانی قاعدتاً باید نامتناهی باشد. امّا محاسبات نشان می‌دهند که در یک جهان شبه اقلیدسی، چگالی متوسط ماده لزوماً می‌بایست صفر باشد. بنابراین در چنین جهانی ماده نمی‌تواند در همه جا وجود داشته باشد؛ و این امر ما را با تصویر ناخرسندکننده ای مواجه می‌سازد.
اگر قرار است چگالی متوسط ماده در جهان صفر نباشد، و با این حال هرقدر می خواهد کوچک باشد، دیگر جهان نمی تواند شبه اقلیدسی باشد. به عکس، نتایج محاسبه نشان می دهد اگر توزیع ماده یک نواخت باشد، جهان لزوماً کروی (یا بیضوی) است. از آن جا که در واقع توزیع ماده در جزء جزء آن نیست، جهان واقعی در جزئیات انحراف هایی از جهان کروی دارد، یعنی جهان شبه کروی است. امّا این جهان ضرورتاً متناهی خواهد بود. در واقع از این نظریه، رابطه ساده ای میان گستر، فضای جهان و چگالی متوسط ماده در آن، نتیجه می شود.