مسئله‌ی افزایش ساعات و طول روشنایی روز از نگاه بیرونی

چکیده:

متن عربی چهار رساله‌ی‌ ‌نجومی - ریاضی ابوریحان بیرونی منتشر شده به سال 1948 میلادی، مانند همه‌ی‌ ‌کارهای مؤلفان قرن یازدهم میلادی ( پنجم هجری ) حاوی دقت، نقد، نبوغ و بهره ور از منابعی تاریخی‌اند که مدتهاست ناپدید شده‌اند.
این مقاله به بحث درباره‌ی‌ ‌محتویات فصلی از یکی از آنها می‌پردازد که در آن بیرونی به وصف روشهای محاسبه‌ی‌ ‌طول روز در هر وقت سال پرداخته است. این مسئله به همراه طلوع بر جهای منطقة البروج بخش مهمی از نجوم قدیم را تشکیل می‌دهند. بیان و شرح بیرونی خود مبیّن اهمیت این مسئله است به ویژه آنکه وی مطالب خاص متعددی را به انبوه مطالب پیشین می‌افزاید که حاکی از ارتباطی میان علم نجوم بین النهرین، یونانی، هند و دوران اسلامی هستند. فی المثل در بخش یازدهم از مقاله نشان می‌دهیم که پارامترهایی از « زیج شهریاران » (Shahriyaran Zij=) که اثری ارزشمند از دوران ساسانی است و امروزه در دست نیست در آن زمان [ زمان بیرونی ] در دست بوده است.
در بخش چهاردهم نیز درباره‌ی‌ ‌روشی که منسوب به یالتابان هندی (Yaltaban Hinda) است، بحث شده که در هیچ یک از نوشته‌های منتشر شده در این زمینه نامش دیده نمی شود. آنچه بسیار مورد توجه می‌باشد آن است که بیرونی به توصیف روشی می‌پردازد آن را روش بابلی می‌نامد و این نخستین مورد یافت شده از طرح حسابگران بابلی در ستاره شناسی اسلامی است.

کلیدواژه‌ها:

ابوریحان بیرونی، طول روشنائی روز، زیج شهریاران

1- دستگاه عددنویسی

در این مقاله موافق خود متون، دستگاه شصتگانی برای عددنویسی به کار رفته است، مثلاً عدد 58، 15، 42؛ 30، 10، 70 چنین نمایش داده می‌شود: درست به همین شکل عدد 28، 316 در دستگاه ده گانی به صورت زیر نمایش داده می‌شود: در این نمایش نقطه ویرگول به عنوان پایان عدد شصتگانی، جداکننده ارقام به کار رفته‌اند.
در توابع مثلثاتی به کار رفته در متن شعاع دایره مثلثاتی 60 واحد در نظر گرفته شده است. این توابع چه در قرون وسطی و چه در عصر حاضر شکل اختصاری خود را حفظ کرده‌اند با این تفاوت که حرف اول سینوس قدیم یا جیب را با حرف بزرگ نمایش می‌دادند، چون: در ارجاع به متن شماره صفحه رساله چاپ شده در حیدرآباد با دو نقطه آمده است و بعد از این شماره، شماره‌ی‌ ‌سطر خواهد آمد چون 12-9: 126. هر یک از چهار رساله در وقت چاپ و انتشار شماره مستقل خورده‌اند. علامت‌های اختصاری پانوشت‌ها ارجاع به کارهایی است که از طریق علائم اختصاری کتابشناسی فهرست شده‌اند.

2- متن

فصل مورد بحث ما فصل بیست و دوم از رساله‌ی‌ ‌دوم این رسائل با عنوان « سایه‌ها » ( ظلّها =tangents) است. این فصل به دو بخش مهم تقسیم می‌شود. بخش نخست پس از یک مقدمه به بیان پنج روش برای محاسبه‌ی‌ ‌دقیق معادله‌ی‌ ‌طول روز ( یک نیمه اختلاف بین طول حقیقی روز و 12 ساعت) برای هر روز سال می‌پردازد. یکی از این بخشها شامل بحث وافی از جدولی است که در زیج خوارزمی دیده می‌شود.
بخش دوم به شمارش تعدادی از روش‌های تخمینی می‌پردازد که برای یافتن ساعات طلوع نقاط منطقة البروجی به کار می‌روند، همه این روشها معادله‌ی‌ ‌طول روز و افزایش ساعات را برحسب سایه‌ی‌ ‌شاخص در وقت ظهر معین می‌کنند، آن هم در وقتی که خورشید در ابتدای برج حَمَل است یعنی در وقتی که ظلّ عرض جغرافیایی محل مقداری ثابت است.
در روش‌های بابلی [ گفته شده ] در این بخش سایه‌ی‌ ‌شاخص به عنوان فرض در نظر گرفته می‌شود در مقدمه (8: 126-12: 125) آمده است که تغییرات عرض جغرافیایی راصد موجب اختلاف مرصود در سمت مشرق می‌شود و نیز از ارتفاع خورشید به وقت ظهر و در ازای روز و شب نیز سخن می‌گوید و چهار روش برای تعیین عرض جغرافیایی را نشان می‌دهد:
1- ارتفاع قطب شمالی سماوی. 2- در ازای طویل‌ترین روز ( اساس تعیین شرایط اقلیمی ) . 3- اندازه تحدی فاصله روی زمین. 4- مقداری که اینجا عمدتاً بدان می‌پردازیم سایه‌ی‌ ‌یک شاخص عمودی با دوازده واحد طول در روزی که خورشید در نقطه اعتدال و روز است. طول این سایه برابر است با " h tan " در اینجا h ارتفاع شاخص و عرض جغرافیای محل راصد می‌باشد.

3- روش براهماگوپتا

پس از این مقدمه، بیرونی در صفحه (14-9: 126) قاعده ای را بیان می‌کند که در براهما سیدهانتا (Brahmasiddhanta) اثر براهماگوپتا ( مشهور در اُجَین، ح 630 م ) یافته است.
او ابتدا، کسینوس زوال را از طریق اخذ ریشه‌ی‌ ‌دوم اختلاف میان مربع سینوس زاویه‌ی‌ ‌قائمه و مربع سینوس زاویه‌ی‌ ‌زوال می‌یابد. کسینوس « شعاع دایره‌ی‌ ‌صغیره‌ی‌ ‌خورشید » نامیده می‌شود و آن از طریق معادله‌ی‌ ‌فوق محاسبه می‌گردد زیرا کسینوسها معمولاً در جداول نمی‌آیند و برحسب عادت آنها از طریق سینوس محاسبه می‌شوند. با داشتن رابطه‌ی‌ ‌زیر برای یافتن سینوس معادله‌ی‌ ‌طول روز یعنی چنین است: سوریا - سیدهانتا (Surya - Siddhanta) « شعاع دایره‌ی‌ ‌صغیره‌ی‌ ‌خورشید » را « شعاع روز » می‌نامد و آن را از طریق جیب معکوس (Versed sine) محاسبه می‌کند. ( رک: 60 ) و سپس
به همین صورت محاسبه می‌شود ( رک: 63-61 ) .
بیرونی بعد از این گفتار وارد بحث مختصری درباره‌ی‌ ‌واحدها می‌شود ( 16-14: 126 ) و آنها را به شرح زیر ذکر می‌کند:
باران (baran) آن مساوی است با 0;0,0,10 گردش روزانه زمین
باناری (banari) آن مساوی است با 0;0,1 گردش روزانه زمین
خزی (khzy) آن مساوی است با 0;1 گردش روزانه زمین
باناری (banari) همان وینادی (Vinadi) سوریا - سیدهانتا (Surya-Siddhanta) می‌باشد. و خزی (khzy) همان 10، 7، 5، 20 است (13: 126).

4- روش وی جایاناندین

بیرونی در محاسبه‌ی‌ ‌معادله‌ی‌ ‌طول روز متوجه شد که وی جایاناندین که مسلمانان او را بی جایاناند می‌خواندند از روشی مشابه روش براهماگوپتا استفاده کرده است. البته او تا حدی روش را اصلاح کرده است (19-16: 126).
در سطور زیر (16: 127-1: 127) اثبات جالب توجهی برای فرمول داده شده است. این اثبات احتمالاً از بیرونی نیست، زیرا بیرونی با عمل بر سطح کره، که یک عمل عام در علم مثلثات دوران اسلامی بوده آشنایی داشته است.
این اثبات روی کره‌ی‌ ‌سماوی انجام شده و یک طرح هندی معمولی است در صفحه‌ی‌ ‌نصف النهار و از مثلثات متشابه و حاصله از تقاطع نصف النهار صفحات با استواء سماوی و دایره‌ی‌ ‌صغیره‌ی‌ ‌خورشید و افق تشکیل شده است. مسئله ابتدا با یافتن ضلع مثلث که "
" می‌باشد حل می‌شود با این شرط که دایره‌ی‌ ‌مرسوم در آن ( یعنی دایره‌ی‌ ‌صغیره‌ی‌ ‌خورشید ) بزرگ‌ترین دایره باشد و بعد با ضرب این مقدار در مقدار ثابتی مقدار نظیری به دست می‌آید که متناسب با دایره بزرگ است، بیرونی اثبات را با تبصره‌ای که ممکن است چنین معنی دهد به پایان می‌برد که این اثبات در کتاب المشکلات یعقوب بن طارق یافت می‌شود (17-16: 127). این قول نخستین تذکاری از کتاب است. کتاب‌هایی با این عنوان وجود دارند که به شرح زیجها می‌پردازند و اکثر به نام « مشکلات زیج‌ها » هستند، اما آیا این کتاب نیز از جمله چنین کتاب‌ها است یا نه؟ از آن اطلاعی نداریم.

5- روش یعقوب

فرمول یعقوب که در (8: 129-18: 126 ) داده شده چنین است:
این فرمول، با فرمول براهماگوپتا تناظر دارد جز آنکه روش یافتن تابع کسینوس آن به آنچه که در سوریا سیدهانتا (Surya-Siddhanta) آمده مشابه است. بیرونی در اینجا توضیح می‌دهد که عدد 3438 همان R متعلق به آریابهاتا (Aryabhata) ( ریاضی دان هندی سده‌ی‌ ‌پنجم میلادی خصوصیت یعقوب در اینجا آن است که او به سینوس چون وتر (Chord) نگاه می‌کند.
و شعاع را به عنوان وتر یک قوس دایره می‌گیرد که به معنی « نیم دایره » است.
تنفّس‌ها (Larar=Respiration) = 0;0, 0, 10 گردش روزانه.
زمان (time)- 0;0,10 گردش روزانه
او به همین صورت خزی (Khzy) و باناری (banari) را دوباره ذکر می‌کند و از «‌هاباشا » (habasha) و « داجاکا » (dayaha) نام می‌برد که شاید دو معادل « خزی » و « باناری » باشند.

7- روش خوارزمی

بیرونی بر یک جدول از زیج خوارزمی به نام « اختلاف » تحشیه می‌زند. اما این جدول اکنون در متن زیج موجود باقی نمانده است ولی شبیه آن را می‌توان در زیجهای دیگر یافت.
با توجه به توصیف بیرونی در این جدول برای هر طول جغرافیایی مقداری یافت می‌شود و آن مقدار به وجهی است که اگر ضرب در سایه ظهر اعتدال مکان (s) شود" را خواهد داد، یعنی از آنجا که میل خورشید مستقل از s است. این جدول بدین ترتیب کاملاً صحیح است.
بیرونی با استفاده از مثلثهای واقع بر سطح کره این رابطه را ثابت می‌کند. او برای این کار از « قانون هیئت » استفاده می‌کند. ( این رابطه که از روابط مهم در مثلثات دوران اسلامی است به این صورت عنوان می‌شود که در سطح کره نسبت سینوس دو کمان اختیاری با نسبت سینوس میل آنها نسبت به دایره‌ی‌ ‌عظیمه‌ی‌ ‌دیگر برابر است). با این مطالب او به دو نسبت دست پیدا می‌کند که کافی است آنها را در هم ضرب کنیم و پاسخ مطلوب به دست می‌آید در این اثبات بیرونی فرض می‌کند که h = R است تا بتواند عواملی را حذف کند ( یعنی خطای وارد شده در به دست آوردن پاسخ را اصلاح کند ).
در این قسمت او به تصحیح پرداخته است.
بیرونی چون R را مساوی 60 و h را مساوی 12 می‌گرفت، در نتیجه او این نسبت زیر را در جدول وارد می‌کند:
. گر چه او استدلال می‌کند که برای خوارزمی می‌باشد (15: 130 و 5: 129 ) و بدین ترتیب برای جدول او این نسبت چنین است با این گفته‌ها او تفسیر خود را به پایان می‌برد و با بیان اینکه برای تبدیل عدد نخست به عدد دوم اولی بر 24 تقسیم می‌شود. ( اگر قول بیرونی صحیح باشد جدول سینوس موجود در زیج خوارزمی دیگر آن جداول اصلی نیست چرا که R را مساوی 60 می‌گیرد ).
در اینجا تعدادی جدول اختلاف مطالع شبیه به آنچه از آن خوارزمی است وجود دارد و اختلافات وسیعی نیز در تناظر فقرات وابسته به ارزشهای متغیر برای ، میل دایرة البروج؛ موجود است یعنی:
  یکی از این جداول که مربوط به تاریخ 1428 م. است که نویگه باوئر (Neugebauer) و اشمیت (Schmilt) آن را منتشر کرده‌اند را برای میل دایرة البروجی استفاده می‌کند که بطلمیوس نیز از همین مقدار استفاده کرده است. ( نه را که همراه جدول انحراف است ) . البته با این وصف که خوارزمی گرفته و بطلمیوس را که بسیار معمول تر بوده آورده است . از آنجا که نویگه باوئر و اشمیت در جدولی که از زیج خوارزمی منتشر کرده‌اند R را مساوی گرفته‌اند بسیار محتمل است که مقادیر ایشان با مقادیر اصلی زیج خوارزمی یکسان باشد. ( آنجا دو اشتباه در نوشتن نیز وجود دارد که باید یکی تصحیح شدن که باید 35، 29، 5 گرد و دیگر که بایستی به 36، 30، 5 تصحیح شود ) .
اخیراً سه جدول مشابه بررسی شده است . یکی از آنها از طریق زیج الزرقالی در محاسبات این زیج R مقدار 60 و به اندازه و h 12 واحد است. در زیج ابن یونس (999 م) و زیج بغدادی ( کامل شده 1285 م . ) در نظر گرفته شده است آمده است. این زیج‌ها یکسان نیستند و مقادیر در آنها پیوسته متغیرند. محاسبه در نخستین اختلاف‌ها در همه آنها مبین بی نظمی‌های بسیار است و آن هم اختلاف به دلیل ساختمان انحراف و جداول ظل (tangent) می‌باشد و بر حسب آن اختلاف صعودی جداول محاسبه می‌شوند. البته در اینجا خطاهای کتابتی در دو جدول اخیر را باید لحاظ کرد و در زیج الزرقالی بیشتر است.

8- روش دیگر یعقوب

آخرین روش مورد بحث در قسمت اول این مقاله، رابطه دوم موجود در کتاب المشکلات یعقوب بن طارق ا ست. او در آنجا ارتباط مستقیم میان ارتفاع خورشید و تعدیل النهار را یافته بدون آنکه گرفتار انحراف شود
در اینجا مقدار میل کل برابر است این عدد سایه اعتدالی مکانی است که عرض جغرافیایی آن مساوی انحراف کسوفی می‌باشد (10-131 و 5: 131 و 3: 131 ) در حالی که مقدار آن واقعاً مکمل این مقدار است. ما نیز چنین ابهامی را در مقدمه ملاحظه کرده‌ایم.
بیرونی برای فرمول یعقوب اثباتی داده است. او با کاربرد متعدد قانون هیئت، نسبتی برقرار کرده و به وسیله آن توانسته به مقصود خود برسد، البته این اثبات او کاملاً روشن نیست.

9- نظریه زمانهای طلوع

در قسمت دوم این بخش روشهائی برای محاسبه‌ی‌ ‌»مطالع بروج » آمده است و ما با به کار بردن ملاحظات نویگه باوئر آنها را می‌آوریم:
عروج مایل برج حمل
عروج مایل ثور کوچکتر از عروج حمل

عروج مایل جوزا کوچکتر از عروج ثور
و ملاحظه می‌کنیم که:
مطالع مستقیم - تعدیل النهار = مطالع مایل است و در اینجا داریم: در جائی که اوقات مستقیم برای هر یک از برج‌های منطقه البروج و اختلافات در تعدیل النهار مطالع است. که در آنها از تعدیل النهار برای از برج حمل و تعدیل النهار برای از برج و تعدیل برای از برج جوزا باشد با کاربرد علامت اشمیت فرمول صحیح برای یافتن بر حسب آنچه ما تاکنون دیده ایم عبارت است از: و اما در جائی که انحراف خورشید باشد و S طول سایه شاخص وقتی که خورشید بر معدل النهار است و h ارتفاع شاخص است فرمول‌های به دست آمده در این قسمت می‌گوید که: و بدین ترتیب مقادیر به دست آمده برای S متناسب با و دقیقاً متناسب با اند. بیرونی این مطلب را به صورت خلاصه در یک مقدمه کوتاه آورده است (14-9: 132).
اگر چه این بخش خلاصه نوشته شده اما خوب سازمان یافته است و نمونه‌های عددی نیز معمولاً ارائه شده‌اند برای و نیز برای و غیره در اینجا گر چه اعداد حاصله در نهایت بی دقتی است ولی امکان آن وجود دارد که این اعداد را اصلاح کرده و شکل کاملاً یقینی به آنها بدهیم. اغلاط و اشتباهات به نظر باید از نوعی باشد که ناشی از اشتباهات مستنسخین است و هیچ شباهتی با قراردادهای عددی سیستم شصت شصتی عربی ندارند. تصحیح‌های آنها قابل ذکر نیستند مگر در مواضعی که عدم تقین و تعیین را می‌رسانند.
بیرونی همه نمونه‌های اعدادی « ازمان » و یک « واحد » هم که بر حسب « درجه » مشخص شده را داده است ولی اینها بیشتر متکی بر طول « روز » ‌اند تا بر طول کمان‌ها.
زیرا او می‌خواست مقادیر خود را با آنچه که پیش از این به دست آمده بود، مقایسه کند. اما اغلب قواعدی که او نقل قول می‌کند به وجهی داده می‌شوند که نتایج باید با « فال » [f□al] مطابق باشد. این یک واحد شصت شصتی معادل با 1، 0; 0 دوران روز یا
« درجه » . بیرونی در موارد زیادی در کار خود از « فال » به عنوان واحد اندازه گیر « روز » استفاده کرده است. برای روشن شدن مطلب اندازه جدول 1 و دو را با محاسبه مجدد آنها ارزیابی می‌کنیم.
بیرونی نخست (7-1: 133) با استفاده از یک محاسبه دقیق عرض جغرافیائی نقطه ای را 24 درجه می‌گیرد و S را معادل 21؛ 5 اندازه می‌گیرد و این مقدار S را مسائل به کار می‌برد. و با این مقدارها در اندازه‌های به دست آمده اختلاف در مطالع مستقیم روشن است. این مقادیر در جدول ما به صورت I برای « 1» نشان داده شده‌اند. این مقادیر برای مطالع مستقیم در « زیج بتّانی » آمده‌اند یعنی که بیرونی در قانون مسعودی برای میل دایرة البروجی از این مقدار استفاده کرده است، برای تعیین میل دایرة البروجی به کار رفته‌اند.

10- اندازه‌های براهماگوپتا

نخستین روشی که مورد بحث قرار گرفته (17-8: 133) از « خندخادیکه » (Khandakhadyaka) است ( که ما آن را به صورت مختصر « خند » (khand) می‌نامیم ) و آن نیز به نام « زیج ارکند » در نزد « براهماگوپتا » معروف است و مقادیر آن چنین است: [البته] در متن یک قلم افتادگی وجود دارد و مقدار در آن نیست. به هر حال « خند » در دست است و موارد عددی آن را می‌توان بررسی کرد. بیرونی با استطرادی که در کلام نسبت به آحاد (7: 137-18: 133) رفته است (12: 133) می‌گوید که « خند » پاسخگوی مسئله « فال » (fal) است و بدین ترتیب ده فال مساوی یک ساس (Sas) می‌گردد. او نشان می‌دهد (1: 133) که یک ساس مساوی یک درجه است و با این فرضیات مقادیر جدید برای در فال چنین است.
  ( بیرونی می‌گوید که فال با ضرب در شش قابل تبدیل به ساس است ولی او در اینجا اصل شصت شصتی را فراموش کرده است ) .
بیرونی می‌گوید که این مقادیر در کارهای هندیان به دست می‌آیند ولی با این همه این مقادیر را در موارد و نمونه‌های خود به کار نبرده است. پرفسور نویگه باوئر گفته است که این مقادیر به وسیله « واهارا می‌هیرا » (Vahara Mihira) در پانسا سیدهانیکا (Pansa Siddhantika) هم آمده است.
برای مقایسه این مقادیر در سوریا سیدهانتا (Surya Siddhanta) به صورت آمده‌اند.
در بند بعدی (15-8: 134) بیرونی می‌نویسد که در پاره‌ای از متون فارسی ( از « خند » ؟ ) همین مقادیر به عنوان ثابت در خند بکار رفته اند. اما S در آنجا به مقدار 5; 0 گرفته شده است ( و این مقدار برای مطابقه یا عرض جغرافیایی است ) و با این مقدار داریم: و با به کار بردن برای نمای « 1» داریم: بیرونی این تصحیح را انجام می‌دهد: ابتدا مقدار 8 دقیقه که اختلاف مقدار ما با (2؛ 5 برای S است را ضرب می‌کنیم پس اگر S اندازه گیری شده کمتر از 21؛ 5 باشد آن را کم می‌کنیم و اگر بیشتر باشد بر آن اضافه می‌کنیم.
او در این مورد مثالی آورده و می‌گوید اختلاف مورد نظر میان (5;21-5; 0) چنانکه می‌بینیم که 0; 21 می‌باشد چون با 8hr 0; ضرب شود حاصل 0; 2/ 48 hr می‌شود. بدین ترتیب با این مثال مسئله تصحیح می‌شود . گر چه اصل شصت شصتی را رعایت نکرده است؛ درین صورت این قابل دفاع است که فرض کنیم صفر به جای واحدها قرار گرفته است. گر چه در پیش بیان شد که هشت دقیقه از یک ساعت برحسب اختلاف اعشاری در S معادل است با یک پنجم ساعت.
به هر حال چون او از 0; 2, 48 ساعت به جای « ازمان » استفاده می‌کند ( اگر اَزمان مساوی یک ساعت باشد ) و در می‌یابد که 0; 2, 43 مذکور بسیار نزدیک به دقیقه است. جواب هم باید 0; 42 و یا 42 دقیقه گردد. 42 دقیقه در حدود دو برابر تصحیح مورد نیاز برای است و S به عنوان « اَزمان » برای در وقتی باشد که تصحیح مقدار 42 ثانیه قابل چشم پوشی گردد اما در این وقت دیگر بیرونی نمی‌تواند بگوید که طرح تصحیح او این است.
بیرونی درباره فرمول زیر (19: 135-15: 134) می‌گوید که آن را از « بعضی کتب » به دست آورده است: این متن مقدار S این مقدار را می‌دهد و این غلط است. همانطور که بیرونی اشاره کرده است که این طرح با آنچه که در خند یافته می‌شود یکسان است. مقادیر 278 و 299 و 323 برای به عنوان طرح « 2» در « فال » است در این وقت تقسیم بر عدد موجب تبدیل کلّ فال ( ثانیه‌های روزها ) به « ازمان » به عمل می‌آید ولی بیرونی در این باره مثال عددی نیاورده است.

11- زیج شهریاران

مقادیری که بیرونی از زیج شهریاران آورده عبارتند از (7-5: 135) این مقادیر با آنچه که در « خند » آمده برابر است جز آنکه مقسوم علیه‌ها ده برابر بزرگترند. بدین ترتیب جواب باید به صورت « ازمان » داده شوند. چنانکه در مقدمه اشاره شد زیج شهریاران اکنون موجود نیست ولی در آثار اخترشناسی اسلامی از آن بسیار نام برده شده است. ما این را می‌دانیم که این کتاب در سال 790 میلادی از فارسی به عربی ترجمه شده است.
سه مقدار زیر از حواشی متن به دست می‌آید و در متن نیامده است (12-8: 135).
مقدارها در مثال‌هایی که در پایان بند آمده‌اند، می‌آید. در بند بعدی ما در یک پاراگراف نسبتاً مبهم (19-15: 135) بعد از ارائه فرمول دیگر می‌آید: در مثال عددی ابتدا حساب شده با و بعد محاسبه شده با آمده است. بیرونی مقدار را به سخره می‌گیرد و می‌گوید آنهایی که آن را به کار می‌برند اعلام می‌کنند که 150 سینوس تمام است ( در حالی که خوارزمی این سینوس را می‌داند ) و عدد 114 را قطر آسمان ولی این مقدار دوم نیز برای ما ناشناخته است.
قسمت اول این پاراگراف (15-13: 135) روشن نیست و در آن آمده است که اندازه داده شده برای به وسیله دو عدد برای برج ثور می‌باشد که یکی از آن دو، صد است و حاصل آن می‌گردد.
عدد صد به احتمال صحیح است چنانکه به تفصیل نوشته شده و ممکن است به جانشینی در صورت یا مخرج کسری که قبلاً داده شده بیاید. یا آنکه ممکن است نقصی در متن باشد تا آن کسر را کامل کند چه نمی‌تواند مورد اعتماد قرار گیرد. به هر تقدیر، می‌دانیم که مقدار آن بسیار کم می‌باشد. بیرونی نیز می‌گوید قول نخستین یعنی « خند » اقرب به صواب است.

12- مطلب مندرج در حاشیه

اگر با استفاده از حاشیه (4-1: 136) این مطلب را بیان کنیم کوتاه تر می‌شود. بعد از آن که مقدار محاسبه شد داریم: در مثال عددی به صورت 5; 19 گرفته شده و نشان می‌دهد متنی که در آن مطلب یافته شده مساوی S است ( یا ).

13- مقادیر کرنسارا (Karanasara) و کارنتیلکه (Karanatilaka)

گزارشهای بیرونی (8-5: 136) از زیج کرنسارا از ویتسوارا (Vittesvara) است که در عربی یتیفرا (Yatifara) خوانده می‌شود و این گزارش چنین است: که به نظر می‌رسد متقول از « خند » باشند.
واحد در اینجا محتملاً فال است اما مقادیر زیر (13-8: 136) از کارنتیلکه که خلاصه ای از زیج‌های (9-8: 136) کرنسارا و کرنتیلکه است که به وسیله ویجینندین (Vijayanandin) گرفته شده است.
  گفته شد که کهری (kahri) افزایش طول روز را نشان می‌دهد، واژه کهری برای اینجانب ( نویسنده مقاله ) شناخته نشده است. این طور به نظر می‌رسد که بیان واحدی می‌کند معادل با « فال » رایست. ممکن است از آنجا که تعدیل النهار در غروب و طلوع خورشید محاسبه می‌شود، مشخصه ای از آن هر دو برای محاسبه‌ی‌ ‌مقدار روز استفاده می‌شود و آن کهری است. نکته قابل توجه این است که این کاربردی کاملاً متفاوت از محاسبه‌ی‌ ‌اوقات طلوع خورشید دارد. بیرونی می‌گوید مقادیر فوق معادل با کرنسارا است، جز در
که کسر آن بزرگتر از است ( ).

14- مقادیر یالتابان (Yaltaban)

بیرونی توصیف مبهمی (2: 137-14: 136) از روش یلتبان هندی، که درباره‌ی‌ ‌او نمی‌دانیم، آورده است و بیرونی مشهورترین روش یافتن اوتار یک دایره را به او نسبت می‌دهد.
او شاخص را در سه نقطه می‌گذارد، و اولی معادل یک دقیقه از 160 دقیقه طول، کسر می‌کند و دومی سه دقیقه از ده دقیقه طول آن و سومی دو دقیقه از سه دقیقه کسر می‌کند پس، چنین نتیجه می‌دهد: 90
بنا بر آنچه بیرونی در مثال عددی بیان می‌کند این روش به جز درباره‌ی‌ ‌ همان مقادیری را می‌دهد که ویتسورا (Vittesvara) به دست داده است.

15- روش ایرانیان

در این بخش سه روش دیگر آمده است که با آنچه در فوق آمد متفاوت است اصل و منشاء همه آنها نامعلوم و مبهم است. نخستین آنها (12-2: 137) به ظاهر در منبع روش یالتابان یافته می‌شود که احتمالاً روش A بابلیان (3) در تعیین مطالع است. دومین (2: 138-13: 137) ناشی از یک منبع ایرانی یا یک ویرایش ایرانی از زیج است و این دومین شبیه به آنهایی است که ارائه شده‌اند: آخرین (13-3: 137) نیز یک شکل از روش A بابلیان است که البته مقادیر آن با روش اول متفاوت است.
ما در ابتدا روش ایرانیان را عنوان می‌کنیم و سپس روش بابلیان را خواهیم آورد. روش ایرانیان این مقادیر را به ما می‌دهد: مثالهای عددی در جدول یک داده شده‌اند.

16- روش A بابلی

روش A بابلی در اخترشناسی بین النهرین و یونانی به کار می‌رفته است. در اینجا فرض آن است افزایش میان اوقات طلوع حَمَل تا سنبله کاهش سایر برجهای منطقة البروجی مقدار ثابتی است . بدین ترتیب مقادیر ما چنین می‌شود: دو رابطه دیگر منحصراً برای طلوع استفاده می‌شوند.
1)1) طول روز متناظر وضع خاص خورشید در دایرة البروج مساوی با اوقات طلوع برای بعدی منطقة البروج است، مثلاً وقتی که طول روز در زمانی باشد خورشید در صفر حملِ درجه است در صفر درجه ثور است و ... به شرح زیر: 2) طول بلندترین روز (M) معادل با طول بلندترین شب است یا طول بلندترین روز به اضافه طول کوتاه‌ترین روز چون m معادل یا از تعاریف آشکار است که:r /> و و مقداری مستقل از (d) نیست. (2) در فوق تقریر می‌کند که مقادیر اضافی و نقصانی آن به صورت خطی در اطراف مقدار متوسط می‌باشد یعنی فی المثل به همان اندازه کم از است که به همان اندازه بزرگتر از می‌باشد و به همین وجه برای و غیر آنها است. برای به دست آوردن رابطه ای بین و M بصورت مستقیم ما داریم: سیمای بابلی اصلی برای M مقدار و 3 و برای m مقدار و 2 را مشخص می‌کند و یا نسبت در حدود قرن پنجم پیش از میلاد و پس از کشف آثار کرویت زمین این روش برای یافتن شمال و جنوب بابل، مسأله عرض جغرافیائی منطقه یا اقلیم در ستاره شناسی یونانی استفاده شد.

17- روشهای بابلی یافته شده در متن r />

گرگرچه متن ما را بر حسب عاملهای S می‌دهد. نخستین روش (12-2: 137): و دوم (13-3: 138)r /> متمتن موجود به صورت مشخص برای (A-1) کسر ( یا را می‌دهد در حالی که مثال محاسبه شده آن را یا ( ) مشخص می‌کند ولی بدین نسبت که در متن آمده یک اشتباه کتبی است. با توجه به اینکه پنج افزایش برای d میان موجود است داریم: و موافق آن به دست می‌آوریم که چنین است:r /> مثمثال عددی بیرونی با به کارگیری و S=5; 21 دوباره محاسبه شده و در جدول 2 آمده است اعداد شماره دار در مثال بیرونی داده نشده‌اند ولی برای مقایسه محاسبه شده اند.
جدول 1r /> اوقات طلوع: مثالهای عددی
جدول 2
سیستمهای بابلی (الف –A ) مثالهای عدد بیرونی هیچ مرجعی برای منبع خود درباره این دو طرح نداده است. گر چه در آنچه به ظاهر نقل قولی که برای طرح (2) گفته شده از منابع بابلی آمده است.
دردر کوشش برای یافتن اصل این جداول تحقیقات عددی کمکی نمی‌کنند. برخلاف مثالهای اولیه در این بخش آنچه خیلی در روش A بابلی فرض شده است این است که دقت برای هر یک از ازمان S با عرض جغرافیایی تغییر می‌کند. بنا براین موجه نیست که سعی کنیم تا ببینیم بیرونی چه کرده است. ما در پی آن هستیم که این روش‌ها را با عرض‌های جغرافیایی مختلف به محک کشیم و نیز مبادی آنها را احاله به آن عرض جغرافیایی دهیم که سخت با آنها مطابق و موافق است زیرا دقت و درستی مقادیر مختلف و این طرح برای این مقادیر مختلف ممکن است.
به هر حال ما می‌توانیم بستر دیگری در پیش بگیریم و توجهی به ارزش S نکنیم و از رابطه شناخته شده بین M و m و S رابطه بین نسبت و S را برای دو جدول بیابیم. مقدار دوم صحیح است و اولی بسیار نزدیک به صحیح و حال عکس استدلال، اگر فرض شود مقدار برای M چنین به دست می‌آید: با جایگزین کردن این مقدار در فرمولی که قبلاً یافته شده بود:r /> در نتیجه ما چنین می‌یابیم: فرفرمول برای (Al) به صورت داده شده خیلی نزدیک ( بر حسب تخمین ) به S است و واقع که به چنین صورت داده شده بیشتر یک کسر ساده است که تخمین مقدار واقعی زده شده است.
مشکل دیگر آنکه نمی‌دانیم این دو دقیقاً در چه زمان حل شده‌اند شاخص و طول روز مشخص عرضهای جغرافیایی واجد تاریخ طویل و مبهم است. پرفسور نویگه باوئر با نهایت محبت اطلاع زیر را در اختیار من گذاشت: بابلی‌ها هم شاخص و هم پاره‌ای نظریه‌ی‌ ‌درباره طول سایه را به عنوان یک تابع زمان می‌دانستند ولی اطلاعی از عرض جغرافیایی نداشتند. گر چه منابع یونانی تعریف عرضهای جغرافیایی یا اقلیمی را بر حسب نسبت می‌دهند، این منابع همچنین نظریه سایه را به کار می‌بردند. مجسطی به عنوان مثال یک فهرست از مقادیر S را برای همه اقالیم می‌دهد که امکان دارد یک رجحان ماقبل بطلمیوسی داشته باشد، ولی برای این ادعا دلیل قطعی نداریم.
اما چنین به نظر می‌رسد که طرح‌های حسابی و عددی برای اوقات طلوع در بابل بسط یافته باشند و یونانیها این طرح‌ها را برای اختلاف ‌ها تعمیم داده و بالاخره در زمان بطلمیوس یا زودتر به بسط فرمولهای دقیق مثلثاتی دست یافته و از طریق یونانی‌ها هم روشهای مثلثاتی و هم روشهای حسابی به شرق انتشار پیدا کرده باشد و هندوان سینوس را جانشین تابع وتری یونانی کرده باشد.
مشرق زمین واجد اخترشناسان قابلی بین زمان بطلمیوس و بیرونی بوده، یعنی کسانی که قادر بودند اوقات طلوع را دقیقاً بیابند. سیستم‌های بابلی بدین ترتیب محتمل است که به رغم نارسایی آنها دوباره زنده شده. اما به دلیل سادگی برای حل مسائل سخت به کار رفته باشند. r />

پی‌نوشت‌ها:

1. استاد سابق دانشگاه آمریکائی بیروت پ
2. این ترجمه یک بار به وسیله نگارنده و بار دیگر به وسیله آقای حنیف قلندری ویرایش علمی گردید.
جعفر آقایانی چاوشی.
3.Babylanian A method

کتابنامه:
- بیرونی، رسائل البیرونی، نشر دائرة المعارف، العثمانیه 1367 هـ ق.
- ـــــــــ ، القانون المسعودی، حیدرآباد، دکن 1948
- ـــــــــ ، تحقیق ماللهند، به اهتمام زاخو، لندن، 1910
Ptolemy, Almagest, Books l-V, transl. R. C. Taliaferro, Encycl. Brittanica Press, Chicago, 1948.
Baghdadi: The Zij of al-Baghdadi, Bibliotheque Nationale MS. Arabe 2486.
Nailino, C. A., al-Battanl, Opus Astronomicum, Rome, 1889-1907.
University, Lallaguda, Hyderabad-Deccan, 1948.
Schmidt, 0., The Computation of the Length of Daylight in Hindu Astronomy, Isis, XXXV, (1944), pp, 205-211.
Khwiirizmi: Bjllrnbo and Suter, Die Astronomischen Tafeln des ... al-Khwdrizmi, Copenhagen, 1914
Neugebauer, 0., The History of Ancient Astronomy: Problems and Methods, Journal of Near Eastern Studies, IV: 1, January 1945, pp, 1-38.
Neugebauer, 0., and Schmidt, 0., Hindu Astronomy at Newminster in 1428, Annals of Science, VIII: 3, September 1952, pp. 205-211.
Ibn Yunis, az-Zij al-Kabir al-Hakimi, Leiden MS 1057 (Cod. Or. 143). Khand: Brahmagupta, Khandakhddyaka, transl. P. C. Sengupta, University of Calcutta, 1934.
Neugebauer, 0., On Some Astronomical Papyri and Related Problems of Ancient Geography. Transactions of the American Philosophical Society, New Series, XXXII, January 1942, pp. 251-263.
Varaha Mihira, Panca Siddhiintikii, transl. G. Thibaut and S. Dvivedi, Benares, 1889.
Kennedy, E. S., A Survey of Islamic Astronomical Tables, Transactions of the American Philosophical Society, New Series, XLV1, Part 2, May 1956, pp. 123- 177.
Silrya Siddhimta, transl. Rev. E. Burgess, University of Calcutta reprint, 1935. Zarqiila: Vallicrosa, Estudios Sabre Azarquiel, Escuelas de Estudios Arabes de Madrid y Grenada. Madrid. 1943-1950.
منبع مقاله :
آقایانی چاوشی، جعفر؛ (1390)، پژوهشهایی در تاریخ علم: مقالاتی درباره تاریخ ریاضیات، نجوم، مکانیک و پزشکی، تهران: مرکز پژوهشی میراث مکتوب، چاپ اول