تعیین عرض سیارات در نظریه‌ی بطلمیوس: مدل هندسی بدیع جمشید کاشانی برای حرکات سیارات پائینی

چکیده

مدل کهن یونانی حرکت سیارات یکی از دستاوردهای برجسته در تاریخ علم است. موفقیت آن به عنوان مدل ریاضی برای پدیده‌ای پیچیده که وضع چند سیاره را در قرون آینده دقیقاً تعیین می‌کند، حتی دانشمندان امروزی را به تأمل وامی دارد. این نظریه آنگونه که در مجسطی بطلمیوس تشریح شده به مثابه‌ی « پارادایم » [علم تبیین حرکات] سیّاره‌ای، بیش از یک هزاره حاکم بود. با وجود این، تعدادی از منجمان مسلمان تلاششان را معطوف اصلاح یا حتی تعویض این نظریه کردند تا به تطبیق شرط حرکت دورانی یکنواخت نزدیک شوند. در واقع جمشید کاشانی یکی از این اصلاح گران بود. با وجود این، او برای ایجاد ریاضیاتی که به پیش بینی دقیق حرکات سیّارات بینجامد، بدانگونه که با برداشت وی از خواستهای بطلمیوس نیز موافق باشد، وجود یک الگوی بطلمیوس اصلاح شده را فرض خود قرار داد.

1- مقدمه:

شاخص‌ترین خصوصیت حرکت یک سیاره کمانهای رجوعی منظم آن است که در شکل 1 نمایش داده شده است (حرکت مریخ از ماه می‌ تا دسامبر 2003). مدل فلک تدویری بطلمیوس در شکل 2، نقش قابل توجهی در پیش بینی طول سیاره، یا به عبارتی تصویر مکان آن بر روی دایرةالبروج دارد. (2) لیکن همان طور که شکل 1 به وضوح نشان می‌دهد، سیارات حرکات قابل توجهی در بالا و پایین دایرةالبروج از خود نشان می‌دهند. یک نظریه سیاره‌ای کامل باید این حرکات را دربرگیرد؛ بنابراین عرض سیاره را نیز باید لحاظ نماید.
بطلمیوس در آخرین مقاله‌ی مجسطی، مقاله 13، به این موضوع پرداخته و با متمایل ساختن فلک حامل و فلک تدویر به خارج از صفحه‌ی دایرةالبروج حرکاتی به سمت عقب و جلو برای آنها قرار می‌دهد به طوری که مناسبترین شیوه‌ی ایجاد این پدیده را ارائه می‌دهد (شکل 3 را ببینید). او برای سیارات سفلی یعنی زهره و عطارد سه اثر را تعریف کرد. (1) دایره فلک حامل، دارای یک حرکت متناوب به بالا و پایین است. این حرکت از زمانی که فلک حامل بر روی دایرةالبروج و فلک تدویر در نقاط A و C قرار دارد شروع می‌شود. زمانی که فلک تدویر بر B و D قرار می‌گیرد به بیشترین تمایل خود می‌رسد. نحوه‌ی تمایل فلک تدویر به صورت زیر است:
(2) قطر اول (3) در خط رویت آن گونه که از زمین دیده می‌شود. وقتی که مرکز فلک تدویر در B و D است دارای میل صفر درجه است و وقتی در A و C به بیشترین میل خود می‌رسد؛ وقتی که مرکز فلک تدویر در A و C است (3) قطر دوم، عمود بر قطر اول موازی با صفحه دایرةالبروج است و هرگاه در B و D است بیشترین شیب را دارد. شکل 1
هر چند بعداً بطلمیوس در « جداول دستی » و « فرضیات سیاره‌ای » نظریه ساده تری را در مورد عرض سیارات منتشر کرد، اما منجمان مسلمان در شیوه بطلمیوسی عموماً به رهیافت مجسطی پایبند ماندند. در بین همه‌ی آنهایی که زیج (جزوه چکیده نجومی که جداول عددی مورد نیاز جهت پیش بینی‌های نجومی را به دست می‌دهد) تنظیم کرده‌اند؛ تنها تعداد کمی در الگوی هندسی یا در تنظیم جداول مطرح شده در مجسطی اختلاف داشتند. (4) در بسیاری از موارد مؤلف زیج صرفاً از ساختارهای بطلمیوسی پیروی نمی‌کنند بلکه به سادگی جداول بطلمیوسی را مستقیماً در کار خودش اقتباس می‌کند. شکل 2 شکل 3
تقریباً تنها منجمی که در زمینه‌ی تعیین عرض سیارات به اصلاح مجسطی پرداخت جمشید کاشانی، ریاضیدان و منجم ایرانی قرن نهم هجری بود. جدا از اینکه کاشانی به عنوان عضوی از دانشمندان دربار الغ بیگ در سمرقند و از دست اندرکاران زیج ایلخانی بود در کار نجومی‌اش نیز از ریاضیات بهره می‌برد. شهرت او به عنوان ریاضیدان نابغه پیش از کارهای نجومی‌اش به خوبی تثبیت شده بود. روشهای او برای محاسبه
با 16 رقم اعشار و محاسبه سینوس یک درجه تا همان حد دقت (برای اولی [Luckey 1953]، برای دومی [Aaboe 1]، و برای گزارشی ساده از هر دو [Van Brummelen 1998 b] را ببینید) معروف‌ترین دستاوردهای او هستند. لیکن سهم تأثیر او در ریاضیات نجومی به طور قابل توجهی اساسی تر است. در بین آنها تعدادی از ابزارهای محاسبه‌ی مکان خورشید، ماه و سیارات موجود است که شامل ابزاری هوشمندانه است که می‌توانست عرضهای سیارات را به دست آورد. ([Kennedy 1950] و خصوصاً [kennedy 1951] را ببینید). بهر حال این «صفحه‌ی مدارات» (طبق المناطق) تکیه بر روشهای بطلمیوس داشت و شامل هیچ یک از نوآوریهایی که اینجا بیان می‌گردند، نمی‌شد.
زیج خاقانی که به عنوان اصلاحیه‌ای بر زیج ایلخانی نصیرالدین طوسی و پیش از پیوستن کاشانی به دانشمندان مکتب الغ بیگ نوشته شده بود از جهت دربرداشتن مباحث ریاضی پیچیده و گسترده برای تقویت نجوم، منحصر به فرد است.
در سال‌های اخیر مطالعاتی در مورد قسمت‌هایی از زیج ایلخانی صورت گرفته که برجسته‌ترین آنها [kennedy 1998]، خلاصه‌ای بخش به بخش از کل زیج و درک ما از محتوای آن تاکنون است. در بین اصلاحات مطالب مربوط به عرضهای سیاره‌ای، تنها تجدیدنظر کلی انجام شده تا کنون، به روی جداول تک مقداری برای عطارد بود که به طور خلاصه آن را منتشر خواهیم کرد. موضوع این مقاله یکی از پیچیده‌ترین بخشهای زیج خاقانی است که شامل توصیفی مشروح از یک مدل هندسی دیگری از سیارات پایینی است. این مدل نه به منظور بهبود انطباق بر پدیده سیاره‌ای و نه به منظور تعویض مدل بطلمیوسی با مدلی برتر در نظر گرفته شده، بلکه مقصودش آن است که از توصیف اصلی حرکات سیارات در مجسطی به ریاضیات لازم برای تبدیل این حرکات نایل شود تا راهی بهتر به پیش بینی‌ها، فراهم کند.
کاشانی از مقاله 13 مجسطی عمدتاً به خاطر زمینه‌های ریاضی آن ناراضی بود. رهیافت ریاضی بطلمیوس به عرض سیارات به طور نامشخصی نارسا است و بر یک سری تقریبها و فرضیات ساده کننده‌ای تکیه دارد که بعضی به جا و برخی دیگر نابه جا هستند. کاشانی در تعیین جداول برای عطارد، تصحیح بطلمیوس بر فرض اولیه‌اش را که زمین در مرکز فلک حامل است با فرض بهتری جایگزین می‌کند. جدول سازی تعدیل یافته کاشانی هنوز یک تقریب است اما مطابقت بین هندسه و محاسبات را تا بیش از
بر عرضهائی که اندازه آنها نوعاً بر مرتبه چند درجه است بهبود می‌بخشد. به هر حال کاشانی نیز به کلیت رهیافت بطلمیوسی که سه اثر عرضی (میل، انحراف و شیب) را مستقل از یکدیگر در نظر می‌گیرد، علاقه مند است. در واقع مقدار خاصی از (مثلاً) انحراف در یک لحظه داده شده تأثیر کوچکی بر مقدار شیب دارد. کاشانی رهیافتی کاملاً متفاوت را طرح می‌کند که واقعاً مستلزم هیچ تقریبی نیست و بدین وسیله آنچه را در المجسطی در بین نامقبولترین مباحث ریاضی است اصلاح می‌کند.
کلید روش کاشانی در استفاده از کره‌ای است که فلک تدویر در آن محاط می‌شود. بطلمیوس با استفاده از مثلثات معمولی در سه بعد دوایر مایل مختلفی را به کار می‌گیرد که تأثیر متقابل بین اثرات عرضی را که تقریباً در دسترس نیستند، از بین می‌برد. کاشانی با استفاده از کره فلک تدویری به سادگی دو تا از سه اثر عرضی را با در حرکت قرار دادن دو برابر عظیمه مشخصی، محاسبه می‌کند (شکل 4 را ببینید). دایره‌ی انحراف به صورت منظم حول استوای فلک تدویری (تقاطع فلک حامل با کره فلک تدویری) نوسان می‌کند؛ دایره شیب به طور مشابه حول دایره انحراف نوسان می‌کند. سیاره به روی دایره شیب حرکت داده می‌شود که به نوعی مجموع هر سه اثر عرضی را نمایش می‌دهد. به منظور تعیین مکان یک سیاره در یک زمان داده شده فقط لازم است که کاشانی مثلثات کروی را برای این دوایر عظیمه به کار گیرد و نتایج را به مضمون مدل کامل برگرداند. شکل 4 :
این ایده که در مدلهای سیاره‌ای دوایر در واقع دوایر عظیمه به روی کرات هستند مطالب تازه‌ای نبود؛ خود بطلمیوس در مجسطی و در کار کیهان شناختی‌اش « فرضیات سیاره‌ای » گاهی به این کرات اشاره کرده بود (هر چند در مدلهای ریاضی‌اش از سیارات، نقشی بازی نمی‌کردند). (5) این ایده اولین بار توسط ابن هیثم در قرون وسطی تحقق منسجمی پیدا کرد، ابن هیثم کسی بود که مقاله فی حرکات التفاف او به منظور ارائه اثرات حرکات سیارات در حد الگوی بطلمیوس نوشته شده بود. (6) ضمن آنکه عملاً به ایرادات فلسفی از الگوی طبیعی آن می‌پرداخت، بطلمیوس فلک تدویر را به دو دایره کوچک چسبانده بود تا موجب حرکت مناسب فلک تدویر شود؛ (7) ابن هیثم به جای آن مدلی را منظور کرد که جفتی از کرات فلک تدویر را با طرحی که یادآور کرات تودرتوی ائودوکسوس است، به کار می‌برد. نصیرالدین طوسی با نوع تغییر یافته کروی از « جفت طوسی » معروفش که جهت ایجاد نوسان یک نقطه در طول کمان کروی مفروضی ارائه شده، طرح ابن هیثم را اصلاح کرد. (8) چنین جفتی می‌تواند به فلک تدویر چسبانده شود تا حرکت صحیحی که فاقد ایرادات الگوی بطلمیوسی است را تولید کند. (9)
احتمالاً کاشانی به خوبی تحت تأثیر آن قرار گرفته است؛ زیرا در زیج خاقانی مکرراً به کار طوسی ارجاع می‌دهد. در واقع کاملاً محتمل، شاید هم تقریباً اجتناب ناپذیر به نظر رسد که او فکر نوسان منحنی الخطی را که مدلش را ارائه می‌دهد از طوسی الهام گرفته باشد. به هر حال آنچه کاشانی سعی بر انجامش داشت کاملاً با کار منجمن پیشین متفاوت بود. ابن هیثم و طوسی هر دو در صدد یافتن مدلهایی فیزیکی بودند که از لحاظ فلسفی قابل قبول باشند و قابلیت نشان دادن حرکات سیارات را داشته باشند. به عبارت دیگر، هر کجا که از موضوع دست کشیده بودند کاشانی کار خود را از همانجا از سرگرفت.
در مدل او کرات ائودوکسوسی تودرتو یا زوجهای طوسی وجود ندارند. نوساناتی که در انحراف و شیب بروز می‌کنند سینوسی در نظر گرفته می‌شوند و هیچ مدل فیزیکی‌ای برای آن اصل قرار داده نمی‌شود. البته کاشانی با فرض حرکات به عنوان اصل موضوع، به احتمال قوی کار یافتن ترکیب درستی از کراتی که این حرکات را به وجود می‌آورند را به عهده دیگران می‌گذارد و هندسه‌ای بنا می‌کند که به روشی جهت تعیین مکان سیارات منجر می‌شود.
این نحوه‌ی برخورد با زیج‌هایی که عموماً بر نتایج محاسباتی تأکید کرده اند تناسب دارد، هر چند بعضاً به موضوعات نظری نیز می‌پردازند. زیجها اغلب جهت اصلاح بر طرح بطلمیوس برای محاسبه مکانهای سیارات بدون تغییر دادن مدل مبنایی آن منظور شده‌اند؛ وسعت رابطه‌ی آنها با آثار کیهان شناختی موضوعی ناشناخته است که به کفایت بررسی نشده. هر چند زیج خاقانی استثنائاً نظری است و موضوع این اثر برای یک زیج نامعمول است، معهذا کاشانی در اینجا ابداع خود را برای یک منظور کاملاً محاسباتی به کار می‌برد: برای تعیین مکان سیاره زهره در زمان داده شده. حتی در این صورت تعجب آور است که آیا این کار می‌تواند منشایی برای مباحث اصلاحی مدلهای بطلمیوسی زاید باشد، مباحثی که اخیراً جورج صلیبا نشان داده که بعدها در دربار الغ بیگ صورت گرفته است. (10) گفته شده که عرضهای سیاره‌ای نقطه اوج ریاضی در نجوم بطلمیوس است؛ این از نقطه نظر پیچیدگی واقعاً درست است دستگاه جالب کاشانی نقایص ریاضی آن را رفع می‌کند و نشان می‌دهد که منجمان مسلمان نه تنها این قله‌ی نجوم بطلمیوسی را اصلاح کردند بلکه ریاضیات آن را نیز کامل کردند.
باقیمانده این مقاله ابتدا به توصیفی کوتاه از ریاضیات مدل عرضی بطلمیوس و سپس به شرحی فنی از قسمتی از زیج خاقانی که مختص رهیافت کروی کاشانی است، اختصاص داده شده است. متن مقاله کاشانی به طور کلی به سه بخش تقسیم شده: توصیفی هندسی از مدل کروی، بحثی ریاضی در باب نحوه بدست آوردن مکان سیارات از آن، و نمونه‌ای از محاسبات برای سیاره زهره.

2- مدل بطلمیوس برای عرض سیارات پائینی

تعیین عرض سیارات زیرین پیچیده‌تر از تعیین عرض سیارات زبرین است؛ این دسته‌ی دومی را در نظر نمی‌گیریم چون زیج خاقانی اصولاً به آنها نمی‌پردازد. ما از نمادگذاریی در [Pedersen 1974] قرار داد شده پیروی می‌کنیم. از آنجائی که قسمتی از نظریه عرضها مورد نیاز است آن را مختصراً توضیح می‌دهیم.
مرکز فلک تدویر با نرخی ثابت نسبت به نقطه‌ی معدل المسیر، حول فلک حامل می‌چرخد (شکل 2 را ببینید). بنابراین مرکز تعدل Cm= به صورت خطی نسبت به زمان تغییر می‌کند و با به کارگیری یک جدول حرکت متوسط به راحتی به دست می‌آید. مرکز حقیقی مکان مرکز فلک تدویر از منظر زمین است؛ آن را می‌توان با اضافه و کم کردن تعدیل المرکز بسته به اینکه مرکز فلک تدویر در سمت راست یا چپ خط AQE باشد، به دست آورد. مکان سیاره به روی فلک تدویر با مقدار آنومالی میانگین خاصة المعدله (که از نقطه‌ای که از منظر نقطه فلک معدل اوج فلک تدویر است، محاسبه می‌شود) اندازه گیری می‌شود که به صورت خطی نسبت به زمان تغییر می‌کند؛ و آن هم مشابهاً از آنومالی حقیقی (خاصّه حقیقی) (که این دفعه اوج از منظر زمین است) با اضافه یا کم کردن تعدیل المرکز به دست می‌آید. حرکت زاویه‌ای سیاره از مرکز فلک تدویر، آنگونه که از زمین دیده می‌شود، عبارت است از تعدیل حصّه که تابعی از هر دو زاویه می‌باشد. در نهایت، طول سیاره را می‌توان با اضافه کردن مقادیر مناسب به اوج فلک حامل A ، به دست آورد:
(1) مدل عطارد با این مدل تفاوت دارد؛ خواننده‌ی علاقه مند به [صفحات 328-309، Pedersen 1974] ارجاع داده می‌شود. برای دیدن پویانمایی‌هایی از هر مدل نیز [Yan Brammelen 1998a] و [Duke 2004] را ببینید.
بطلمیوس برای عرضهای سیارات فرض می‌کند که سه اثر مستقل از یکدیگرند. میل عبارت است از کج شدن فلک حامل که وقتی به بیشترین مقدارش می‌رسد که مرکز فلک تدویر در اوج B و حضیض D فلک حامل باشد و وقتی به صفر می‌رسد که در گره‌های A و C باشد (شکل 3). برای زهره کجی فلک حامل وقتی که فلک تدویر در سمت راست شکل 3 است از سمت شمال به راست، و وقتی فلک تدویر در سمت چپ است از سمت شمال به چپ می‌باشد و تماماً به طور سینوسی تغییر می‌کند. (11) مکان فلک تدویر، مرکز حقیقی C است که از گره A در خلاف جهت عقربه‌های ساعت اندازه گیری شده است. توجه کنید که زمین، و نه مرکز فلک حامل، در جایش ثابت شده؛ بنابراین فلک حامل توسط صفحه دایرة البروج کاملاً نصف نمی‌شود. بیشترین میل برای هر دو سیاره مقادیر کوچکی هستند: برای زهره و برای عطارد می‌باشد. (12)
بطلمیوس محاسباتش را برای عرض اول (عرض ناشی از اثر میل) با یافتن ارتفاع اوج فلک حامل وقتی که فلک تدویر در مکان c قرار دارد شروع می‌کند:
(2)
(3)
اما چون i و کوچک‌اند تخمین موجه است. سپس با حرکت از اوج به مکان فعلی سیاره عرض اول به دست می‌آید:
(4)
(5) باشد اما فقط اخترشناسی که دغدغه‌ی دقت دارد از این اختلاف ناچیز ناراضی خواهد بود.
تعیین عرض دوم که ناشی از انحراف (کج شدن قطر اول فلک تدویر) است به طور مشابه شروع می‌شود. قطر اول به دایره کوچکی که بر دایره فلک حامل در اولین قطر حضیض آن عمود قرار داده شده، ضمیمه شده است؛ وقتی دایره کوچک می‌چرخد موجب نوسان قطر اول می‌شود که بیشترین و کمترین مقدارش را وقتی اختیار می‌کند که مرکز فلک تدویر در گروه‌های A و C قرار دارد و در B، اوج فلک حامل، و D، حضیض آن، به صفر برمی گردد. به این ترتیب انحراف j عبارت است از:
(6) ,
(7)
است که بطلمیوس آن را به حرکت سینوسی ساده می‌کند که برای زهره
(کاشانی مقدار
را به کار می‌برد که همان مقداری است که در فرضیات سیاره‌ای بطلمیوس است) و برای عطارد
(کاشانی را به کار می‌برد). محاسبه‌ی از طریق j تابعی پیچیده از هر دو مقدار c و است که چون برای بحث ما لزومی ندارد آن را در اینجا حذف می‌کنیم. خواننده علاقه مند به [379-377 Pedersen 1974] ارجاع داده می‌شود.
در نهایت عرض سوم که ناشی از شیب (کج شدن قطر دوم فلک تدویر) است همان ساختاری را به کار می‌برد که برای عرض دوم به کار رفت، اگر چه وقتی که مرکز فلک تدویر در گروه‌های Aو C قرار دارد قطر دوم موازی دایرة البروج است و در اوج B و حضیض D این طور نیست. وقتی که مرکز فلک تدویر به اوج می‌رسد قطر دوم به بیشترین شیب می‌رسد (که در این حال ضلع بزرگ آن به سمت شمال کج می‌شود) ؛ در حضیض فلک حامل، شیب در جهت دیگر است. به این ترتیب شیب K عبارت از:
(8)
است که بطلمیوس آن را به شکل:
(9)
ساده می‌کند که برای زهره و برای عطارد است. بطلمیوس عرض سوم را از طریق آمیختن اثر شیب با مقیاس مناسبی از تعدیل حصّه به ازای (13) تخمین می‌زند:
(10)
در این مرحله، در مورد عطارد، بطلمیوس عقیده دارد که فاصله‌ی متغیر مرکز فلک تدویر از زمین باید به حساب آید. اگر فلک تدویر بر سمت اوج فلک حامل باشد آنگاه سیاره از زمین دورتر از آن چیزی است که محاسبات نشان می‌دهند؛ لذا او حکم می‌کند که باید با یک ضریب کاهش یابد. (14) هم چنین اگر فلک بر سمت حضیض باشد آنگاه با یک ضریب کاهش یابد نوآوری زیج خاقانی در جدول بندی عرضهای عطارد، که پیشتر ذکر کردیم، معادل است با امکان تغییر پیوسته‌ی ضریب وقتی که فلک تدویر، فلک حامل را می‌پیماید.
این نظریه مایه‌ی انتقادات زیادی است که قسمت قابل توجهی از آن مطابقت آن با واقعیت پدیده است. به هر حال این نه مورد توجه کاشانی بود و نه در واقع مورد توجه بقیه منجمان مسلمان. پیچیدگی مدل، یکی از این موضوعات نبود، هر چند خود بطلمیوس مدل را به طور قابل توجهی ساده کرد و جداول عرضی ساده تری در « جداول دستی » خودش تنظیم کرد ([334-325 و 155-143، Stahlman, 1960] را ببینید)، اکثر منجمان مسلمان به مدل مجسطی مقید ماندند. ایراد کاشانی از مجسطی بیشتر از آن جهت است که وقتی بطلمیوس به ریاضیات می‌پردازد به قدر کافی به هندسه‌ی خودش پای بند نیست. مثلاً، در فرمولهایی که شامل سینوس کمان‌های کوچک است بطلمیوس اغلب سینوس را با کمانش عوض می‌کند، مانند استفاده از (4) به جای (5). خصوصاً تخمین‌های بطلمیوس برای اثر شیب، فاحش است. فاصله متغیر از زمین تا مرکز فلک تدویر برای عطارد با ناپختگی مطالعه می‌شود و برای زهره کلاً نادیده گرفته می‌شود (هر چند با محاسباتی جهت اثبات این مدعا که اثر آن قابل چشم پوشی است). در نهایت، بطلمیوس فرض می‌کند که سه اثر عرضی مستقل از یکدیگر کار می‌کنند. او سعی نمی‌کند که همبستگی میل، انحراف و شیب را اندازه گیری کند؛ در واقع استفاده از هندسه مسطحه در سه بعد متضمن کار بسیار زیادی است.

3- مدل عرضی کاشانی

رساله سوم زیج خاقانی به تعیین مکان سیارات می‌پردازد و به دو بخش تقسیم شده است، اولی استفاده از جداول قرار داده شده در انتهای رساله را توضیح می‌دهد و دومی اثباتهای هندسی عملیات را شامل می‌شود. این شرح بر پایه‌ی بخش 8 از فصل دوم است.
دست نوشته‌های زیر در نظر گرفته شده:
▪ نسخه موجود در ایندیاآفیس (لندن) MS430 (Ethe 2232) f. 1047-1087
▪ نسخه دارالکتب (قاهره) MS TR 149; 180-187
▪ نسخه ایاصوفیا (استانبول) MS 2692, F. 73r 77r
اختلافات خیلی ناچیزی بین نسخه‌های ایندیا آفیس و قاهره است؛ چند متن از دست نوشته‌ی ایاصوفیه، خصوصاً در توصیف هندسی مدل از قلم افتاده است. دست نوشته‌ی ایندیاآفیس که مبنای اکثر مطالعات امروزی است حدود 1500 سال بعد از میلاد نوشته شده، همه‌ی شماره صفحات داده شده در این مقاله مربوط به دست نوشته‌ی ایندیا آفیس است.
کاشانی بعد از تشریح مدل و ریاضیات برای سیارات بالایی به شکل رسمی، بحث خود در مورد سیارات پائینی را با شرح تفصیلی مدل هندسی شروع می‌کند. پی نوشت این مقاله ترجمه‌ای از این قطعه را شامل است؛ ما اجمالاً ترتیب ارائه آن را در اینجا دنبال می‌کنیم.
شیوه‌ی کار مفهوم میل کاشانی با مدل بطلمیوس مطابقت دارد (شکل 3 را ببینید) و او در اینجا آن را بررسی نمی‌کند. فلک حامل به بالا و پایین صفحه فلک مُمَثِل (صفحه شامل دایرة البروج) نوسان می‌کند. برای زهره وقتی مرکز فلک تدویر در گروه‌های A و C است فلک حامل هیچ کجی ندارد، وقتی در B است به بیشترین کجی به سمت شمال در راست می‌رسد و وقتی در D است به بیشترین کجی به سمت شمال در چپ می‌رسد. توجه داشته باشید که این در هر لحظه مرکز فلک تدویر را به روی صفحه فلک ممثل یا بالای آن نگه می‌دارد.
در این مرحله فلک تدویر در یک کره محاط شده، همچون شکل 4 و 5. تقاطع کره فلک تدویر با صفحه فلک حامل، استوای فلک تدویر (15) است. با نوسان دایره انحراف (16) نسبت به استوای فلک تدویر، اوج و حضیض ظاهری به بالا و پایین آن حرکت می‌کند. محور این حرکت قطری عمود بر خط واصل بین اوج و حضیض است، و موازی با صفحه‌ی فلک ممثل. (کاشانی این محور را به عنوان محوری عمود بر « صفحه عرض مرکز فلک تدویر » معرفی می‌کند، صفحه‌ای عمودی در شکل 4 که از زمین و مرکز فلک تدویر می‌گذرد.) خود حرکت از قاعده بطلمیوس پیروی می‌کند؛ وقتی مرکز فلک تدویر در یکی از نقاط B و D در شکل 3 قرار دارد، دایره انحراف بر استوای فلک تدویر منطبق می‌شود، و وقتی به بیشترین انحرافش از استوای فلک تدویر می‌رسد که در یکی از نقاط A و C قرار داشته باشد. شکل 5 یک حالت شاخص را نشان می‌دهد؛ انحراف، کمان j است.
دایره شیب (17) نسبت به دایره‌ی انحراف حرکت می‌کند که محور آن قطری است که از اوج و حضیض می‌گذرد. اینجا نیز حرکت از دستورالعمل بطلمیوس پیروی می‌کند: وقتی مرکز فلک تدویر در یکی از گره‌های A و C از شکل 3 قرار دارد، دایره شیب بر دایره انحراف منطبق می‌شود. هرگاه فلک تدویر در یکی از نقاط B و D قرار دارد، شیب (که در شکل 5 با برچسب arc k مشخص شده) در بیشترین مقدارش است. سیاره به روی دایره شیب حرکت داده می‌شود.
سپس کاشانی بیشترین مقادیر انحراف و شیب را به دست می‌آورد؛ برای زهره داریم و برای عطارد داریم کاشانی برای یافتن انحراف j و شیب k از مرکز حقیقی سیاره، با پرهیز کردن از تخمینهای (7) و (9) بطلمیوس، فرمولهای
(11) را که معادل با (6) و (8) در بالا هستند به کار می‌برد. (نماد "Sin" اشاره به تابع قرون وسطی‌ای sine دارد که به بزرگی R=60 برابر sine امروزی است؛ همین طور برای بقیه توابع مثلثاتی.) شکل 5
اکنون خود مدل کاملاً مشخص شده، اما فرآیند تعیین مکان سیاره مستلزم تعریف یک دایره اضافه است. مکان سیاره با حرکت کردن از اوج به روی دایره شیب به اندازه‌ی کمانی معادل با بی هنجاری حقیقی ، مشخص می‌شود. دایره برخورد به گونه‌ای رسم می‌شود که از نقاط انتهایی محور دوران دایره انحراف (شکل 5 را ببینید) و سیاره بگذرد. همان گونه که خواهیم دید کاشانی آنرمالی حقیقی را که در راستای دایره شیب از نقطه‌ی اوجش، اندازه گیری شده به یک آنرمالی که در راستای دایره برخورد از نقطه اوجش اندازه گیری شده تبدیل می‌کند.

4- بحث ریاضی برای تعیین مکان سیارات

[Kennedy 1985] شرحی از چهارمین مقاله از شش مقاله در زیج خاقانی ارائه می‌دهد. در آن، کاشانی راه حلهای مثلثاتی مسائل استاندارد نجوم کروی را ارائه می‌کند. بیست و سه تا از بیست و شش مسئله‌ی حل شده در آن بخش، قانون چهار کمیّت (که از این به بعد نامیده می‌شود)، « اسب باری اصطبل مثلثاتی‌اش »، را به کار می‌برند [صفحه 3، Kennedy1985]. این قانون می‌گوید که برای دو مثلث قائم الزاویه‌ی کروی که در یک زاویه‌ی حاده مشترکند، نسبت سینوس یالهای مجاور به سینوس وترها برابرند؛ یعنی در شکل 6، شکل 6 شکل 7
(12)
علاوه بر این در همه‌ی موارد استفاده‌ی کاشانی از R4Q در مقاله‌ی چهارم به جز یکی، او این قانون را برای شکلهایی که در آنها
ربع دایره‌ی عظیمه کره هستند به کار می‌برد. مشابه آن اینجا برقرار است: R4Q ابزار اصلی همه‌ی بررسی‌های اوست و آن را تقریباً همیشه با این قید به کار می‌برد.
در شکل 7 (F, 1067) (18)، ABGD دایره‌ی انحراف است که با نقاط نامگذاری شده به چهار ربع دایره شکسته شده؛ A و G به ترتیب اوج و حضیض فلک تدویر هستند. دایره‌ی عظیمه AEG، که E قطب دایره انحراف است را با عنوان نصف النهار فلک تدویری ذکر می‌کنیم (هر چند کاشانی آن را نامگذاری نمی‌کند). دایره عظیمه AZG، دایره شیب است که Z به اندازه کمان K به بالای B برده شده. مکان فعلی سیاره، H، با حرکت کردن از نقطه A در طول دایره شیب به اندازه
، مشخص می‌شود. دایره برخورد دایره عظیمه‌ای است که از B، سیاره H و D می‌گذرد؛ و آنومالی a از اوج آن، T (اشتراک دایره برخورد با نصف النهار فلک تدویری)، تا سیاره H اندازه گیری می‌شود. شکل 8
E را به H وصل کرده و تا نقطه Y روی دایره انحراف امتداد می‌دهیم. کمانهای از (11) و محاسبات معمولی طول سیارات به دست می‌آیند. یا به کارگیری R4Q در شکل AYBZH داریم
(13) که را مشخص می‌کند. سپس با به کارگیری R4Q در EZBYH (چون زوایا در B و Z قائمه هستند) داریم
(14) (کسینوسها به عنوان سینوسهای مکمل کمانها ظاهر می‌شوند.) بنابراین معلوم است « مختصاتی » نسبت به دایره انحراف تبدیل شده است. برای اندازه گیری بی هنجاری a که در طول دایره برخورد اندازه گیری شده، R4Q را در ETAYH به کار می‌بریم:
(15)
 
که این را به دست می‌دهد. کاشانی در نهایت با به کار بردن R4Q در BYATH، انحراف دایره برخورد به دایره انحراف، یعنی را محاسبه می‌کند:
(16) اکنون به سراغ نمودار شکل 8 (19) می‌رویم که مشابه آن در المجسطی است. در این شکل A زمین، DHEZ فلک تدویر، (20) و Y تصویر سیاره T به روی قطر اول فلک تدویر است. نقاط B و L به ترتیب تصویر Y و T بروی صفحه فلک ممثل هستند. سیاره T از اوج به اندازه
تغییر مکان داده شده. فرض کنید k تصویر Y بروی AG باشد.
کاشانی ادعا می‌کند که می‌توانیم با استفاده از استدلالی برگرفته شده از قطعه‌ای که در باب سیارات بالایی است،
را تعیین کنیم که بر این یکی ارجح است. با پیروی از کاشانی آن را در اینجا تکرار نمی‌کنیم؛ خواننده علاقه مند، جزئیات را در نمونه محاسبات برای زهره که در فوق آمد، خواهد یافت. چون
(17)

(معادل است با بیانهای (3) و (5) که به ترتیب متناظر با فرمولهای (2) و (3) بطلمیوس هستند؛ کاشانی این تساویها را در بخش قبلی 4-2 نتیجه می‌گیرد)، اطلاع از محاسبه C
را می‌دهد. (21) سپس عرض تصویر سیاره به روی قطر اول فلک تدویر را می‌توان با اضافه یا کم کردن و بسته به اینکه جهت این دو زاویه به سمت شمال یا جنوب است، پیدا کرد. یک گام نهایی برای تبدیل از
به عرض لازم است، اما کاشانی در اینجا برای آن توضیحی نمی‌دهد و آن را برای نمونه محاسبات برای زهره باقی می‌گذارد.

5- نمونه محاسبات برای زهره

کاشانی برای توضیح روش جدیدش، آن را در ضمن نمونه‌ای از محاسبه مکان زهره به ازای لحظه‌ای داده شده از نقطه شروع، بدون استفاده از تخمینهای استفاده شده در روشهای جدولی، به کار می‌برد. تقریباً همه‌ی محاسباتش در حدود یک یا (ندرتاً) چند واحد در آخرین رقم شصتگانی صحیح هستند؛ در واقع هیچ کدام به اندازه ده رقم خطا ندارند. کاشانی با اقتباس کردن مقادیر سه پارامتر ذیل برای یک لحظه (معمول) مشخصی شروع می‌کند که احتمالاً از جداول حرکت وسط به دست آمده‌اند:
(18)

  که مرکز متوسط، بی هنجاری میانگین، و طول اوج است. (22)
چند مرحله اول مخصوص یک روش بطلمیوسی هستند که از اهدافشان تعیین کمیات اصلی متناظر با طول می‌باشد از جمله، آن کمیاتی که لازمه‌ شان در نظر گرفتن کره فلک تدویری است مانند، مرکز حقیقی
و بی هنجاری حقیقی در شکل 9 (f. 107 r). ABG فلک حامل زهره با مرکز D است، B مرکز فلک تدویر، YKL فلک تدویر، L زهره، و Z نقطه فلک معدل است؛ بنابراین
(شعاع فلک حامل که بنا به فرض به 60 واحد تقسیم شده)، EBY، و KBZ را رسم می‌کنیم. عمودهای ET و DH را به روی امتداد BZ وارد می‌کنیم.
با داشتن ، می‌دانیم که
  اما DZ خروج از مرکز زهره است که برای کاشانی e=1;3,4,30 (23) است؛ بنابراین HZ=0;3,26,7 , DH=1;2,58,53 بنا به قضیه فیثاغورث، شکل 9
(19) ولذا
BH=59; 59, 26, 56
حال HT=HZ (چون ED=DZ=e) و DH موازی با ET است)، پس BT=BH+HZ=60; 2, 53, 3. بنابراین
و در نتیجه:
بنابراین فاصله زمین تا مرکز فلک تدویر عبارت از:
(20)

است. حال اطلاعات لازم جهت یافتن تعدیل مرکز را داریم:
بنابراین:
  بنابراین مرکز حقیقی برابر است با و بی هنجاری حقیقی برابر است با با در دست داشتن مرکز حقیقی، در موقعیتی هستیم که عرض اول را بیابیم.
داریم:
Cos C=5;21,32,18, Sin C= 59; 45, 36, 41
(17) Sin بنابراین بنا به،
(21) و باز هم بنا به (17)،
(22) که را در جهت رو به شمال به دست می‌دهد.
پیش از وارد کردن کره فلک تدویری باید ابتدا j و k را که به ترتیب زوایای میل دوایر انحراف و شیب هستند، تعیین کنیم. چون (برای زهره) بنا به (6)،
(24)
بنابراین همچنین بنا به (8)
(25) پس K=0;18,44,40
حال کمیاتی را که جهت شروع محاسبات برای کره فلک تدویری لازمند، به دست می‌آوریم. در شکل
داریم:
ABGD= استواری فلک تدویری؛
ZBHD= دایره انحراف با قطب E که به مقدار به استواری فلک تدویری میل کرده؛
AEGH= نصف النهار فلک تدویری که حاصل تقاطع کره فلک تدویری با صفحه عمودی است که از زمین و مرکز فلک تدویری می‌گذرد؛
BED= دایره عظیمه که از نقاط D,E,B می‌گذرد. و بر دایره انحراف عمود است؛
ZTH= دایره شیب که به مقدار به دایره انحراف مایل شده (که در آن T تقاطع دایره شیب با BED است)؛
K= سیاره زهره، مکان آن به روی دایره شیب با حرکت به مقدار در طول دایره شیب از اوج فلک تدویری Z، مشخص شده.
BKMD= دایره بر خورد، دایره عظیمه‌ای که از B، K و D می‌گذرد؛ و EKL= کمان مار بر E و K که تا نقطه‌ی L به روی دایره‌ی انحراف امتداد یافته است.
در آنچه که در ادامه می‌آید هدف، انتقال شناخت بی هنجاری تنظیم شده به روی دایره شیب، به بی هنجاری برخورد a به روی دایره برخورد است. با دنبال کردن فرایندی که قبلاً در معادلات (13) تا (16) طرح شده، اطلاعات در دو مرحله انتقال داده شده است، اول به دایره انحراف و سپس به دایره برخورد. شکل 10
با ذکر این نکته شروع می‌کنیم که: بنابراین:
. قبلاً از (24)
داشتیم:
بنابراین با به کارگیری RQ4 برای HLBTK، داریم:
(25) که می‌دهد به این ترتیب مکمل آن، ، عبارت از 89;55,26,24. است. حال . بنابراین به کارگیری R4Q برای ETBLK، داریم:
(26) در نتیجه
(27) و لذا . چون کمتر از ، کمان متناظر با به روی دایره انحراف است، پس نیمه اول تعیین a کامل است.
سپس بی هنجاری را از دایره انحراف به دایره برخورد انتقال می‌دهیم. ، مکمل برابر است با 48; 4, 32, 5. بنابراین با به کارگیری R4Q در شکل EMHLKT،(28) پس
(29) که می‌دهد . اما مکمل بی هنجاری برخورد است پس معلوم است. در نهایت قبل از برگشتن به زمینه آشناتر بطلمیوسی، کاشانی باید میزان کج شدن دایره برخورد به سمت استوای فلک تدویر، یعنی GM، را تعیین کند. با به کار بردن R4Q در BLHMK داریم:
(30)
  پس:
(31) در نتیجه ، میزان کج شدن دایره برخورد به سمت دایره انحراف، برابر 0;20,52,25است. از (23) در بالا می‌دانیم که ؛ بنابراین ، انحراف به سمت جنوب حضیض دایره‌ی برخورد از استوای فلک تدویر، برابر است با
بقیه محاسبات به روی شکل 8 (f. 108 r) انجام می‌شود.در این شکل A زمین، DHEZ فلکت دویر، (24) T زهره، Y تصویر T به روی قطر اول فلک تدویر، و B و L به ترتیب تصاویر Y و T به روی صفحه فلک ممثل هستند. GT، شعاع فلک تدویر، به مقدار 10؛ 43 بطلمیوس، گرفته شده است.
هدف بعدی کاشانی عبارت از تعیین عرض تصویر زهره به روی قطر اول فلک تدویر، یعنی است. توجه کنید که . بنابراین، از داریم
(32)
  فرض کنیم k تصویر Y به روی AG باشد. در این صورت کجی فلک تدویر به سمت جنوب، برابر 3;8,17,8 است (همان طور که در فوق تعیین شد). بنابراین به روی ، از (20) می‌دانیم که AG، فاصله زمین تا مرکز فلک تدویر، برابر 7 و 5 و 5 ک 60 است. بنابراین: (27) AK=AG-GK=31;17,8,17، پس: (36)
=16;18;47,27,16,46,36,49+2;29,31,17,58,26,1=16,21;6,58,45,2,50
و لذا بنابراین: در جهت جنوبی. حال بنا به (22)
، عرض مرکز فلک تدوی برابر 0;0,4,47 در جهت شمالی است. بنابراین عرض تصویر زهره به روی قطر اول فلک تدویر برابر در جنوب است. (28)
بعد از این باید AL و BL را که شاید از آنها تعدیل حصه به دست آید، تعیین کنیم. چون قائم الزاویه است،
(38) بنابراین: (40)
=16,18;47,35,32,20,53,14+17,11;29,42,31,40,41,40=33,30;17,18,4,1,34,54
پس بنابراین
(41) که تعدیل حصه است و در نتیجه . (29)
برای محاسبه نهایی عرض، کاشانی دوباره به سراغ مرکز حقیقی برمی گردد، با این اعتقاد که مقدار آن اندکی لازم به تصحیح است تا علت میل فلک حامل را توجیه کند. از
(42) او به
(30) می‌رسد که آن را به 84;52,32,37 گرد می‌کند. کاشانی یقیناً در به حساب آوردن اختلاف بین c و اصرار می‌کند. خصوصاً با در نظر گرفتن اینکه مقادیر او برای یکسانند! در نهایت طول زهره برابر است با
(43)
 
کهطول اوج است.
محاسبه نهایی عرض به صورت زیر ادامه می‌یابد:
(44) بنابراین فاصله زمین تا زهره برابر
است. به این ترتیب
(45) و در جهت جنوب.
کاشانی با ذکر اینکه او اولین کسی است که تا کنون طولها و عرضها را با این روش محاسبه کرده مطلب را به پایان می‌برد. هر چند محاسبات طولی او به سختی از روشهای بطلمیوس متمایز هستند، محاسبات عرضی او تماماً منحصر به فرد و به راحتی دقیقترین رهیافت ریاضی طراحی شده در دستگاه بطلمیوسی نجوم سیاره‌ای هستند.

واژه نامه
میل	Inclination
انحراف	Devaition
شیب	Slant
دایرة البروج	Ecliptic
فلک تدویر	Epicycle
فلک حامل	deferent
مرکز متوسط	Mean Centrum
نقطه فلک معدل	Equate point
مرکز حقیقی	True Centrum
تعدیل مرکز	Equation of Center
آنومالی میانگین (خاصة المعدله)	Mean anomaly
آنومالی حقیقی (خاصة الحقیقی)	True anomaly
تعدیل حصه	Equation of anomaly
صفحه فلک ممثل	Per ecliptic plane
استوای فلک تدویر	Epicycle equator
اوج ظاهری	Apparent apogee
حضیض ظاهری	Apparent perigee
دایره برخورد	Incidental circle
نصف النهای فلک تدویری	Epicycle meridian
آنومالی برخوردی	Incidental anomaly

 

پی‌نوشت‌ها:

1- عضو هیئت علمی گروه ریاضی دانشگاه کاشان.
2- این مدل در چند جا توضیح داده شده؛ به عنوان مثال [Pedersen 1974] یا [Evans 198] را ببینید:
Archive for History of exact Sciences, 60 (2006) 353-377.
3- اصطلاحات قطر اول و قطر دوم توسط منجمان مسلمان و نه بطلمیوس، به کار برده شده.
4- اختلافات شامل به کارگیری طرحی برگرفته شده از جداول دستی یا از روشهای هندی، و همچنین چندین تغییر در جداولی که برای ساده کردن محاسبات طراحی شده اند، می‌شود. خلاصه‌ای ارزشمند از جداول عرضهای سیاره‌ای اسلامی را در [Van Dalen 1999] ببینید.
5- برای بحثهایی از مدلهای کروی در فرضیات سیاره‌ای و واقعیت آنها در افکار بطلمیوس به عنوان مثال [397-391، 1974 Redersen] یا [1995 Murschel] را ببینید. برای ترجمه‌ای از نسخه عربی قسمتی از فرضیات سیاره‌ای [1967 Goldstein] را ببینید.
6- برای ترجمه و ویرایشی از یکی از آثار مرتبط ابن هیثم (رساله اصلی از دست رفته است)، [Sabra 1979] را ببینید و برای مروری بر همان مبحث توسط طوسی [Ragep 2004] را ببینید.
7- برای بحثی از این دوایر در المجسطی [Riddell 1978] را ببینید.
8- برای شرح طوسی از جفت منحنی الخطش [Ragep 1993 216-222] را ببینید. [456-454 Ragep 1993] شرح و تحلیلی است که نشان می‌دهد که نقطه در واقع به مقدار کوچکی از کمان انحراف پیدا می‌کند. برای اطلاعات بیشتر از جفت طوسی [Ragep 1987] و [kennedy, Saliba 1991] را نیز ببینید.
9- مرور اثر قرن دوازدهم بطروجی، « در باب مبانی نجوم » نیز قابل ذکر است (ویرایشی که در [Goldstein 1971] است را ببینید)، که در آن کل مدل سیاره‌ای بروی سطح کره‌ای با مرکزیت زمین، وجود دارد. این نیز بیشتر به سبب دلایل فلسفی بود تا دلایل تکنیکی، تا نجوم را با کیهان شناسی ارسطو تطبیق دهد.
10- از جمله کسانی که علاوه بر خود الغ بیگ، وارد این مبحث شدند، قوشچی بود که اصلاحی از مدل بطلمیوسی را نیز طراحی کرد [Saliba 1993]، و همچنین شیروانی، که تقریظی بر تذکره طوسی نوشت [Saliba 2004]. مقاله اخیر شامل شرحهایی از چند رویداد جذاب در زندگی علمی روزانه‌ی دربار الغ بیگ است.
11- حرکات عطارد در جهت عکس حرکات زهره است؛ جهت اجتناب از اشتباه فقط زهره را در نظر می‌گیریم.
12- ما نماد استاندارد برای نمایش اعداد در دستگاه شصتگانی را به کار می‌بریم: مثلاً

و 1 به این ترتیب برای زهره داریم: I max= 13- مقدار به گونه‌ای انتخاب شده که فاصله‌ی p از زمین تا مرکز فلک تدویر دقیقاً 60 است؛ این وقتی اتفاق می‌افتد که Cm کمی بزرگتر از باشد. در عمل نیازی نیست که محاسبه شده باشد؛ تنها لازم است شخص بداند که .
14- یکی از معدود نوآوریهای مسلمانان در جداول برای عرضهای سیاره‌ای، جدول سازی بود به جای جدول سازی صرفاً خود و درخواست انجام عمل ضرب از خواننده ([Van Dalen 1999] را ببینید.)
15- این اصطلاح در قطعه مورد بحث ما پیدا نشده و اینجا برای سهوت به کار می‌رود.
16- استفاده کاشانی از اصطلاح المیل به معنی انحراف، با آنچه که نصیرالدین طوسی، مولف زیج ایلخانی، که کاشانی در زیج خاقانی دست به اصلاح آن زد، یکسان است. برای بحثی در این مورد [449، 424، ج20، Ragep 1993] را ببینید.
17- مثل قبل، کاشانی برای شیب (الانحراف) همان اصطلاحی را به کار می‌برد که طوسی به کار می‌برد؛ [449 و ج20 و Ragep 1993] را ببینید.
18- با شروع از شکل 7، هر نمودار، نموداری در نسخه‌ی خطی را نشان می‌دهد. ما برای ترجمه حروف واقع در نمودارها از [kennedy 1991/ 92] استفاده کردیم.
19- شکل 8 واقعاً نمایشی از نموداری است که در f. 108r و چند صفحه عمیقتر در متن آمده. آن شکل تقریباً با نمودار در f. 105r که کاشانی در اینجا به آن ارجاع می‌دهد، یکسان است. تنها اختلافات آنها این است که فلکهای تدویر در ربع‌های مختلف دو شکل قرار دارند و اینکه f. 105r یک پاره خط را متصل نمی‌کند و یک نقطه‌ی بیشتر از نامگذاری می‌کند که هیچ کدام از اینها تأثیری در کار ما در اینجا ندارد.
20- هم در اینجا و هم در نمونه محاسبات برای زهره، وقتی کاشانی از نمودار فلک تدویری کروی به مسطح آن حرکت می‌کند، دایره برخورد نقش فلک تدویر به خود می‌گیرد.
21- نمایش نمودار گمراه کننده است. زمین، A، باید مستقیماً زیر حضیض فلک تدویر قرار گیرد. البته اگر نمودار به طور واقعی رسم شده بود پاره خطهایی بر هم منطبق می‌شدند که خواندن آن را سخت می‌کردند.
22- این زوایا ابتدا برحسب تعداد برجها (واحدهایی از ) داده شده اند؛ ما همه جا آنها را به اندازه‌های درجه‌ای صرف تبدیل کرده ایم.
23- این عدد نصف مقدار خروج از مرکز خورشیدی کاشانی، یعنی گرفته شده.
24- هر نسخه‌ی خطی دارای رقم نادرستی در اواخر مقدار هستند: 11 و 45 و 40 و 20 و....
25- یعنی دایره برخورد کره فلک تدویر. توضیح 20 را نیز ببینید.
26- مقدار صحیح برابر 1;34,44,1 است اما محاسبات بعد از این ثابت می‌کنند که کاشانی مقدار 1;34,43,1 را استفاده می‌کند. هر سه نسخه خطی به جای 1 در رقم آخر، 10 را دارند.
27- مقدار صحیح 31;17,9,17 است، اما هر سه نسخه خطی و محاسباتی که به دنبال می‌آیند استفاده از 31;17,8,17 را تأیید می‌کنند.
28- نسخه خطی دفتر هند دو مکان آخر این عدد را 55 و 18 به دست می‌دهد که احتمالاً به طور تصادفی از مقدار در خط قبلی کپی شده. دو نسخه خطی دیگر مقدار صحیح را دارند.
29- کاشانی می‌توانست با استفاده از AB,BL و یک آرکتانژانت برای محاسبه‌ی P، از محاسبه کردن AL اجتناب کند، اما این را انتخاب نمی‌کند. شاید او به خاطر دقت، به استفاده از یک آرکسینوس بیشتر اطمینان کرده تا یک آرکتانژانت، یا می‌خواسته به رویه‌ی مجسطی نزدیک بماند (بطلمیوس با تنها جدول وتر قادر نبوده معادل یک آرکتانژانت را استفاده کند).
30- مقدار sin (84;52,32,36)=59;45,36,41 با درونی ابی خطی از جدول سینوس کاشانی، بیشتر در زیج، به دست آمده. arcSine به صورت تابعی که با فرآیند معکوس و چند گردسازی سازنده، تولید شده است ظهور می‌یابد.
کتابنامه :
Goldstein, B. R. The Arabic Version of Ptolemy"s Planetary Hypotheses, Philadelphia: American Philosophical Society, 1967.
Goldstein, B. R. Al-Bitrujl: On the Principles of Astronomy, 2 vols.. New HavenlLondon: Yale University Press, 1971.
Kennedy, E. S.AFifteenth-Centnry Planetary Computer: al-Kashi"s "Tabaq al-Manateq" 1. Motion of the Sun and Moon in Longitude, Isis 41 (1950), 180-183.
Kennedy, E. S. An Islamic Computer for Planetary Latitudes, Journal of the American Oriental Society 71 (1951), 13-21.
Kennedy. E. S. Spherical Astronomy in Kashi"s Khaqanl Ztj, Zeitschrift fUr Geschichte der Arabisch-lslamischen Wissenschaften 2 (1985), I-46.
Kennedy, E. S. Transcription of Arabic Letters in Geometric Figures, Zeitschrift fUr Geschichte der Arabisch-lslamischen Wissenschaften 7 (1991/92), 21-22.
Kennedy, E. S. On the Contents and Significance of the Khaqanl Zlj by Jamshld Ghiyath al-DIn al-Kashl. Frankfurt: Institnte for the History of Arabic-Islamic Science, 1998.
Kennedy, E. S.; and Saliba, George. The Spherical Case of the TUSI Couple, Arabic Sciences and Philosophy I (1991), 285-291.
Kennedy, E. S.; and Ukashah, Walid. Al-Khwariznu"s Planetary Latitnde Tables, Centaurus 14(1) (1969), 86-96.
Luckey, Paul. Der Lehrbrief tiber den Kreisumfang von Gamshid b. Mas"ud al-Kashi, Berlin:
Akademie Verlag, 1953.
Murschel, Andrea. The Structnre and Function of Ptolemy"s Physical Hypotheses of Planetary Motion, Journal for the History of Astronomy 26 (1995), 33-61. s
Pedersen, Olaf. A Survey of the Almagest, Odense: Odense University Press, 1974.
Ptolemy, Claudius. Ptolemy"s Almagest, Gerald Toomer. tr., London: Duckworth / New York:
Springer-Verlag, 1984.
Ragep, F. J. The Two Versions of the Tusi Couple, in David A. King and George Saliba, eds.. From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor ofE. S. Kennedy (New York: New York Academy of Sciences, 1987), 329-356.
Ragep, F. J. Nasir al-DIn al-Tusl"S Memoir on Astronomy (al-Tadhkirafic Urn al-hay"al, 2 vols., New York: Springer-Verlag. 1993.
Ragep, F. J. Ibn al-Haytham and Eudoxus: The Revival of Homocentric Modeling in Islam, in Charles Burnett, Jan P. Hogendijk, Kim Plolker, and Michio Yano, eds.. Studies in the History of the Exact Sciences in Honour of David Pingree (LeidenlBoston: Brill, 2004). 786-809.
Riddell, R. C. The Latitndes of Venus and Mercury in the Almageit, Archive for History of Exact Sciences 19 (1978), 95-1II.
Sabra, A. I. Ibn al-Haytham"s Treatise: Solution of Difficulties Concerning the Movement of lltifaf. Journal for the History of Arabic Science 3 (1979), 388-422.
Saliba. George. Al-Qushji"s Reform of the Ptolemaic Model for Mercury, Arabic Sciences and Philosophy 3 (1993),161-203.
Saliba, George. Reform of Ptolemaic Astronomy at the Court of Ulugh Beg, in Charles Burnett, Jan P. Hogendijk. Kim Plofker, and Michio Yano. eds.. Studies in the History of the Exact Sciences in Honour of David Pingree (LeidenlBoston: Brill. 2004). 810-824.
Stahlman. W. D. The Astronomical Tables of Codex Graecus Vaticanus 1291. doctoral dissertation. Brown University, 1960.
Tichenor. MarkJ. Late Medieval Two-Argument Tables for Planetary Longitudes, Journal of Near Eastern Stndies 26 (2) (1967), 126-128.
Toomer, Gerald J. Ptolemy"s Almagest, London: Duckworth / New York: Springer-Verlag, 1984.
Van Dalen. Benno. Tables of Planetary Latitude in the Huihui Li (II), in Yung Sik Kim and Francesca Bray, eds.. Current Perspectives in the History of Science in East Asia (Seoul: Seoul National Univ. Press, 1999). 318-328.
منبع مقاله :
آقایانی چاوشی، جعفر؛ (1390)، پژوهشهایی در تاریخ علم، تهران: مرکز پژوهشی میراث مکتوب، چاپ اول