افلاطون و فیثاغورث اعداد و مثلثات را به عنوان اجزای بنیادی طبیعت می‌شناختند
 
چکیده
قبل از شکوفایی علم نزد یونانیان، بیشترین فعالیت‌های علمی در زمینه فناوری، ریاضیات و نجوم توسط بابلیان، چینی‌ها، مصریان، هندیان و سایرین صورت گرفته بود. با‌این‌وجود، اروپا بیشترین الگو و الهام را از یونانیان گرفته است و در اروپا بود که علوم جدید آغاز شد. از این‌رو، یونانیان نقش ویژه‌ای در کشف علم داشته‌اند. در این مقاله نگاهی خواهیم انداخت به سیر تغییر و تحولات و پیشرفت‌های علم موسیقی و ریاضیات در غرب که به اذعان نویسنده ی آن اکثرا نشات گرفته از یونان باستان است.

تعداد کلمات 2370/ تخمین زمان مطالعه 12 دقیقه
حتی اگر تالس و جانشینانش فهمیده بودند که باید نتایج درستی از نظریات خود درباره ماده به دست آورند که از طریق مشاهده قابل آزمایش باشند، باز هم این کار بسیار دشوار بود. شاید یکی از علل این دشواری، از ضعف یونانیان در ریاضیات ناشی می‌شد. بابلیان با استفاده از سیستم عددی بر پایه 60 به جای 10 به موفقیت‌های زیادی در علم حساب دست پیدا کرده بودند. آن‌ها همچنین توانسته بودند روش‌های ساده‌ای در جبر ابداع کنند، مانند قوانین مربوط به معادلات درجه چهار (هر چند این روش‌ها را با نماد نشان نمی‌دادند) ولی برای یونانیان باستان، ریاضیات تا حد زیادی مبتنی بر هندسه بود.
ریاضی‌دانان در زمان افلاطون، قضیه‌هایی را درباره مثلثات و چند‌وجهی‌ها کشف کرده بودند. اکثر یافته‌ها در زمینه جبر که در رساله اقلیدس آمده است، حتی پیش از او در حدود 300 سال پیش از میلاد نیز شناخته شده بودند. ولی حتی در آن زمان نیز یونانیان دانش اندکی درباره ریاضیات داشتند، چه برسد به جبر و مثلثات و یا دیفرانسیل و انتگرال. پدیده‌ای که اولین‌بار با استفاده از روش‌های ریاضیاتی مورد مطالعه قرار گرفت، موسیقی بود. این کار توسط پیروان مکتب فیثاغورث صورت گرفت. فیثاغورث در جزیره‌ای به نام ساموس در آیونیا متولد شد و سپس در حوالی سال 530 پیش از میلاد به جنوب ایتالیا مهاجرت کرد. او در شهر کراتان (از مستعمرات یونان) مکتبی را پایه‌گذاری کرد که تا سال 300 پیش از میلاد دوام داشت. گویا واژه مکتب واژه مناسبی است. ظاهراً پیروان این مکتب چیزی از عقاید خود مکتوب نکرده‌اند ولی آن‌گونه که سایر نویسندگان می‌گویند، آن‌ها به تناسخ روح اعتقاد داشتند، لباس‌های سفید به تن می‌کردند و خوردن لوبیا نیز نزد آنان ممنوع بود چرا که اعتقاد داشتند لوبیا شبیه به جنین انسان است. آن‌ها نوعی حکومت مذهبی به راه انداختند و بعدها در سال 510 پیش از میلاد به شهر هم‌جوار خود یعنی سیبارس[1] حمله و آن را نابود کردند. آن‌چه در این‌جا به تاریخ علم مربوط می‌شود این است که فیثاغورثیان باعث پیشرفت‌هایی در علم ریاضی شدند.
ارسطو در کتاب خود به نام متافیزیک[2] می‌گوید: «فیثاغورثیان آن‌گونه که خود می‌گویند، زندگی‌شان را وقف ریاضیات کرده‌اند. آن‌ها اولین کسانی بودند که باعث پیشرفت این علم شدند و اعتقاد داشتند که قوانین علوم ریاضی تمامی قوانین دیگر را در بر می‌گیرد.» تأکید فیثاغورثیان روی ریاضیات از علاقه و مشاهدات آن‌ها بر موسیقی سرچشمه می‌گیرد. آن‌ها متوجه شده بودند که در یک آلت موسیقی زهی اگر دو سیم با جنس، ضخامت و کشش یکسان به صدا در آیند و اگر نسبت به طول سیم‌ها به یکدیگر کم باشد صدای دلنشینی از آن‌ها ایجاد خواهد شد. در ساده‌ترین حالت، طول یک سیم تنها نصف سیم دیگر است. به زبان امروزی می‌گوییم که صداهای این دو سیم، تنها یک اکتاو با هم فاصله دارند و صدایی را که این دو سیم تولید می‌کنند با یک حرف الفبایی مشترک نشان می‌دهیم. اگر یک سیم، دو سوم سیم دیگر طول داشته باشد، آن‌گاه دو نت، کورد پنجم را تشکیل می‌دهند که صدایی بسیار دلنشینی دارد. اگر طول یکی از سیم‌ها سه چهارم دیگری باشد، آن‌ها کورد چهارم را تشکیل می‌دهند که آن هم بسیار گوشنواز است. ولی در مقابل اگر نسبت طولی دو سیم کم نباشد (مثلاً طول یکی از سیم‌ها،  برابر طول سیم دیگر باشد) صدای تولید شده بسیار گوش‌خراش و ناخوشایند خواهد بود.ارسطو در کتاب خود به نام متافیزیک می‌گوید: «فیثاغورثیان آن‌گونه که خود می‌گویند، زندگی‌شان را وقف ریاضیات کرده‌اند. آن‌ها اولین کسانی بودند که باعث پیشرفت این علم شدند و اعتقاد داشتند که قوانین علوم ریاضی تمامی قوانین دیگر را در بر می‌گیرد.» تأکید فیثاغورثیان روی ریاضیات از علاقه و مشاهدات آن‌ها بر موسیقی سرچشمه می‌گیرد. آن‌ها متوجه شده بودند که در یک آلت موسیقی زهی اگر دو سیم با جنس، ضخامت و کشش یکسان به صدا در آیند و اگر نسبت به طول سیم‌ها به یکدیگر کم باشد صدای دلنشینی از آن‌ها ایجاد خواهد شد.
امروزه می‌دانیم که دو عامل باعث این اتفاق می‌شوند، یکی تناوب صدایی که این دو سیم با یکدیگر تولید می‌کنند و دیگری هم‌خوان بودن صداهای فرعی که هر کدام از این دو سیم به‌طور جداگانه تولید می‌کنند. نه تنها فیثاغورثیان، بلکه هیچ‌کس دیگری از این حقایق آگاهی نداشت تا این‌که دانشمندان و کشیش فرانسوی، مارین مرسن در قرن هفدهم، ظهور کرد. بر اساس گفته‌های ارسطو، فیثاغورثیان اعتقاد داشتند که کل هستی، یک قطعه موسیقی زیباست. این عقیده عمر طولانی داشت. برای مثال سیسرو در رساله خود به نام درباره جمهوری داستانی نقل می‌کند که فرمانده بزرگ رومی، اسکیپوی آفریقایی، موسیقی را به طور جدی به نوه خود آموزش می‌داد.
فیثاغورثیان صرفاً در ریاضیات موفقیت‌های چشم‌گیری داشتند تا در فیزیک. امروزه همه درباره قضیه فیثاغورث شنیده‌اند، جمع مساحت‌های دو مربع ساخته شده روی دو ضلع قائم یک مثلث قائم‌الزاویه، با مساحت مربع ساخته شده روی وتر، برابر است. هیچ‌کس نمی‌داند که دقیقاً چه کسی از فیثاغورثیان و یا چگونه این قضیه را کشف کرده است. می‌توان این قضیه را با استفاده از نظریه تناسب که توسط ارخوطس[3] ارائه شده، اثبات کرد. ارخوطس، دانشمند معاصر افلاطون و از پیروان مکتب فیثاغورث بوده است. (اثبات این موضوع در قالب قضیه 45 در جلد اول رساله عناصر اقلیدس نیز آمده که بسیار پیچیده است.) ارخوطس همچنین موفق به حل یکی از مسائل بزرگ و مشهور، هندسه شده است. با داشتن یک مکعب و استفاده از روش‌های محض هندسی، می‌توان مکعب دیگری با دو برابر حجم مکعب قبلی ساخت. قضیه فیثاغورث به طور مستقیم، منجر به یک کشف دیگر نیز شد. ساختارهای هندسی ممکن است دارای ابعادی باشند که نتوان آن‌ها را در قالب نسبتی از اعداد صحیح توضیح داد. اگر دو ضلع یک مثلث قائم‌الزاویه در مجاورت زاویه قائمه آن دارای طول یکسان و برابر با یک باشد، بنابراین مساحت کلی دو مربع ساخته شده توسط این اضلاع 2= +  خواهد شد، پس طبق قضیه فیثاغورث، طول وتر مثلث قائم‌الزاویه باید عددی باشد که مجذور آن 2 است. واضح است که عددی را که مجذورش 2 باشد نمی‌توان در قالب نسبتی از اعداد صحیح بیان کرد. اثبات این قضیه نیز در کتاب ده (10) از رساله عناصر اقلیدس آمده و قبل‌تر نیز ارسطور در کتاب Prior Analytics] در قالب مثالی از کاهش غیر ممکن[4] به آن اشاره کرده است ولی منبع اصلی آن روشن نیست. مشهور است که این کشف توسط هیپاسوس[5]، دانشمند یونانی پیرو مکتب فیثاغورث، صورت گرفته و بعدها فیثاغورثیان به جهت افشای این کشف، او را به مرگ محکوم کردند. امروزه این کشف را این‌گونه توضیح می‌دهیم که اعدادی مانند ریشه 2 (اعداد موسوم به ریشه دوم) اعداد گنگ هستند و نمی‌توان آن‌ها را در قالب نسبت‌هایی از اعداد صحیح توضیح داد. براساس نوشته‌های افلاطون، ریشه دوم اعداد 3، 5، 6، ...، 15، 17 و... توسط دانشمندی به نام تئودوروس[6]، اهل شهر سیرین، به دست آمد. (هر چند خود افلاطون این را نمی‌گوید، ولی ریشه دوم تمام اعداد صحیح به غیر از 1، 4، 9، 16 و... که خود مجذور اعداد صحیح هستند، نیز عدد گنگ محسوب می‌شوند.) ولی یونانیان باستان این موضوع را به این شکل توضیح ندادند. طبق ترجمه متون و کتب افلاطون، اضلاع مربع‌هایی با مساحت‌های 2، 3، 5، ... فوت مربع، با یک فوت واحد تناسب ندارند. یونانیان باستان تنها اعداد گویا را می‌شناختند، بنابراین کمیت‌هایی مثل ریشه دوم عدد 2 تنها ارزش هندسی داشت، ولی همین محدودیت، باعث پیشرفت‌هایی در زمینه ریاضیات گردید.
 

بیشتر بخوانید: ریاضیات، گذشته، حال و آینده


سنّتِ توجه به دانش ریاضیات تا زمان افلاطون ادامه پیدا کرد. مشهور است که بر روی درِ ورودی مدرسه افلاطون این‌گونه نوشته شده بود: «ورود افراد ناآشنا به هندسه به مدرسه ممنوع است.» خود افلاطون ریاضی‌دان نبود ولی علاقه زیادی به این رشته داشت، دلیل آن نیز شاید این باشد که هنگام سفر به سیسیل برای ملاقات دیونیسوس[7] سیراکوس، افلاطون با ارخوطس (ریاضیدان فیثاغورثی) آشنا شد. یکی از ریاضی‌دانان حاضر در مدرسه افلاطون که تأثیر زیادی روی او داشت، تئتتوس[8] اهل آتن بود که شخصیت و موضوع اصلی در دو گفتگو از گفتگوهای مشهور افلاطون است. تئتتوس، کاشف پنج شکل هندسی است که مقدمات نظریه عناصر افلاطون را فراهم کرده است.[9] اثبات اقلیدسی چند وجهی‌های محدب و همچنین نظریه‌ای که امروزه تحت عنوان اعداد گنگ شناخته می‌شود نیز به تئتتوس نسبت داده می‌شود.
بدون شک، بزرگ‌ترین ریاضی‌دان دوران هلنی در قرن چهارم پیش از میلاد، ائودوکسوس از کنیدوس است، او شاگرد ارخوطس و هم‌دوره با افلاطون بوده است. ائودوکسوس اکثر عمر خود را در شهر کنیدوس در سواحل آسیای صغیر سپری کرد، او شاگرد مدرسه افلاطون بود و بعدها برای تدریس به آن‌جا بازگشت. هیچ دست‌نوشته‌ای از او به جا نمانده ولی حل بسیاری از مسائل دشوار ریاضی به او نسبت داده شده ازجمله این موضوع که حجم یک مخروط، یک‌سوم حجم یک استوانه با پایه و ارتفاع یکسان است. (نمی‌دانم که بدون دیفرانسیل و انتگرال، او چگونه این مسئله را حل کرده است.) ولی بزرگ‌ترین کاری که ائودوکسوس در ریاضیات انجام داده، معرفی یک روش عجیب در استنتاج نظریات از اصول موضوعه صریحاً بیان شده است این روشی است که بعدها در نوشته‌های اقلیدس پیدا شدند. به طور حتم، بسیاری از جزئیات موجود در رساله عناصر اقلیدس، مرهون کارهای ائودوکسوس است. پیشرفت ریاضیات به خاطر فعالیت‌های ائودوکسوس و فیثاغورثیان باعث ارتباط میان علوم طبیعی شد که خود یک دستاورد بزرگ علمی محسوب می‌شود. روش قیاسی در ریاضیات که در رساله عناصر اقلیدس به سرحد کمال خود رسیده، به طور فزاینده‌ای توسط دانشمندان علوم طبیعی مورد تقلید قرار گرفت، جایی که این روش استدلالی با آن هم‌خوانی نداشت.
ارسطو در نوشتن مطالب علوم طبیعی، اندکی از ریاضیات استفاده کرده که در آن زمان، این کار بیشتر شبیه تقلید‌های کورکورانه از استدلالات ریاضی بوده است، همان‌طور که او در بحث حرکت در فیزیک چنین می‌گوید: «A در زمان C از B و در زمان E، از D که نازک‌تر است، عبور می‌کند (اگر طول B و D یکسان باشد) و این با چگالی جسم مانع متناسب است. فرض کنیم B آب و D هواست.»سقراط در کتاب جمهوری می‌گوید: «ما باید از اجسام آسمانی صرفاً برای مطالعه حوزه‌های دیگر علمی استفاده کنیم. همان‌گونه که با مشاهده یک شکل هندسی جدید این کار را انجام می‌دهیم.» ریاضیات وسیله‌ای برای استنتاج اصول فیزیکی است. از آن مهم‌تر، ریاضیات زبان قطعی و مسلم توضیح قوانین فیزیکی است. معمولاً ریاضیات، ایده‌های جدیدی درباره علوم طبیعی در اختیار قرار می‌دهد و در عوض، نیازمندی‌های علوم طبیعی باعث پیشرفت‌هایی در علم ریاضیات می‌شود.
شاید مهم‌ترین کار یونانیان در زمینه فیزیک، کتاب ارشمیدوس درباره جسم شناور باشد. این کتاب به شیوه متون ریاضی نوشته شده که در آن از اصول بلامنازع، گزاره‌هایی به صورت قیاس‌های منطقی استنتاج شده‌اند. ارشمیدوس به قدر کافی باهوش بود تا از قیاس‌های منطقی درست پیروی کند ولی تحقیقات علمی چیزی بیشتر از قیاس‌ها، حدسیات و نتیجه‌گیری‌های درهم و برهم است. مهم‌‌تر از روش استدلال، هدف نادرستی بود که ریاضیدانان به دنبال آن بودند و آن رسیدن به حقیقت موضوع با عقل غیر مسلح بود (مسلح به دانش کافی). افلاطون در کتاب جمهوری خود در باب آموزش و پرورش، از مباحثه خود با سقراط در این‌باره می‌نویسد که باید نجوم را به روش هندسه تدریس کرد. به نظر سقراط، رصد آسمان می‌تواند انگیزه‌ای برای قوه درک و فهم باشد، همان‌طور که نگاه کردن به نمودارهای هندسی باعث پیشرفت در ریاضیات می‌شود، ولی در هر دو حالت دانش از طریق اندیشیدن و تفکر حاصل می‌شود.
سقراط در کتاب جمهوری می‌گوید: «ما باید از اجسام آسمانی صرفاً برای مطالعه حوزه‌های دیگر علمی استفاده کنیم. همان‌گونه که با مشاهده یک شکل هندسی جدید این کار را انجام می‌دهیم.» ریاضیات وسیله‌ای برای استنتاج اصول فیزیکی است. از آن مهم‌تر، ریاضیات زبان قطعی و مسلم توضیح قوانین فیزیکی است. معمولاً ریاضیات، ایده‌های جدیدی درباره علوم طبیعی در اختیار قرار می‌دهد و در عوض، نیازمندی‌های علوم طبیعی باعث پیشرفت‌هایی در علم ریاضیات می‌شود. تحقیقات و فعالیت‌های فیزیک‌دان نظری، ادوارد ویتن[10]، به قدری در ریاضیات مهم و تأثیرگذار بود که در سال 1990 موفق به دریافت مهم‌ترین جایزه ریاضیات یعنی مدال فیلدز[11] شد. ولی ریاضیات جزو علوم طبیعی محسوب نمی‌شود. ریاضیات بدون مشاهده، هیچ اطلاعاتی درباره جهان پیرامون به بار نمی‌آورد و قضیه‌های ریاضی را نمی‌توان تنها از طریق مشاهده جهان، تأیید یا رد کرد. این موضوع نه تنها در دوران باستان بلکه در زمان علوم مدرن نیز چندان روشن نیست. دیدیم که افلاطون و فیثاغورث اعداد و مثلثات را به عنوان اجزای بنیادی طبیعت می‌شناختند و برخی از فیلسوفان، نجوم ریاضیاتی را به عنوان زیر شاخه‌ای از ریاضیات در نظر داشتند و نه شاخه‌ای از علوم طبیعی. تفاوت میان ریاضیات و علوم طبیعی کاملاً شناخته شده و روشن است. این موضوع هنوز روشن نیست که چرا ریاضیات که به دلایل خاصی ابداع شده و هیچ ارتباطی با طبیعت نیز نداشته، گاهی اوقات در نظریات فیزیک، نقش مفید و سودمندی ایفا می‌کند. فیزیک‌دانی به نام اوگن ویگنر[12] در مقاله‌ای معروف، از تأثیرات نامعقول ریاضیات روی فیزیک سخن به میان آورده است. ولی در کل هیچ مشکلی در تمایز نظریات ریاضی از قوانین علوم طبیعی، قوانینی که تنها از طریق مشاهده جهان تأیید می‌شوند، وجود ندارد.
اختلافاتی که امروزه میان ریاضی‌دانان و دانشمندان علوم طبیعی بروز می‌کند، معمولاً به خاطر سخت‌گیری‌های بیش از حد ریاضی‌دانان است. از اوایل قرن نوزدهم، محققان در زمینه ریاضیات محض، بسیار سخت‌گیر و بیش از حد دقیق بوده‌اند تعریفات و فرضیات می‌بایستی کاملاً دقیق باشند و نتیجه‌گیری‌ها نیز باید با اطمینان کامل انجام شوند. فیزیک‌دانان تا حد زیادی فرصت‌طلب هستند و به دنبال میزانی از دقت و صحت می‌گردند تا حتی‌الامکان از اشتباه مصون بمانند. این نگاه باعث بروز مشکل در ارتباط میان ریاضی‌دانان و دانشمندان علوم طبیعی می‌شود. بارها، ریاضی‌دانان با خشم به من گفته‌اند که متون فیزیکی از نظر آنان بسیار مبهم و گنگ هستند. فیزیک‌دانانی مثل خود من که به دنبال ابزار پیشرفته ریاضیاتی می‌باشند، بر این عقیده‌اند که سخت‌گیری‌های بیش از حد ریاضی‌دانان در تحقیقات خود، متون آن‌ها را به قدری پیچیده می‌کند که جذابیت خود را برای فیزیک‌دانان از دست می‌دهند. یک تلاش جالب از سوی فیزیک‌دانان علاقه‌مند به ریاضیات در زمینه ادغام فیزیک ذرات یعنی نظریه میدان‌های کوانتومی با مبانی سخت‌گیرانه ریاضیات صورت گرفت و نتایج جالبی نیز به همراه داشت. ولی باید توجه داشت که طی نیم قرن اخیر، هیچ‌کدام از پیشرفت‌های مدل استاندارد ذرات بنیادی به ارتقا و تکامل ریاضیات، احتیاج و وابستگی نداشته است. یونانیان، پس از اقلیدس نیز همچنان به پیشرفت‌های خود در زمینه ریاضیات ادامه دادند.
 

نمایش پی نوشت ها:

[1] - Sybaris
[2] - Metaphysics
[3] - Archytas
[4] - Reductio ad impossibile
[5] - Hippasus
[6] - Theodorus
[7] - Dionysius
[8] - Theaetetus
[9] ـ در واقع (همان طور که در نکته فنی 2 توضیح داده شده است) جدا از هر آنچه که تئتتوس اثبات کرده، رساله عناصر، این ادعا را که تنها پنج چندوجهی محدب وجود دارند اثبات نمی‌کند. در عوض این رساله ثابت می‌کند که در چندوجهی‌های معمولی، تنها پنج حالت ترکیبی از اضلاع هر وجه که در یک رأس به یکدیگر می‌رسند، وجود خواهد داشت ولی این را اثبات نمی‌کند که در هر حالت ترکیبی تنها یک چندوجهی وجود خواهد داشت.
[10] - Edward Witten
[11] - Fields Medal
[12] - Euggene Wigner

منبع: کتاب در تبیین جهان، کنکاشی در پیشرفت و تکوین علوم جدید؛ استیون واینبرگ؛ مترجمان: یاشار مجتهدزاده، امیرنظام امیری؛ انتشارات سبزان، 1396.