توجیهی منطقی از اثر هال

مقدمه
 

در اثرِ هال مشاهده می‌شود که وقتی میدانی مغناطیسی عمود بر سطحِ یک نوار رسانای حامل جریان اِعمال کنیم، درصورتی‌که دو نقطه‌ی مقابل از دو ضلع نوار را به‌وسیله‌ی یک سیمِ فرعی به‌هم وصل کنیم جریانی الکتریکی در این سیم جاری خواهد شد. درصورتی‌که جهت جریان در نوار بلاتغییر بماند دیده می‌شود که جهت جریان در سیم فرعی به جنس نوار بستگی دارد.
آنچه در این اثر قابل توجه است این است که وجود دو جهتِ مختلف در سیم، که بستگی به جنس نوار حامل جریان دارد، در نگاهِ اول نشان می‌دهد که نوعِ حامل‌های جریان در نوار به جنس نوار بستگی دارد، یعنی در بعضی موارد مطابق معمول الکترون‌ها حامل جریانند و در موارد دیگر بارهای مثبت باید حامل جریان باشند.
در مورد مکانیسم حمل جریان به‌وسیله‌ی الکترون‌ها بحثی نیست. اِشکال در توضیح مکانیسم حمل جریان وقتی آشکار می‌شود که قرار باشد بارهای مثبت حاملین جریان باشند درحالی‌که فرض می‌شود بارهای مثبت در جامدات ساکن می‌باشند. برای رفع این اِشکال ادعا می‌شود که درواقع این یون‌های مثبت نیستند که با جاری شدن در سیم جریانی الکتریکی را باعث می‌شوند بلکه این حفره‌ها یا درواقع مکان‌های خالیِ الکترون‌ها هستند که با یک حرکتِ ظاهری جریان را چنان حمل می‌کنند که گویی یون‌های مثبت چنین می‌کنند.
روشن است که وقتی جاهای خالیِ الکترون‌ها (یا حفره‌ها) قرار باشد جابه‌جا شوند درواقع الکترون‌ها در همان جهتِ معمولِ خود حرکت می‌نمایند و درحقیقت چیز تازه‌ای اتفاق نمی‌اُفتَد. به‌علاوه، درحالی‌که کاملاً معقول است که الکترونی درحالِ حرکت در میدانی مغناطیسی متحمل نیرویی (عمود بر مسیر الکترون و بر میدان مغناطیسی) شود کاملاً نامعقول است که بگوییم یک جایِ خالی (جای خالیِ یک الکترون یا یک حفره) که به‌طور ظاهری درحال جابه‌جایی در میدانی مغناطیسی است نیرویی را تحمل می‌کند که باعثِ حرکتِ آن به‌سمتِ یکی از دو لبه‌ی نوار می‌شود زیرا نیرو تنها بر ماده قابلِ اِعمال است نه بر «هیچ چیز»!
در تلاش برای توجیهِ حمل جریان به‌وسیله‌ی جابه‌جاییِ حفره‌ها ممکن است بتوان گفت که گرچه درواقع این الکترون‌های درحالِ حرکت هستند که در نوار حامل جریان در میدان مغناطیسی به‌سمت یکی از دو لبه‌ی نوار کشیده می‌شوند اما ساختمانِ کریستالیِ نوار و سیمِ فرعی به‌گونه‌ای است که هنگامی‌که برای ادامه‌ی جریان، الکترونی اتمِ خویش را درست در لبه‌ی نوار در نقطه‌ی اتصالِ سیم فرعی ترک می‌کند تا در نوار جاری شود جای خالیِ آن چندان الکترون‌خواهی دارد که قبل از این‌که الکترونِ درحالِ حرکت بعدی در نوار به این جایِ خالی برسد الکترون‌های ظرفیتیِ فراوانِ سیمِ فرعی به‌وسیله‌ی این حفره جذب می‌شوند. بدین‌ترتیب جریانی الکتریکی در جهتی برخلافِ آنچه مورد انتظار است در سیمِ عرضی خواهیم داشت. اما چنین توجیهی نیز بسیار ضعیف است زیرا کاملاً روشن است که الکترون‌های بعدی در نوار که براثرِ وجود جریان در نوار درحالِ حرکت به‌سمت این جای خالی می‌باشند نسبت به الکترون‌های ظرفیتی سیمِ فرعی به این جای خالی بسیار نزدیکترند. و اصولاً مطمئناً الکترون‌های بعدی در نوار، که خود درحال حرکت به‌سمتِ جای خالی هستند، بسیار بیش از الکترون‌های ظرفیتیِ ساکنِ سیمِ فرعی درگیرِ الکترون‌خواهیِ شدیدِ جای خالی خواهند بود. درنتیجه کاملاً واضح است که مثلاً دلیلی وجود نخواهد داشت که درصورتی‌که سیمِ عرضی از همان جنسِ نوار باشد چنین جریانِ غیرقابلِ انتظاری در این سیم ظاهر شود، درحالی‌که درعمل چنین نیست.
این مقاله برآن است که مشکلِ توجیهِ اثرِ هال را به‌روشی ساده و منطقی حل کند.

توجیه
 

سیمی حاملِ جریان را که به‌طورِ ایده‌آل مقاومت ندارد درنظر گیرید. دو نقطه از این سیم را به‌وسیله‌ی یک سیمِ مشابهِ دیگر به‌هم وصل کنید. جریان الکتریکی چگونه بین این دو سیم تقسیم می‌شود؟ برای پاسخ‌گویی به این پرسش به شکل 1 توجه کنید. دو نقطه‌ی فوق‌الذکر نقاطِ a و b در این شکل می‌باشند. فرض کنید دو سیمِ اتصال‌دهنده‌ی این دو نقطه دارای مقاومتِ ویژه‌ی یکسان، ρ، و بزرگیِ سطحِ مقطع یکسان، A، باشند و طول سیمِ 1 برابر با l1 و طول سیم 2 برابر با l2 باشد. در یک تحلیل الکتریکیِ ساده (که می‌تواند توسط خواننده انجام شود)، که در آن از مقاومت‌های معادل استفاده می‌شود، می‌توان به‌سادگی نشان داد که به‌شرطی که مقاومت ویژه‌ی الکتریکیِ تمامِ سیم‌ها برابر با صفر درنظر گرفته شود برای نسبتِ جریانِ عبوری از سیمِ 2، I2، به جریان عبوری از سیمِ 1، I1، همواره داریم I2/I1=l1/l2. بدین‌ترتیب اگر نقطه‌ی b حلقه‌ای از سیمِ 2 باشد که می‌تواند بر طولِ سیمِ 1 بلغزد، با نزدیک کردنِ نقطه‌ی b به نقطه‌ی a جریان در سیمِ 2 (با طولِ ثابتِ l2) به‌سمتِ صفر میل خواهد کرد و با دور کردنِ نقطه‌ی b از نقطه‌ی a جریان در سیمِ 2 (با میل کردن به نصفِ جریانِ ثابتِ عبوری از مدار) افزایش خواهد یافت.

اکنون فرض کنید به‌جای سیمِ 1 و امتداد آن، نواری از همان جنس سیم 2 داریم. به‌علاوه، فرض کنید که نقطه‌ی a بر یک لبه‌ی این نوار و نقطه‌ی b بر لبه‌ی دیگرِ نوار واقع باشد؛ شکل 2 را ببینید. طبیعی است دراین حالت نیز مکانیسمِ مشابهی برای تقسیمِ جریان مورد انتظار است، یعنی با فرضِ این‌که فلِشِ نشان داده شده در شکل نشان‌دهنده‌ی جهتِ جریانِ الکترون‌ها باشد انتظار داریم با نزدیک کردنِ نقطه‌ی b، بر امتدادِ لبه‌ای که این نقطه بر آن واقع است، به نقطه‌ای که درست مقابلِ نقطه‌ی a می‌باشد جریان در سیم (عرضی) با میل کردن به صفر کاهش یابد، و با دور کردنِ آن این جریان افزایش یابد.
این‌که جریانِ عبوری از سیم با دور کردنِ نقطه‌ی b از نقطه‌ی مقابلِ نقطه‌ی a بر همان لبه‌ای که b بر آن واقع است افزایش می‌یابد مطمئناً حتی اگر میدانی مغناطیسی عمود بر سطح نوار اِعمال شود درست خواهد بود، زیرا گرچه در این حالت جریانِ الکترون‌ها مثلاً به‌سمتِ لبه‌ی مربوط به نقطه‌ی a کشیده می‌شود اما از آنجا که همچون پیش الکترون‌ها در همان جهتِ قبلی درحالِ حرکتند پس به‌هرحال باید انتظار افزایشِ آن سهم از جریانِ جاری در سیم (عرضی) را داشت که ناشی از افزایشِ مقاومتِ قسمتِ واقع بین نقاط a و b از نوار براثرِ طولانی شدنِ این قسمت می‌باشد. ازاین‌رو، اگر جنس نوار به‌گونه‌ای باشد که وقتی نقطه‌ی b درست مقابل نقطه‌ی a باشد و میدان مغناطیسیِ فوق‌الذکر اِعمال گردد به‌جایِ از a به b جریانی الکترونی از b به a داشته باشیم، مطمئناً چنین خواهد بود که با جا‌به‌جاییِ نقطه‌ی b درجهتِ جریانِ الکترون‌ها در نوار بر همان لبه‌ی مربوط به b، مشاهده خواهیم کرد که به‌تدریج جریان (موجود در سیم) الکترون‌ها از b به a کاهش یافته و در نقطه‌ای صفر می‌شود و بعد از آن جریان الکترون‌ها از a به b ظاهر می‌شود که با دوربردنِ بیشتر و بیشترِ نقطه‌ی b به‌تدریج افزایش می‌یابد.
اما درحالی‌که وقتی b مقابل a است و میدانی مغناطیسی اِعمال نمی‌شود هیچ جریانی در سیم وجود ندارد، چرا اصولاً با اِعمالِ میدانی مغناطیسی عمود بر نوار، جریان در سیم عرضی وقتی b مقابل a است موجودیت پیدا خواهد کرد؟ و چرا جهتِ این جریان، درحالی‌که جهت جریان در نوار ثابت نگاه‌داشته می‌شود، می‌تواند بسته به جنس نوار عوض شود؟ دلیل، به‌سادگی، می‌تواند این باشد که با اِعمالِ یک میدانِ مغناطیسی عمود بر سطح جریان باعث می‌شویم که الکترون‌های متحرک (حاملِ جریان) به‌سمتِ یک لبه از نوار کشیده شوند و درواقع با این عمل، انحرافی موضعی در مسیرِ جریان ایجاد می‌کنیم، یعنی با اِعمال میدان مغناطیسی مسیرِ الکترون‌های درحال حرکت آن خواهد بود که در شکل 3(b) نمایانده شده است نه آن که در شکلِ 3(a) می‌بینیم.

حال اجازه دهید به‌طور ایده‌آل فرض کنیم که با اِعمال میدان، رسانای حاملِ جریان، دیگر، آنچنان‌که در شکل 4(a) (که معادلِ همان نوار است) نشان داده شده است، مستقیم نخواهد بود بلکه سیم (اصلی) منحرف شده‌ی نشان داده شده در شکل 4(b) خواهد بود. بدین طرق نقاط a و b در شکلِ 4(b) همان نقاط a و b در شکل 2 می‌باشند به‌شرطی‌که نقطه‌ی b درست مقابلِ نقطه‌ی a در این شکل واقع شود و میدانِ مغناطیسیِ عمود بر نوار در این شکل درحالِ اِعمال باشد. با اتصال دو نقطه‌ی a و b در شکل 4(b) به‌وسیله‌ی یک سیم (فرعی) دیگر، انتظار داریم برطبقِ استدلالِ مربوط به شکلِ 1 الکترون‌ها از b به a در این سیمِ فرعی جاری شوند. این به این معناست که باید به‌طور مشابه انتظار داشت که وقتی b در شکل 2 مقابل a واقع است و میدان مغناطیسیِ عمود درحالِ اِعمال است، الکترون‌ها در سیم فرعی در شکل 2 از b به a و نه از a به b جاری شوند (یعنی درست همان پدیده‌ای که برای ما معمول به‌نظر می‌رسد و برای برخی مواد مثل Fe و Al اتفاق می‌افتد).
اما چرا در بسیاری موارد شاهد جریان الکترون‌ها از a به b به‌جایِ از b به a در سیم فرعی در شکل 4(b) هستیم؟ زیرا وقتی‌که الکترون‌های یورش‌بَرَنده از b به a در شکل 4(b) (که با یک فِلِش در این شکل نشان داده شده‌اند) به نقطه‌ی a می‌رسند، با زاویه‌ی قائمه‌ای برخورد می‌کنند که آنها را مجبور می‌کند بپیچند و حرکتشان را به‌سمت بالا ادامه دهند، درنتیجه به‌علتِ برخوردِ مستقیمِ آنها با نقطه‌ی a آنها درواقع بر این نقطه ضربه وارد می‌آورند. وقتی این نقاطِ a و b توسطِ سیمِ فرعیِ دیگری به‌هم وصل شوند، این ضربه‌ها یا درواقع این اِعمالِ نیروهای الکترونیکی، درصورتی‌که به‌اندازه‌ی کافی قوی باشند، می‌توانند باعث جریانِ الکترون‌ها از a به b در سیم فرعی شوند گرچه همچنان‌که گفتیم در حالت معمول این جریان باید از b به a در سیمِ فرعی باشد. (حصولِ چنین وضعیتی مستقیماً به مقاومت‌های الکتریکیِ موادِ نوار حامل جریان و سیم فرعی بستگی دارد.) اما اگر این ضربه‌ها (بسته به مقاومت‌های مدار) به‌اندازه‌ی کافی قوی نباشند، چنین وضعیتی رخ نخواهد داد و جهتِ جریانِ الکترون‌ها در سیم فرعی همچون قبل از b به a خواهد بود.
مکانیسم فوق‌الذکر در مورد اصابت ضربه‌ها و اِعمالِ نیروهای الکترونیکی ممکن است ابتدایی به‌نظر رسد اما هرگز بی‌اعتبار نمی‌باشد. درحقیقت چنین مکانیسمی تقریباً همانی است که برای توجیه رایج اثر هال ارائه می‌شود و بیان می‌کند که جریان الکترونی به‌سمتِ یک لبه کشیده می‌شود و به‌علت تجمع الکترون‌ها دراین لبه اختلاف پتانسیلی ایجاد می‌گردد که باعث جاری شدنِ جریان در سیم فرعیِ اتصال دهنده‌ی دو لبه‌ی نوار می‌شود.
مکانیسم مطرح شده در این مقاله را می‌توان به‌‌یک طریق آزمایشیِ پیشنهادی تست کرد: اگر واقعاً الکترون‌های یورش‌برنده از b به a در سیم اصلی در شکل 4(b) بتوانند بر الکترون‌های نقطه‌ی a اِعمال نیرو نمایند و باعثِ جاری شدنِ جزئیِ الکترون‌ها از a به b در سیم فرعی در برخی موارد شوند، می‌توانیم انتظار داشته باشیم که آنها در مواردِ مشابه کارِ مشابه انجام دهند. فرض کنید حلقه‌ای قائم‌الزاویه به‌صورتی‌که در شکل 5 نشان داده شده است از سیمی رسانا ساخته‌ایم به‌گونه‌ای که در نقطه‌ی رأس زاویه‌ی قائمه دو قسمتِ متقاطع سیم به‌یکدیگر جوش خورده‌اند. روشن است که با فرضِ این‌که فِلِش‌ها نشان‌دهنده‌ی جهتِ جریان الکترون‌ها باشد انتظار داریم همچنین جریانِ پادساعتگردی در حلقه از b به a داشته باشیم، زیرا در مسیر جریانِ اصلی، b قبل از a واقع شده است و برطبق استدلالِ مربوط به شکلِ 1 انتظار داریم که قسمتی از جریان از b به a در حلقه جاری شود. اما هنگامی‌که جریانِ اصلی به‌اندازه‌ی کافی شدید هست و شرایط مربوطه، شاملِ مقاومت‌های مربوط به موادِ مدار، به‌نحو مناسب فراهم آمده است، ممکن است ضربه‌های ناشی از الکترون‌های شاخه‌ی سمت راست که درحال حرکت به‌سمت نقطه‌ی رأس می‌باشند، و مستقیماً بر الکترون‌های سطح مقطع مدار (یا درواقع حلقه) در نقطه‌ی a اِعمال می‌شوند، چنان قوی باشند که باعث جریانی ساعتگرد از الکترون‌ها در حلقه از a به b گردند که بر جریان پادساعتگرد معمول از b به a غلبه نماید، و درنتیجه ما شاهد جریانی ساعتگرد در حلقه از a به b باشیم. اجرای چنین آزمایش دقیقی می‌تواند اعتبار نظریه‌ی ارائه شده در این مقاله را محک زند.