نویسنده:پل استراترن
ترجمه دکتر محمدرضا توکلی صابری



 
طی سال‌های 1930 میلادی کمبریج یکی از مراکز علمی و ریاضی پیشرو جهان بود. فیزیکدان نظری انگلیسی-سوئیسی پل دیراک و همکارانش این دانشگاه را پس از دانشگاه گوتینگن به دومین مرکز فیزیک کوانتوم تبدیل کردند. کینگز کالج به ویژه خواستار داشت-زیرا جرج هاردی یکی از بهترین ریاضی‌دانان آن زمان و آرتور ادینگتن که پژوهش‌هایش نظریه‌ی نسبیت اینشتین را ثابت کرد، هر دو در آن جا استاد بودند و به تورینگ درس می‌دادند.
اما بیشترین علاقه‌ی تورینگ به منطق ریاضی بود. در سال 1913 برترند راسل و وایتهد، هر دو استاد کمبریج بودند و اصول ریاضیات را منتشر کرده بود. آن‌ها سعی داشتند مبانی فلسفی ریاضیات و حتمیت آن را ثابت کنند. راسل و وایتهد سعی داشتند تا نشان دهند که تمامی بنای ریاضیات را می‌توان از بعضی از قضایای منطقی بنیادین استخراج کرد (به شکلی نقطه مقابل کوشش بول در نیم قرن پیش از آن). راسل و وایتهد کاملاً موفق نبودند، زیرا کوشش‌های آنان آمیخته با بعضی معماهای منطقی بود. مثلاً قضیه‌ی «هر چه می‌گویم دروغ است» را در نظر بگیرید. اگر این قضیه راست باشد، آن چه را که می‌گوید دروغ است، و اگر دروغ باشد آن چه را می‌گوید راست است. در اصطلاح منطق دانان، این قضیه به ظاهر غیر قابل تعیین است. ریاضیات را نمی‌توان به شیوه‌ی رضایت بخشی بر قضایای منطقی بنا نهاد مگر آن که این مغالطه‌ها حل شوند. در هر حال بسیاری معتقد بودند که چنین مشکل‌هایی سطحی هستند. آن‌ها به قلب این پروژه دست نزدند: آن‌ها کوشش برای نهادن ریاضیات را بر روی یک مبنای منطقی صحیحی از اعتبار نیانداختند.
همه‌ی این‌ها در سال 1931 تغییر پیدا کرد، و آن هنگامی بود که بچه‌ی شرور اتریشی کورت گودل مقاله‌ی خود را در مورد قضایای به ظاهر غیرقابل تعیین در اصول ریاضیات منتشر ساخت. در این مقاله او برهان مشهور خود را ارائه داد که به نظر همکاران وحشت‌زده‌اش «پایان ریاضیات» را اعلام می‌کرد.
گودل نشان داد که قضیه‌ی «این گزاره ثابت‌شدنی نیست» را نمی‌توان ثابت کرد (وگرنه به تناقض منجر می‌شود) و همین طور نمی‌توان آن را رد کرد. گودل توانست نشان دهد که در درون هر سیستم ریاضی منطقی همیشه قضایایی هستند که نمی‌توان آن‌ها را ثابت کرد و یا رد کرد، بر طبق اصول بدیهی که آن سیستم بر آن‌ها بنا شده است. ریاضیات کامل نبود! بدتر از آن، به نظر می‌رسید که به طول جبران‌ناپذیری معیوب است. به این دلیل نمی‌توانیم مطمئن باشیم که اصول بدیهی حساب به تناقض منجر نشود. ریاضیات غیرمنطقی بود! و وحشتناک‌تر از آن، منطق هم همین طور بود!)
این مسایل تأثیر عمیقی بر روی تورینگ گذاشت. شاید بیش از حد. طبق معمول او جلوتر از خودش بود و از مسایل اساسی غفلت می‌ورزید. در نتیجه، او فقط توانست در امتحانات سال دوم با امتیاز درجه‌ی دوم قبول شود. خوشبختانه در امتحانات سال آخر او نسبت به خودش انصاف نشان داد و با امتیاز درجه اول قبول شد-که به این معنی بود که می‌تواند در کمبریج بماند و تحقیقات کند. هم ادینگتن و هم هاردی در مورد توانایی‌های استثنایی او شکی نداشتند.
اگر چه تورینگ به عنوان عضو کینگز کالج انتخاب شده بود و اکنون یکی از خوش‌آتیه‌ترین ریاضی‌دانان بریتانیا بود، هنوز مادرش احساس می‌کرد باید با شرمساری او را به عنوان یک کودک سر به هوا بپذیرد. ظاهر بچه‌گانه‌ی تورینگ هم به این موضوع کمک می‌کرد. او در سراسر عمرش هم از نظر جسمی و هم از نظر ذهنی رفتاری همانند جوانان داشت، اما واقعاً مهارت یافت. تز او برایش عضویت در کینگزکالج را به ارمغان آورد، و اکنون او آخرین پیشرفت‌ها را از بهترین مغزهای ریاضی و علمی دوران خویش جذب می‌کرد. پس ازاین که در سال 1932 هیتلر بر آلمان مسلط شد، بسیاری از دانشمندان بزرگ آلمانی از کمبریج عبور کردند و غالباً در آن جا به سخنرانی پرداختند. به این ترتیب، تورینگ سخنرانی شرودینگر را در مورد مکانیک کوانتوم، موضوعی که در نهایت خودش آن را اختراع کرده بود، شنید. او به ماکس بورن که تازه از گوتینگن آمده بود در دوره کاملی را در مورد مکانیک کوانتوم تدریس می‌کرد، نیز گوش فرا داد. یکی دیگر از مهاجرین گوتینگن یعنی ریچارد کورانت یک دوره معادلات دیفرانسیل تدریس کرد.
هم ماکس بورن و هم ریچارد کورانت با دیوید هیلبرت، استاد ریاضیات در گوتینگن که یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان همه دوران محسوب می‌شد، کار کرده بودند. او نیز مانند راسل و وایتهد سعی کرده بود تا ریاضیات را بر پایه‌ای رسمی استوار سازد، یعنی از تعدادی اصل بدیهی بسازد. از روی این اصول بدیهی و با استفاده از قوانینی که به خوبی تعریف می‌شدند، تمام امکانات ریاضی به دست می‌آمد.
«برنامه‌ی هیلبرت» که به همین نام مشهور بود توسط «فاجعه‌ی گودل» که اثبات می‌کرد ریاضیات از نظر منطقی متناقض است، به شدت متوقف شده بود. نظریه‌ی گودل، با وجود قصد ظاهری آن، موفق به نابودی ریاضیات نشد. مردم بدون توجه به آن‌ها همچنان ریاضیات را به کار می‌بردند-به ویژه ریاضی‌دانان. یک مثلث هنوز یک مثلث بود، پل‌ها فرو نریختند، و بودجه‌ی ملی هنوز هم موازنه می‌شد (و اگر هم نمی‌شد تقصیر ریاضی‌دانان نبود). در واقع بسیاری به برهان گودل همچون یک مداخله‌ی نامربوط می‌نگریستند. در ریاضیات بیشترحقیقت اهمیت داشت و نه عدم تناقض (اما آیا حقیقت و تناقض با هم سازگارند؟).
بدون توجه به این مشاجره، نظریه‌ی گودل هنوز هم بعضی مسایل ریاضی را بی‌پاسخ گذاشته بود؛ و این امر راهی را برای کاهش آسیب نمایش می‌داد. درست است که یک سیستم اصل موضوعی مانند ریاضیات می‌تواند قضایای دلبخواهی تولید کند (که نمی‌توان آن‌ها را اثبات و یا رد کرد). اما آیا ممکن است تعیین کرد که چنین قضیه‌ای از درون سیستم دلبخواهی است؟ به عبارت دیگر آیا یک چنین قضیه‌ی دلبخواهی را می‌توان با استفاده از یک رشته قواعد حاصل از اصول بینادینی که سیستم بر آن نهاده شده است، مشخص کرد؟ آیا می‌توان آن‌ها را در چندین مرحله مشخص تعیین کرد؟ -با شیوه‌های مکانیکی به طوری که هر کسی، حتی یک ماشین بتواند آن را دنبال کند؟ اگر چنین شود، این قضایای دلبخواهی را به سادگی می‌توان مشخص کرد و به کناری نهاد. آن‌ها را می‌توان نادیده گرفت بدون این که تأثیری بر روی سیستم داشته باشند. اما اگر نتوان آن‌ها را مشخص کرد، همه چیز از دست می‌رود-و به نظر می‌رسد که ریاضیات از درون پر از تناقض است. این مسأله‌ای بود که اکنون تورینگ تصمیم گرفت آن را پاسخ دهد. این کاری بسیار بلند پروازانه بود. هر گونه راه حل آن برای ریاضیات اساسی بود. برای حل این مسأله تورینگ مفهومی را ابداع کرد که نتایجی فرای ریاضیات داشت.
آن شیوه‌ها (و یا قواعد) مکانیکی چه بودند که می‌شد آن‌ها را برای تعیین برهان‌پذیری ریاضیات به کار برد؟ این قواعد در مرکز محاسبات قرار داشتند: یک عدد قابل محاسبه چه بود و چه گونه محاسبه می‌شد؟ محاسبه یک جریان بسیار جدی است و یک ماشین می‌توانست آن را انجام دهد. تورینگ بر آن شد تا ماهیت تئوریکی چنین ماشینی را که اکنون «ماشین تورینگ» نام دارد تعریف کند.
این ماشین فقط بر طبق قواعدی کار می‌کرد و هر چیزی را که برایش آلگوریتمی وجود داشت-یعنی یک ردیف دقیق را از مراحلی که منجر به یک نتیجه می‌شد-می‌توانست محاسبه کند. مثلاً جریان پیدا کردن فاکتورهای یک عدد (یعنی اعداد اولی که قابل تقسیم به آن‌ها است) را در نظر بگیرید. یک مثال ساده: برای پیدا کردن فاکتور 180، آن را آن قدر بر کوچک‌ترین عدد اول قابل تقسیم، تقسیم کنید تا دیگر قابل تقسیم نباشد، سپس این عمل را با عدد اول بزرگ‌تر بعدی تکرار کنید تا این که تقسیم به پایان برسد. (عدد اول عددی است که فقط بر خودش و عدد یک قابل تقسیم است: مانند 2، 3، 5، 7، 11، 13، ... ).

این جریان-یا الگوریتم- می‌تواند در مورد هر عددی به کار رود. نیز می‌تواند به طور مکانیکی، یعنی توسط یک مغز مکانیکی یا ماشین فکری به کار رود.
چنین ماشینی را می‌توان وادار کرد تا از جریان معینی تبعیت کند، و سپس بر طبق قواعد این جریان کارهای معینی را انجام خواهد داد. اگر این قواعد برای محاسبه اعداد اول باشد، پس اعداد اول را محاسبه خواهد کرد. اگر قواعد شطرنج باشد، می‌تواند شطرنج بازی کند. هر ماشینی فقط از قواعد داده شده به آن تبعیت می‌کند.
تورینگ سپس چیزی را فرض کرد که آن را «ماشین عمومی» می‌نامید. به این ماشین می‌شد اعدادی را داد که جریان رمز هر ماشین دیگر تورینگ را داشت. سپس از این جریان تبعیت کرده و به شیوه‌ای غیر قابل تشخیص از ماشین اصلی تورینگ عمل می‌کرد-یعنی شطرنج بازی می‌کند، اعداد اول را محاسبه می‌کند، و غیره.
از این نقطه نظر (کاملاً تئوریکی) اکنون تورینگ بر ان شد تا تز خود را نمایش دهد. آن چه را که گودل نمایش داده بود منطقی بود. آن چه را که اکنون تورینگ می‌خواست نشان دهد شباهتی با تئوری گودل داشت (در نتیجه گیری‌هایش)، اما ریاضی بود.
تورینگ مفهوم ماشینی را که می‌توانست قضایای دلبخواهی را در یک دستگاه ریاضی تشخیص دهد ارائه داد. این ماشین تئوریکی لازم بود تا یک ماشین عمومی تورینگ باشد. به این ماشین می‌شد یک عدد داد که توصیف یک ماشین تورینگ دیگر را به رمز داشت، و سپس به شیوه‌ای مشابه عمل می‌کرد. اما اگر به این ماشین عمومی فرضی عددی داده می‌شد که توصیف خودش را به رمز داشت چه می‌شد؟ چه گونه این ماشین همانند خودش عمل می‌کرد، مانند خودش عمل می‌کرد؟ مانند خودش عمل می‌کرد ... ؟ و چه گونه می‌توانست از این جریان‌ها تبعیت کند تا مانند خودش عمل کند، در حالی که قبلاً مانند خودش عمل می‌کرد؟
واضح است که این ماشین دیوانه می‌شد. در اصطلاح تئوریکی این ماشین با تناقض درونی مواجه می‌شد. به عبارت دیگر چنین ماشینی نمی‌توانست وجود داشته باشد. حتی در تئوری، که به این معنی بود که چنین عملیاتی قابل محاسبه نبود. پیدا کردن یک دسته قواعدی که بتواند معلوم کند که یک قضیه استعداد اثبات (یا ابطال) را دارد، فقط با استفاده از جریان‌های درون خود آن سیستم نا ممکن بود.
همان طوری که گودل نشان داده بود ریاضیات نه فقط از نظر منطقی ناقص بود، بلکه از نظر ریاضی نیز ناقص بود. هیچ شیوه‌ی ریاضی وجود نداشت تا بتواند خود را از قضایای دلبخواهی خود جدا سازد. تورینگ یافته‌های خود را در مقاله‌ای به نام «در مورد اعداد قابل محاسبه، با کاربرد در مورد مسأله قطعیت» انتشار داد.
همه‌ی آن‌ها که حتی کمی آن را فهمیدند، دریافتند که مقاله‌ی تورینگ به سیا هیجان انگیز است (اگر چه در آن دوران پیش از کامپیوتر تعداد کمی احتمالاً می‌توانستند تشخیص دهند که آن مقاله دوران ساز است). تا پیش از آن مفهوم ریاضی قابلیت محاسبه و اعداد قبال محاسبه مبهم بود. اما اکنون این موضوع روشن شده بود. محاسبات با اصطلاحات دقیق ریاضی تعریف می‌شد-آن قدر دقیق بود که نقشه ماشینی را که می‌توانست این کار را انجام دهد تهیه می‌کرد. در همن حال تورینگ محدوده‌ی تمام چیزهایی را که این ماشین می‌توانست انجام دهد تعریف کرده بود.
ماشین تورینگ یک کامپیوتر تئوریک بود. اکنون نمونه تئوریک کامپیوتر الکترونیک دیجیتال محسوب می‌شود. تورینگ تئوری کامپیوترها را، پیش از آن که حتی یک کامپیوتر (آن طور که می‌شناسیم) ساخته شده باشد، پایه گذاری کرده بود.
منبع:
استراترن، پل؛ (1389) شش نظریه‌ای که جهان را تغییر داد، ترجمه‌ی دکتر محمدرضا توکلی صابری و بهرام معلمی، تهران، انتشارات مازیار، چاپ چهارم.

/ج