نیوتون و حساب دیفرانسیل و انتگرال

مقدمه

نیوتون را می‌توان صاحب زیباترین ذهنی دانست که بشریت تاکنون به بار آورده است. شکسپیر زبان را چنان به کار گرفت که هیچ کس دیگری از پس آن کار برنیامد؛ شخصیت ناپلئون نزد کس دیگری یافت نشد؛ اما هیچ کس در هیچ زمانی دامنه‌های فهم بشری را مانند نیوتون تا این میزان گستردگی نبخشیده است.
کارهای او نمایانگر پیشرفتی دگرگون ساز در اندیشه و تفکر ماست که جهشی عظیم را برای آدمی رقم زده است. دیرزمانی پیش از این که بر سطح ماه گام بگذاریم (یا حتی به فکر انجام این کار بیفتیم)، ریاضیات نیوتونی راه را برای تحقق چنین اقدام معجزه آسایی گشود. پیش از نیوتون، ماه جزیی از افلاک به شمار می‌آمد، که پیرو و تحت تأثیر قوانین آسمانی ناشناخته‌ی مربوط به خودش تصور می‌شد. بعد از او، آدمی دانست که ماه یکی از قمرهای زمین است که کشش گرانشی آن را در مدارش به دور زمین قرار می‌دهد. حالا آدمی برای نخستین بار به چگونگی عملکرد کل جهان هستی نظری اجمالی می‌انداخت.
اما کشف گرانش عالم (جهان هستی) تنها عمده‌ترین یافته‌ها از بسیار کشف‌های مهم نیوتون به شمار می‌آمد. مفهوم نیرو، حساب دیفرانسیل و انتگرال (حسابان)، ماهیت نور، نظریه‌ی علم مکانیک، سری دو جمله‌ای، روش نیوتونی آنالیز عددی، و سیاهه‌ای از موارد دیگر، یافته‌ها و کشف‌های نیوتون را تشکیل می‌دهند. تعداد یکاها و مفاهیم و موجودات علمی و ریاضیاتی که به نام نیوتون نام گذاری شده‌اند، از هر دانشمند دیگری بیشتر است. نیوتون (یکای بین‌المللی نیرو، در دستگاه بین‌المللی یکاها یا si)، شاره‌ی (سیال) نیوتونی، فرمول نیوتون (برای عدسی‌ها)، حلقه‌های نیوتون (در اپتیک)، ضریب نیوتون (در دیفرانسیل‌گیری)، و بسیاری مفاهیم دیگر که هریک نتیجه‌ی مستقیم کار او به شمار می‌آیند، از جمله‌ی مفاهیمی اند که به نام او نام‌گذاری شده‌اند.
با همه‌ی این احوال، تمامی این دستاوردها به این علت میسر شد که نیوتون در لحظه‌ی مساعد و مطلوبی از تاریخ پای بر عرصه‌ی جهان نهاد. درست به همان ترتیب که دانته توانست کمدی الهی خود را در قلب نظام کلیسایی فراگیر خشک و انعطاف ناپذیر قرون وسطی بنویسد، نیوتون هم توانست کشف‌هایش را پس از آن که کوپرنیکوس و گالیله ذهن علمی را از همان انجماد و عدم انعطاف رها کرده بودند، تحقق بخشد. به گفته‌ی خود نیوتون: «اگر توانسته‌ام افق را اندکی فراتر از دیگران ببینم، به این علت بوده است که بر شانه‌های غول‌ها نشسته بودم.»
رشته‌ی محدودیت‌های قرون وسطایی گسیخته، و دروازه‌های معرفت بشری به سوی دنیای جدیدی گشوده شده بودند. نیوتون از دیدگاه خودش، دستاورد اندکی کسب کرده بود: «به نظر می‌رسد من فقط شبیه به کودکی بودم که بر کرانه‌ی دریا مشغول بازی کردنم، و گاه‌گاهی خودم را به یافتن سنگ ریزه‌ای صاف‌تر یا صدفی زیباتر از نمونه‌های معمولی آن‌ها مشغول می‌کنم، در حالی که اقیانوس بزرگ حقیقت به تمامی کشف نشده در برابر من گسترده است.» البته فروتنی و تواضعی که در قالب این کلمات ابراز می‌شود تحت‌الشعاع این منظر اقیانوسی قرار گرفت-که او به تنهایی در موضع دیدن آن قرار داشت. احتمالاً منظور نیوتون هم همین بوده است. وی طبعاً آدم فروتنی نبود.
پس صاحب بزرگ‌ترین نیروی خرد در تاریخ چه نوع آدمی بود؟ به طورکلی، هم روزگاران نیوتون او را بیشتر همان گونه برانداز و نگاه می‌کردند که ما در قرن بیستم اینشتین را ارزیابی می‌کردیم. نابغه‌ای با روحیه‌ی کسل کننده‌ی عجیب و غریب، از جمله‌ی گونه‌های نادر حفاظت شده، و حواس پرت با اعتبار و آوازه‌ی اخلاقی خدشه‌ناپذیر: چهره‌ای خشک و عبوس اما اندکی دلپذیر؛ هِیمنه‌ای پرشکوه و تأثیرگذار، ناشی از سنگینی و گستردگی دامنه‌ی دستاوردهایش. نیوتون در زمانه‌ی خودش دانشمندی خلوت نشین بود که همقطارانش او را به عنوان نماینده‌ی دانشگاه کمبریج برای پارلمان برگزیدند، رییس بلندپایه‌ی انجمن سلطنتی بود که سال از پس سال بدون منازع به این سمت برگزیده می‌شد، و ریاست ضرابخانه‌ی سلطنتی هم برعهده‌ی او بود که تبهکاران و جاعلان سکه در لندن از او هم وحشت و هم نفرت داشتند. چنان که اغلب پیش می‌آید، مردم عادی بودند که تشخیص دادند او چه جور آدمی است. زیرا در زیر ظاهر زاهدانه‌ای که در انظار همگان داشت، شخصیتی بود عمیقاً پریشان و کینه‌توز که اسرار پنهانی خود را در دل می‌پرورانید.

زندگی و آثار

آیزاک نیوتون در روز عید میلاد مسیح سال 1642 در عمارتی اربابی در آبادی وولستروپ واقع در لینکلن شایر به دنیا آمد؛ و این درست همان سالی بود که گالیله، نیای علمی بزرگش، چندی پیش درگذشته بود. در هیچ جایی از شجره‌ی خانوادگی نیوتون نشانه‌ای از وجود یکی از نیاکان وی که صاحب ذهنی فوق‌العاده باشد یافت نمی‌شود. پدرش که او نیز آیزاک نیوتون نام داشت، خرده‌مالک موفق و پولداری بود که حتی از نوشتن نام خود و امضا کردن هم عاجز بود. وی، بنابر سوابق خانوادگی‌اش «مردی بی بند وبار، ولخرج و ضعیف‌النفس بود» که سه ماه پیش از به دنیا آمدن پسرش مرد. مادرش دختر یک نجیب‌زاده‌ی محلی تهیدست بود، و عموماً به عنوان زنی سخت‌کوش و صرفه‌جو شناخته می‌شد.
آیزاک پیش‌هنگام به دنیا آمد و «چندان کوچک بود که می‌توانست در داخل یک گلدان کوچک جای گیرد. » انتظار نمی‌رفت که تا روزی که قرار بود به طور طبیعی در آن روز به دنیا آید، دوام آورد و زنده بماند. (به گونه‌ای که معلوم شد، وی از سلامتی فوق‌العاده‌ای برخوردار بود و هشتاد و چهار سال زیست) آیزاک جوان، که هرگز پدری به خود ندیده بود، وقتی فقط هیجده ماهه بود مادرش را نیز «ازدست داد». در سال 1644 هانا نیوتون با بارناباس اسمیت شصت و سه ساله، یک کشیش محلی پولدار ازدواج و برای زندگی به روستای نورث ویتهام کوچ کرد. آیزاک کوچولو تحت مراقبت مادربزرگش قرار گرفت و در همان محل تولدش ماند.
نیوتون این رویداد تلخ و وحشتناک را هرگز فراموش نکرد و تأثیر آن نقشی نازدودنی بر منش و شخصیت وی بر جای نهاد. دوران بزرگسالی او بعداً از فوران‌های خشم مهارناپذیر، کینه‌توزی‌های کج‌خیالانه، و گه‌گاهی ناپایداری عقلانی سرشار و آکنده بود. مادرش را دوست می‌داشت، اما مادرش وی را ترک گفته بود. نمی‌توانست خودش را از حس تنفر نسبت به وی رها کند، اما خداوند به کسی که هدف مشروعی را نشان کرده که می‌تواند خشم درونی و سرکوفته‌ی خود را بر آن فرو ریزد کمک می‌کند.
در واقع، نورث ویتهام تنها چهارکیلومتر با دهکده‌ی محل اقامت وی فاصله داشت. آیزاک کوچک حتی می‌توانست برج کلیسای آن دیار در پس مزارع را، از فراز تپه‌های بالای خانه‌ی خود ببیند. پدر واقعی وی «در بهشت» رخت افکنده، و مادرش به حاشیه‌ها و کرانه‌های جهان کودکی‌اش پس نشسته بود. نیوتون در بزرگسالی مدت زیادی از زندگی‌اش را به تأمل و تفکر طولانی و ژرف در باب اجرام آسمانی دور دست و ماهیت نیروی ربایش آن‌ها بر یکدیگر وقف می‌کرد. عجیب نیست که روانشناسان در این مرحله چیزی بیش از انطباق و سازگاری محض را در کار نیوتون مشاهده کرده‌اند.
بنابر آرای یکی از پژوهندگان معاصر، نیوتون در مقام «جوانکی جدی، هشیار، ساکت و متفکر» رشد یافت و شکل گرفت. اما گاهی هم دستخوش فوران‌های «خشم و بدخلقی» می‌شد. در خلال بروز یکی از همین حمله‌های خشم، چنان که بعداً خودش به یاد آورد: «اسمیت، پدرخوانده و مادرم را تهدید کردم که آن‌ها را همراه با خانه به آتش می‌کشم. » به این ترتیب به نظر می‌رسد که مادرش در ابتدا همیشه هم از خشم وغیظ او در امان نبود. و آتش‌افروزی، حتی در شکل خواستنی و تفرجی آن، به سختی می‌تواند حاکی از وضعیت طبیعی و حالت طبیعی در نزد کسی باشد.
اما ذهن نیوتون تنها چیز چشمگیر و خارق‌العاده‌ی او نبود. در سال به دنیا آمدنش کردار و عمل چارلز اول و اعتقادش به حق الهی پادشاهان سرانجام اعضای پارلمان را به چالش و مخالفت با فرمانروایی وی سوق داد. آتش جنگ داخلی در تمامی خاک انگلستان طی شش سال نخست حیات نیوتون شعله‌ور بود که به پیروزی نمایندگان پارلمان و اعدام چارلز اول در سال 1649 انجامید. در خلال جنگ داخلی، نبردهای پراکنده و آتش گرفتن خانه‌ها در لینکلن‌شایر اتفاق افتاد. نیوتون و سایر خانواده‌های زمین‌دار محلی به حمایت از پادشاه گرایش داشتند، اما نه تا آن حد که در این راه سلاح بردارند و به جنگ بپردازند.
اروپا با پیروزی پارلمان - یعنی، نخستین انقلاب کامیاب و موفق در اروپا - شاهد تشکیل دولت مردمی، در پی تندروی‌ها و افراط‌کاری‌های مابعد انقلابی بود؛ این افراط‌کاری‌ها در آن زمان، نوعی هنجار در رفتار و کردار دوران پس از انقلاب به شمار می‌آمد. یک پاک‌دینی و منزه‌طلبی سرکوب‌گرانه به اجرا درآمد. تمام مراسم شادی همراه با رقص، پایکوبی و نمایش ممنوع شد، و حتی روز میلاد مسیح به روز دعا و نیایش، به جای مراسم خوردن نوعی کیک و شیرینی، تبدیل شد. با همه‌ی این‌ها در این جا نیز خانواده‌های لینکلن‌شایر چندان از این جریان‌ها متأثر نشدند. آنان با زهدپیشگی و زندگی بی‌پیرایه عمر درازی می‌کردند، خداترس بودند، و برخواندن کتاب مقدس و زشت و زننده دانستن روابط جنسی تأکید می‌ورزیدند. آیزاک نوجوان در محیط خانوادگی عادتاً منزه‌طلب و پاک‌دینی رشد کرد، و عادات و خوی زاهدانه و منزه‌طلبانه‌ای را خود به خود و به طور طبیعی کسب کرد. وی آموخته بود که برای پی بردن به خواست آفریننده‌ی عالم به کتاب مقدس رجوع کند، عادتی که در سرتاسر عمرش کماکان حفظ شد و از سرش نیفتاد.
اما آفریننده‌ی عالم فقط خداوند قادر نبود. او خدای آسمان نیز بود. در حوزه‌ی همواره پررونق مطالعات روان‌شناسی نیوتونی، اعتقاد قریب به اتفاق از این قرار است که نیروی محرک نیوتون نیاز ناآگاه قدرتمندی برای شناخت خداوند بود. وی بر پایه‌ی ایمان خود می‌دانست که خداوند متعال جهان هستی را ساخته است؛ و برخی سرنخ‌ها به عنوان ماهیت غایی و نیت‌های نهایی‌اش برجای نهاده است. نیوتون، در سرتاسر عمرش به نحو وسواس‌گونه‌ای، در دو حوزه‌ی مرتبط، به جستجوی این سرنخ‌ها و نشانه‌ها رانده و هدایت می‌شد. میل داشت که به همان ترتیب که قسمت عمده‌ی اوقاتش را برای مطالعه در کتاب مقدس و امور مذهبی صرف کند، به سوی پی‌گیری حقایق علمی نیز گرایش یابد؛ و سرانجام، متقاعد شد که کارهایش در امر مذهب ماندگارترین ارزش را داراست. برای یک بار هم که شده، به نظر می‌رسد که این نمونه‌ها و امور واقعند که نشانه‌ی وضعیت روحی او به شمار می‌آیند.
هنگامی که نیوتون به ده سالگی رسید، پدر بارناباس اسمیت درگذشت و مادر آیزاک در مقام یک بانوی نسبتاً ثروتمند، به وولستروپ خانه‌ی خود بازگشت. دعاهای نیوتون مستجاب شده بود. دو سالی که در پی این واقعه آمد سرشار از سرخوشی و سعادتی شگفت بود، که وجود عینی مادرش، و حضور یک برادر و دو خواهر ناتنی آن را رنگ و جلای خاصی بخشیده بود. اما آیزاک از سایر فرزندان بزرگ‌تر بود و به نظر می‌رسید که مادرش هانا تا حد زیادی به وی متکی شده است. پیش از آن که آیزاک حتی به سن و سال بلوغ رسیده باشد، در چشم مادرش به «مرد خانواده» تبدیل شده بود. خود اطمینانی و اعتماد به نفس ناشی از این تشخیص مادرانه‌ی زودهنگام و پیش‌رس هرگز او را از تلاش‌های فکری و اندیشمندانه‌اش جدا و دور نکرد؛ حتی وقتی اضطراب‌ها و دلواپسی‌های کلافه‌کننده وی را به ستوه می‌آورد.
نیوتون در دوازده سالگی به دبیرستان واقع در گرانت هام، در فاصله‌ی شانزده کیلومتری روستای خودش رفت. در آن جا از آقای کلارک عطار، که خانه‌اش در کنار خیابان اصلی و مجاور مهانخانه ی جورج واقع بود، اتاقی اجاره کرد. در مدرسه، تقریباً تمام درس‌هایش را زبان‌های لاتین و یونانی باستان تشکیل می‌داد. ریاضیات را به کلی در آموزش آن دوره نادیده گرفته بودند که این شیوه‌ی آموزش از بسیاری جهات کماکان قرون وسطایی باقی مانده بود. آن پسرک روستایی ساکت و حساس توجه کسی را جلب نکرد، و جای او را ته کلاس قرار دادند.
بنابر قول خود نیوتون، وی از لحاظ فکری و اندیشه خاموش و نهفته ماند تا روزی که گردن‌کلفت مدرسه به شکم او لگدی نواخت. نیوتون در حیاط کلیسا با او به مبارزه و دعوا برخاست. به سخن کاندیت، نخستین زندگی‌نامه‌نویس نیوتون که خاطرات نیوتون را ثبت کرده است: «آیزاک مانند حریفش قوی و خوش‌بنیه نبود، اما از چنان روحیه، اراده و سرسختی فراتری نسبت به او برخوردار بود که چندان این حریف زورمند را کتک زد که حریف وادار شد به زبان آورد که دیگر خواهان مبارزه نیست و از دعوا کناره گرفت. » نیوتون آماجی مشروع یافته بود تا خشم لگام‌گسیخته و سهمگینی را که در درونش انباشته و سرکوب شده بود، بر آن فرو ریزد و خالی کند، اما همین که این واقعه پیش آمد دیگ خشم او مهارناپذیر شد، و از آن پس دیگر نتوانست خویشتن‌داری کند. شکست بدنی و جسمی حریف زورمندتر برایش کافی نبود. ایساک، پس از پیروزی یافتن بر حریف «گوش‌های او را گرفت و با خود بر زمین کشید و صورتش را بر دیواره‌ی کلیسا کشانید و بینی‌اش را روی دیوار کشید. » اما حتی چنین تحقیر جسمانی را هم کافی ندانست. نیوتون قصد داشت خصمش را در همه‌ی ابعاد شکست دهد. احساس کرد که باید از حریفش از حیث اندیشه و تفکر برتر باشد، از این رو در کلاس دست به تلاش زد، و دیری نگذشت که برتری فکری و عقلانی خود را بروز داد و به نمایش گذارد.
این‌ها چیزهایی‌اند که نیوتون به خاطر آورده و بازگو کرده، و بی‌گمان اتفاقات بسیاری دیگر شبیه به آن‌ها افتاده است. چنین کینه‌جویی خشم‌آگینی هر از چندی در فواصل زمانی در تمام عمرش بروز می‌کرد: این بروز خشم صرفاً الگو و طرحی را تشکیل می‌داد که بیانگر چارچوب رفتار واقعی او بود. همین که توانایی‌های ذهنی و عقلانی نیوتون برانگیخته شد، دیگر توقف و ایستادنی برای او پیش نیامد. مشاهده آن آدم کودن در دوران نوجوانی و بیرون آمدن پروانه‌ی نبوغ از پیله‌ی وجود او و بال گشودن این پروانه، برای اهالی گرانتهام قطعاً منظره‌ی بدیع و شگفتی بوده است؛ و البته آنان جملگی این واقعه را در بازاندیشی خاطرات خود به یاد می‌آورند. بنابر خاطرات گردآوری شده بعد از مرگ سر آیزاک نیوتون کبیر، رییس انجمن سلطنتی بریتانیا، رییس ضرابخانه‌ی سلطنتی بریتانیا، و صاحب مناصب دیگری از این دست، آیزاک جوان تمام نشانه‌های قابل انتظار برترین نابغه را از خود بروز می‌داد: مبهوت کردن اهالی با ساخت مدل پیچیده و ظریف آسیاب‌های بادی، ساعت‌های آبی دست‌ساز، بادبادک‌های انفجاری، آسیاب غلاتی که موش آن را به حرکت درمی‌آورد، فانوس کاغذی تاشو، توانایی‌اش در بازگویی زمان دقیق از روی سایه، و دفترچه‌ی یادداشتی پر از نمودارهای نامفهوم.
خوشبختانه این دفترچه‌ی یادداشت هم اکنون در کتابخانه‌ی پیرپونت مورگان در نیویوک نگهداری می‌شود و در صفحه‌ی داخل جلد آن نیوتون نوشته است که این دفترچه‌ی سفید را در سال 1659 به بهای دو و نیم پوند قدیم خریداری کرده است. محتویات این دفترچه خاطرات ظاهراً خیال‌بافانه و عجیب و غریب مردم گرانتهام را، با صفحاتی حاوی نمودارهایی از منظومه‌ی شمسی کوپرنیکوسی، جزئیات چگونگی ساختن یک ساعت آفتابی و ساختمان یک مدل آسیاب‌بادی، و پیشگویی‌های طالع‌بینانه‌ی خسوف و کسوف، تأیید می‌کنند. دو چیز آشکار و بدیهی است: علائق عقلانی و اندیشمندانه‌ی نیوتون که از حدود آموزش مدرسه‌ای وی بسیار فراتر رفته بود؛ و دلبستگی اصلی‌اش به علم و چگونگی کارکرد چیزها واشیاء.
تمام شواهد حاکی از آنند که نیوتون جوان شخص غیرحرفه‌ای، تابناک، پیش‌رس و عمدتاً خودآموخته بوده است. نیوتون همچون بسیاری از نوابغ دیگر، ظاهراً سرنوشتی جز همان متوسط بودن شهرستانی و عجیب و غریب بودن نداشته است. ظاهراً مقدر شده بود که نیوتون، مثل اکثر آن آدم‌های دیگر، آدم پیش‌پا‌افتاده‌ی شهرستانی عجیب و غریبی به نظر آید. در همان سالی که آن دفترچه‌ی دو و نیم پنی‌اش را خریداری کرد، مادرش وی را برای اداره کردن مزرعه به خانه و روستای خودش فراخواند. در آن هنگام تازه هفده ساله شده بود.
اما اقامت در زادگاه و خانه در این زمان چندان هم مایه‌ی شادی و سرخوشی نبود. اکنون دیگر ذهن نیوتون را چیزهایی بیشتر و جذاب‌تر از تفریح و تفرج از طریق آتش افروزی دوران کودکی به خود مشغول و آن را ملتهب کرده بود (هر چند که این ذهن به همان نسبت آشفته هم از کار درآمده بود). توضیحات روان‌شناختی غرق شدن ناگهانی ذهن نیوتون در علم-از کشف سرنخ‌ها و نشانه‌های راهنما به سوی پروردگار، تا نیازی جنون‌آمیز به گریختن به جهانی منظم و فارغ از اضطراب‌های روانی-را در بر می‌گیرند. (این چندگانگی پیچیده و غالباً تناقض‌آمیز توضیحات، اگر فقط به عنوان تذکری از ماهیت پیچیده و غالباً متناقض آن وجود یگانه‌ای در نظر آید که قرار بود وصف کند، یعنی ذهن نیوتون، مفید است) اما یک امر مسلم است، و آن این که این توجه و دلبستگی فراگیر به علم، ذهن نیوتون نوجوان را با نیرویی چون کشش به ماده یا عاملی اعتیادآور تسخیر و مسحور کرد؛ و این نیرو، عملاً بدون‌وقفه و گسست، به مدت سی و هفت سال باقی ماند.
حضور نیوتون هفده ساله، در مقام یک کشاورز به مراتب از وجود یک آدم بیکاره و بیهوده در مزرعه زیانبارتر بود. به جای این که به مراقبت از گوسفندان بپردازد، در سایه‌ی درختان می‌نشست و کتاب می‌خواند. وقتی در گرانتهام به بازار رفت، کارگر مزرعه را به حال خود واگذاشت تا محصولات و دام‌ها را بفروشد و خودش به سرعت به سوی خانه‌ی صاحب خانه‌ی سابقش آقای کلارک روان شد تا تعداد دیگری کتاب از آن جا جمع‌آوری کند (یکی از منسوبین آقای کلارک مجموعه‌ی کتاب‌های او را در اتاق زیر شیروانی نهاده بود). گله‌ی گوسفندان بر تپه‌ها رها شدند، خوک‌ها به مزارع ذرت همسایه تاختند، و پرچین‌های مرزی مزارع را به وضعی نامناسب به طور غیرقانونی فرو انداختند. در نتیجه، نیوتون را به دادگاه کشاندند و دادگاه او را به پرداخت چهار شیلینگ و چهار پنی محکوم کرد (این مبلغ معادل قیمت یک جفت کفش بود). نخستین گواهی‌نامه‌ای که نیوتون را به رسمیت می‌شناخت، مدرکی مبنی بر اتهام به وی بود.
مادرش نمی‌دانست چه کار کند، و زندگی در آن خانه اضطراب‌آور و نگران‌کننده شده بود. در «سیاهه‌ی گناهانی» که نیوتون سال‌ها بعد تهیه کرد، این دوره مشتمل بر اقلامی از این دست گناهان است: «بدخلقی با مادرم»، «نزاع با خدمتکاران»، «امتناع از اجرای دستورهای مادرم»، و «آزار رساندن به خواهرم». او برخلاف اکثر نوجوانان که می‌دانستند چه چیزی را نمی‌خواهند و چه کاری نمی‌خواهند انجام دهند، دقیقاً می‌دانست که چه چیزی را می‌خواهد و چه کاری می‌خواهد انجام دهد. مشتاقانه به مطالعه ادامه می‌داد، مدل‌سازی می‌کرد، آزمایش‌های علمی انجام می‌داد، در دفترچه‌ی یادداشتش محاسباتی انجام می‌داد و نمودارهایی ترسیم می‌کرد.
خوشبختانه دو نفر بودند که استعدادها و قریحه‌ی استثنایی نیوتون را بازشناختند. یکی از آنان جان استوکس معلم مدرسه‌اش در گرانتهام، و دیگری عموی مادرش ویلیام ایسکو، کشیش بخش روستای مجاور برتون کوگلز بود که اتفاقاً او هم از ترینیتی کالج کمبریج فارغ‌التحصیل شده بود. آنان مصمم شدند که مادر نیوتون را ترغیب کنند که او را دوباره در گرانتهام به مدرسه بفرستد، که در آن جا استوکس می‌توانست وی را برای ورود به ترینیتی کالج کمبریج آماده کند.
نیوتون نزد آقای کلارک عطار (داروفروش) برگشت، و درآن جا به نحوی مشتاقانه و سیری ناپذیر به خواندن کتاب‌ها ادامه داد، و این بار اتاقش را با انواع نقاشی‌هایی که خود کشیده بود، آراست. به قول نادختری آقای کلارک، نیوتون در این دوره رابطه‌ای عاطفی با او هم برقرار کرده بود. او چندین سال از نیوتون بزرگ‌تر بود، معلوم می‌شود که این رابطه‌ی عاشقانه عمدتاً درتخیلات این دختر شکل گرفته بوده است. این تنها مورد در زندگی نیوتون است که نامش همراه با یک زن درپیوندی عاطفی و عاشقانه ذکر می‌شود.
نیوتون در ژوئن 1661 به کمبریج وارد، و در آن جا در ترینیتی کالج پذیرفته شد. بنابر نوشته‌های یکی از تاریخ‌نگاران معاصر، در آن زمان «ترینیتی کالج شکوهمندترین و منظم‌ترین کالج در عالم مسیحیت» به شمار می‌رفت. قابلیت آموزشی آن داشت ارتقاء می‌یافت؛ هر چند که هنوز هم کیفیت کلی آن عقب‌تر از دانشگاه‌های بزرگ اروپا، چون سوربن و میلان بود. انگلستان نه تنها دستخوش یک انقلاب سیاسی بود، بلکه در روند انقلابی عقلانی و روشنفکری بی‌نظیر و بی‌همتا در اروپا (که باز هم چندان شناخته نشده بود) نیز قرار داشت. این انقلاب عقلی در قالب کارهای نیوتون به اوج خود رسید-اما پرتوهای کم نورتر آن از آثار مردان پرآوازه‌ای چون هاروی (کاشف گردش خون)، هابز (تیزهوش‌ترین نظریه‌پرداز زمانه‌ی خودش)، لاک (که اصالت تجربه یا تجربه‌گرایی او مسیر فلسفه را دگرگون کرد، و ایده‌هایش قانون اساسی ایالات متحده‌ی امریکا را شکل داد)، و بویل (شیمیدان پیشگام)، بر جهان علم تابیده بودند.
نیوتون در هنگام ورود به کمبریج هیجده سال داشت، و دو سال بزرگ‌تر از میانگین سنی دانشجویان بود. نسبت به وضع مالی دانشجویان متوسط بسی فقیرتر بود، و تنها با اخذ کمک‌هزینه‌ی تحصیلی به عنوان دانشجو در کمبریج پذیرفته شد. به این دلیل باید به صورتی در حکم پیشخدمت مخصوص استاد راهنمایش کار کند. خوشبختانه، استاد راهنمایش فقط پنج هفته در سال در آن جا اقامت داشت، و از این رو بقیه‌ی اوقات نیوتون به زندگی خودش اختصاص داشت.
در آن روزها در کمبریج چند عامل مزاحمت و مایه‌ی دردسر و حواس‌پرتی هم وجود داشت. بنابر قول یک مسافر آلمانی که از آن جا بازدید کرده، در بیرون از دانشگاه، خود شهرک کمبریج «بهتر از یک روستا نیست ... یکی از غم‌انگیزترین مکان‌های دنیاست. » میکده‌ها و مهمان‌خانه‌های این روستا پر از زنان بی‌بندوبار چرب‌زبان و جوانان پولدار عربده‌جو است. (این‌ها دانشجویان همکلاسی نیوتون بودند، که فقط کمتر از یک سوم آن‌ها نگران دریافت مدرک تحصیلی و فارغ‌التحصیل شدن بودند) یک سال پیش از ورود نیوتون به کمریج، چارلز دوم به تخت سلطنت نشسته بود. بعد از زیاده‌روی‌ها و افراط‌کاری‌های پیرایشگران (پیوریتین‌های) کشورهای مشترک‌المنافع، اکنون زیاده‌روی‌های آشکارتر دوران بازگشت چارلز اول به اوج خود رسیده بود. اما پیوریتانیسم (خشکه مقدسی) به حال و هوای سیاسی جامعه بستگی نداشت. نیوتون، مابین دوره‌های طولانی و طاقت‌فرسای درس خواندن و مطالعه کردن، که عموماً تا سپیده‌دم به درازا می‌کشید باید در اتاقش می‌نشست و سیاهه‌ی گناهانش را تنظیم می‌کرد (که هیچ‌کدام از آن‌ها هرگز شامل عربده‌کشی‌های مستانه و رابطه با فواحش نمی‌شد).
علی‌رغم رشد و گسترش انقلاب عقل و اندیشه در انگلستان، آموزش در دانشگاه‌های آن دیار کماکان سخت در مکتب ارسطویی قرون وسطی ریشه داشت. زمین هنوز هم در مرکز جهان هستی جای داشت که مشتمل بود برخاک، هوا، آتش و آب. این «عناصر» در چهار «خِلط» ما: خون، بلغم، صفرا، و سودا منعکس می‌شد که «تعادل و توازن» آن‌ها موجب سلامت ما می‌شود؛ و اعتقاداتی دیگر به همین ترتیب تا آخر ... بنابر فرض‌های خودشان، جهانی به طور محتوم سازگار و هماهنگ وجود داشت که نارسایی و ناسازی آن فقط به طور تدریجی بروز می‌کرد.
نخستین ترک‌ها و شکاف‌های جدی در عمارت مکتب ارسطو در خلال سال‌های اولیه‌ی قرن هفدهم در اروپا آغاز به آشکار شدن کرده بودند. کشیش لهستانی، نیکولاس کوپرنیکوس، یک منظومه‌ی شمسی خورشید مرکزی را پیش کشیده بود. این فرضیه، کپلر منجم آلمانی را که در پراگ کار می‌کرد، به ارائه‌ی قوانین حرکت سیاره‌ای هدایت کرد. گالیله فیزیک‌دان ایتالیایی، پیش از آن که مجبور شود آرای خود را به دستور کلیسای کاتولیک انکار کند، در آن هنگام شالوده‌ی علم مکانیک جدیدی را برپایه‌ی این قوانین ریخته بود. در این میان، فلسفه‌ی شک دکارت نشان داده بود که مکتب ارسطو، یعنی بنیاد آموزش علمی کلیسا، از توجیه تحلیلی و ادراکی تهی است. چنین پیشگامانی بودند که آتش انقلاب اندیشه و عقل انگلستان را برافروختند، و نیوتون دانشجو عمیقاً تحت تأثیر این یافته‌ها و کشفیات قرار گرفت.
نیوتون، با همین جدّیت به آموختن ریاضیات جدید هم اهتمام ورزید؛ این علم پشتیبان اکتشاف‌های یاد شده به شمار می‌آمد، و هر یک از یافته‌های آینده به آن وابسته بود و باید برپایه‌ی ریاضیات جدید استوار می‌شد. در خلال قرن پیش از آن پیشرفت‌های نجوم و دریانوردی روش‌های اصلاح‌شده‌ی محاسبه و دقت را ایجاب کرده بود. در نتیجه، در ریاضیات انقلابی رخ داده بود که با کشفیات و یافته‌های علمی روزگار هم‌پایه و همگام شده بود. در این جا نیز خطوط برجسته‌ی ساختاری با دقت فزاینده از ژرفای غبار و مه قرون وسطی داشت رخ می‌نمایاند. در سال 1585 یکی از کارمندان دولت فلاندر به نام اِستوین دستگاه دهدهی (اعشاری) را برای اندازه‌گیری مقادیر کوچک‌تر از یک ارائه کرد؛ و در سال‌های اولیه‌ی قرن هفدهم نِپِر Napier، اشراف‌زاده‌ی اسکاتلندی، لگاریتم را ابداع کرد. این انقلاب ریاضی در فرانسه به کمال رسیده بود. در این سرزمین، سه تن از بزرگ‌ترین ریاضیدانان تمامی دوران‌ها، دکارت، فرما، و پاسکال، جملگی در میانه‌ی قرن هفدهم به اوج توانایی و نبوغ خود رسیده بودند.
نیوتون در دوران دانشجویی خود آموزه‌های دکارت را مطالعه کرد و به خوبی فرا گرفت (این که وی چقدر پاسکال و فرما را می‌شناخت، خود پرسشی همچنان مطرح و گشوده است). دکارت مختصات دکارتی را (که به نام خودش نامیده شده) ابداع کرده بود: مختصات دکارتی عبارت بود از سه محوری که امکان ترسیم دقیق هر نقطه‌ی هندسی (یا خط راست، یا منحنی، یا شکل) را در فضا فراهم می‌آورند. جبر نیز به حوزه‌ی هندسه وارد شد، که آن را از قید این که یکی از خصوصیات حساب باشد رهانید، و هندسه‌ی تحلیلی زاده شد. حالا دیگر می‌شد هر منحنی را مانند شکل دوبعدی یا دومحوری زیر، به کمک معادله نمایش داد.
ریاضیات دکارت (و فلسفه‌ی او) به نحو بامعنی‌تری، جهان را به صورت ابزار مکانیکی پیچیده‌ی گسترده‌ای می‌نگریست. پیش از آن، مکتب ارسطو جهان را برحسب کیفیت‌ها (خاک، هوا، و جز این‌ها) نظاره کرده بود؛ حالا به جهان در چارچوب کمیت‌ها-که قابل اندازه‌گیری بودند-نگاه می‌شد.
نیوتون یادداشت نوشتن را در دفترچه‌ی یادداشتی تحت عنوان برخی پرسش‌های فلسفی آغاز کرد که سرفصل آن از این قرار بود: «بهترین دوست من حقیقت است.» در این یادداشت‌ها می‌بینیم که پیشنهاد و نظر دکارت را مبنی بر این که تمامی واقعیت، ذرات ماده‌ی متحرک را دربر می‌گیرد، و این که تمامی پدیده‌های طبیعی از هم‌کنش این ذرات ناشی می‌شوند، عمیقاً درک کرده است. گاسندی، دانشمند و فیلسوف فرانسوی، این مفهوم یونان باستان را احیاء کرد که برپایه‌ی آن این ذرات بنیادی، اتم‌های همیشه گسسته‌اند. یادداشت‌های نیوتون نشان می‌دهند که وی همگام و موازی با این آرا و اندیشه‌ها، از پیشرفت‌های کار بویل باخبر بوده است؛ آزمایش‌های بویل نقطه‌ی آغاز پی بردن به وجود عناصر اساسی (اولیه‌ی) شیمیایی به شمار می‌آیند.
یافته‌ها و کشف‌های بویل شالوده‌ی کارهای آینده‌ی نیوتون در حوزه‌ی شیمی را ریخت، اما علائق نیوتون در عالم شیمی چندان رو به آینده و پیشتاز نبود. شیمی در قرن هفدهم فقط برای سر برون آوردن از حرف‌های بی‌معنی کیمیاگری، تازه داشت گام‌های اولیه را برمی‌داشت. نیوتون، درپی علائق و کنجکاوی‌های خود در شیمی، دست به کار خواندن آثار مربوط به کیمیاگری و جادوگری شد و سنت کیمیایی و جادویی را تعقیب کرد. ادعا و وانمود می‌شد که این مطالب و این کارها پدیده‌های طبیعی را در چارچوب حرف‌های قلمبه سُلمبه‌ی ماوراءالطبیعی توضیح می‌دهند.
بهتر این است که فکر کنیم نیوتون این مطالب بی‌معنی را، بعد از مطالعات جّدی و دقیق و طاقت‌فرسای ریاضی و علمی خود، برای سرگرمی و تفریح و مسرت‌خاطر می‌خواند. اما موضوع این نبود. نیوتون کیمیاگری خود را جدی می‌گرفت. این کار را هم‌طراز مطالعه‌ی وسواس‌آمیز کتاب مقدس انجام می‌داد. دراین مورد نیز، وی می‌بایست سرنخ‌ها را مانند یافتن سرنخ هویت خالق جهان می‌یافت.
این دو شیوه‌ی نگریستن به عالم-نگاه فیزیکی و نگاه متافیزیکی-در نظر ما نگرش‌های صرفاً آشتی‌ناپذیری‌اند که به طور متقابل منحصر به فرد به نظر می‌رسند. اما در نزد نیوتون چنین نبود. در واقع، تعارض بین این دو جهان‌بینی ظاهراً به طریقی به عنوان انگیزه برای فرایندهای ذهنی او عمل کرده بودند.
اما تمام کشفیات نیوتون هم طلای قلب نبودند. نیوتون در خلال سه سال دوران دانشجویی‌اش، به اکتشاف‌های مهمی در زمینه‌ی ریاضیات دست یافته بود. وی قضیه‌ی دو جمله‌ای‌های کسری را اثبات کرده بود. قضیه‌ی دو جمله‌ای حاکی از فرمولی به منظور بسط یک عبارت دو جمله‌ای است. یعنی جمله‌ای حاوی جمع دو متغیر، مانند x + y، به توان معلوم n به صورت x + y تعمیم یافت.
یک مثال ساده نشان می‌دهد:
و الی آخر، تا بی‌نهایت.
نیوتون قاعده‌ی کلی چنین بسط‌هایی را یافت. به طوری که خواهیم دید، این کار در زمینه‌ی سری‌های متناهی نخستین گام نیوتون به سوی یکی از بزرگ‌ترین اکتشاف‌های ریاضی تمامی اعصار، یعنی حساب دیفرانسیل وانتگرال یا حسابان بود.
نیوتون درجه‌ی کارشناسی (لیسانس) خود را در سال 1665 دریافت کرد. پروفسور بارو، ممتحن او به «نظری بی‌تفاوت» نسبت به توانایی‌های او رسید: نیوتون حتی اصول اقلیدس را نمی‌دانست. در واقع نیوتون برنامه‌ی درسی را جدّاً رها کرده و مورد بی‌توجهی قرار داده بود. چیزی که پروفسور بارو به آن پی نبرد، این بود که نیوتون همان هنگام از دکارت جلوتر رفته بود، که دکارت کسی بود که به نوبه‌ی خود قبلاً بسی فراتر از اقلیدس قرار گرفته بود. نیوتون تقریباً به تمامی خود آموخته بود؛ به این معنی که عمدتاً به تنهایی کار می‌کرد و مطالب را از کتاب‌ها می‌خواند و فرا می‌گرفت. تمامی سرگرمی واقعی او به دفترچه‌های یادداشتش منحصر می‌شد-دفترچه‌هایی که هرگز کس دیگری آن‌ها را ندیده بود. علی‌رغم وقفه و فاصله در روند دانش‌اندوزی نیوتون، به وی اجازه داده شد تا تحصیلاتش را برای اخذ مدرک فوق‌لیسانس ادامه دهد. (به ندرت پیش می‌آمد که نیازی به نگه داشتن دانشجویانی پیدا شود که درس خود را تمام کرده بودند.)
به نظر می‌رسید که نیوتون در انزوا شکوفا می‌شود و رشد می‌کند و اکنون رویدادها دست به دست هم داده بودند تا تضمین شود این روند ادامه می‌یابد. در اواخر سال 1664 جسد دو دریانورد فرانسوی در حلبی‌آبادهای لندن در اطراف دروری لِین یافته شد که بر اثر ابتلا به طاعون خیارکی مرده بودند. این بیماری به سرعت در سرتاسر شهر شیوع یافت (سرانجام، این بیماری فقط در لندن هشتاد هزار کشته بر جای نهاد)، و در بیرون شهر در مسیر دلیجان‌ها و راه‌های مال‌رو در تمامی سرزمین، مردگان بی‌شماری افتاده بودند. تمام کسانی که توانایی داشتند، مراکز جمعیتی را ترک و مهاجرت کردند، و در آگوست 1665 دانشگاه کمبریج عملاً تعطیل شد. نیوتون به وولستروپ برگشت، و حدود یک سال در آن جا ماند.
این ماجرا به یک سال معجزه‌آسا انجامید، که نه پیش از آن و نه بعد از آن، مشابهش هرگز در علم مشاهده نشده است. (تنها مورد نسبتاً شبیه آن مربوط به ماجرای اینشتین در سال 1905 می‌شود، که وی نظریه‌ی خاص نسبیت را در حالی کشف کرد و پرداخت که در همان وقت نظر داد نور از کوانتوم‌ها تشکیل شده و توضیح مولکولی حرکت براونی را مهیا کرد).
نخستین پیروزی و توفیق عمده‌ی نیوتون عبارت بود از تدوین و تکوین حساب دیفرانسیل و انتگرال یا حسابان. حالا دیگر توانایی نمایش دادن یک فرمول جبری بر روی یک نمودار به این معنی بود که برخی مسائل جبری راه‌حل‌های هندسی را می‌پذیرند. مثلاً، آهنگ تغییرات x برحسبy به ازای تمام مقادیر (مثلاً، در هر نقطه‌ی معین بر روی منحنی) عبارت است از مماس بر منحنی در همان نقطه.
یافتن مماس بر هر دایره، یا حتی یک منحنی منظم، خیلی آسان است، اما این مماس بر یک منحنی متغیر را چگونه بیابیم؟ این کار به کمک حسابان انجام می‌شود. یونانیان باستان به مفهوم اساسی حسابان (حساب دیفرانسیل و انتگرال) پی برده بودند.
ارشمیدس برای تعیین مساحت دایره، یک کثیرالاضلاع متساوی الاضلاع در داخل آن محاط کرد، که محاسبه‌ی مساحت این کثیرالاضلاع را می‌دانست. اگر وی تعداد اضلاع این کثیرالاضلاع را زیاد می‌کرد، مساحت آن نیز افزایش می‌یافت، تا این که به مساحت دایره نزدیک می‌شد؛ که مساحت دایره‌ی یادشده حدّ بالای مساحت کثیرالاضلاع بود. (به همین ترتیب، با محصور کردن دایره در داخل یک کثیرالاضلاع متساوی‌الاضلاع می‌توانست حدّ پایین مساحت کثیرالاضلاع را بیابد، که پاسخی که می‌خواست بین این دو حدّ واقع می‌شد).
اما اگر تعداد اضلاع این متوازی‌الاضلاع تا بی‌نهایت افزایش می‌یافت، به این ترتیب نیز مساحت دایره به دست می‌آمد. این اصل را به همین ترتیب می‌توان در مورد مماس بر منحنی نیز اعمال کرد و صادق دانست.
هرگاه فاصله‌ی بین A و B بی‌نهایت کوچک شود، و به حدّ صفر میل کند، ضلع مقابل به زاویه‌ی قائمه‌ی ACB، تقریباً به مماس نزدیک و در حدّ به مماس تبدیل می‌شود. همین اصل را می‌توان در مورد محاسبه‌ی مساحت زیر منحنی به کار گرفت. هر چه تعداد مستطیل‌های بین A و B افزایش یابد و نامتناهی شود، در حدّ مساحت آن‌ها به مساحت زیر منحنی نزدیک می‌شود.
بازهم مسأله‌ای مربوط به سری نامتناهی از توابعی دو متغیره ناشی شد؛ درست به همان صورت که نیوتون به قضیه‌ی دو جمله‌ای پرداخته بود. در وهله‌ی اول، محاسبات به مسائلی ختم می‌شدند که مانند آن‌ها به صورت مسائل مربوط به جمع‌های ساکن و ایستای کمیت‌های بی‌نهایت کوچک بروز می‌کرد. بصیرت و بینش پردامنه‌ی نیوتون همین بود که این مسأله را به عنوان مسأله‌ی مربوط به تحرک تلقی کند، یعنی منحنی را نه به عنوان یک شیء ساکن و ایستا، بلکه آن را در حکم مکان هندسی یک نقطه‌ی متحرک تلقی کند. (نیوتون نخست این روش خود را «حساب فاضل یا فلوکسیون»)(1) نامید، و نه حساب دیفرانسیل و انتگرال یا حسابان که بعدها به آن مشهور شد. به این ترتیب، نوآوری و ابداع وی عبارت از معرفی مفهوم زمان بود.
روش نیوتون برای یافتن مماس بر یک نقطه روی منحنی اینک حساب دیفرانسیل خوانده می‌شود. این اصطلاح ناظر است بر کمیّت همواره متغیر یک نقطه‌ی متحرک که گویی از تعداد بی نهایت زیادی تغییر بی‌نهایت کوچک تشکیل می‌شود.
مثلاً سرعت V یک جسم در لحظه‌ای خاص، عبارت است از مسافت بی نهایت کوچکی ds که آن جسم در مدت زمان بی نهایت کوتاه و متمایل به صفری dt می‌پیماید. بنابراین:
خوشبختانه محاسبات طولانی و حیرت آور نیوتون سرانجام به یافته شدن یک قاعده‌ی تجربی عملی و آسان انجامید-چنان که تمامی ریاضیدانان نوپا و جوانی که می‌دانند چه کار کنند، اما در واقع نمی‌دانند این محاسبات چه کاری را انجام می‌دهند، این قاعده‌ی تجربی را به کار می‌گیرند: («جوان، فقط این قاعده را به کار ببر. »). مشتق عبارت بسیار ساده‌ی زیر:
به بیان دیگر، شیب (گرادیان) مماس در هر نقطه روی منحنی همواره2x خواهد بود.
این فرایند حساب دیفرانسیل به مهیا شدن ریاضیات جدیدی با یکی از قدرتمندترین ابزارش انجامید: امکان محاسبه‌ی تمامی انواع آهنگ‌های تغییر. این محاسبات مثلاً نقاط ماکسی‌موم و مینی‌موم هر منحنی را، که در هنگام صفر شدن شیب یا آهنگ تغییر، dx/dy ، پیش می‌آید، دربر می‌گرفت:
نیوتون به روش حساب فاضل (فلوکسیون) خود ادامه داد، که آن چه را امروزه نیز حساب انتگرال نامیده می‌شود، دربر گرفت. حساب انتگرال در اساس عکس حساب دیفرانسیل است، و برای محاسبه‌ی مساحت زیر منحنی به کار گرفته می‌شود. مثلاً سرعت یک نقطه v را می‌توان برحسب فاصله‌ی بی‌نهایت کوتاه ds بیان کرد که در لحظه‌ی کوتاه dt پیموده شده است. به این ترتیب:
ds = vdt
فاصله‌ی قابل اندازه‌گیری که آن نقطه در فاصله‌ی زمانی بین t1 و t2 طی می‌کند، از طریق مجموع یا بی‌پیوسته‌ی تغییرات در این فاصله (یا بازه)ی زمانی به دست می‌آید، که به آن انتگرال‌گیری (انتگراسیون) t می‌گویند.
بیان ریاضی این حکم از این قرار است:
این روش بسیار مفید را می‌توان برای مسائلی چون یافتن مساحت هر نوع شکلی به کار گرفت که از طریق یک منحنی قالبی و کلیشه‌ای (که حول محوری می‌چرخد و حجمی تولید می‌کند) توصیف شود. این روش را برای هر مسأله‌ای هم می‌شد به کار بست که در آن، مجموع‌یابی پیوسته‌ی تغییرات بی‌نهایت کوچک مورد نیاز بود. در این مرحله، حساب دیفرانسیل و انتگرال نیوتون در شکل جنینی خود باقی ماند. اما با همه‌ی این احوال، وی اکنون روشی در اختیار داشت که بر پایه‌ی آن قادر شد کار بزرگ خود را به انجام رساند. البته دستاورد خارق‌العاده‌ی نیوتون در خلال سال‌های 1665-1666، به گرانش مربوط می‌شد.

پی‌نوشت‌ها:

1-Fluxion
به معنی جریان یافتن و سیال و شاره؛ که آن را سلالیت و «نرخ تغییر» هم گفته‌اند.

منبع:
استراترن، پل؛ (1389) شش نظریه‌ای که جهان را تغییر داد، ترجمه‌ی دکتر محمدرضا توکلی صابری و بهرام معلمی، تهران، انتشارات مازیار، چاپ چهارم.