انتشارات صوت در مواد الاستیک

در قسمت‌های قبل گفتیم که امواج صوتی به علت ارتعاشات با حرکت‌های نوسانی ذرات درون یک ماده منتشر می‌شود. می‌توان یک موج صوتی را به صورت تعداد نامحدودی از جرم‌ها یا ذرات نوسان کننده ای در نظر گرفت که بوسیله ی فنرهای کشسان (الاستیک) به یکدیگر متصل هستند. هر کدام از ذرات تحت تأثیر حرکت نزدیک‌ترین همسایه‌اش و هم چنین نیروهای بازگرداننده‌ی الاستیک و اینرسی که بر روی ذره عمل می‌کنند، هستند.

هر جرمی بر روی یک فنر دارای فرکانس هم نوای منفردی است که بوسیله ی ثابت آن فنر یعنی K و جرم آن یعنی M تعیین می‌شود.
ثابت فنر؛ نیروی بازگرداننده‌ی یک فنر بر واحد طول است. در محدوده‌ی الاستیک یک ماده رابطه ای خطی بین جا به جایی یک ذره و نیرویی که تلاش می‌کند آن ذره را به مکان تعادلش بازگرداند وجود دارد. این وابستگی خطی به صورت قانون هوک (Hookes Law) بیان می‌شود.
بر اساس مدل فنری، قانون هوک بیان می‌کند که نیروی بازگرداننده‌ی ناشی از فنر نسبت مستقیمی با طول کشیده شده از فنر دارد. و در جهت معکوس عمل می‌کند. به طور ریاضی قانون هوک به صورت F=-KX نوشته می‌شود که در آن F نشان دهنده‌ی نیرو، K ثابت فنر و X میزان جا به جایی ذره می‌باشد. لطفاً توجه کنید فنر نیرویی به ذره وارد می‌کند که برابر نیرویی است که از لحاظ کمی برابر نیرویی است که ذره را به پایین می‌کشد ولی در جهت عکس می‌باشد.


هنگامی که قانون هوک با قانون دوم نیوتون استفاده شود می‌توان چیزهایی را درباره‌ی سرعت صوت توضیح دهد. سرعت صوت درون یک ماده تابعی از خواص آن ماده است و مستقل از دامنه‌ی موج صوتی می‌باشد. قانون دوم می‌گوید که نیروی اعمال شده به یک ذره متوازن با جرم ذره و شتاب آن ذره است. به صورت ریاضی قانون نیوتون F= ma نوشته می‌شود. سپس قانون هوک بیان می‌کند که این نیرو در جهت مخالف می‌باشد و به میزان جا به جایی و ثابت فنر بستگی دارد. ( F=-kx). بنابراین از آن جایی که نیروی اعمال شده و نیروی بازگرداننده برابر هستند. می‌توانیم بنویسیم ma=-kx علامت منفی نشان دهنده‌ی این است که نیرو در جهت معکوس می‌باشد.
از آن جایی که جرم m و ثابت فنرk برای هر ماده‌ی معینی ثابت هستند می‌توان فهمید که شتاب a و جا به جایی x تنها متغیرهای موجود هستند. هم چنین می‌توان فهمید که آن‌ها تناسب مستقیم دارند. به طور مثال اگر جا به جایی ذره افزایش یابد، شتاب آن نیز افزایش می‌یابد. نتیجه این می‌شود که زمانی که طول می‌کشد تا ذره ای حرکت کند، و به مکان تعادلش بازگردد، مستقل از نیروی اعمال شده می‌باشند. بنابراین درون یک ماده‌ی معین و فارغ از این که چه میزان نیرو اعمال شده ( به شرط آن که دیگر متغیرها همانند دما ثابت نگه داشته شوند) صوت با سرعت همیشه ثابتی حرکت می‌کند.
چه خواصی از ماده بر روی سرعت صوت در آن ماده تأثیر دارد؟
البته صوت با سرعت‌های مختلف در مواد متفاوت حرکت می‌کند. این بدان علت است که جرم ذرات اتمی و ثابت فنری در مواد مختلف، متفاوت است. جرم ذرات به چگالی ماده مربوط است و ثابت فنری به ثابت کشسانی ماده مربوط است. رابطه‌ی کلی بین سرعت صورت در یک جامد و چگالی آن و ثابت کشسانی با معادله‌ی زیر مشخص می‌گردد.

در این معادله V سرعت صورت است، C ثابت کشسانی و pچگالی ماده است. این معادله بر اساس نوع موج (طولی یا برشی) و ثابت کشسانی مورد استفاده می‌تواند شکل‌های متفاوتی به خود بگیرد. ثابت‌های کشسانی نوعی یک ماده عبارتند از:
مدول یانگ E، ((youngs Modulus: ثابت تناسبی بین تنش تک محوری و کرنش می‌باشد.
ضریب پوآسون n، ((Poissons Ratio: نسبت کرنش جانبی به کرنش محوری است.
ضریب کشیدگی k، (( Bulk Modulus: ثابتی عددی است که خواص کشسانی یک جامد یا سیال را تحت فشار وارد شده از همه‌ی جهات توصیف می‌کند.
مدول برشی G، (( Shear Modulus؛ هم چنین با نام مدول سختی نامیده می‌شود: میزانی برای بیان مقاومت ماده در برابر برش می‌باشد.
ثابت‌های لیم Lams Constants)-lm): ثابت‌های مواد هستند که از مدول های یانگ و ضریب پوآسون مشتق شده‌اند.
هنگامی که به محاسبه‌ی سرعت یک موج طولی می‌پردازیم، معمولاً مدول یانگ و ضریب پوآسون مورد استفاده قرار می‌گیرند. هنگام محاسبه‌ی سرعت یک موج برشی، مدول برشی استفاده می‌شود اغلب مواقع انجام محاسبات با استفاده از ثابت‌های لیم که از مدول یانگ و ضریب پوآسون مشتق شده‌اند انجام می‌شود.
هم چنین باید به این نکته نیز اشاره کرد که زیرنویس IJ که در معادله‌ی بالا به C ملحق شده است، برای نشان دادن جهت گیری ثابت‌های کشانی با توجه به نوع موج و جهت حرکت موج مورد استفاده قرار می‌گیرد. در مواد ایزوتروپیک ثابت‌های کشسانی برای همه‌ی جهت درون یک ماده یکسان هستند. اما بسیاری از مواد غیر ایزوتروپیک (ناهمسان گرد) هستند و ثابت‌های کشسانی در هر جهت متفاوت است. به طور مثال در قطعه ای از ورق آلومینیوم نورد شده و دانه‌ها در یک سمت کشیده شده‌اند و در سمت دیگر فشرده شده‌اند و خواص کشسانی در سمت طولی متفاوت از سمت‌های عرضی یا سمت‌های عرضی کوتاه است.
مثال‌هایی از سرعت تقریب موج صوتی فشاری مواد در زیر آمده است:
آلومینیوم: 632 /0 سانتی متر بر میکروثانیه، فولاد 1020: 324 /0، چدن: 240 /0
هنگامی که سرعت‌های امواج صوتی برشی و فشاری را مقایسه می‌کنیم. متوجه می‌شویم که سرعت امواج برشی تقریباً نصف سرعت امواج فشاری است.