تاریخ ریاضیات اسلامی
ریاضیات را در چشم انداز اسلامی همچون دروازه ای میان جهان محسوس و جهان معقول، و همچون نردبانی میان جهان تغییر و آسمان نمونه های اعلی (اعیان ثابته) می شمارند. وحدت، که اندیشه مرکزی اسلام است، با آنکه در خود
نویسنده: سید حسین نصر
مترجم: احمد آرام
مترجم: احمد آرام
ریاضیات را در چشم انداز اسلامی همچون دروازه ای میان جهان محسوس و جهان معقول، و همچون نردبانی میان جهان تغییر و آسمان نمونه های اعلی (اعیان ثابته) می شمارند. وحدت، که اندیشه مرکزی اسلام است، با آنکه در خود «انضمامی» و غیر انتزاعی است، از دیدگاه انسانی امری انتزاعی است. به همین ترتیب ریاضیات نسبت به جهان محسوسات امری انتزاعی است؛ ولی چون از دیدگاه جهان معقولات و «جهان مثل» افلاطونی در نظر گرفته شود، راهنمایی به اعیان ثابته است که خود حقایقی عینی هستند. درست به همان ترتیب که همه اشکال از نقطه و همه اعداد واحد پدیدار می شود، به همان ترتیب نیز هر کثرتی از پدید آرنده جهان به وجود می آید که خود احد و واحد است. چون اعداد و اشکال را به معنای فیثاغورسی آنها- یعنی به عنوان جوانب وجودی وحدت و نه تنها به عنوان کمیّت محض- در نظر بگیریم، وسیله ای می شوند که با آنها کثرت از وحدت حکایت می کند. به همین جهت است که ذهن و فکر فرد مسلمان پیوسته به ریاضیات تمایل داشته است، و این امری است که نه تنها در فعالیت عظیم علمای مسلمان در علوم ریاضی مشاهده می شود، بلکه در هنر اسلامی نیز به خوبی نمایان است.
عدد فیثاغورسی، که مفهوم سنتی عدد است، تصویری است از وحدت، و نموداری است از مبدأ و مرکز که به نحوی هرگز اصل و منشأ خود را ترک نمی کند. عدد، از لحاظ کمیتی خود، ممکن است تقسیم و تجزیه شود؛ ولی از لحاظ کیفی و رمزی کثرت را به وحدت باز می گرداند و به آن کمال می بخشد. و نیز عدد، بنابر ارتباط نزدیکی که با اشکال هندسی دارد، یک «شخصیت» است: مثلاً سه، متناظر با مثلث است و هماهنگی را مجسم می سازد، در صورتی که چهار، که با مربع بستگی دارد، نمودار پایداری است. چون به اعداد در این چشم انداز نظر شود، شبیه دایره های متعدد متحدالمرکز می شوند که از راههای گوناگون از مرکز مشترک و تغییرناپذیر خود خبر می دهند. به سوی خارج «توسعه نمی یابند»، بلکه با ارتباط وجودی که پیوسته با واحد دارند، متحد با مبدأ خود باقی می مانند. در مورد اشکال هندسی نیز چنین است، که هر یک از آنها نمودار سیمایی از وجود است. اکثر ریاضیدانان مسلمان، همانند فیثاغورسیان، هرگز علم ریاضی را به عنوان یک موضوع کمی محض دنبال نمی کردند، و نیز اعداد را از اشکال هندسی که «شخصیت» آنها را قابل تصور می سازد جدا نمی شمرده اند. از این امر خوب آگاهی داشتند که ریاضیات از لحاظ قطبیت درونی خود، همچون نردبانی به سوی آسمان است که، به رهبری فلسفه اولی، می تواند شخص را به جهان نمونه های اعلی و نفس وجود برساند، اما، چون از سرچشمه و منشأ خود جدا ماند، به جای آن، وسیله هبوط به جهان کمیت و به قطبی می شود که، تا آن اندازه که شرائط ظهور مراتب وجود روا می دارد، از سرچشمه نورانی همه وجود دور است. انسان نسبت به اعداد نمی تواند خاصیت «بیطرفی» داشته باشد: یا با شناختن سیماهای کیفی و نمادی آنها به عالم هستی محض صعود می کند، یا از طریق آنها، به عنوان عدد محض، به جهان کمیت فرو می افتد. در ریاضیات، بدان صورت که در قرون وسطی مورد بحث قرار می گرفت، تنها نقش اول آن مورد نظر بود. علم اعداد بدان گونه که اخوان الصفا گفته اند، «تأییدی است از عقل به نفس، و نخستین بخششی است که از عقل به نفس افاضه شده است»؛ بعلاوه، به آن همچون «زبانی که از توحید و تنزیه سخن می گوید» نظر می کرده اند.
تحصیل علوم ریاضی در اسلام تقریباً همان موادی را شامل بوده است که مراحل چهار گانه لاتینی Quadrivium را تشکیل می داده اند، و بر آن مقداری تحصیل علم مناظر و معدودی موضوعات فرعی را نیز می افزوده اند. مواد اصلی آن- مانند مراحل چهارگانه- حساب و هندسه و نجوم و موسیقی بوده است. اغلب دانشمندان و فیلسوفان مسلمان این هر چهار را فرا می گرفتند؛ بعضی، مانند ابن سینا و فارابی و غزالی، رساله های مهمی در موسیقی و تأثیر آن در نفس تألیف کرده بودند.
علم نجوم، و خواهر آن احکام نجوم، که تقریباً همیشه با آن بستگی داشت (در عربی، همچون در یونانی، یک کلمه از هر دو موضوع حکایت می کند)، به چند دلیل مورد توجه بود. مسائلی از گاهشماری و تقویم بود که می بایستی به وسیله این علم حل شود؛ یافتن جهت قبله و تعیین اوقات نمازهای روزانه ضرورت داشت؛ وظیفه استخراج طالع برای امیران و فرمانروایان، که تقریباً همیشه در کارهای خود از منجمان مشورت می کردند؛ و نیز میل به تکمیل علم حرکت اجرام سماوی، و حل کردن دشواریهای آن، برای دست یافتن به کمال معرفت در این موضوع.
سنت نجومی اصل، از طریق کتاب المجسطی بطلمیوس، از یونانیان به جهان اسلام رسید. و نیز مکتبی هندی بود که معتقدات آن درباره نجوم، و همچنین حساب و جبر و مقابله و هندسه، از کتب سانسکریت به نام سد هانت به زبان عربی ترجمه شد و نام سند هند گرفت. از این گذشته، بعضی از متون کلدانی و فارسی وجود داشت که اصلهای آنها اکنون از میان رفته است، و همچنین مقداری سنت عربی پیش از اسلام در کار بود. منجمان مسلمان، همان گونه که پیشتر اشاره کردیم، رصدهای چندی کردند و نتایج آنها را در زیجهایی بسیار جامعتر از زیجهای پیشینیان آوردند که تا زمانهای جدید مورد رجوع بود. آنان همچنین مکتب نجوم ریاضی بطلمیوسی را ادامه دادند، و مثلثات کروی ساخته و پرداخته خود را در محاسبه صحیح حرکت افلاک در داخل نظریه فلک تدویر به کار بستند. معمولاً پیرو نظریه زمین مرکزی بودند، ولی، همچنان که بیرونی اشاره کرده است، از منظومه خورشید مرکزی نیز آگاه بودند. و چنانکه ابوریحان خبر داده است، ابوسیعد سجزی حتی اسطرلابی بر مبنای نظریه خورشید مرکزی ساخته بوده است.
نیز نتیجه تأثیر اندیشه های هندی، تکامل و انتظام یافتن علم جبر و مقابله بود. با آنکه مسلمانان با کتاب دیوفانتوس آشنایی داشتند، کوچکترین شکی در این امر نیست که علم جبر، بدان صورت که توسط مسلمانان پرورش و توسعه یافته، ریشه هندی داشته است و علمای اسلامی از ترکیب این ریشه هندی با روشهای یونانی علم جبر و مقابله را به وجود آورده اند. نبوغ و اصالت یونانی در تعبیری است که از نظم و ترتیب محدود عالم و بنابر آن از اعداد و اشکال کرده است؛ چشم انداز حکمت شرقی مبتنی بر نامحدود است که «تصویر افقی» آن متناظر با «بینهایت» ریاضیات است. جبر، که کاملاً وابسته به این چشم انداز مبتنی بر بینهایت است، از کنجکاوی و پژوهش هندی به وجود آمد و در جهان اسلام به کمال خود رسید که در آن پیوسته با هندسه بستگی داشت و همیشه مبنای ما بعد طبیعی خود را حفظ می کرد. علم جبر را، همراه با استعمال ارقام هندی- که اکنون در مغرب زمین به نام «ارقام عربی» شناخته می شود می توان مهمترین علمی دانست که مسلمانان بر مجموعه ریاضیات قدیم افزوده اند. در جهان اسلام، دو سنت ریاضی یونانی و هندی با یکدیگر تلاقی کردند و در ساختمان واحدی متحد شدند که در آن جبر و هندسه و حساب، هم سیمایی معنوی و عقلانی دارا شدند، و هم سیمایی عملی و استدلالی محض، و این سیمای اخیر تنها جزئی از ریاضیات قرون وسطایی است که به میراث به علم متأخر مغرب زمینی رسیده و رشد کرده است و به همان نام ریاضیات خوانده می شود.
اگر بخواهیم درست سخن گفته باشیم، باید بگوییم که تاریخ ریاضیات در اسلام با محمدبن موسی الخوارزمی آغاز می شود، که در آثار وی سنتهای ریاضی یونانی و هندی با هم ترکیب شده است. این ریاضیدان قرن سوم/ نهم چندین اثر از خود بر جای گذاشته که کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابله، که پس از این درباره آن بحث خواهیم کرد، مهمترین آنها بوده است. این کتاب چندین بار، به نام لیبر الگوریسمی (Liber Algorismi) یعنی کتاب الخوارزمی، به لاتینی ترجمه شده است؛ همین ترجمه لاتینی نام خوارزمی است که کلمه انگلیسی «algorism» به معنی حساب و محاسبه و روش محاسبه را از آن گرفته اند.
در پی خوارزمی، در همان قرن، از کندی نخستین فیلسوف اسلامی باید نام برد که در عین حال ریاضیدان شایسته ای نیز بوده و تقریباً در هر یک از شاخه های این علم رساله هایی تألیف کرده بوده است، و نیز از شاگرد او، احمد سرخسی، که بیشتر به آثار جغرافیایی و موسیقیایی و احکام نجومی خود شهرت دارد. و نیز از این دوره است ماهانی که کار تکمیل جبر را ادامه داده و بیشتر به تحقیق در مسئله ارشمیدس شهرت یافته است، و سه پسر شاکر بن موسی محمد و احمد و حسن- که آنان را روی هم رفته به نام «بنوموسی» می شناسند. این هر سه نفر ریاضیدان بودند، و احمد علاوه بر آن فیزیکدان قابلی بود.
در آغاز قرن چهارم/دهم چند مترجم پیدا شدند که در عین حال ریاضیدانان لایقی نیز بودند. برجسته ترین آنان ثابت بن قره است که مخروطات آپولونیوس و چند رساله از ارشمیدس و مدخل علم حساب نیکو ماخوس را ترجمه کرده و خود از قدمای ریاضیدانان مسلمان بوده است. حجم سهمیوار را محاسبه کرد و راه حل هندسی بعضی از اشکال درجه سوم را به دست داد. معاصر وی، قسطابن لوقا، که در تاریخ اسلام متأخر به عنوان مظهر حکمت قدما شناخته شده، نیز مترجم قابلی بود و آثار دیوفانتوس و هرون را به عربی ترجمه کرد.
یکی از ریاضیدانان برجسته دیگر قرن چهارم/دهم ابوالوفاء بوزجانی، شارح کتاب جبر خوارزمی است که معادلات درجه چهارم
از ابن سینا نیز باید به عنوان ریاضیدانی که در این دوره شکوفان شده است، نام ببریم، گو اینکه شهرت او به عنوان فیلسوف و طبیب بسیار بیش از شهرت او به ریاضیدانی است. ابن سینا، همانند فارابی پیش از او، نظریه موسیقی ایرانی زمان خود را تکمیل کرد، و همین موسیقی است که همچون سنتی زنده تا زمان حاضر باقی مانده است. آثار ایشان را کارهایی در «موسیقی عربی» خواندن نادرست است، چه موسیقی ایرانی اساساً به خانواده موسیقی دیگری تعلق دارد که بسیار به موسیقی یونانیان قدیم- و آن موسیقی که فیثاغورس می شنید- شبیه است، و البته در موسیقی عربی و نیز موسیقی اندلس تأثیری داشته، و به نوبه خود از آهنگ و ساختمان این موسیقی نیز تأثر پذیرفته است. همین سنت موسیقی ایرانی است که ابن سینا، و پیش از وی فارابی، نظریه آن را به صورت بحث و تحقیقی در آورده اند و پس از آن عنوان شاخه ای از ریاضیات را پیدا کرده است.
ابن سینا با بیرونی همزمان بود، و بیرونی چند تألیف ریاضی و نجومی بسیار مهم از دوره قرون وسطایی اسلام بر جای گذاشته، و در مسائلی همچون رشته های عددی و تعیین شعاع زمین کار کرده است. معاصر وی، ابوبکر الکرخی (1)، از خود دو اثر اساسی در ریاضیات اسلامی باقی گذاشته است یکی الفخری در جبر، و دیگری الکافی فی الحساب.
قرن پنجم/یازدهم، که در آن سلجوقیان به قدرت رسیدند، با پیدایش فتوری در توجه به ریاضیات در مدارس رسمی مقارن بود، و با وجود این چندین ریاضیدان بزرگ در این دوره وجود داشته اند. بزرگترین ایشان عمر خیام بود و گروهی از منجمان و ریاضیدانان دیگر که با وی در گاهشماری ایرانی تجدیدنظر و آن را اصلاح می کردند. کار این ریاضیدانان سرانجام به فعالیت پرثمر قرن هفتم/سیزدهم، انجامید- و این همان زمان پس از حمله مغولان است که در آن بار دیگر علوم ریاضی جوانی از سر گرفته بود. برجسته ترین چهره این دوره نصیرالدین طوسی است. همان گونه که پیش از این دیدیم، به پیشوایی و راهنمایی او بود که چند تن دانشمند، و بالخاصه ریاضیدان، در رصدخانه مراغه گرد یکدیگر جمع آمده و به کار رصد و دیگر کارهای علمی مشغول شده بودند.
با آنکه پس از قرن هفتم/سیزدهم، توجه به تحقیقات ریاضی رفته رفته رو به کاهش نهاد، ریاضیدانان برجسته ای پیوسته شکوفان می شدند و مسائلی تازه را حل می کردند، یا به یافتن روشها و راه و رسمهای تازه نایل می شدند. ابن بناء مراکشی در قرن هشتم/چهاردهم، برداشت تازه ای از علم اعداد داشت که یک قرن بعد غیاث الدین کاشانی همین روش را دنبال کرد. غیاث الدین جمشید در محاسبه و نظریه اعداد بزرگترین ریاضیدان اسلامی است. کاشف حقیقی کسر اعشاری او بوده و اندازه بسیار صحیحی از عدد پی (π) را به دست داده است. نیز روشها و تدبیرهای تازه ای برای عمل حساب و محاسبه اکتشاف کرده بوده است. کتاب مفتاح الحساب وی اساسیترین تألیف از نوع خود در زبان عربی است. یکی از معاصران کاشانی، ابوالحسن بستی، که در کرانه دیگر جهان اسلام یعنی در مراکش زندگی می کرد، نیز راههای تازه ای در زمینه علم عدد گام بر می داشت، و ریاضیدان دیگر مصری، بدرالدین ماردینی، رساله های معتبری در ریاضیات و نجوم تألیف می کرد.
تجدید حیات دوره صفویه در ایران، آخرین مرحله فعالیت نسبتاً گسترده ای در زمینه ریاضیات به شمار می رود، ولی آگاهی جهان خارجی از کارهای این دوره بسیار ناچیز است. معماران و مهندسان مدارس و مساجد و پلهای این زمان همه از ریاضیدانان قابلی بودند. معروفترین چهره ریاضی این قرن، دهم/شانزدهم، بهاءالدین عاملی است. تألیفات ریاضی وی در واقع تلخیص و تحریری از آثار استادان سلف بوده است؛ و همین تألیفات به صورت متنهای استانده (استاندارد) در شاخه های مختلف علم ریاضی از آن زمان به بعد، در مدارس رسمی، درآمد که تحصیل ریاضی منحصر به خواندن «خلاصه ها» شد و تحقیقات جدیدتر و دقیقتر تنها بسته به ابتکار و علاقه افراد بود.
یکی از معاصران بهاءالدین عاملی، ملا محمد باقر یزدی، که در آغاز قرن دهم/شانزدهم، شکوفان شد، مطالعات و تحقیقات اصیل و ابتکاری در ریاضیات داشته است. حتی بعضی از ریاضیدانان متأخر بر این عقیده اند که وی بالاستقلال لوگاریتم را کشف کرده بوده است، ولی این ادعا هنوز کاملاً مورد تحقیق و تأیید قرار نگرفته است. پس از یزدی، ریاضیات اساساً محصور در چارچوبی ماند که استادان سلف این علم مقرر داشته بودند. به ندرت چهره های برجسته ای دیده می شد، همچون چند تن از افراد خاندان نراقی کاشان که چندین رساله در ریاضیات تألیف کردند، یا ملاعلی محمد اصفهانی از قرن سیزدهم/نوزدهم، که حل عددی معادلات درجه سوم را به دست داده است. در این دوره معدودی ریاضیدان هندی برجسته نیز پیدا شدند. ولی چون به طور کلی سخن گفته شود، نیروی پژوهش اجتماع اسلامی تقریباً به صورت کاملی متوجه به مسائل عرفان و ما بعدالطبیعه شد؛ ریاضیات، جز در موارد استعمال آن در زندگی روزانه، اساساً به عنوان نردبانی برای صعود به جهان معقولات ما بعدالطبیعی به کار گرفته می شد. به این ترتیب، ریاضیات همان وظیفه ای را انجام می داد که اخوان الصفا و بعضی از صاحبنظران دیگر قدیم، علت وجودی آن را، انجام دادن همان وظیفه می دانستند.
برای آوردن خلاصه ای از کارهایی که علمای مسلمان در ریاضیات کرده اند، باید گفت که مسلمانان قبل از هر چیز نظریه اعداد را، هم از لحاظ ریاضی و هم از لحاظ ما بعدالطبیعی تکمیل کردند. مفهوم عدد را به ماورای آنچه شناخته یونانیان بود گسترش دادند. و نیز روشهای محاسبه عددی نیرومندی طرح ریختند که در اواخر و در زمان غیاث الدین کاشانی در قرنهای هشتم/چهاردهم و نهم/پانزدهم به اوج خود رسید. همچنین در رشته های عددی و کسرهای اعشاری و شاخه های مشابهی از ریاضیات وابسته به عدد کار کردند. علم جبر را گسترش دادند و به آن نظم و ترتیب علمی بخشیدند، گو اینکه پیوسته رشته ارتباط آن را با هندسه محفوظ نگاه داشتند. کارهای یونانیان را در هندسه مسطحه و هندسه مجسمه ادامه دادند. بالاخره مثلثات مسطحه و مجسمه را تکمیل کردند، و برای توابع مثلثاتی جدولهای صحیح فراهم آوردند و چند تابع مثلثاتی را کشف کردند. از این گذشته، با آنکه علم مثلثات از آغاز پیدایش همراه با علم نجوم رشد و توسعه پیدا کرده بود، نخستین بار توسط نصیرالدین طوسی در کتاب شکل القطاع او به حد کمال رسید و عنوان علم مستقلی پیدا کرد، و این خود پیشرفت بزرگی را در ریاضیات قدیم نمایش می دهد.
پس گوییم که: آغاز فلسفه دوستی دانشهاست، و میانه آن شناختن حقایق موجودات به اندازه توانایی آدمی، و پایان آن، کار کردن بنابر علمی که به دست آمده.
و علوم فلسفی بر چهار نوع است: اول آن ریاضیات است، و دوم منطقیات، و سوم علوم طبیعیات، و چهارم علوم الاهیات.
و ریاضیات مشتمل بر چهار نوع است: اول آن ارثماطیقی است، و دوم جومطریا(=علم هندسه)، و سوم اسطرنومیا(=علم نجوم)، و چهارم موسیقی.
موسیقی شناختن تألیف و هماهنگی (اصوات) است و به وسیله آن، اصول الحان استخراج می شود؛ و اسطرنومیا علم ستارگان است از طریق برهانهایی که در کتاب المجسطی آمده است؛ و جومطریا علم هندسه است از طریق برهانهایی که در کتاب اقلیدس آمده است؛ و ارثماطیقی شناخت خواص اعداد است. و شناخت آن معانی موجودات که با این اعداد مطابق است و فیثاغورس و نیکوماخوس از آنها یاد کرده اند...
سپس بدانکه هیچ عددی نیست که خاصیتی یا چندین خاصیت نداشته باشد؛ و خاصیت به معنی صفتی است که مخصوص موصوف است و غیر آن باوی شریک نیست. خاصیت واحد، چنانکه پیش از این گفتیم، آن است که اصل و منشأ همه اعداد است، و همه اعداد زوج و فرد را می شمارد؛ و خاصیت دو آن است که مطلقاً نخستین عدد است و نصف اعداد، یعنی زوجها نه فردها را می شمارد؛ و خاصیت سه آن است که اول اعداد فرد است و ثلث شماره اعداد را می شمارد که بعضی از آنها زوج است و بعضی فرد؛ و خاصیت چهار آن است که نخستین عدد مجذور است؛ و خاصیت پنج آن است که نخستین عدد دایره ای است و آن را کروی گویند؛ و خاصیت شش آن است که نخستین عدد تام است؛ و خاصیت هفت آن است که اولین عدد کامل است؛ و خاصیت هشت آن است که نخستین عدد مکعب است؛ و خاصیت نه آن است که نخستین عدد فرد مجذور است، و دیگر اینکه آخرین مرتبه آحاد است؛ و خاصیت ده آن است که نخستین مرتبه عشرات است؛ و خاصیت یازده آن است که نخستین عدد اصم (4) است؛ و خاصیت دوازده آن است که نخستین عدد زاید است. (5)
بدان ای برادر- که خدا به روح خود تو و ما را یاری کناد که خدا، جل ثناوه، چون همه آفریده ها را آفرید و به هر چیز هستی بخشید، آنها را به کیفیتی مرتب ساخت و به وجود آورد شبیه به کیفیت پیدایش اعداد از واحد، بدان سان که کثرت آفریده ها گواهی از وحدت او است، و طبقه بندی و نظم و ترتیب آنها نشانه ای از کمال حکمت او در آفرینش است. تا گواهی باشد بر اینکه آفریده ها به همان صورت به او بستگی دارند که اعداد به واحد، که بر آنها مقدم است، و اصل و منشأ اعداد است، بستگی دارد، و این مطلب را ما در رساله حساب خود به اثبات رسانیده ایم. و چون خدا - جل ثناوه، از هر جهت و به هر معنی واحد حقیقی است، ممکن نیست که آفریده ها که ساخته اویند واحد حقیقی باشند. بلکه لازم است که واحد متکثر و دوگانه و مزدوج باشد- از آن جهت که خالق، جل ثناوه، که نخست با فعل واحد، مفعول واحدی را آفرید متحد با فعل خود که علت العلل است، در حقیقت آن مفعول، واحد حقیقی نبود بلکه در آن دوگانگی وجود داشت. و بدین جهت است که می گویند که او چیزها را دوگانه و جفت آفرید، و این ثنویت را قانون آفریده ها و اصل هستیها قرارداد.
و به همین جهت است که فیلسوفان و حکیمان گفته اند: هیولی و صورت؛ و بعضی از آنان گفته اند: نور و ظلمت؛ و بعضی دیگر ایجاب و سلب و بعضی دیگر اثبات و نفی؛ و بعضی دیگر روحانی و جسمانی؛ و بعضی دیگر لوح و قلم؛ و بعضی دیگر فیض و عقل؛ و بعضی دیگر مهروکین؛ و بعضی دیگر حرکت و سکون؛ و بعضی دیگر وجود و عدم؛ و بعضی دیگر روح و نفس؛ و بعضی دیگر کون و فساد؛ و بعضی دیگر دنیا و آخرت؛ و بعضی دیگر علت و معلول؛ و بعضی دیگر آغاز و انجام؛ و بعضی دیگر قبض و بسط.
و بر همین قیاس چیزهای فراوانی را در طبیعت می بینیم که جفت یا متضاد است، مانند: متحرک و ساکن؛ آشکار و نهان؛ بلند و پست؛ ظاهر و باطن؛ زبر و زیر؛ بیرون و درون؛ کثیف و لطیف؛ گرم و سرد؛ ترو خشک؛ زاید و ناقص؛ جماد و نامی؛ ناطق و صامت؛ نر و ماده؛ و همه متقابلهایی که یک جفت را می سازند.
و چنین است گردش احوال همه موجودات از حیوان و نبات، مانند: زندگی و مرگ؛ خواب و بیداری؛ بیماری و تندرستی؛ لذت و رنج؛ قحطی و فراوانی؛ شادی و غم؛ خوشحالی و بدحالی؛ صلاح و فساد؛ زیان و سود؛ خیر و شر؛ سعد و نحس؛ و ادبار و اقبال.
و نیز بر همین منوال است امور وضعی و شرعی، همچون: امر و نهی: وعد و وعید؛ تشویق و تهدید؛ طاعت و معصیت؛ ستایش و نکوهش؛ پاداش و مجازات؛ حلال و حرام؛ حدود و احکام؛ صواب و خطا؛ نیک و بد؛ و راست و دروغ ...
بدان ای برادر، که چون مطابق حکمت نبوده است که همه چیزها دوگانه و جفت بوده باشد، بعضی چیزها به صورت سه گانه و چهارگانه و پنجگانه و ششگانه و هفتگانه آفریده شده اند، و همین طور تا بینهایت...
بدان ای برادر، که همه چیزها از دو نوعند، نه بیشتر و نه کمتر: کلی و جزئی. کلیات نه درجه دارند که ترتیب آنها محفوظ و نظام آنها ثابت و همچون آحاد نه گانه است: اول آن خالق یکتا، جل ثناوه، است؛ پس از آن عقل است که دارای دو قوت است؛ پس از آن نفس است که متصف به سه صفت است؛ پس از آن ماده اولی است مشتمل بر چهار نسبت؛ سپس طبیعت است که پنج نام دارد؛ سپس جسم است که شش جهت دارد؛ سپس آسمانهاست که هفت مدبر دارند؛ سپس عناصر است که هشت مزاج دارند؛ سپس مرکبات است که مشتمل بر نه نوعند: (6)
بدان ای برادر- که خدا ما و تو را به روح خود یاری کناد- نگریستن در هندسه حسی به کاردانی در صنایع عملی می انجامد، و نگریستن در هندسه عقلی به کاردانی در صنایع علمی، چه این علم یکی از دروازه هایی است که سبب شناختن جوهر نفس می شود، و شناختن جوهر نفس ریشه علوم است و عنصر حکمت و اصل همه صنایع علمی و عملی...(7)
کتاب الجبر و المقابله، تألیف محمد بن موسی الخوارزمی.
به نام خداوند بخشاینده مهربان، این کتابی است که محمد بن موسی خوارزمی پی افکنده و در سر آغاز چنین گوید: خدای را سپاس بر نعمتهایش، بدان گونه که شایسته او است؛ سپاس آن چنان که اگر بر آیینی که بر بندگان ستایشگر او فرض شده انجام شود، «شکر» نامیده می شود و باعث افزونی نعمت می گردد و ...
چون به مشکلات و نیازمندیهای مردم در مورد علم حساب نگریستم، دریافتم که تمام آن مشکلات در عدد خلاصه شده؛ و فهمیدم که تمام اعداد از واحد ترکیب می شوند، و این واحد در تمام اعداد موجود است؛ و دانستم که تمام اعداد، از یک تا ده، از طریق واحد به دست می آید، و آنگاه عدد ده را، به همان شیوه ای که در واحد عمل می شود، دو چندان و سه چندان می کنند تا بیست و سی به دست آید، و بر همین قیاس به صد می رسد. سپس صد را مانند یکان و دهگان دو چندان و سه چندان می کنند تا به هزار برسد، و پس از آن، مرتبه هزار را بر همین قیاس بالا می برند، یعنی در رأس هر عقدی افزون می شود تا به آخرین عدد قابل ادراک برسد.
و نیز دریافتم که اعدادی که در حساب جبر و مقابله به وجود آنها نیاز است، سه نوع هستند: جذرها و مالها و عدد مفردی که به جذری یا مالی نسبت ندارد. جذر هر چیزی است که در یک یا چند برابر خود یا در کسری از خود ضرب شده باشد؛ مال چیزی است که از حاصل ضرب این جذر در خودش به دست آید؛ و عدد مفرد هر عددی است که بدون نسبت به جذر یا مال بر زبان آید.
ممکن است از این اقسام سه گانه برخی با برخی دیگر برابر شوند، چنانکه گویی: چند مال برابر با چند جذر است؛
چند مال با عددی برابر است؛
چند جذر با عددی برابر است.
اما مالهایی که با جذرهایی برابر شوند، مانند آنکه گویی: مالی با پنج جذر آن برابر است. نتیجه چنین می شود که جذر این مال پنج است و اصل مال بیست و پنج که پنج برابر جذر خود می باشد.
مثال دیگر: یک سوم مالی برابر با چهار جذر است. معلوم است که تمام مال دوازده جذر خواهد بود که می شود صد و چهل و چهار، و بنا بر این جذر آن دوازده است.
مثال دیگر: پنج مال برابر با ده جذر است. نتیجه آن است که یک مال برابر است با دو جذر، پس جذر مال دو است و مال چهار.
و به همین ترتیب، هر چه مال بزرگتر یا کوچکتر از واحد باشد، به واحد باز گردانیده می شود، و در مورد جذرهایی که با مالها برابرند نیز چنین عمل می کنیم...
مسئله ششم: چیست که اگر یک سوم آن در یک چهارم آن ضرب شود، خود آن به اضافه بیست و چهار واحد به دست آید؟
راه حل چنین است: مجهول را شیء فرض می کنی، و چون ثلث شیء را در ربع شیء ضرب کنی، می شود نصف یک ششم مال که باید برابر با خود شیء به اضافه بیست و چهار واحد باشد. برای آنکه مال را تمام کنی(یعنی به واحد بازگردانی)، نصف یک ششم مال را در دوازده ضرب می کنی ( که می شود یک مال)، و شیء را در دوازده ضرب می کنی که می شود دوازده شیء، و بیست و چهار را نیز در دوازده ضرب می کنی که می شود دویست و هشتاد و هشت، پس (مسئله بدین صورت در می آید که) دویست و هشتاد و هشت به اضافه دوازده جذر برابر است با یک مال. نصف جذرها را که شش است در خود ضرب کن و آن را بر دویست و هشتاد و هشت بیفزا که می شود سیصد و بیست و چهار. جذر آن را بگیر که هجده است، و آن را بر نصف جذرها که شش است بیفزا تا بیست و چهار به دست آید که همان مال مطلوب است. چنانکه ملاحظه می شود، این مسئله تو را به یکی از ابواب ششگانه رهنمونی کرد که در آن از برابری جذرها و عددی با مالها سخن گفته بودیم.(8)
خیام، در زمان خود، نه تنها به عنوان استادی در علوم ریاضی و پیروی از فلسفه یونانی، و بالخاصه از مکتب ابن سینا، شناخته می شد، بلکه او را به عنوان یکی از متصوفان نیز می شناختند. با آنکه در معرض حمله بعضی از ارباب قدرت دینی، و حتی بعضی از صوفیان قرار گرفته بود که بیشتر در بند ظاهر بودند، باید او را عارفی دانست که در پشت شکاکیگری ظاهری وی، یقینی مطلق از یک کشف و شهود عقلانی وجود داشته است. پیوستگی وی با صوفیان از آنجا آشکار می شود که در سلسله مراتب اصحاب معرفت آنان را در بالاترین رتبه قرار داده است.
در خیام چندین چشم انداز اسلام با یکدیگر متحد شده است. وی صوفی بود و شاعر و فیلسوف و منجم و ریاضیدان. بدبختانه، ظاهراً کم چیز نوشته، و از آن اندک نیز برخی مفقود شده است. با وجود این، آثار بازمانده از او که علاوه بر رباعیات مشتمل است بر رساله هایی در وجود و کون و فساد و کلیات علم و ترازو و ما بعد الطبیعه، و نیز تألیفات ریاضی مشتمل بر تحقیق در اصل موضوع اقلیدس و حساب و جبر- برای نمایاندن مقام جهانی او در علم کفایت می کند. جبر خیام یکی از برجسته ترین متون ریاضی قدیم به شمار می رود، معادلات را تا درجه سوم مورد بحث قرار داده و آنها را طبقه بندی و حل (معمولاً به طریق هندسی) کرده است؛ همه جا ارتباط میان مجهولات و اعداد و اشکال هندسی و، از این طریق، حلقه اتصال میان ریاضیات را با معنای مابعدالطبیعی که از خصوصیات هندسه اقلیدسی است، محفوظ نگاه داشته است.
آنچه پس از این نقل می شود، گزیده هایی از چهار بخش اول کتاب جبر او است؛ از قسمتهای بسیار مهم بعد از آن که درباره مسائل مختلف درجه دوم و درجه سوم بحث می کند، بیشتر از جهت دشواری که برای خواننده عادی دارد چیزی در اینجا نیاورده ایم.
و من همواره سخت اشتیاق به تحقیق استدلالی این اصناف و جدا کردن حالات ممکن و ممتنع هر صنف داشتم، چون می دانستم که این امر در حل مسائل دشوار شدیداً مورد احتیاج است. لکن تصاریف زمان همواره با پیشامدهایی همراه بود که پرداختن به این امر را به عهده تعویق می انداخت، و برای من فراغتی نمی گذاشت که صرف تدوین این مطلب کنم و فکر خود را بر آن متمرکز سازم. زیرا ما گرفتار روزگاری هستیم که از اهل علم فقط عده کمی، مبتلی به هزاران رنج و محنت، باقی مانده، که پیوسته در اندیشه آنند که غفلتهای زمان را فرصت جسته به تحقیق در علم و استوار کردن آن بپردازند. و بیشتر عالم نمایان زمان ما حق را جامه باطل می پوشند. و گامی از حد خودنمایی و تظاهر به دانایی فراتر نمی نهند. و آنچه را هم می دانند جز در راه اغراض مادی پست به کار نمی برند. و اگر ببینند که کسی جستن حقیقت و برگزیدن راستی را وجهه همت خود ساخته، و در ترک دروغ و خودنمایی و مکر و حیله جهد وسعی دارد، او را خوار می شمرند و تمسخر می کنند. و در هر حال خدا یاری دهنده و پناه همه است. و چون خدای تعالی نعمت پیوستگی به آستان سرور بزرگ بیهمتا، قاضی القضات، امام سید ابوطاهر را، که خداوند بزرگیش را همواره برقرار دارد و حسودان و دشمنانش را مقهور فرماید، به من ارزانی داشت- و این پس از آن بود که از دیدن کسی چون او، که در همه فضایل علمی و نظری و در جمع بین موشکافی در علوم و پایداری در اعمال و خیرخواهی برای هر فردی از همنوعان خود کامل باشد، مأیوس شده بودم- قلبم به دیدار او باز و نامم به مصاحبت او بزرگ شد، و در پرتو انوار وی کارم بالا گرفت، و به انعام و الطاف او پشتگرمی یافتم. پس، برای نزدیکی جستن به مجلس بلندپایه او چاره جز آن ندیدم که، با تلخیص زبده های حقایق فلسفی که راستی و درستی آنها را معلوم کرده بودم، فرصتی را که سختیهای روزگار از من گرفته بود تلافی کنم، و این کار را با تنظیم این اصناف از مقدمات جبری آغاز کردم- چون ریاضیات به تقدیم سزاوارتر است- و در این امر به ریسمان توفیق الاهی چنگ زدم، و از او چشم امید دارم که مرا به ادامه این کار موفق بدارد تا نتیجه بحث خود و بحث پیشینیانم را در علومی که اهم از دیگر علوم است به درستی تعیین کنم، و در این امر به دستاویز محکم پروردگار که حافظ ما از خطاهاست چنگ می زنم، که البته اجابت دعا در دست او و در همه حال توکل بر اوست.
به یاری خدا و توفیق نیک وی، گویم که فن جبر و مقابله فنی است علمی که موضوع آن عدد مطلق و مقادیر سنجش است از آن جهت که مجهول اند، ولی مرتبط با چیز معلومی هستند که به وسیله آن می توان آنها را استخراج کرد. و این چیزها کمیتی است، و یا رابطه ای که بستگی معلوم و مجهول منحصر به آن است، و از بررسی و تحلیل مجهولات موضوع مسئله استنباط می شود. (9)
مطلوب علم جبر عوارضی است که به موضوع آن، از آن جهت که – به شرح مذکور- موضوع آن است، ملحق می شود. و کمال علم جبر آگاهی از طرق ریاضی است که به وسیله آنها نوع مذکور از استخراج مجهولات عددی یا هندسی فهمیده می شود.
و (مقصود از) مقادیر کمیتهای متصل است، و آن – بنابر آنچه به اجمال در قاطیغوریاس و به تفصیل در حکمت اولی مذکور است- چهار است: خط، سطح، جسم، و زمان. و جماعتی مکان را نوعی قسیم سطح در تحت جنس متصل می شمارند (10) ، ولی بررسی دقیق بطلان این رأی را آشکار می سازد، و درست این است که مکان سطحی است در حال خاصی، ولی تحقیق در این امر خارج از موضوع بحث ماست.
و عاده زمان را در موضوعات مسائل جبر نمی آورند، ولی ذکر آن در این باب جایز است.
(بعضی اصطلاحات جبریها-) و عادت جبریها این است که در فن خود مجهولی را که می خواهنداستخراج کنند شیء نامند و حاصل ضرب آن را در مثل خودش مال و حاصل ضرب مال آن را در آن (یعنی در آن شیء) کعب و حاصل ضرب کعب آن را در مثل آن (شیء) مال مال، و حاصل ضرب کعب آن را در مال آن مال کعب، و حاصل ضرب کعب آن را در مثل آن (کعب) کعب کعب، و به همین قیاس تا هر مرتبه که پیش رویم.
و از کتاب اوقلیدس در اصول معلوم است که این مراتب جملگی متناسب اند، یعنی نسبت واحد به جذر مثل نسبت جذر به مال و مثل نسبت مال به کعب است. پس نسبت عدد به جذرها مثل نسبت جذرهاست به مالها و مثل نسبت مالهاست به کعبها و مثل نسبت کعبهاست به مال مالها، و هکذا تا هر مرتبه که پیش رویم.
(مرتبه تعلیمی این رساله-) و باید دانست که این رساله را جز کسی که بر کتاب اوقلیدس در اصول و کتاب وی در معطیات و دو مقاله (اول) کتاب آپولونیوس در مخروطات مسلط باشد نمی فهمد، و همانا کسی که از دانستن یکی از این سه (کتاب) بازمانده راهی برای دانستن این رساله ندارد، و من این زحمت را بر خود هموار کرده ام که درین رساله جز به آن کتابهای سه گانه توسل نجویم.
(معادله-) و استخراجهای (مجهولات به علم) جبر به وسیله معادله انجام پذیرد، و آن، بنابر مشهور، معادله برخی از این مراتب (11) است با بعضی از آنها. و هر گاه جبری مال مال را در مسائل مربوط به مقادیر هندسی به کار برد، البته این استعمال بر سبیل مجاز است، نه از راه حقیقت، زیرا وجود مال مال در مقادیر ممکن نیست، و آنچه در مقادیر پیش می آید، یا یک بعد است، و آن جذر یا – هر گاه نسبت به مربعش (، یعنی مربعی که این بعد ضلع آن باشد،) ملحوظ شود- ضلع است؛ و پس از آن دو بعد می آید، و آن جسم است، و مکعب در مقادیر همانا جسمی است که شتر مربع به آن محیط باشند؛ و چون بعد دیگری نیست، مال مال در مقادیر وارد نمی شود، چه رسد به مراتب بالاتر از آن، ( و هر گاه مال مال در مقادیر گفته شود، این گفته در باب عدد اجزای مقدار است در صورت اندازه گیری، نه در باب خود آن مقدار که اندازه گیری شده است) (12)، و این دو اطلاق متفاوتند. پس مال مال، نه بالذات و نه بالعرض، در مقادیر وارد نمی شود، و مانند زوج بودن و فرد بودن نیست، زیرا زوجیت و فردیت به اعتبار عددی که اتصال مقادیر را منفصل می کند (احیاناً) عارض مقدار می شوند.
(خلاصه مندرجات و روش مؤلف درین رساله-) و آنچه ازین معادلات چهارگانه هندسی- یعنی اعداد مطلق و اضلاع و مربعها و مکعبها- در کتب جبریها آمده است سه معادله است بین عدد و اضلاع و مالها (13) و اما ما به زودی راههایی خواهیم آورد که به وسیله آنها می توان مجهول را از معادلات بین چهار مرتبه ای که گفتیم زاید بر آنها در مقادیر واقع نمی شود- یعنی عدد و شیء و مال و کعب- استخراج کرد.
و آنچه (ازین معادلات) که اثبات (طریق حل) آن به وسیله خواص دایره- یعنی به وسیله کتاب اوقلیدس در اصول و در معطیات ممکن است مبرهن خواهد گردید، و منتهای کوشش در آسان کردن براهین خواهد شد. و آنچه اثباتش جز به خواص قطوع مخروطی ممکن نیست به وسیله دو مقاله کتاب مخروطات مبرهن خواهد گشت، و اما اثبات (حل) این اصناف وقتی موضوع مسئله عدد مطلق باشد- جز در سه مرتبه اول، و آن (معادله بین) عدد و شیء و مال است بر ما و بر دیگر علمای جبر ممکن نشده است، و شاید دیگران که بعد از ما آیند بر آن وقوف یابند. و من گاهی در مسائلی که می توان از کتاب اوقلیدس برهان برای (حل) آنها آورد اشاره به براهین عددی می کنم. و باید دانست که وقتی موضوع مسئله عدد باشد، نه مقادیر هندسی، برهان هندسی راهها (ی حل معادلات) جای براهین عددی را نمی گیرد، و شاهد برین مطلب این است که اوقلیدس در مقاله پنجم کتاب (اصول) خود برای احکامی در باب نسبتهای بین مقادیر برهان آورده، و سپس عین همین احکام را در نسبتهای بین اعداد در مقاله هفتم از نو ثابت کرده است.
(طبقه بندی معادلات-) و معادلات بین این چهار(مرتبه)(14) به مفردات و مقترنات تقسیم می شود.
(مفردات-) و مفردات شش صنف است: (الف) عددی معادل جذری است؛ (ب) عددی معادل مالی است؛ (ج) عددی معادل کعبی است؛ (د) جذرهایی معادل مال است؛ (ه) مالهایی معادل کعب است؛ (و) جذرهایی معادل کعب است. و سه صنف از این اصناف ششگانه در کتابهای جبریها مذکور است، و آنان چنین گفته اند که نسبت شیء با مال مثل نسبت مال به کعب است. پس لازم می آید که معادله مال با کعب مثل معادله شیء با مال باشد. و نیز (گفته اند که) نسبت عدد به مال مثل نسبت جذر به کعب است. و این احکام را به طریق هندسی ثابت نکرده اند. و اما در معادله بین عدد و مکعب، برای استخراج عددی ضلع مکعب راهی جز استقراء نداریم، و اما حل هندسی (این صنف) جز با قطوع مخروطی ممکن نیست.
(مقترنات-) و اما مقترنات بعضی سه تایی و برخی چهارتایی است. اما مقترنات سه تایی دوازده صنف است. سه صنف اول مقترنات سه تایی عبارت است از: (الف) مالی و جذری معادل عددی است؛ (ب) مالی و عددی معادل جذری است؛(ج)جذری و عددی معادل مالی است. و این سه صنف در کتابهای علمای جبر مذکور و حل هندسی آنها مبرهن است، ولی برای حل عددی آنها برهانی نیاورده اند. و سه صنف دوم مقترنات سه تایی عبارت است از: (الف) کعبی و مالی معادل جذری است؛ (ب) کعبی و جذری معادل مالی است؛ (ج) جذری و مالی معادل کعبی است.
و جبریها گفته اند که این سه صنف دوم هر یک با نظیر خود از صنف اول متناسب است، یعنی معادله کعب و جذر با مال در حکم (معادله) مال و عدد با جذر است، و هکذا در مورد سایرین. و این احکام را وقتی موضوع مسائل، مقادیر هندسی باشد ثابت نکرده اند، و اما اگر موضوع مسائل، عدد باشد، این احکام از کتاب اصول آشکار است، و من به زودی برای آنها برهان هندسی خواهم آورد. اما شش معادله دیگر از اصناف دوازده گانه : (الف) کعبی و جذری معادل عددی است؛ (ب) کعبی و عددی معادل جذری است؛ (ج) عددی و جذری معادل کعبی است؛ (د) کعبی و مالی معادل عددی است؛ (ه) کعبی و عددی معادل مالی است؛ (و) عددی و مالی معادل کعبی است. و در باب این شش صنف در کتب جبریها سخنی نیست مگر کلامی ناقص در باب یکی از آنها، و من به زودی آنها را توضیح داده برهان (حل) هندسی- نه عددی- آنها را خواهم آورد، و برهان این شش صنف جز به وسیله خواص قطوع مخروطی ممکن نیست.
و اما مقترنات چهارتایی بر دو قسم است. یکی (از دو قسم مقترنات چهارتایی)، که قسم اول باشد، آن است که در آن سه مرتبه معادل یک مرتبه (دیگر) باشد، و آن چهار صنف است: (الف) کعبی و مالی و جذری معادل عددی است؛ (ب) کعبی و مالی و عددی معادل جذری است؛ (ج)کعبی و جذری و عددی معادل مالی است؛ (د) کعبی معادل جذری و مالی و عددی است. و قسم دوم آن است که در آن دو مرتبه معادل دو مرتبه دیگر باشد، و آن سه صنف است: (الف) کعبی و مالی معادل جذری و عددی است؛ (ب) کعبی و جذری معادل مالی و عددی است: (ج) کعبی و عددی معادل جذری و مالی است. و اصناف هفتگانه چهارتایی همینهاست، و ما را راهی به حل هیچ یک جز به طریق هندسی نیست. و اما یکی از پیشینیان ما نیازمند نوعی از انواع یکی از اصناف شد که به زودی آن را خواهیم گفت. و برهان (حل) این اصناف جز به وسیله قطوع مخروطی انجام پذیر نیست.
و من به زودی یک یک این اصناف بیست و پنجگانه را می آورم و (راه حل) هر یک را ثابت می کنم، و درین کار از خداوند یاری می جویم، چون وی هر کس را که خالصانه به او توکل کند هدایت و از دیگران مستغنی می فرماید.
صنف اول مفردات آن است که جذری معادل عددی باشد. پس جذر ناچار معلوم است، و حکم این (معادله) در اعداد و در مقادیر هندسی یکسان باشد.
صنف دوم آن است که عددی معادل مالی باشد. پس مال از جنبه عددی معلوم است، زیرا معادل عدد معلوم است، و برای دانستن جذر آن راه عددی نداریم جز استقراء؛ زیرا آن کس که می داند جذر بیست و پنج پنج است، البته این مطلب را از همین طریق می داند نه بر طبق قانونی ( از علم حساب یا جبر). پس توجهی به گفته کسانی از جبریها که درین باب با ما اختلاف نظر دارند نمی کنیم. و هندیان را در استخراج جذر و کعب طریقه ای است مبتنی بر اندک استقرایی و آن شناسایی مربعات اعداد نه گانه – یعنی مربع یک و دو و سه (... تا نه )- و نیز حاصل ضرب بعضی در بعضی است؛ یعنی حاصل ضرب دو در سه و امثال آن. و ما را کتابی است در براهین درستی این راهها و منجر شدن آنها به مطلوب، و ما انواع این طریقه ها را افزون کرده ایم؛ یعنی استخراج مال مال و مال کعب و کعب کعب و غیره را بر آنها افزوده ایم. و این اضافات، تازه است. و این براهین ( که به آنها اشاره شد) براهینی عددی و مبتنی بر قسمتهای مربوط به علم حساب در کتاب اسطقسات است.
و برهان هندسی (حلّ) صنف دوم چنین است. خط AB را مفروض و مساوی عدد مفروض و AC را واحد و عمود بر AB قرار می دهیم، و مستطیل AD را تمام می کنیم. پس معلوم است که مساحت مستطیل AD مساوی عدد مفروض است. سپس-بنابر آنچه اوقلیدس در شکل چهاردهم از مقاله دوم کتاب خود ثابت کرده- سطحی به شکل مربع (که مساحت آن) مساوی مستطیل AD (باشد) می سازیم، و آن مربع E است. پس مربع E مساوی عدد مفروض و لهذا معلوم است، و بالنتیجه ضلع آن نیز معلوم می باشد ( در برهانی که اوقلیدس در شکل مذکور آورده تأمل کنید)، و این همان است که می خواستیم.
(تعریف-) و هر وقت درین رساله گوییم که عددی مساوی سطحی است، در چنین موردی، مقصود ما از عدد، سطحی است (چهار ضلعی) که زوایای آن قائمه باشند، و یکی از دو ضلع (مجاور) آن واحد باشد، و دیگری از حیث اندازه مساوی عدد مفروض باشد، به طوری که هر یک از اجزای اندازه آن مساوی ضلع دوم (یعنی آنکه واحد فرض کرده ایم) باشد...
اگر مسئله عددی باشد ( برای امکان آن) این دو شرط باید برقرار باشد؛ یکی از آنها اینکه عده جذرها عدد زوجی باشد تا نصف داشته باشد، و دوم اینکه مجموع مربع نصف (عده ی) جذرها با عدد مربع (کامل) باشد، والا مسئله از جنبه عددی غیر ممکن است. اما از جنبه هندسی هیچ یک از مسائل این صنف ممتنع نیست، و چون برهان هندسی (حل) این صنف صورت پذیرد برهان آن از جنبه عددی آسان خواهد بود، و برهان هندسی آن چنین است:
فرض می کنیم که مربع AC با ده جذر آن معادل سی و نه عدد باشد، و سطح CE (مساوی) ده جذر آن باشد. پس خط DE ده خواهد بود. و این خط را در Z نصف می کنیم. حال چون خط DE در Z نصف شده و AD در امتداد آن بر آن افزوده شده، ( بنا بر شکل ششم مقاله دوم اصول،) حاصل ضرب EA در AD، که مساوی سطح EB است، بعلاوه مربع DZ مساوی مربع ZA است. اما مربع DZ که مساوی نصف (عده ی) جذرهاست معلوم است، و سطح BE که عدد مفروض است معلوم می باشد. پس مربع AZ معلوم و (بالنتیجه خط AZ معلوم است، ) و چون ZD از آن کاسته شود، باقیمانده، که AD باشد، معلوم خواهد بود.(16)
12- عبارت داخل ( ) را به عنوان ترجمه عبارت ذیل از خیام آورده ایم:
و اذا قیل مال المال فی المقادیر فانما یقال ذلک لعدد اجزائها عند المساحه لا لذواتها ممسوحه.
ظاهرا مقصود خیام این است که اگر از «مال مال» یک قطعه خط، یعنی قوه چهارم آن، صحبت شود، قوه چهارم عددی است که نماینده طول آن قطعه است نه قوه چهارم آن قطعه. مؤید این تفسیر سخن خیام است در رساله تحلیل (60402 SS: «اطلاق الفاظ مال مال... بر مقادیر متصل از جهت اطلاق عدد بر این مقادیر است.»
13- مقصود سه معادله
x²+ bx = a و x²+a=bx, a²=a+bx
است. خیام معادلات bx=x²,a=x²,a=x را که در آثار پیشینیان آمده از قلم انداخته ولی بعداً در طبقه بندی آورده است.
14- عدد، شیء، مال، کعب.
15- صورت معادله x²+bx= a و جوابی که خیام می دهد این است:
منبع: نصر، سید حسین؛ (1351) علم و تمدن در اسلام، ترجمه احمد آرام، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ چهارم.
عدد فیثاغورسی، که مفهوم سنتی عدد است، تصویری است از وحدت، و نموداری است از مبدأ و مرکز که به نحوی هرگز اصل و منشأ خود را ترک نمی کند. عدد، از لحاظ کمیتی خود، ممکن است تقسیم و تجزیه شود؛ ولی از لحاظ کیفی و رمزی کثرت را به وحدت باز می گرداند و به آن کمال می بخشد. و نیز عدد، بنابر ارتباط نزدیکی که با اشکال هندسی دارد، یک «شخصیت» است: مثلاً سه، متناظر با مثلث است و هماهنگی را مجسم می سازد، در صورتی که چهار، که با مربع بستگی دارد، نمودار پایداری است. چون به اعداد در این چشم انداز نظر شود، شبیه دایره های متعدد متحدالمرکز می شوند که از راههای گوناگون از مرکز مشترک و تغییرناپذیر خود خبر می دهند. به سوی خارج «توسعه نمی یابند»، بلکه با ارتباط وجودی که پیوسته با واحد دارند، متحد با مبدأ خود باقی می مانند. در مورد اشکال هندسی نیز چنین است، که هر یک از آنها نمودار سیمایی از وجود است. اکثر ریاضیدانان مسلمان، همانند فیثاغورسیان، هرگز علم ریاضی را به عنوان یک موضوع کمی محض دنبال نمی کردند، و نیز اعداد را از اشکال هندسی که «شخصیت» آنها را قابل تصور می سازد جدا نمی شمرده اند. از این امر خوب آگاهی داشتند که ریاضیات از لحاظ قطبیت درونی خود، همچون نردبانی به سوی آسمان است که، به رهبری فلسفه اولی، می تواند شخص را به جهان نمونه های اعلی و نفس وجود برساند، اما، چون از سرچشمه و منشأ خود جدا ماند، به جای آن، وسیله هبوط به جهان کمیت و به قطبی می شود که، تا آن اندازه که شرائط ظهور مراتب وجود روا می دارد، از سرچشمه نورانی همه وجود دور است. انسان نسبت به اعداد نمی تواند خاصیت «بیطرفی» داشته باشد: یا با شناختن سیماهای کیفی و نمادی آنها به عالم هستی محض صعود می کند، یا از طریق آنها، به عنوان عدد محض، به جهان کمیت فرو می افتد. در ریاضیات، بدان صورت که در قرون وسطی مورد بحث قرار می گرفت، تنها نقش اول آن مورد نظر بود. علم اعداد بدان گونه که اخوان الصفا گفته اند، «تأییدی است از عقل به نفس، و نخستین بخششی است که از عقل به نفس افاضه شده است»؛ بعلاوه، به آن همچون «زبانی که از توحید و تنزیه سخن می گوید» نظر می کرده اند.
تحصیل علوم ریاضی در اسلام تقریباً همان موادی را شامل بوده است که مراحل چهار گانه لاتینی Quadrivium را تشکیل می داده اند، و بر آن مقداری تحصیل علم مناظر و معدودی موضوعات فرعی را نیز می افزوده اند. مواد اصلی آن- مانند مراحل چهارگانه- حساب و هندسه و نجوم و موسیقی بوده است. اغلب دانشمندان و فیلسوفان مسلمان این هر چهار را فرا می گرفتند؛ بعضی، مانند ابن سینا و فارابی و غزالی، رساله های مهمی در موسیقی و تأثیر آن در نفس تألیف کرده بودند.
علم نجوم، و خواهر آن احکام نجوم، که تقریباً همیشه با آن بستگی داشت (در عربی، همچون در یونانی، یک کلمه از هر دو موضوع حکایت می کند)، به چند دلیل مورد توجه بود. مسائلی از گاهشماری و تقویم بود که می بایستی به وسیله این علم حل شود؛ یافتن جهت قبله و تعیین اوقات نمازهای روزانه ضرورت داشت؛ وظیفه استخراج طالع برای امیران و فرمانروایان، که تقریباً همیشه در کارهای خود از منجمان مشورت می کردند؛ و نیز میل به تکمیل علم حرکت اجرام سماوی، و حل کردن دشواریهای آن، برای دست یافتن به کمال معرفت در این موضوع.
سنت نجومی اصل، از طریق کتاب المجسطی بطلمیوس، از یونانیان به جهان اسلام رسید. و نیز مکتبی هندی بود که معتقدات آن درباره نجوم، و همچنین حساب و جبر و مقابله و هندسه، از کتب سانسکریت به نام سد هانت به زبان عربی ترجمه شد و نام سند هند گرفت. از این گذشته، بعضی از متون کلدانی و فارسی وجود داشت که اصلهای آنها اکنون از میان رفته است، و همچنین مقداری سنت عربی پیش از اسلام در کار بود. منجمان مسلمان، همان گونه که پیشتر اشاره کردیم، رصدهای چندی کردند و نتایج آنها را در زیجهایی بسیار جامعتر از زیجهای پیشینیان آوردند که تا زمانهای جدید مورد رجوع بود. آنان همچنین مکتب نجوم ریاضی بطلمیوسی را ادامه دادند، و مثلثات کروی ساخته و پرداخته خود را در محاسبه صحیح حرکت افلاک در داخل نظریه فلک تدویر به کار بستند. معمولاً پیرو نظریه زمین مرکزی بودند، ولی، همچنان که بیرونی اشاره کرده است، از منظومه خورشید مرکزی نیز آگاه بودند. و چنانکه ابوریحان خبر داده است، ابوسیعد سجزی حتی اسطرلابی بر مبنای نظریه خورشید مرکزی ساخته بوده است.
نیز نتیجه تأثیر اندیشه های هندی، تکامل و انتظام یافتن علم جبر و مقابله بود. با آنکه مسلمانان با کتاب دیوفانتوس آشنایی داشتند، کوچکترین شکی در این امر نیست که علم جبر، بدان صورت که توسط مسلمانان پرورش و توسعه یافته، ریشه هندی داشته است و علمای اسلامی از ترکیب این ریشه هندی با روشهای یونانی علم جبر و مقابله را به وجود آورده اند. نبوغ و اصالت یونانی در تعبیری است که از نظم و ترتیب محدود عالم و بنابر آن از اعداد و اشکال کرده است؛ چشم انداز حکمت شرقی مبتنی بر نامحدود است که «تصویر افقی» آن متناظر با «بینهایت» ریاضیات است. جبر، که کاملاً وابسته به این چشم انداز مبتنی بر بینهایت است، از کنجکاوی و پژوهش هندی به وجود آمد و در جهان اسلام به کمال خود رسید که در آن پیوسته با هندسه بستگی داشت و همیشه مبنای ما بعد طبیعی خود را حفظ می کرد. علم جبر را، همراه با استعمال ارقام هندی- که اکنون در مغرب زمین به نام «ارقام عربی» شناخته می شود می توان مهمترین علمی دانست که مسلمانان بر مجموعه ریاضیات قدیم افزوده اند. در جهان اسلام، دو سنت ریاضی یونانی و هندی با یکدیگر تلاقی کردند و در ساختمان واحدی متحد شدند که در آن جبر و هندسه و حساب، هم سیمایی معنوی و عقلانی دارا شدند، و هم سیمایی عملی و استدلالی محض، و این سیمای اخیر تنها جزئی از ریاضیات قرون وسطایی است که به میراث به علم متأخر مغرب زمینی رسیده و رشد کرده است و به همان نام ریاضیات خوانده می شود.
اگر بخواهیم درست سخن گفته باشیم، باید بگوییم که تاریخ ریاضیات در اسلام با محمدبن موسی الخوارزمی آغاز می شود، که در آثار وی سنتهای ریاضی یونانی و هندی با هم ترکیب شده است. این ریاضیدان قرن سوم/ نهم چندین اثر از خود بر جای گذاشته که کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابله، که پس از این درباره آن بحث خواهیم کرد، مهمترین آنها بوده است. این کتاب چندین بار، به نام لیبر الگوریسمی (Liber Algorismi) یعنی کتاب الخوارزمی، به لاتینی ترجمه شده است؛ همین ترجمه لاتینی نام خوارزمی است که کلمه انگلیسی «algorism» به معنی حساب و محاسبه و روش محاسبه را از آن گرفته اند.
در پی خوارزمی، در همان قرن، از کندی نخستین فیلسوف اسلامی باید نام برد که در عین حال ریاضیدان شایسته ای نیز بوده و تقریباً در هر یک از شاخه های این علم رساله هایی تألیف کرده بوده است، و نیز از شاگرد او، احمد سرخسی، که بیشتر به آثار جغرافیایی و موسیقیایی و احکام نجومی خود شهرت دارد. و نیز از این دوره است ماهانی که کار تکمیل جبر را ادامه داده و بیشتر به تحقیق در مسئله ارشمیدس شهرت یافته است، و سه پسر شاکر بن موسی محمد و احمد و حسن- که آنان را روی هم رفته به نام «بنوموسی» می شناسند. این هر سه نفر ریاضیدان بودند، و احمد علاوه بر آن فیزیکدان قابلی بود.
در آغاز قرن چهارم/دهم چند مترجم پیدا شدند که در عین حال ریاضیدانان لایقی نیز بودند. برجسته ترین آنان ثابت بن قره است که مخروطات آپولونیوس و چند رساله از ارشمیدس و مدخل علم حساب نیکو ماخوس را ترجمه کرده و خود از قدمای ریاضیدانان مسلمان بوده است. حجم سهمیوار را محاسبه کرد و راه حل هندسی بعضی از اشکال درجه سوم را به دست داد. معاصر وی، قسطابن لوقا، که در تاریخ اسلام متأخر به عنوان مظهر حکمت قدما شناخته شده، نیز مترجم قابلی بود و آثار دیوفانتوس و هرون را به عربی ترجمه کرد.
یکی از ریاضیدانان برجسته دیگر قرن چهارم/دهم ابوالوفاء بوزجانی، شارح کتاب جبر خوارزمی است که معادلات درجه چهارم
از ابن سینا نیز باید به عنوان ریاضیدانی که در این دوره شکوفان شده است، نام ببریم، گو اینکه شهرت او به عنوان فیلسوف و طبیب بسیار بیش از شهرت او به ریاضیدانی است. ابن سینا، همانند فارابی پیش از او، نظریه موسیقی ایرانی زمان خود را تکمیل کرد، و همین موسیقی است که همچون سنتی زنده تا زمان حاضر باقی مانده است. آثار ایشان را کارهایی در «موسیقی عربی» خواندن نادرست است، چه موسیقی ایرانی اساساً به خانواده موسیقی دیگری تعلق دارد که بسیار به موسیقی یونانیان قدیم- و آن موسیقی که فیثاغورس می شنید- شبیه است، و البته در موسیقی عربی و نیز موسیقی اندلس تأثیری داشته، و به نوبه خود از آهنگ و ساختمان این موسیقی نیز تأثر پذیرفته است. همین سنت موسیقی ایرانی است که ابن سینا، و پیش از وی فارابی، نظریه آن را به صورت بحث و تحقیقی در آورده اند و پس از آن عنوان شاخه ای از ریاضیات را پیدا کرده است.
ابن سینا با بیرونی همزمان بود، و بیرونی چند تألیف ریاضی و نجومی بسیار مهم از دوره قرون وسطایی اسلام بر جای گذاشته، و در مسائلی همچون رشته های عددی و تعیین شعاع زمین کار کرده است. معاصر وی، ابوبکر الکرخی (1)، از خود دو اثر اساسی در ریاضیات اسلامی باقی گذاشته است یکی الفخری در جبر، و دیگری الکافی فی الحساب.
قرن پنجم/یازدهم، که در آن سلجوقیان به قدرت رسیدند، با پیدایش فتوری در توجه به ریاضیات در مدارس رسمی مقارن بود، و با وجود این چندین ریاضیدان بزرگ در این دوره وجود داشته اند. بزرگترین ایشان عمر خیام بود و گروهی از منجمان و ریاضیدانان دیگر که با وی در گاهشماری ایرانی تجدیدنظر و آن را اصلاح می کردند. کار این ریاضیدانان سرانجام به فعالیت پرثمر قرن هفتم/سیزدهم، انجامید- و این همان زمان پس از حمله مغولان است که در آن بار دیگر علوم ریاضی جوانی از سر گرفته بود. برجسته ترین چهره این دوره نصیرالدین طوسی است. همان گونه که پیش از این دیدیم، به پیشوایی و راهنمایی او بود که چند تن دانشمند، و بالخاصه ریاضیدان، در رصدخانه مراغه گرد یکدیگر جمع آمده و به کار رصد و دیگر کارهای علمی مشغول شده بودند.
با آنکه پس از قرن هفتم/سیزدهم، توجه به تحقیقات ریاضی رفته رفته رو به کاهش نهاد، ریاضیدانان برجسته ای پیوسته شکوفان می شدند و مسائلی تازه را حل می کردند، یا به یافتن روشها و راه و رسمهای تازه نایل می شدند. ابن بناء مراکشی در قرن هشتم/چهاردهم، برداشت تازه ای از علم اعداد داشت که یک قرن بعد غیاث الدین کاشانی همین روش را دنبال کرد. غیاث الدین جمشید در محاسبه و نظریه اعداد بزرگترین ریاضیدان اسلامی است. کاشف حقیقی کسر اعشاری او بوده و اندازه بسیار صحیحی از عدد پی (π) را به دست داده است. نیز روشها و تدبیرهای تازه ای برای عمل حساب و محاسبه اکتشاف کرده بوده است. کتاب مفتاح الحساب وی اساسیترین تألیف از نوع خود در زبان عربی است. یکی از معاصران کاشانی، ابوالحسن بستی، که در کرانه دیگر جهان اسلام یعنی در مراکش زندگی می کرد، نیز راههای تازه ای در زمینه علم عدد گام بر می داشت، و ریاضیدان دیگر مصری، بدرالدین ماردینی، رساله های معتبری در ریاضیات و نجوم تألیف می کرد.
تجدید حیات دوره صفویه در ایران، آخرین مرحله فعالیت نسبتاً گسترده ای در زمینه ریاضیات به شمار می رود، ولی آگاهی جهان خارجی از کارهای این دوره بسیار ناچیز است. معماران و مهندسان مدارس و مساجد و پلهای این زمان همه از ریاضیدانان قابلی بودند. معروفترین چهره ریاضی این قرن، دهم/شانزدهم، بهاءالدین عاملی است. تألیفات ریاضی وی در واقع تلخیص و تحریری از آثار استادان سلف بوده است؛ و همین تألیفات به صورت متنهای استانده (استاندارد) در شاخه های مختلف علم ریاضی از آن زمان به بعد، در مدارس رسمی، درآمد که تحصیل ریاضی منحصر به خواندن «خلاصه ها» شد و تحقیقات جدیدتر و دقیقتر تنها بسته به ابتکار و علاقه افراد بود.
یکی از معاصران بهاءالدین عاملی، ملا محمد باقر یزدی، که در آغاز قرن دهم/شانزدهم، شکوفان شد، مطالعات و تحقیقات اصیل و ابتکاری در ریاضیات داشته است. حتی بعضی از ریاضیدانان متأخر بر این عقیده اند که وی بالاستقلال لوگاریتم را کشف کرده بوده است، ولی این ادعا هنوز کاملاً مورد تحقیق و تأیید قرار نگرفته است. پس از یزدی، ریاضیات اساساً محصور در چارچوبی ماند که استادان سلف این علم مقرر داشته بودند. به ندرت چهره های برجسته ای دیده می شد، همچون چند تن از افراد خاندان نراقی کاشان که چندین رساله در ریاضیات تألیف کردند، یا ملاعلی محمد اصفهانی از قرن سیزدهم/نوزدهم، که حل عددی معادلات درجه سوم را به دست داده است. در این دوره معدودی ریاضیدان هندی برجسته نیز پیدا شدند. ولی چون به طور کلی سخن گفته شود، نیروی پژوهش اجتماع اسلامی تقریباً به صورت کاملی متوجه به مسائل عرفان و ما بعدالطبیعه شد؛ ریاضیات، جز در موارد استعمال آن در زندگی روزانه، اساساً به عنوان نردبانی برای صعود به جهان معقولات ما بعدالطبیعی به کار گرفته می شد. به این ترتیب، ریاضیات همان وظیفه ای را انجام می داد که اخوان الصفا و بعضی از صاحبنظران دیگر قدیم، علت وجودی آن را، انجام دادن همان وظیفه می دانستند.
برای آوردن خلاصه ای از کارهایی که علمای مسلمان در ریاضیات کرده اند، باید گفت که مسلمانان قبل از هر چیز نظریه اعداد را، هم از لحاظ ریاضی و هم از لحاظ ما بعدالطبیعی تکمیل کردند. مفهوم عدد را به ماورای آنچه شناخته یونانیان بود گسترش دادند. و نیز روشهای محاسبه عددی نیرومندی طرح ریختند که در اواخر و در زمان غیاث الدین کاشانی در قرنهای هشتم/چهاردهم و نهم/پانزدهم به اوج خود رسید. همچنین در رشته های عددی و کسرهای اعشاری و شاخه های مشابهی از ریاضیات وابسته به عدد کار کردند. علم جبر را گسترش دادند و به آن نظم و ترتیب علمی بخشیدند، گو اینکه پیوسته رشته ارتباط آن را با هندسه محفوظ نگاه داشتند. کارهای یونانیان را در هندسه مسطحه و هندسه مجسمه ادامه دادند. بالاخره مثلثات مسطحه و مجسمه را تکمیل کردند، و برای توابع مثلثاتی جدولهای صحیح فراهم آوردند و چند تابع مثلثاتی را کشف کردند. از این گذشته، با آنکه علم مثلثات از آغاز پیدایش همراه با علم نجوم رشد و توسعه پیدا کرده بود، نخستین بار توسط نصیرالدین طوسی در کتاب شکل القطاع او به حد کمال رسید و عنوان علم مستقلی پیدا کرد، و این خود پیشرفت بزرگی را در ریاضیات قدیم نمایش می دهد.
الف. اخوان الصفا
اخوان الصفا، که معمولاً آنان را نویسندگان رسائل اخوان الصفا می دانند، و هویت تاریخی ایشان هنوز مورد تردید است، گروهی از دانشمندان، شاید از مردم بصره، بودند که قرن چهارم/دهم، مجموعه ای از علوم و فنون در پنجاه و دو رساله تألیف کردند. رساله دیگری نیز از ایشان در دست است، به نام رساله الجامعه، که اصول تعلیمات رسائل در آن آمده است، روش نویسندگی روشن و سادگی خاصی که با آن، مسائل دشوار را بیان کرده اند، سبب آن شد که رسائل ایشان رواج عام پیدا کند، و این خود سبب جلب توجه همگان به فلسفه و علوم طبیعی شد. اخوان الصفا دلبستگی خاص به سیمای فیثاغورسی هرمسی میراث یونانی داشتند، و این طرز تفکر مخصوصاً در رساله های ریاضی ایشان مشهود است که در قرنهای اخیر، بالخاصه در محافل شیعه، تأثیر فراوان داشته است. آنان نیز مانند فیثاغورسیان برای جنبه رمزی، و ما بعدالطبیعی حساب و هندسه اهمیت خاص قائل بودند، و این امری است که با مطالعه گزیده های ذیل از نوشته های ایشان به خوبی آشکار می شود.معنی عدد
صورت عدد در نفوس مطابق است با صورت موجودات در هیولی. عدد نمونه ای از جهان برین است و، با شناختن آن، جوینده رفته رفته به قسمتهای دیگر علوم ریاضی و طبیعی و والاهی راه می یابد. علم عدد ریشه علوم و عنصر حکمت مبدأ معرفتها و اساس معانی است. اکسیر اعظم است و کیمیای اکبر...(2)علم عدد
بدان ای برادر نیکوکار مهربان که چون سیره برادران بزرگوار ما - که خداوند پیشتیبان آنان باد- نگریستن در همه علوم موجوداتی که در عالم است، از جواهر و اعراض و بسایط و مجردات و مفردات و مرکبات، و پژوهش در مبادی و چندی اجناس و انواع و خواص و ترتیب و آیین آن ها بر آن صورت که اکنون هستند و چگونگی پیدایش آنها از علتی یگانه و مبدأی یگانه به دست آفریدگاری یگانه- جل ثناوه- بوده است، و برای بیان این مطلب از مثالهای عددی و براهین هندسی، بدان گونه که شیوه حکمای فیثاغورسی است، گواهی آورده اند، بنابراین بدان نیازمند شدیم که این رساله را پیش از همه رساله های دیگر خود بیاوریم، و در آن مقداری از علم عدد و خواص آن را- که ارثماطیقی (=علم حساب) نام دارد- باز گویم، تا همچون درآمد و مقدمه ای باشد که راه را برای آموزندگانی که خواستار حکمتی هستند که فلسفه نام دارد آسان کند، و دست یافتن به این حکمت را برای مبتدیان، از طریق نظر کردن در علوم ریاضی، بهتر میسر سازد.پس گوییم که: آغاز فلسفه دوستی دانشهاست، و میانه آن شناختن حقایق موجودات به اندازه توانایی آدمی، و پایان آن، کار کردن بنابر علمی که به دست آمده.
و علوم فلسفی بر چهار نوع است: اول آن ریاضیات است، و دوم منطقیات، و سوم علوم طبیعیات، و چهارم علوم الاهیات.
و ریاضیات مشتمل بر چهار نوع است: اول آن ارثماطیقی است، و دوم جومطریا(=علم هندسه)، و سوم اسطرنومیا(=علم نجوم)، و چهارم موسیقی.
موسیقی شناختن تألیف و هماهنگی (اصوات) است و به وسیله آن، اصول الحان استخراج می شود؛ و اسطرنومیا علم ستارگان است از طریق برهانهایی که در کتاب المجسطی آمده است؛ و جومطریا علم هندسه است از طریق برهانهایی که در کتاب اقلیدس آمده است؛ و ارثماطیقی شناخت خواص اعداد است. و شناخت آن معانی موجودات که با این اعداد مطابق است و فیثاغورس و نیکوماخوس از آنها یاد کرده اند...
وحدت و کثرت
الفاظ دلالت بر معانی دارد، و معنی مسمی است و لفظ اسم. و عامترین لفظ و اسم،«شیء» است؛ و شیء یا واحد است یا بیشتر از واحد؛ و واحد از دو راه گفته می شود، حقیقی و مجازی. واحد حقیقی چیزی است که البته جزء نداشته باشد، و قابل قسمت نباشد؛ پس هر چه قسمت پذیر نباشد، از آن جهتی که بدان جهت تقسیم پذیر نیست واحد است. و اگر بخواهی می توانی بگویی که واحد چیزی است که، از جهت آنکه واحد است، چیز دیگری در آن نیست. و واحد مجازی هر مجموعه ای است که به آن واحد گفته شود چنانکه می گویند یک ده یا یک صد یا یک هزار. و واحد، به وحدت واحد است، همان گونه که سیاه به سیاهی سیاه است. و وحدت صفتی از برای واحد است، همان گونه که سیاهی صفتی از برای سیاه است. و اما کثرت مجموعه ای از آحاد است. و اولین کثرت دو است و پس از آن سه و پس از آن چهار و پس از آن پنج و هر چه از آن بالاتر رود و به هر مقدار برسد. و کثرت بر دو نوع است، یکی عدد و دیگری معدود، و فرق میان آن دو این است که چندی صورتهای اشیاء است در نفس کسی که شمارش می کند، و اما معدود خود اشیاء است...(3)سپس بدانکه هیچ عددی نیست که خاصیتی یا چندین خاصیت نداشته باشد؛ و خاصیت به معنی صفتی است که مخصوص موصوف است و غیر آن باوی شریک نیست. خاصیت واحد، چنانکه پیش از این گفتیم، آن است که اصل و منشأ همه اعداد است، و همه اعداد زوج و فرد را می شمارد؛ و خاصیت دو آن است که مطلقاً نخستین عدد است و نصف اعداد، یعنی زوجها نه فردها را می شمارد؛ و خاصیت سه آن است که اول اعداد فرد است و ثلث شماره اعداد را می شمارد که بعضی از آنها زوج است و بعضی فرد؛ و خاصیت چهار آن است که نخستین عدد مجذور است؛ و خاصیت پنج آن است که نخستین عدد دایره ای است و آن را کروی گویند؛ و خاصیت شش آن است که نخستین عدد تام است؛ و خاصیت هفت آن است که اولین عدد کامل است؛ و خاصیت هشت آن است که نخستین عدد مکعب است؛ و خاصیت نه آن است که نخستین عدد فرد مجذور است، و دیگر اینکه آخرین مرتبه آحاد است؛ و خاصیت ده آن است که نخستین مرتبه عشرات است؛ و خاصیت یازده آن است که نخستین عدد اصم (4) است؛ و خاصیت دوازده آن است که نخستین عدد زاید است. (5)
معنای حکمی و عرفانی وحدت و کثرت
بدانکه ای برادر- که خدا به روح خود تو و ما را یاری کناد- که فیثاغورس حکیمی یکتاپرست از حرانیان بود که بسیار به علم عدد و چگونگی پیدایش آن علاقه داشت و درباره خواص و مراتب و نظام آن بسیار جستجو می کرد. غالباً می گفت:« شناخت اعداد و منشأ گرفتن آنها از واحد، که پیش از دو است، شناخت وحدت خدای تعالی است؛ و معرفت خواص اعداد و طبقه بندی و ترتیب آنها معرفت موجوداتی است که خالق متعال آفریده و وسیله شناختن آفرینش او و نظم و ترتیب و طبقه بندی آن است. علم اعداد در نفس جایگزین است و برای آنکه آشکار شود، به اندک تأمل و به اندک یادآوری نیازمند است...»بدان ای برادر- که خدا به روح خود تو و ما را یاری کناد که خدا، جل ثناوه، چون همه آفریده ها را آفرید و به هر چیز هستی بخشید، آنها را به کیفیتی مرتب ساخت و به وجود آورد شبیه به کیفیت پیدایش اعداد از واحد، بدان سان که کثرت آفریده ها گواهی از وحدت او است، و طبقه بندی و نظم و ترتیب آنها نشانه ای از کمال حکمت او در آفرینش است. تا گواهی باشد بر اینکه آفریده ها به همان صورت به او بستگی دارند که اعداد به واحد، که بر آنها مقدم است، و اصل و منشأ اعداد است، بستگی دارد، و این مطلب را ما در رساله حساب خود به اثبات رسانیده ایم. و چون خدا - جل ثناوه، از هر جهت و به هر معنی واحد حقیقی است، ممکن نیست که آفریده ها که ساخته اویند واحد حقیقی باشند. بلکه لازم است که واحد متکثر و دوگانه و مزدوج باشد- از آن جهت که خالق، جل ثناوه، که نخست با فعل واحد، مفعول واحدی را آفرید متحد با فعل خود که علت العلل است، در حقیقت آن مفعول، واحد حقیقی نبود بلکه در آن دوگانگی وجود داشت. و بدین جهت است که می گویند که او چیزها را دوگانه و جفت آفرید، و این ثنویت را قانون آفریده ها و اصل هستیها قرارداد.
و به همین جهت است که فیلسوفان و حکیمان گفته اند: هیولی و صورت؛ و بعضی از آنان گفته اند: نور و ظلمت؛ و بعضی دیگر ایجاب و سلب و بعضی دیگر اثبات و نفی؛ و بعضی دیگر روحانی و جسمانی؛ و بعضی دیگر لوح و قلم؛ و بعضی دیگر فیض و عقل؛ و بعضی دیگر مهروکین؛ و بعضی دیگر حرکت و سکون؛ و بعضی دیگر وجود و عدم؛ و بعضی دیگر روح و نفس؛ و بعضی دیگر کون و فساد؛ و بعضی دیگر دنیا و آخرت؛ و بعضی دیگر علت و معلول؛ و بعضی دیگر آغاز و انجام؛ و بعضی دیگر قبض و بسط.
و بر همین قیاس چیزهای فراوانی را در طبیعت می بینیم که جفت یا متضاد است، مانند: متحرک و ساکن؛ آشکار و نهان؛ بلند و پست؛ ظاهر و باطن؛ زبر و زیر؛ بیرون و درون؛ کثیف و لطیف؛ گرم و سرد؛ ترو خشک؛ زاید و ناقص؛ جماد و نامی؛ ناطق و صامت؛ نر و ماده؛ و همه متقابلهایی که یک جفت را می سازند.
و چنین است گردش احوال همه موجودات از حیوان و نبات، مانند: زندگی و مرگ؛ خواب و بیداری؛ بیماری و تندرستی؛ لذت و رنج؛ قحطی و فراوانی؛ شادی و غم؛ خوشحالی و بدحالی؛ صلاح و فساد؛ زیان و سود؛ خیر و شر؛ سعد و نحس؛ و ادبار و اقبال.
و نیز بر همین منوال است امور وضعی و شرعی، همچون: امر و نهی: وعد و وعید؛ تشویق و تهدید؛ طاعت و معصیت؛ ستایش و نکوهش؛ پاداش و مجازات؛ حلال و حرام؛ حدود و احکام؛ صواب و خطا؛ نیک و بد؛ و راست و دروغ ...
بدان ای برادر، که چون مطابق حکمت نبوده است که همه چیزها دوگانه و جفت بوده باشد، بعضی چیزها به صورت سه گانه و چهارگانه و پنجگانه و ششگانه و هفتگانه آفریده شده اند، و همین طور تا بینهایت...
بدان ای برادر، که همه چیزها از دو نوعند، نه بیشتر و نه کمتر: کلی و جزئی. کلیات نه درجه دارند که ترتیب آنها محفوظ و نظام آنها ثابت و همچون آحاد نه گانه است: اول آن خالق یکتا، جل ثناوه، است؛ پس از آن عقل است که دارای دو قوت است؛ پس از آن نفس است که متصف به سه صفت است؛ پس از آن ماده اولی است مشتمل بر چهار نسبت؛ سپس طبیعت است که پنج نام دارد؛ سپس جسم است که شش جهت دارد؛ سپس آسمانهاست که هفت مدبر دارند؛ سپس عناصر است که هشت مزاج دارند؛ سپس مرکبات است که مشتمل بر نه نوعند: (6)
هندسه
آنچه گفتیم قسمتی از هندسه حسی بود که عنوان مدخل و مقدمه داشت، و اکنون به بیان قسمتی از هندسه عقلی می پردازیم که یکی از هدفهای حکمای استوار در علوم الاهی و پرورده شده به پرورش فلسفی همین بوده است. و از آن جهت هندسه را، پس از علم عدد، مقدم داشته اند که آموزندگان را از امور جسمانی به امور روحانی برکشند.بدان ای برادر- که خدا ما و تو را به روح خود یاری کناد- نگریستن در هندسه حسی به کاردانی در صنایع عملی می انجامد، و نگریستن در هندسه عقلی به کاردانی در صنایع علمی، چه این علم یکی از دروازه هایی است که سبب شناختن جوهر نفس می شود، و شناختن جوهر نفس ریشه علوم است و عنصر حکمت و اصل همه صنایع علمی و عملی...(7)
ب. خوارزمی
در مورد علم جبر می توان گفت که سرچشمه آن در کتاب مشهور محمدبن موسی الخوارزمی است، به نام کتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابله که اصطلاح عربی الجبر، به معنی «الزام و اکراه» و نیز به معنی «جبران و شکسته بندی» برای این گونه حساب نخستین بار در همان کتاب به کار رفته است. از همین کلمه است که، بنا بر نظر بعضی از صاحبنظران، کلمه انگلیسی «algebra» گرفته شده است. بعلاوه، کتاب دیگر خوارزمی در حساب که همراه با جبروی بعدها به زبان لاتینی ترجمه شده، بیش از هر کتاب مستقل دیگر در تعمیم و ترویج ارقام هندی، چه در جهان اسلامی و چه در مغرب زمین، عاملی مؤثر بوده است. آنچه پس از این نقل می شود، گزیده ای از فصل اول کتاب جبر او و از یک رشته مسائل است که به عنوان ضمیمه به شش فصل آن کتاب، همچون مثالهایی برای هر یک از فصول، آورده است.کتاب الجبر و المقابله، تألیف محمد بن موسی الخوارزمی.
به نام خداوند بخشاینده مهربان، این کتابی است که محمد بن موسی خوارزمی پی افکنده و در سر آغاز چنین گوید: خدای را سپاس بر نعمتهایش، بدان گونه که شایسته او است؛ سپاس آن چنان که اگر بر آیینی که بر بندگان ستایشگر او فرض شده انجام شود، «شکر» نامیده می شود و باعث افزونی نعمت می گردد و ...
چون به مشکلات و نیازمندیهای مردم در مورد علم حساب نگریستم، دریافتم که تمام آن مشکلات در عدد خلاصه شده؛ و فهمیدم که تمام اعداد از واحد ترکیب می شوند، و این واحد در تمام اعداد موجود است؛ و دانستم که تمام اعداد، از یک تا ده، از طریق واحد به دست می آید، و آنگاه عدد ده را، به همان شیوه ای که در واحد عمل می شود، دو چندان و سه چندان می کنند تا بیست و سی به دست آید، و بر همین قیاس به صد می رسد. سپس صد را مانند یکان و دهگان دو چندان و سه چندان می کنند تا به هزار برسد، و پس از آن، مرتبه هزار را بر همین قیاس بالا می برند، یعنی در رأس هر عقدی افزون می شود تا به آخرین عدد قابل ادراک برسد.
و نیز دریافتم که اعدادی که در حساب جبر و مقابله به وجود آنها نیاز است، سه نوع هستند: جذرها و مالها و عدد مفردی که به جذری یا مالی نسبت ندارد. جذر هر چیزی است که در یک یا چند برابر خود یا در کسری از خود ضرب شده باشد؛ مال چیزی است که از حاصل ضرب این جذر در خودش به دست آید؛ و عدد مفرد هر عددی است که بدون نسبت به جذر یا مال بر زبان آید.
ممکن است از این اقسام سه گانه برخی با برخی دیگر برابر شوند، چنانکه گویی: چند مال برابر با چند جذر است؛
چند مال با عددی برابر است؛
چند جذر با عددی برابر است.
اما مالهایی که با جذرهایی برابر شوند، مانند آنکه گویی: مالی با پنج جذر آن برابر است. نتیجه چنین می شود که جذر این مال پنج است و اصل مال بیست و پنج که پنج برابر جذر خود می باشد.
مثال دیگر: یک سوم مالی برابر با چهار جذر است. معلوم است که تمام مال دوازده جذر خواهد بود که می شود صد و چهل و چهار، و بنا بر این جذر آن دوازده است.
مثال دیگر: پنج مال برابر با ده جذر است. نتیجه آن است که یک مال برابر است با دو جذر، پس جذر مال دو است و مال چهار.
و به همین ترتیب، هر چه مال بزرگتر یا کوچکتر از واحد باشد، به واحد باز گردانیده می شود، و در مورد جذرهایی که با مالها برابرند نیز چنین عمل می کنیم...
مسئله ششم: چیست که اگر یک سوم آن در یک چهارم آن ضرب شود، خود آن به اضافه بیست و چهار واحد به دست آید؟
راه حل چنین است: مجهول را شیء فرض می کنی، و چون ثلث شیء را در ربع شیء ضرب کنی، می شود نصف یک ششم مال که باید برابر با خود شیء به اضافه بیست و چهار واحد باشد. برای آنکه مال را تمام کنی(یعنی به واحد بازگردانی)، نصف یک ششم مال را در دوازده ضرب می کنی ( که می شود یک مال)، و شیء را در دوازده ضرب می کنی که می شود دوازده شیء، و بیست و چهار را نیز در دوازده ضرب می کنی که می شود دویست و هشتاد و هشت، پس (مسئله بدین صورت در می آید که) دویست و هشتاد و هشت به اضافه دوازده جذر برابر است با یک مال. نصف جذرها را که شش است در خود ضرب کن و آن را بر دویست و هشتاد و هشت بیفزا که می شود سیصد و بیست و چهار. جذر آن را بگیر که هجده است، و آن را بر نصف جذرها که شش است بیفزا تا بیست و چهار به دست آید که همان مال مطلوب است. چنانکه ملاحظه می شود، این مسئله تو را به یکی از ابواب ششگانه رهنمونی کرد که در آن از برابری جذرها و عددی با مالها سخن گفته بودیم.(8)
ج. عمر خیام
نام عمر خیام، در جهان انگلیسی زبان، از طریق ترجمه زیبا ولی آزاد رباعیات او به وسیله فیتز جرالد، بسیار شناخته است، ولی خیام، در عصر خود، بیش از آنکه به شاعری شهرت داشته باشد، به فیلسوفی و دانشمندی مشهور بوده است، و در ایران امروز نیز بیشتر از لحاظ آثار ریاضی او و سهمی که همراه با منجمان دیگر در طرحریزی تقویم جلالی داشته است و همین تقویم از زمان وی تاکنون در ایران به کار می رود، مورد توجه قرار گرفته است.خیام، در زمان خود، نه تنها به عنوان استادی در علوم ریاضی و پیروی از فلسفه یونانی، و بالخاصه از مکتب ابن سینا، شناخته می شد، بلکه او را به عنوان یکی از متصوفان نیز می شناختند. با آنکه در معرض حمله بعضی از ارباب قدرت دینی، و حتی بعضی از صوفیان قرار گرفته بود که بیشتر در بند ظاهر بودند، باید او را عارفی دانست که در پشت شکاکیگری ظاهری وی، یقینی مطلق از یک کشف و شهود عقلانی وجود داشته است. پیوستگی وی با صوفیان از آنجا آشکار می شود که در سلسله مراتب اصحاب معرفت آنان را در بالاترین رتبه قرار داده است.
در خیام چندین چشم انداز اسلام با یکدیگر متحد شده است. وی صوفی بود و شاعر و فیلسوف و منجم و ریاضیدان. بدبختانه، ظاهراً کم چیز نوشته، و از آن اندک نیز برخی مفقود شده است. با وجود این، آثار بازمانده از او که علاوه بر رباعیات مشتمل است بر رساله هایی در وجود و کون و فساد و کلیات علم و ترازو و ما بعد الطبیعه، و نیز تألیفات ریاضی مشتمل بر تحقیق در اصل موضوع اقلیدس و حساب و جبر- برای نمایاندن مقام جهانی او در علم کفایت می کند. جبر خیام یکی از برجسته ترین متون ریاضی قدیم به شمار می رود، معادلات را تا درجه سوم مورد بحث قرار داده و آنها را طبقه بندی و حل (معمولاً به طریق هندسی) کرده است؛ همه جا ارتباط میان مجهولات و اعداد و اشکال هندسی و، از این طریق، حلقه اتصال میان ریاضیات را با معنای مابعدالطبیعی که از خصوصیات هندسه اقلیدسی است، محفوظ نگاه داشته است.
آنچه پس از این نقل می شود، گزیده هایی از چهار بخش اول کتاب جبر او است؛ از قسمتهای بسیار مهم بعد از آن که درباره مسائل مختلف درجه دوم و درجه سوم بحث می کند، بیشتر از جهت دشواری که برای خواننده عادی دارد چیزی در اینجا نیاورده ایم.
رساله حکیم فاضل غیاث الدین ابوالفتح
عمربن ابراهیم خیامی نیشابوری در اثبات مسائل جبر و مقابله(مقدمه)
حمد خدا راست- خدایی که پروردگار جهانیان است- و انجام نیک پرهیزکاران را؛ و دشواری و تنگی جز بر ستمکاران نیست؛ و درود بر پیغمبران، خصوصاً بر محمد و جمیع خاندان پاک او. یکی از مباحث ریاضی که در قسمتی از حکمت که معروف به علوم ریاضی است محتاج الیه می باشد فن جبر و مقابله است که برای استخراج مجهولات عددی و هندسی وضع شده است. و در این فن اصنافی (از معادلات) هست که در حل آنها یک رشته مقدمات بسیار دشوار محتاج الیه می باشد، و به این جهت، اغلب کسانی که به این اصناف پرداخته اند در حل آنها وامانده اند. (توضیح آنکه) از پیشینیان سخنی در این باب به ما نرسیده است. شاید در حل این اصناف جستجو و مطالعه کرده اند، ولی چیزی درنیافته اند، یا در تحقیقات خود نیازمند به امعان نظر در آنها نشده اند، و یا بالاخره، شاید آثارشان در این باب به زبان ما ترجمه نشده است. و اما از متأخرین، یکی از ایشان، به نام ماهانی، درصدد تحلیل جبری مقدمه ای بر آمد که ارشمیدس در شکل چهارم از مقاله هشتم کتاب خود موسوم به کره و استوانه به کار برده است، و این امر منجر شد به معادله ای بین کعبها و مالها و اعداد، و وی، بعد از تفکر زیاد، از حل آن عاجز ماند، و لهذا حکم به امتناع آن کرد. بعد، ابوجعفر خازن پیدا شد، و آن را به وسیله قطوع مخروطی حل نمود. سپس، بعد از وی، جماعتی از علمای هندسه به (حل) عده ای از اصناف (معادلات) جبر محتاج شدند، و بعضی از آنان برخی از آنها را حل کردند، ولی هیچیک را در بر شمردن اصناف معادلات و معین کردن انواع هر صنف و برهان حل آنها مطلب معتبری نیست مگر در مورد دو صنف.و من همواره سخت اشتیاق به تحقیق استدلالی این اصناف و جدا کردن حالات ممکن و ممتنع هر صنف داشتم، چون می دانستم که این امر در حل مسائل دشوار شدیداً مورد احتیاج است. لکن تصاریف زمان همواره با پیشامدهایی همراه بود که پرداختن به این امر را به عهده تعویق می انداخت، و برای من فراغتی نمی گذاشت که صرف تدوین این مطلب کنم و فکر خود را بر آن متمرکز سازم. زیرا ما گرفتار روزگاری هستیم که از اهل علم فقط عده کمی، مبتلی به هزاران رنج و محنت، باقی مانده، که پیوسته در اندیشه آنند که غفلتهای زمان را فرصت جسته به تحقیق در علم و استوار کردن آن بپردازند. و بیشتر عالم نمایان زمان ما حق را جامه باطل می پوشند. و گامی از حد خودنمایی و تظاهر به دانایی فراتر نمی نهند. و آنچه را هم می دانند جز در راه اغراض مادی پست به کار نمی برند. و اگر ببینند که کسی جستن حقیقت و برگزیدن راستی را وجهه همت خود ساخته، و در ترک دروغ و خودنمایی و مکر و حیله جهد وسعی دارد، او را خوار می شمرند و تمسخر می کنند. و در هر حال خدا یاری دهنده و پناه همه است. و چون خدای تعالی نعمت پیوستگی به آستان سرور بزرگ بیهمتا، قاضی القضات، امام سید ابوطاهر را، که خداوند بزرگیش را همواره برقرار دارد و حسودان و دشمنانش را مقهور فرماید، به من ارزانی داشت- و این پس از آن بود که از دیدن کسی چون او، که در همه فضایل علمی و نظری و در جمع بین موشکافی در علوم و پایداری در اعمال و خیرخواهی برای هر فردی از همنوعان خود کامل باشد، مأیوس شده بودم- قلبم به دیدار او باز و نامم به مصاحبت او بزرگ شد، و در پرتو انوار وی کارم بالا گرفت، و به انعام و الطاف او پشتگرمی یافتم. پس، برای نزدیکی جستن به مجلس بلندپایه او چاره جز آن ندیدم که، با تلخیص زبده های حقایق فلسفی که راستی و درستی آنها را معلوم کرده بودم، فرصتی را که سختیهای روزگار از من گرفته بود تلافی کنم، و این کار را با تنظیم این اصناف از مقدمات جبری آغاز کردم- چون ریاضیات به تقدیم سزاوارتر است- و در این امر به ریسمان توفیق الاهی چنگ زدم، و از او چشم امید دارم که مرا به ادامه این کار موفق بدارد تا نتیجه بحث خود و بحث پیشینیانم را در علومی که اهم از دیگر علوم است به درستی تعیین کنم، و در این امر به دستاویز محکم پروردگار که حافظ ما از خطاهاست چنگ می زنم، که البته اجابت دعا در دست او و در همه حال توکل بر اوست.
به یاری خدا و توفیق نیک وی، گویم که فن جبر و مقابله فنی است علمی که موضوع آن عدد مطلق و مقادیر سنجش است از آن جهت که مجهول اند، ولی مرتبط با چیز معلومی هستند که به وسیله آن می توان آنها را استخراج کرد. و این چیزها کمیتی است، و یا رابطه ای که بستگی معلوم و مجهول منحصر به آن است، و از بررسی و تحلیل مجهولات موضوع مسئله استنباط می شود. (9)
مطلوب علم جبر عوارضی است که به موضوع آن، از آن جهت که – به شرح مذکور- موضوع آن است، ملحق می شود. و کمال علم جبر آگاهی از طرق ریاضی است که به وسیله آنها نوع مذکور از استخراج مجهولات عددی یا هندسی فهمیده می شود.
و (مقصود از) مقادیر کمیتهای متصل است، و آن – بنابر آنچه به اجمال در قاطیغوریاس و به تفصیل در حکمت اولی مذکور است- چهار است: خط، سطح، جسم، و زمان. و جماعتی مکان را نوعی قسیم سطح در تحت جنس متصل می شمارند (10) ، ولی بررسی دقیق بطلان این رأی را آشکار می سازد، و درست این است که مکان سطحی است در حال خاصی، ولی تحقیق در این امر خارج از موضوع بحث ماست.
و عاده زمان را در موضوعات مسائل جبر نمی آورند، ولی ذکر آن در این باب جایز است.
(بعضی اصطلاحات جبریها-) و عادت جبریها این است که در فن خود مجهولی را که می خواهنداستخراج کنند شیء نامند و حاصل ضرب آن را در مثل خودش مال و حاصل ضرب مال آن را در آن (یعنی در آن شیء) کعب و حاصل ضرب کعب آن را در مثل آن (شیء) مال مال، و حاصل ضرب کعب آن را در مال آن مال کعب، و حاصل ضرب کعب آن را در مثل آن (کعب) کعب کعب، و به همین قیاس تا هر مرتبه که پیش رویم.
و از کتاب اوقلیدس در اصول معلوم است که این مراتب جملگی متناسب اند، یعنی نسبت واحد به جذر مثل نسبت جذر به مال و مثل نسبت مال به کعب است. پس نسبت عدد به جذرها مثل نسبت جذرهاست به مالها و مثل نسبت مالهاست به کعبها و مثل نسبت کعبهاست به مال مالها، و هکذا تا هر مرتبه که پیش رویم.
(مرتبه تعلیمی این رساله-) و باید دانست که این رساله را جز کسی که بر کتاب اوقلیدس در اصول و کتاب وی در معطیات و دو مقاله (اول) کتاب آپولونیوس در مخروطات مسلط باشد نمی فهمد، و همانا کسی که از دانستن یکی از این سه (کتاب) بازمانده راهی برای دانستن این رساله ندارد، و من این زحمت را بر خود هموار کرده ام که درین رساله جز به آن کتابهای سه گانه توسل نجویم.
(معادله-) و استخراجهای (مجهولات به علم) جبر به وسیله معادله انجام پذیرد، و آن، بنابر مشهور، معادله برخی از این مراتب (11) است با بعضی از آنها. و هر گاه جبری مال مال را در مسائل مربوط به مقادیر هندسی به کار برد، البته این استعمال بر سبیل مجاز است، نه از راه حقیقت، زیرا وجود مال مال در مقادیر ممکن نیست، و آنچه در مقادیر پیش می آید، یا یک بعد است، و آن جذر یا – هر گاه نسبت به مربعش (، یعنی مربعی که این بعد ضلع آن باشد،) ملحوظ شود- ضلع است؛ و پس از آن دو بعد می آید، و آن جسم است، و مکعب در مقادیر همانا جسمی است که شتر مربع به آن محیط باشند؛ و چون بعد دیگری نیست، مال مال در مقادیر وارد نمی شود، چه رسد به مراتب بالاتر از آن، ( و هر گاه مال مال در مقادیر گفته شود، این گفته در باب عدد اجزای مقدار است در صورت اندازه گیری، نه در باب خود آن مقدار که اندازه گیری شده است) (12)، و این دو اطلاق متفاوتند. پس مال مال، نه بالذات و نه بالعرض، در مقادیر وارد نمی شود، و مانند زوج بودن و فرد بودن نیست، زیرا زوجیت و فردیت به اعتبار عددی که اتصال مقادیر را منفصل می کند (احیاناً) عارض مقدار می شوند.
(خلاصه مندرجات و روش مؤلف درین رساله-) و آنچه ازین معادلات چهارگانه هندسی- یعنی اعداد مطلق و اضلاع و مربعها و مکعبها- در کتب جبریها آمده است سه معادله است بین عدد و اضلاع و مالها (13) و اما ما به زودی راههایی خواهیم آورد که به وسیله آنها می توان مجهول را از معادلات بین چهار مرتبه ای که گفتیم زاید بر آنها در مقادیر واقع نمی شود- یعنی عدد و شیء و مال و کعب- استخراج کرد.
و آنچه (ازین معادلات) که اثبات (طریق حل) آن به وسیله خواص دایره- یعنی به وسیله کتاب اوقلیدس در اصول و در معطیات ممکن است مبرهن خواهد گردید، و منتهای کوشش در آسان کردن براهین خواهد شد. و آنچه اثباتش جز به خواص قطوع مخروطی ممکن نیست به وسیله دو مقاله کتاب مخروطات مبرهن خواهد گشت، و اما اثبات (حل) این اصناف وقتی موضوع مسئله عدد مطلق باشد- جز در سه مرتبه اول، و آن (معادله بین) عدد و شیء و مال است بر ما و بر دیگر علمای جبر ممکن نشده است، و شاید دیگران که بعد از ما آیند بر آن وقوف یابند. و من گاهی در مسائلی که می توان از کتاب اوقلیدس برهان برای (حل) آنها آورد اشاره به براهین عددی می کنم. و باید دانست که وقتی موضوع مسئله عدد باشد، نه مقادیر هندسی، برهان هندسی راهها (ی حل معادلات) جای براهین عددی را نمی گیرد، و شاهد برین مطلب این است که اوقلیدس در مقاله پنجم کتاب (اصول) خود برای احکامی در باب نسبتهای بین مقادیر برهان آورده، و سپس عین همین احکام را در نسبتهای بین اعداد در مقاله هفتم از نو ثابت کرده است.
(طبقه بندی معادلات-) و معادلات بین این چهار(مرتبه)(14) به مفردات و مقترنات تقسیم می شود.
(مفردات-) و مفردات شش صنف است: (الف) عددی معادل جذری است؛ (ب) عددی معادل مالی است؛ (ج) عددی معادل کعبی است؛ (د) جذرهایی معادل مال است؛ (ه) مالهایی معادل کعب است؛ (و) جذرهایی معادل کعب است. و سه صنف از این اصناف ششگانه در کتابهای جبریها مذکور است، و آنان چنین گفته اند که نسبت شیء با مال مثل نسبت مال به کعب است. پس لازم می آید که معادله مال با کعب مثل معادله شیء با مال باشد. و نیز (گفته اند که) نسبت عدد به مال مثل نسبت جذر به کعب است. و این احکام را به طریق هندسی ثابت نکرده اند. و اما در معادله بین عدد و مکعب، برای استخراج عددی ضلع مکعب راهی جز استقراء نداریم، و اما حل هندسی (این صنف) جز با قطوع مخروطی ممکن نیست.
(مقترنات-) و اما مقترنات بعضی سه تایی و برخی چهارتایی است. اما مقترنات سه تایی دوازده صنف است. سه صنف اول مقترنات سه تایی عبارت است از: (الف) مالی و جذری معادل عددی است؛ (ب) مالی و عددی معادل جذری است؛(ج)جذری و عددی معادل مالی است. و این سه صنف در کتابهای علمای جبر مذکور و حل هندسی آنها مبرهن است، ولی برای حل عددی آنها برهانی نیاورده اند. و سه صنف دوم مقترنات سه تایی عبارت است از: (الف) کعبی و مالی معادل جذری است؛ (ب) کعبی و جذری معادل مالی است؛ (ج) جذری و مالی معادل کعبی است.
و جبریها گفته اند که این سه صنف دوم هر یک با نظیر خود از صنف اول متناسب است، یعنی معادله کعب و جذر با مال در حکم (معادله) مال و عدد با جذر است، و هکذا در مورد سایرین. و این احکام را وقتی موضوع مسائل، مقادیر هندسی باشد ثابت نکرده اند، و اما اگر موضوع مسائل، عدد باشد، این احکام از کتاب اصول آشکار است، و من به زودی برای آنها برهان هندسی خواهم آورد. اما شش معادله دیگر از اصناف دوازده گانه : (الف) کعبی و جذری معادل عددی است؛ (ب) کعبی و عددی معادل جذری است؛ (ج) عددی و جذری معادل کعبی است؛ (د) کعبی و مالی معادل عددی است؛ (ه) کعبی و عددی معادل مالی است؛ (و) عددی و مالی معادل کعبی است. و در باب این شش صنف در کتب جبریها سخنی نیست مگر کلامی ناقص در باب یکی از آنها، و من به زودی آنها را توضیح داده برهان (حل) هندسی- نه عددی- آنها را خواهم آورد، و برهان این شش صنف جز به وسیله خواص قطوع مخروطی ممکن نیست.
و اما مقترنات چهارتایی بر دو قسم است. یکی (از دو قسم مقترنات چهارتایی)، که قسم اول باشد، آن است که در آن سه مرتبه معادل یک مرتبه (دیگر) باشد، و آن چهار صنف است: (الف) کعبی و مالی و جذری معادل عددی است؛ (ب) کعبی و مالی و عددی معادل جذری است؛ (ج)کعبی و جذری و عددی معادل مالی است؛ (د) کعبی معادل جذری و مالی و عددی است. و قسم دوم آن است که در آن دو مرتبه معادل دو مرتبه دیگر باشد، و آن سه صنف است: (الف) کعبی و مالی معادل جذری و عددی است؛ (ب) کعبی و جذری معادل مالی و عددی است: (ج) کعبی و عددی معادل جذری و مالی است. و اصناف هفتگانه چهارتایی همینهاست، و ما را راهی به حل هیچ یک جز به طریق هندسی نیست. و اما یکی از پیشینیان ما نیازمند نوعی از انواع یکی از اصناف شد که به زودی آن را خواهیم گفت. و برهان (حل) این اصناف جز به وسیله قطوع مخروطی انجام پذیر نیست.
و من به زودی یک یک این اصناف بیست و پنجگانه را می آورم و (راه حل) هر یک را ثابت می کنم، و درین کار از خداوند یاری می جویم، چون وی هر کس را که خالصانه به او توکل کند هدایت و از دیگران مستغنی می فرماید.
صنف اول مفردات آن است که جذری معادل عددی باشد. پس جذر ناچار معلوم است، و حکم این (معادله) در اعداد و در مقادیر هندسی یکسان باشد.
صنف دوم آن است که عددی معادل مالی باشد. پس مال از جنبه عددی معلوم است، زیرا معادل عدد معلوم است، و برای دانستن جذر آن راه عددی نداریم جز استقراء؛ زیرا آن کس که می داند جذر بیست و پنج پنج است، البته این مطلب را از همین طریق می داند نه بر طبق قانونی ( از علم حساب یا جبر). پس توجهی به گفته کسانی از جبریها که درین باب با ما اختلاف نظر دارند نمی کنیم. و هندیان را در استخراج جذر و کعب طریقه ای است مبتنی بر اندک استقرایی و آن شناسایی مربعات اعداد نه گانه – یعنی مربع یک و دو و سه (... تا نه )- و نیز حاصل ضرب بعضی در بعضی است؛ یعنی حاصل ضرب دو در سه و امثال آن. و ما را کتابی است در براهین درستی این راهها و منجر شدن آنها به مطلوب، و ما انواع این طریقه ها را افزون کرده ایم؛ یعنی استخراج مال مال و مال کعب و کعب کعب و غیره را بر آنها افزوده ایم. و این اضافات، تازه است. و این براهین ( که به آنها اشاره شد) براهینی عددی و مبتنی بر قسمتهای مربوط به علم حساب در کتاب اسطقسات است.
و برهان هندسی (حلّ) صنف دوم چنین است. خط AB را مفروض و مساوی عدد مفروض و AC را واحد و عمود بر AB قرار می دهیم، و مستطیل AD را تمام می کنیم. پس معلوم است که مساحت مستطیل AD مساوی عدد مفروض است. سپس-بنابر آنچه اوقلیدس در شکل چهاردهم از مقاله دوم کتاب خود ثابت کرده- سطحی به شکل مربع (که مساحت آن) مساوی مستطیل AD (باشد) می سازیم، و آن مربع E است. پس مربع E مساوی عدد مفروض و لهذا معلوم است، و بالنتیجه ضلع آن نیز معلوم می باشد ( در برهانی که اوقلیدس در شکل مذکور آورده تأمل کنید)، و این همان است که می خواستیم.
(تعریف-) و هر وقت درین رساله گوییم که عددی مساوی سطحی است، در چنین موردی، مقصود ما از عدد، سطحی است (چهار ضلعی) که زوایای آن قائمه باشند، و یکی از دو ضلع (مجاور) آن واحد باشد، و دیگری از حیث اندازه مساوی عدد مفروض باشد، به طوری که هر یک از اجزای اندازه آن مساوی ضلع دوم (یعنی آنکه واحد فرض کرده ایم) باشد...
(معادلات سه جمله ای درجه دوم)
اینک که مفردات را آوردیم به سه صنف اول از اصناف دوازده گانه می پردازیم. و صنف اول از آنها (مانند) آن است که مالی و ده جذر معادل سی و نه عدد باشد. پس ( برای حل آن ) نصف (عده) جذرها را در مثل آن ضرب کن و حاصل را بر عدد بیفزا، و از جذر حاصل جمع نصف عده جذرها را کم کن. باقیمانده همان جذر مال است.(15)اگر مسئله عددی باشد ( برای امکان آن) این دو شرط باید برقرار باشد؛ یکی از آنها اینکه عده جذرها عدد زوجی باشد تا نصف داشته باشد، و دوم اینکه مجموع مربع نصف (عده ی) جذرها با عدد مربع (کامل) باشد، والا مسئله از جنبه عددی غیر ممکن است. اما از جنبه هندسی هیچ یک از مسائل این صنف ممتنع نیست، و چون برهان هندسی (حل) این صنف صورت پذیرد برهان آن از جنبه عددی آسان خواهد بود، و برهان هندسی آن چنین است:
فرض می کنیم که مربع AC با ده جذر آن معادل سی و نه عدد باشد، و سطح CE (مساوی) ده جذر آن باشد. پس خط DE ده خواهد بود. و این خط را در Z نصف می کنیم. حال چون خط DE در Z نصف شده و AD در امتداد آن بر آن افزوده شده، ( بنا بر شکل ششم مقاله دوم اصول،) حاصل ضرب EA در AD، که مساوی سطح EB است، بعلاوه مربع DZ مساوی مربع ZA است. اما مربع DZ که مساوی نصف (عده ی) جذرهاست معلوم است، و سطح BE که عدد مفروض است معلوم می باشد. پس مربع AZ معلوم و (بالنتیجه خط AZ معلوم است، ) و چون ZD از آن کاسته شود، باقیمانده، که AD باشد، معلوم خواهد بود.(16)
پی نوشت ها :
1-در بعضی از نسخه ها این نام به صورت «الکرجی» آمده، و بعضی از محققان جدید بر آنند که صورت درست کلمه همین کرجی است نه کرخی. ولی در تاریخ اسلامی متأخر همیشه از او به نام کرخی یاد کرده اند.
2-اخوان الصفا، رساله الجامعه (دمشق، مطبعه الترقی، 1949)،ص9.
3-رسائل اخوان الصفا، چاپ المطبعه المصریه، 1928، الرساله العددیه، ص 25-27.
4-مقصود از عدد اصم، بنا به تعریفی که در جای دیگر همین رساله آمده، عدد اول است.
5-همان کتاب، ص 35-39.
6-رسائل اخوان الصفا، چاپ نامبرده، ج2، الرساله الاولی من النفسانیات، ص 203-201.
7-اخوان الصفا، رسائل، چاپ نامبرده، جلد اول، الرساله الهندسیه، ص 29.
8-نقل از جبر و مقابله خوارزمی، ترجمه حسین خدیوجم (انتشارات خوارزمی، تهران،1348)، با تصرف از ص 25، 29-28، 65-66.
9- عبارت متن مشتمل برضمایر چندی است که مراجع آنها آشکار نیست. ترجمه فوق، تا حدی که ما می توانیم تشخیص دهیم، با متن و با اصل مطلب ظاهراً نا مطابق نیست.
10- یعنی مکان را نوعی از جنس کم و در مرتبه سطح می شمارند.
11- مقصود عدد، شی، مال، کعب، و غیره است. معادلاتی که درین مقاله مورد بحث است، به اصطلاح امروز، یک مجهولی است، و هر گاه از معادله ای بین چند مرتبه صحبت شود، مقصود مراتب مربوط به یک مجهول (یعنی یک شیء) است که همان مجهول مسئله می باشد. بعلاوه خیام همواره ضریب جمله بالاترین درجه را واحد می گیرد، و در بیان صورت معادلات اغلب به ذکر مراتب اکتفا می کند و متعرض ضرایب نمی شود، و مثلاً معادله
12- عبارت داخل ( ) را به عنوان ترجمه عبارت ذیل از خیام آورده ایم:
و اذا قیل مال المال فی المقادیر فانما یقال ذلک لعدد اجزائها عند المساحه لا لذواتها ممسوحه.
ظاهرا مقصود خیام این است که اگر از «مال مال» یک قطعه خط، یعنی قوه چهارم آن، صحبت شود، قوه چهارم عددی است که نماینده طول آن قطعه است نه قوه چهارم آن قطعه. مؤید این تفسیر سخن خیام است در رساله تحلیل (60402 SS: «اطلاق الفاظ مال مال... بر مقادیر متصل از جهت اطلاق عدد بر این مقادیر است.»
13- مقصود سه معادله
x²+ bx = a و x²+a=bx, a²=a+bx
است. خیام معادلات bx=x²,a=x²,a=x را که در آثار پیشینیان آمده از قلم انداخته ولی بعداً در طبقه بندی آورده است.
14- عدد، شیء، مال، کعب.
15- صورت معادله x²+bx= a و جوابی که خیام می دهد این است:
منبع: نصر، سید حسین؛ (1351) علم و تمدن در اسلام، ترجمه احمد آرام، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ چهارم.
مقالات مرتبط
تازه های مقالات
ارسال نظر
در ارسال نظر شما خطایی رخ داده است
کاربر گرامی، ضمن تشکر از شما نظر شما با موفقیت ثبت گردید. و پس از تائید در فهرست نظرات نمایش داده می شود
نام :
ایمیل :
نظرات کاربران
{{Fullname}} {{Creationdate}}
{{Body}}