حساب سرانگشتی

تاریخ واره ای از ریاضیات شرقی

گمان مبرید که ریاضیات برای عقل سلیم دشوار و گنگ و نفرت انگیز است؛ فقط صورت اثیری شده عقل سلیم است.
لُرد کِلوین
گهواره نوع بشر و نیز فرهنگ غرب، خاور نزدیک است. هنگامی که ماجراجویان این زادگاه را ترک کردند تا دشت های اروپا را درنوردند، خویشاوندانشان همان جا باقی ماندند و تمدن ها و فرهنگ های مختلف را بنا نهادند. قرن ها بعد، حکیمان شرق کار تعلیم این خویشاوندان همچنان عقب مانده و وحشی خویش را به عهده گرفتند و ارکان ریاضی جرو لاینفک دانش هایی بود که این حکیمان به انسان غربی بخشیدند. از این رو برای ردیابی تأثیر ریاضیات بر فرهنگ معاصر، لازم است به تمدن های اصلی خاور نزدیک بپردازیم.
این نکته را باید به اشاره یاد کنیم که مراحل ساده ریاضیات در تمدن های ابتدایی طی شد. و انگیزه طی چنین مرحله هایی بی تردید نیازهای صرفاً عملی بود. مبادله پایاپای مایحتاج روزانه که حتی در ابتدایی ترین نمونه های جامعه انسانی صورت می گیرد، به نوعی شمارش نیاز دارد.
از آن جا که استفاده از انگشت فرایند شمردن را آسان می کند، عجیب نیست که انسان ابتدایی، مچون طفلی، از انگشت های دست و پا به عنوان نوعی چوب خط برای اطمینان از درستی شمارش چیزها استفاده کند. نشانه های این طریق باستانی شمارش هنوز در زبان ما دیده می شود: واژه digit (رقم) در انگلیسی هم به معنی عدد مثل 1، 2، 3 ... است هم به معنی انگشت. بی تردید همین استفاده از انگشت نظام ده دهی را در میان ما، به صورت ده، صد (ده در ده)، هزار (ده در صد) و الی آخر راواج داده است. حتی در تمدن های ابتدایی هم نمادهای خاصی برای نمایش اعداد شکل گرفت. این تمدن ها با استفاده از نماد آشنایی خود با این واقعیت را نشان می دهند که سه گوسفند و سه سیب و سه تیر وجه مشترکی دارند که همان کمیت « سه» است. درک عدد به عنوان یک ایده مجرد- مجرد به این معنا که ارتباطی با اشیای فیزیکی خاص ندارد- یکی از پیشرفت های عمده در تاریخ اندیشه به شمار می آید. هر یک از ما در دوران دبستانی فرایند فکری مشابه این را، که عبارت است از تفکیک اعداد از اشیای فیزیکی، طی می کنیم.
تمدن های ابتدایی چهار عمل اصلی حساب، یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را نیز پدید آوردند. با مطالعه اقوام عقب مانده هم روزگار خودمان می توان دریافت که چهار عمل یاد شده را آدمی به آسانی فرا نگرفت. وقتی رمه داری در بسیاری از جوامع ابتدایی چند رأس گوسفند می فروشد، مجموع بهای آن را نمی پذیرد و باید پول هر گوسفند را جداگانه با او حساب کرد. راه دیگر که ضرب کردن تعداد گوسفندان در قیمت هر گوسفند است، ذهن او را آشفته می کند و این گمان را در او به وجود می آورد که سرش کلاه رفته است.
شکی نیست که هندسه نیز نظیر سیستم اعداد ، برای برآوردن نیازهای آدمی در تمدن های ابتدایی پدید آمد. مفهوم های بنیادی هندسه از مشاهده شکل های تشکیل یافته با اشیای فیزیکی پدید آمد. به عنوان مثال، احتمالاً مفهوم زاویه از مشاهده زاویه هایی که بازو و زانو تشکیل می دهند، به وجود آمده است. در بسیاری از زبان ها، از جمله در آلمانی جدید، کلمه ای که به معنی ضلع زاویه است، همان کلمه ای است که معنی ساق را نیز دارد. در زبان انگلیسی ضلع مثلث قائم الزاویه را arm می گوییم که در عین حال به معنی بازو نیز هست.
تمدن های اصلی خاور نزدیک که فرهنگ ما و ریاضیات ما از آن ریشه گرفته، تمدن مصر و بابل است. در قدیمی ترین آثار ثبت شده از این تمدن ها سیستم های اعداد کاملاً پیشرفته، کمی جبر و اندکی مبادی ساده هندسه را می یابیم. مصریان برای عددهای 1 تا 9 از نشانه های ساده ای استفاده می کردند. به این ترتیب: 1، 11، 111 و الی آخر. آن ها 10 را با نشانه بخصوصی نشان می دادند که چنین بود: ∩ و همین طور نمادهای بخصوصی برای 100، 1000 و دیگر عددهای بزرگ داشتند. آن ها برای نشان دادن اعداد میان این ها، از همین نشانه ها به صورتی بسیار طبیعی استفاده می کردند. به این ترتیب، مثلاً 21 به این صورت نوشته می شد:1
و از این رو کل آن عدد برابر با 1+10+10+60 یعنی 81 به حساب می آمد. بنابر این یک نماد واحد بر حسب جایی که در عدد داشت، می توانست ارزش های متفاوتی داشته باشد. اصلی که در این جا به کار رفته است، همان اصل ارزش مکانی است، و دقیقاً همان چیزی است که ما امروزه به کار می بریم. در عدد 569، رقم 9 نماینده واحد است، اما 6 به معنی 6 بار 10 و 5 به معنی . به عبارت دیگر، جایگاه یک رقم در عدد ارزشی را که آن رقم نماینده آن است تعیین می کند، و این ارزش کمی بسته به جایگاه آن رقم حاصل ضربی از 10 یا مربع 10، مکعب 10 و ... است. در این سیستم عدد ده مبنا تلقی می شود.
از آن جا که بابلیان ارزش مکانی را در ارتباط با مبنای شصت باب کردند، یونانیان و اروپاییان تا قرن شانزدهم از این سیستم در تمام محاسبات نجومی و ریاضی خود استفاده می کردند و این مبنا تا به امروز در تقسیم زاویه و ساعت به 60 دقیقه و 60 ثانیه باقی مانده است. پایه 10 را مردم هند توسعه بخشیدند و این پایه در اواخر سده های میانه بین اروپاییان باب شد.
اصلی ارزش مکانی آن قدر اهمیت دارد که شایسته اندکی بحث بیشتر باشد. مبنای ده را که در نظر بگیرید می بینید ده علامت برای نشان دادن هر کمیت، هر قدر هم که بزرگ باشد، کافی است. این نحوه نمایش اعداد، در مقایسه با روش های دیگر مثلاً آن که مصریان به کار می بردند، فشرده و سیستماتیک است. از این مهم تر، این واقعیت است که اصل یاد شده توسعه روش های کارآمد معاصر ما را برای محاسبه میسر کرد.
این نکته را نیز باید یادآور شویم که لازم نیست حتماً از ده به عنوان مبنا استفاده کنیم و اصولاً از هر عدد تامی می توان برای این کار استفاده کرد. مثلاً فرض کنید کسی از عدد پنج استفاده کند. در این صورت او تنها نیاز به پنج علامت، مثلاً 1، 2، 3، 4، و 0 دارد. برای نشان دادن کمیت پنج او باید بنویسد: 10 که علامت 1 برای او به معنی 1 بار پنج است، همان طور که علامت 1 در ده (10) معمول ما به معنی یک بار 10 است. این شخص به جای 6 خواهد نوشت: 11؛ هفت او علامت 12 را دارد؛ یازده از نظر او 21 است و بیست و پنج برایش شکلی چون 100 دارد که به معنی شخص مورد نظر ما برای این که بتواند از مبنای پنج خود به صورتی سیستماتیک استفاده کند، باید جدول های جمع و ضرب مربوط را هم داشته باشد. از این رو 4+3 برای او مساوی 12 است و 13+14، با توجه به این که این هر دو عدد به مبنای پنج مربوط اند و معادل هشت و نه در سیستم ده دهی ما هستند، برابر 32 خواهد شد، و به همین ترتیب این پرسش که کدام مبنا بهتر است، با جدیت بررسی شده و دلایل متقنی به نفع عدد دوازده وجود دارد، اما تا آن جا که استفاده معمول از اعداد مورد نظر است، رسم و عادت به نفع ده است.
برای آن که بیشترین سود را از اصل ارزش مکانی بریم به وجود صفر نیاز داریم، زیرا باید راهی برای تمیز بین مثلاً 503 و 53 داشته باشیم. بابلی ها برای جدا کردن 5 و 3 در عدد 503 از نماد ویژه ای استفاده می کردند، اما نتوانستند تشخیص دهند که این نماد را هم می توان چون یک عدد در نظر گرفت؛ یعنی، این نکته را درک نکردند که صفر نیز نماینده کمیتی است و می توان آن را جمع و تفریق کرد و به طور کلی نظیر دیگر عددها از آن استفاده کرد. بین عدد صفر و مفهوم هیچ باید کاملاً تمایز قائل شد. نمره یک دانشجو در واحد ریاضیات، اگر این واحد را انتخاب نکرده باشد، هیچ است. اما اگر این درس را انتخاب کرده باشد و نتیجه کار وی بی ارزش تلقی شود، صفر خواهد بود.
برای تمدن های ابتدایی محاسبه با اعداد کسری کار ساده ای نبود. بابلی ها نشانه کافی برای این کار در اختیار نداشتند. از این رو، نزد آنان هم به معنای 30 بود و هم به معنای و مفهوم درست آن از مضمون متن درک می شد. مصریان به لزوم تحویل یک کسر به مجموع کسرهایی که صورت هر کدام آن ها یک باشد پی برده بودند. به این ترتیب آنان را پیش از کار محاسبه ای با آن به صورت بیان می کردند. با وجود آن که روش های جدید کار با اعداد کسری بسیار کارآمدتر است، هنوز برای بسیاری سروکله زدن با اعداد کسری کار مشکلی به حساب می آید.
تمدن های باستانی مصر و بابل هم حساب را تا ورای استفاده از اعداد صحیح و کسری پیش بردند. می دانیم که آن ها می توانستند پاره ای از مسائل حاوی کمیت های مجهول را حل کنند؛ هر چند روش هایی که آنان به کار می بردند خام تر و غیر عام تر از روش هایی است که ما در اوایل دوره دبیرستان خود می آموزیم. در واقع، گمان بر این است که سرچشمه بخشی از دانش جبری اقلیدس، بابلی ها بوده اند.
بابلیان حساب و جبری ممتاز را پروردند، اما عموماً گمان می رود که مصریان در قلمرو هندسه از آنان پیشی گرفته باشند. بحث های زیادی در زمینه این دو جهت گیری شده است. از جمله دلایلی که تاریخ دانان ارائه می کنند، این است که مصریان هرگز به روش های مناسبی با کار با اعداد، به خصوص اعداد کسری، دست نیافتند و در نتیجه نتوانستند در قلمرو جبر به پیشرفتی برسند. در مقابل، آنان بر هندسه تأکید می ورزیدند. نظر دیگر آن است که هندسه « هدیه نیل» است، هرودوت روایت می کند که در قرن چهاردهم پیش از میلاد به دستور شاه سسوستریس (1) (سنوسرت) زمین در میان مصریان چنان تقسیم شد که هر کس زمینی چهار گوش به یک اندازه داشته باشد و به نسبت آن مالیات بپردازد. اگر مقداری از زمین کسی بر اثر طغیان سالانه نیل از دست می رفت، می بایست این خسارت را به فرعون گزارش کند و او بازرسی برای اندازه گیری میزان زمین از دست رفته و کاهش مالیات به همان نسبت می فرستاد. بدین سان علم هندسه از سرزمین مصر جلوه کرد و شکوفا شد. و از همین روست که معادل انگلیسی واژه « هندسه» («geometry») ترکیبی است از دو پاره « geo» یعنی زمین و « metron» یعنی اندازه گیری. هرودوت شاید دلیل تأکید بر هندسه را در مصر به درستی ابراز کرده باشد، اما به نظر می رسد که وی وجود هندسه را در هزاره های پیش از قرن چهاردهم پیش از میلاد نادیده گرفته است.
هندسه نزد مصریان و بابلیان حکم حساب سرانگشتی یا اصولی عملی را داشت. خط راست مفهومی بیش از تکه طنابی که محکم از هر دو طرف کشیده شود، نداشت. و در واقع معنای کلمه ی یونانی «hypotenuse» (به معنی « وتر») « کشیده شده در برابر» است و به احتمال زیاد مقصود از آن کشیده شده در برابر دو ضلع یک زاویه قائمه است. صفحه برای آن ها صرفاً معنی تکه زمینی مسطح را داشت. فرمول هایی را هم که برای تعیین حجم انبار و مساحت زمین در اختیار داشتند، از طریق تجربه و خطا به دست آورده بودند. در نتیجه، بسیاری از فرمول های آن ها کاملاً خطا بود. مثلاً فرمول مصریان برای تعیین مساخت دایره ، 16/3 برابر کردن مجذور شعاع بود که فرمول غلطی است؛ اما برای کاری که مصریان با آن داشتند کفایت می کرد.
مصریان و بابلیان از دانش ریاضی خود استفاده های عملی بسیاری می کردند. پاپیروس ها و لوح های گلی آن ها حکایت از استفاده آن ها از ریاضی در امور مربوط به سفته، اعتبار، گرو و رهن، قسط بندی و تقسیم درست سود تجاری دارد. در چنین مبادلات تجاری ای از حساب و جبر استفاده می کردند، و فرمول های هندسی را برای تعیین مساحت مزرعه و مقدار گندم موجود در انبارهای استوانه ای و هرمی به کار می بردند. از این گذشته، مصریان و بابلیان معمارانی خستگی ناپذیر بودند.
حتی امروزه، در عصر ما آسمان خراش هاست، معابد و هرم های آن ها در نظر ما آثار مهندسی ستایش انگیزی به شمار می آیند. بابلیان در زمینه آبیاری نیز مهندسان ممتازی بودند. دجله و فرات، که خون حیات این مردمان بود، از طریق کانال هایی با حفاری هوشمندانه خاک را بارور می کردند و بقای شهرهای پیشرفته و پرجمعیتی چون اور و بابل را در آن اقلیم گرم و خشک میسر می ساختند. اما این باور- هر قدر هم تکرار شود- خطاست که گمان کنیم ریاضیات در مصر و بابل تنها محدود به حل مسائل عملی بود.
چنین باوری در مورد آن دوره همان قدر خطاست که در مورد روزگار خود چنین باوری داشته باشیم. بر عکس، با بررسی دقیق در می یابیم که جلوه های دقیق افکار و احساسات انسان، اعم از هنری و مذهبی و عملی و فلسفی، در آن زمان هم نظیر امروز، جنبه ای از ریاضیات را در برداشته است. نزدیکی و همراهی ریاضیات با نقاشی، معماری و کاوش در طبیعت در میان مصریان و بابلیان به هیچ وجه کم اهمیت تر از ارتباط ریاضی با تجارت، کشاورزی و بنایی نبوده است.
آن نویسندگانی که معتقدند ریاضیات تنها ارزش کاربردی دارد، غالباً در پی انگیزه ای عملی برای فعالیت ریاضی هستند که از لحاظ منطقی چه بسا وجود نداشته باشد.
استدلال آن ها از این قرار است: ریاضیات برای تنظیم و اصلاح تقویم و دریانوردی به کار می رفت، از این رو انگیزه آفرینش ریاضیات این قبیل مسئله های عملی بود؛ درست همان طور که نیاز به شمارش به شکل گیری سیستم اعداد منجر شد. این نحوه استدلال، « در نتیجه این، پس به دلیل این» یا « معلول این، پس علتِ همین» هیچ پیشینه ای ندارد و احتمال درستی آن بسیار اندک است. نه هیچ دریانورد گم شده در دریایی ناگهان دریافت که ستارگان پاسخ مشکل دریانوردی او هستند و نه هیچ زارع مصری ای که دغدغه اش شمارش روزها تا هنگام طغیان سالانه نیل بود تصمیم گرفت که به دیده بانی مسیر خورشید در آسمان بپردازد.
انسان قطعاً پیش از آن که از نجوم و ریاضیات برای دریانوردی و تنظیم و اصلاح تقویم استفاده کند، چون از روی غریزه مسحور و مبهوت طبیعت و آکنده از پرسش های فلسفی مقاوت ناپذیر بوده، با شکیبایی به مشاهده حرکت خورشید و ماه و ستارگان پرداخته است. این نظاره گران خیره مانده در راز طبیعت بر نقص هایی چون فقدان ابزار و دانش قلیل ریاضی خود فائق آمدند و از مشاهدات خود الگوی حرکت اجرام آسمانی را به دست آوردند. اینان کسانی بودند که در طلیعه تمدن مصر دریافتند که سال خورشیدی، یعنی سال مشتمل بر فصل ها، حدود 365 روز دارد.
صبر و استقامت آنان ثمرات بیشتری نیز داشت. آن ها مشاهده کردند که وقتی طغیان سالانه نیل به قاهره می رسد، ستاره شعرای یمانی، به هنگام طلوع خورشید آن روز، در آسمان ظاهر می شود. این مشاهده باید سال ها پیش از تهیه نقشه مسیر این ستاره در آسمان برای پیش بینی وقت طغیان صورت گرفته باشد. از این مهم تر، از آنجا که سال تقویمی 365 روزه به اندازه یک چهارم روز کوتاه تر از سال خورشیدی بود، پس از گذشت چندین سال، این تقویم دیگر بیانگر هنگام تجلی این ستاره در آسمان سحری نبود، و می بایست 1460 سال یعنی 365×4 سال بگذرد تا تقویم مذکور بار دیگر با موقعیت شعرای یمانی در آسمان توافق یابد. این دوره 1460 ساله بر اختر شناسان مصر نیز معلوم بود. تردیدی نیست پیش از آن که کسی به فکر کاربرد چنین نظم و سیاقی در آسمان بیفتد وجود آن ها می بایست شناخته شود.
پس از آن که مطالعات نجومی و ریاضی این نظم و سیاق را آشکار کرد، بشر بابلی و مصری آموخت که به دیده بانی آسمان بنشیند. او بر حسب زمانی که آسمان به وی اعلام می کرد شکار یا ماهیگری می کرد، بذر می افشاند، درو می کرد، می رقصید و به انجام آداب و مناسک مذهبی می پرداخت. چندان طولی نکشید که برخی صورت های فلکی نام فعالیت هایی را گرفتند که با آن ها در ارتباط بودند. صورت های فلکی قوس (مرتبط با شکار) و حوت ( مرتبط به ماهیگیری) هنوز با همان اسامی شناخته می شوند.
آسمان درباره زمان وقوع رویدادها تصمیم می گرفت. اما چنین اربابان متکبری اندک تأخیری را در اجرای فرامین خود بر نمی تابیدند. بشر مصری که زندگی اش با کِشت بر خاکی می گذشت که نیل آن را به هنگام سیلاب سالانه خود با گل و لای می پوشاند، می بایست هر آن آماده طغیان نیل باشد. او می بایست خانه و تجهیزات و گله اش را موقتاً از محل دور می کرد و مقدمات بذرپاشی بلافاصله پس از آن را فراهم می کرد. از این رو، وقت وقوع طغیان می بایست پیش بینی شود؛ نه تنها در مصر، بلکه در تمام ممالک لازم بود روزهای کشت و زرع و روزهای تعطیل و روزهای نیایش و قربانی پیش بینی شود.
اما فقط با نگه داشتن حساب روز و شب پیش بینی میسر نبود. زیرا دیری نپایید که سال تقویمی 365 روزه، فقط به سبب همان یک چهارم روز کمبودی که داشت، رابطه خود با فصل ها را به تمامی از دست داد. پیش بینی ایام تعطیل یا روز طغیان نیل، حتی چند روز جلوتر از وقوع آن، نیاز به آگاهی دقیق از حرکت اجرام آسمانی و ریاضیات داشت که تنها در اختیار کاهنان بود. این کاهنان که از اهمیت تقویم برای تنظیم زندگی روزمره و تدارکات احتیاطی آگاه بودند، از این دانش برای تضمین قدرت خود و تحمیل آن بر توده مردم ناآگاه استفاده می کردند. در واقع، باور بر این است که کاهنان مصری مدت دقیق سال خورشیدی را می دانستند، یعنی آگاه بودند که سال خورشیدی روز است، اما آگاهانه این دانش را از مردم پنهان می کردند. همچنین آن ها با آگاهی از این که زمان دقیق وقوع طغیان چه هنگام است، چنین می نمودند که می توانند با آداب و شعایر خود وقوع آن را محقق کنند؛ برای این که زارعان بیچاره را بدوشند. دانایی به علم و ریاضیات در آن زمان هم، همچون امروز، توانایی محسوب می شد.
در حالی که شگفتی در باب آسمان از طریق خویشاوند معتبرش، ستاره شناسی ، به ریاضیات منتهی شد، دیری نپایید که عرفان مذهبی که خود جلوه ای از شگفتی در برابر زندگی، مرگ، باد، باران و چشم انداز طبیعت بود، از طریق خویشاوند امروزه از اعتبار افتاده اش، طالع بینی، ستون های ریاضیات را محکم کرد. بدیهی است که اهمیت طالع بینی را در مذهب های باستانی نباید برحسب بی اعتباری امروزی آن ارزیابی کرد. تقریباً در تمامی این مذاهب اجرام آسمانی، و به خصوص خورشید، خدایانی بودند که بر رویدادهای زمین حکم می راندند. اراده و نقشه های این خدایان را می شد با مطالعه اعمال و آمد و شد منظمشان، سقوط ناگهانی شهاب ها و گرفت های گهگاهی ماه و خورشید درک کرد. برای کاهن عهد باستان پیدا کردن فرمول هایی جهت پیشگیویی آینده بر اساس حرکات سیاره ها و صورت های فلکی همان قدر طبیعی بود که پیش بینی علمی از طریق مطالعه طبیعت و تسلط بر آن برای دانشمند معاصر به کمک تکنیک هایی که در اختیار دارد.
حتی اگر این اجرام آسمانی خدا نمی بودند، برای مردمی که به بلوغ علمی نرسیده بودند دلایل کافی وجود داشت که موقعیت ماه، خورشید و ستارگان را با امور انسانی مرتبط کنند. رابطه محصول زراعی با نور خورشید و وضع آب و هوا به طور کلی، جفت گیری حیوانات در فصول معینی از سال، عادت ماهانه زنان که حتی ارسطو و جالینوس نیز آن را تحت تأثیر فعالیت های ماه می دانستند، و بسیاری از روابط مشابه دیگر، همگی اعتباری محکم به چنین آموزه ای می داد. به خصوص در نظر مصریان، وقوع طغیان نیل درست در روزی که شعرای یمانی در آسمان سحرگاهی ظاهر می شد فقط یک معنا داشت و آن این که شعرای یمانی عامل بروز طغیان است.
نمود مستقیم عرفان مذهبی به روش هندسی را می توان در ساختن و تعیین جهت معبدها و هرم های زیبا مشاهده کرد. در هر شهر عمده بابل معبدی برج آسا به نام زیگورات ساخته می شد. زیگورات عمارتی باشکوه بود که بر فراز یک رشته تراس بنا می شد و راه دستیابی به آن پله های عریضی بود که بر آن ساخته بودند. این بنا آن چنان عظمتی داشت که از فاصله چند کیلومتری به روشنی دیده می شد. معبدها و هرم های مصری هم که بدیهی است نزد همگان مشهور است. به ویژه اهرام را با دقت بسیار زیاد می ساختند، زیرا مقبره پادشاهان به شمار می رفتند و مصریان اعتقاد داشتند که ساختن بنا مطابق با دقایق ریاضی در زندگی آینده مردگان مؤثر است. جهت یافتگی این بناهای مذهبی متناسب با اجرام آسمانی در معبد مشهور آمون رع، خدای خورشید، در کَرنَک به وضوح مشهود است. این بنا رو به غروب آفتاب، در هنگام انقلاب تابستانی ساخته شده است؛ به طوری که در آن روز خورشید مستقیماً به معبد می تابید و دیوارهای پشتی آن را نیز روشن می کرد.
عرفان مذهبی همچنین از ویژگی های پیچیده و کنجکاوکننده اعداد به عنوان ابزاری برای بیان ایده های خود صرف نظر نکرد. عددهای سه و هفت مورد توجه خاص بودند. از آن جا که بدیهی می نمود عالم باید در مدت زمان معینی بنا شده باشد، چرا این مدت عدد مطلوبی همچون هفت نباشد؟ ساخته شدن عالم در چند روز ظاهراً به خوبی بین قدرت خداوند و پیچیدگی طبیعت توافق برقرار می کرد.
علم قبّاله (عرفان یهود) نشان می دهد که مذهبیون برای تبیین راز جهان بر حسب عدد حاضر بودند تا کجا پیش روند. بنا به روایات، پیدایی این علم به کاهنان بابل می رسد که این علم الاعداد پررمز و راز را ابتکار کردند و سپس یهودیان به توسعه اش همت گماشتند. این شبه علم بر اساس چنین ایده ای بود: به هر حرف الفبا عددی نسبت داده می شد. در واقع یونانیان و یهودیان از حروف الفبا به عنوان نمادهای اعداد خود استفاده می کردند. به این ترتیب هر کلمه معادل با عددی می شد که عبارت بود از حاصل جمع اعداد منسوب به حروف تشکیل دهنده آن کلمه. حال اگر عدد معادل دو کلمه یکی بود، معتقد بودند که این دو کلمه با هم رابطه دارند، و از این ارتباط برای پیشگویی استفاده می کردند- بدین سان اگر مثلاً مجموع اعداد تشکیل دهنده نام کاری که شخصی می خواست انجام دهد با کلمه مرگ مساوی می شد، نشانه ای بود از این که عمر آن شخص به سر آمده است.
علایق هنری انسان نیز مانند احساسات مذهبی اش به اکتشاف و کاربرد دانش ریاضی منجر شد. به همان شیوه که معماران برای طراحی و ساخت ابنیه عمومی و معبدها و قصرهای سلطنتی زیبا هندسه را مطالعه می کردند و به کار می بردند، نقاشان نیز جذب شکل های هندسی به عنوان وسیله ابزار دریافت خود از زیبایی می شدند. هنرمندان شهر شوش، در ایران باستان، شش هزار سال پیش، از شکل های هندسی به شیوه هنری مرسوم، آن چنان استفاده می کردند که حاصل کارشان به اندازه هنر انتزاعی معاصر پیچیده است. آن ها بزهایی تصویر کرده اند که قسمت های پیش و پس پیکر آن ها مثلثی شکل و شاخ هایشان به شکل نیم دایره است. سفالینه هایشان را با نقش لک لک هایی تزیین می کردند که تن آن ها از مثلثی بزرگ و سرشان از مثلثی کوچک تشکیل شده است. هندسه، آن گونه که هرودوت ادعا می کرد، فقط هدیه نیل نبود و هنرمندان نیز در بخشش این هدیه به تمدن نقش داشته اند.
تمدن های بابل و مصر از نیازها و علایق انسانی بسیار برای فعالیت ریاضی انگیزه و الهام گرفتند، اما نتوانستند در درک خود از ریاضیات و نیز در ایفای نقش واقعی خود در این زمینه به بزرگی برسند. آنان انبوهی فرمول های ساده و بسیاری قاعده ها و شیوه های ابتدایی را گرد آوردند که تمام آن ها پاسخ به مسائل برخاسته از موقعیت های خاص بود. اما در ریاضیات هیچ پیشرفت عامی رخ نداد، و در هیچ متنی حتی یک اصل عمومی هم اعلام نشد. در پاپیروس اَحمس (2)، که بیشتر آگاهی ما از ریاضیات مصر متکی به آن است، صرفاً از مسائل خاص سخن رفته بدون آن که هچ تبیین یا استدلالی برای عملیات ریاضی ارائه شود. برخی معتقدند که ممکن است کاهنان مصر و بابل اصول عامی از ریاضیات را در اختیار داشته، اما این دانش را مخفی نگاه می داشتند. این نظر البته تا حدود زیادی در حد حدس و گمان است؛ ولی، از سویی، عنوان پاپیروس احمس یعنی راهنمایی هایی برای کسب دانش همه چیزهای ناشناخته و، از سوی دیگر، سرشت عمومی دین سالاری مصر، با آن حالت شفاهی انتقال دانش و تلاش های آن دین سالاری تا احترامی آمیخته به هراس به نفع طبقه حاکم در میان مردم پدید آورد، مؤید این نظر است. این ناتوانی از ایجاد یک پیکره علمی عمده از دانش موجود یا پرداختن به جزئیات و ایجاد نوعی سنتز از ترکیب آن ها در علم نجوم مصر و بابل نیز مشهود است؛ به طوری که در طول هزاران سال رصد آسمان هیچ نظریه ای برای هم بستگی یا توجه روشن آن رصدها پدید نیامد.
در مورد استفاده از علم ریاضی در بنای هرم ها و معابد به عنوان گواهی برای عمق معرفت ریاضی عهد باستانی بزرگ نمایی شده است. برخی نویسندگان می گویند که اضلاع هر هرم همگی طولی کاملاً برابر دارند و زوایای قائم آن ها بسیار نزدیک به 90 درجه است. اما چنین نتایجی در واقع محصول دقت و حوصله بود نه ریاضیات، مگر کامپیوترهای دقیق لزوماً ریاضی دانان بزرگی هستند که بنگاریم سازندگان آن هرم ها بوده اند؟ نکته شگفتی آور در مورد کارهای آنان نه دقت ریاضی، که سازمان دهی و مهندسی چنین تلاش های عظیمی است.
از دیدگاه معاصر، ریاضیات مصر و بابل از جنبه مهم دیگری نیز ضعف داشت و آن تجربی بودن دستیابی به نتایج بود. بد نیست نگاهی به شیوه دستیابی مصریان و بابلیان به فرمول هایشان بیندازیم.
فرض کنید زارعی بخواهد 100 مترمربع زمین را هر چه ارزان تر حصار کشی کند و مایل است که این زمین شکلی چهار گوش داشته باشد. او برای آن که هزینه حصار کشی حداقل شود، باید پیرامون زمین را هر چه کوچک تر بگیرد. حال زارع ما می تواند نقشه چهار گوش هایی به ابعاد مختلف را بکشد که مساحت آن ها 100 متر مربع شود؛ مثلاً 50 متر در 2 متر، 20 متر در 5 متر، 8 متر در 5/12 متر، و بسیاری حالت های دیگر. ولی، گرچه مساحت تمام این چهار گوش های 100 متر مربع است، پیرامون هر کدام با دیگری فرق دارد. مثلاً پیرامون چهار گوشی با ابعاد 2 در 50 برابر 104 متر است و اگر ابعاد چهار گوش 20 در 5 باشد، این پیرامون به 50 متر می رسد، و مانند آن. طبق همین محاسبات معدود معلوم می شود که تغییر پیرامون چهار گوش بر اثر تغییر ابعاد چقدر چشمگیر است.
حالا تازه دردسر زارع شروع می شود. او اگر اندکی حساب سرش بشود، می تواند ابعاد گوناگونی را که حال آن ها 100 متر مربع زمین می شود امتحان کند و از میان آن ها آن تعدادی را برگزیند که کمترین پیرامون را دارند. اما از آن جا که امکان ها نامحدودند، او هرگز نمی تواند تمام آن ها را امتحان کند؛ از این رو مطلقاً نمی تواند بهترین گزینه را مشخص کند. زارعی که با هوش باشد، متوجه می شود که هر چه طول و عرض چهار گوشی را که انتخاب می کند به هم نزدیک تر باشند، پیرامون مورد نظر کمتر است. آن گاه ممکن است نتیجه بگیرد که مربعی با ابعاد 10 در 10 متر کمترین پیرامون ممکن را دارد. اما نمی تواند به نتیجه ای که گرفته است مطمئن باشد. با این حال، روش آزمون و خطای او به نتیجه محتملی منجر شده است؛ یعنی این که، در میان چهار گوش هایی با مساحت معین، مربع کمترین پیرامون را دارد. بی تردید زارع ما از این گمانه استفاده خواهد کرد و از آن جا که حساب و تجربه مستمر در ارتباط با زمین های چهار گوش این نتیجه گیری را تأیید می کند، آن را به عنوان یک واقعیت ریاضی مطمئن به نسل بعدی منتقل می کند. البته این نتیجه گیری به هیچ وجه ثابت نشده است و هیچ دانشجوی ریاضی ای مجاز نیست که از این روش برای « اثبات» این نتیجه گیری بهره گیرد. بهترین چیزی که درباره این رویکرد باستانی به دانش ریاضی می توان گفت این است که در چنین رویکردی صبر و حوصله به جای نبوغ می نشیند.
در این جا لازم است به جنبه دیگری از ریاضیات عصر باستان هم توجه کنیم. کاهنان تمامی معارف از جمله ریاضی را به نفع مقصودهای خود مصاده می کردند. دانش به آن ها قدرت می داد و آنان با مصادره دانش احتمال این را که کسی قدرتشان را تهدید کند کاهش می دادند. وانگهی، جهل زاینده ترس است و مردمی که بترسند برای راهنمایی و قت قلب دست به دامن رهبران خود می شوند. از این طریف، کاهنان قدرت خود را تضمین می کردند و می توانستند حاکمیت خود را بر مردم تحمیل کنند. دین سالاری های مصر و بابل در قیاس با تمدن هایی که در آن ها طبقه کاهن وجود نداشت مایه سرافکندگی اند. خواهیم دید طی چند صد سالی که تمدن یونانی شکوفا شد، و نیز چند صد سال اخیر تا به زمانه ما، حجم تولید، معرفت و پیشرفت به مراتب بیش از آن هزاره های حیات این دو تمدن باستانی بوده است.

پی نوشت ها :

1- Sesostris
2- Ahmes، ریاضی دان مصری که در حدود 1550 یا 1650 ق م می زیست.

منبع :کلاین، موریس؛ (1388)، نقش ریاضیات در فرهنگ غرب، ترجمه محمد دانش، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی.