اصول اقلیدس

 

تنها اقلیدس بت « زیبایی» را برهنه دیده است. خوشا آنان ولو یک بار شده از دور صدای مهیب صندل آن بت را بر سنگفرش شنیده اند.

ادنا سنت وینسنت میلای

در دوره ای نسبتاً کوتاه، اندیشمندان بزرگی چون طالس، فیثاغورس، ائودوکسوس، اقلیدس و آپولونیوس (1) حجم چشمگیری ریاضیات درجه اول پدید آوردند. شهرت این مردان سرتاسر گوشه و کنار دنیای مدیترانه ای را فرا گرفت و شاگردان بسیاری را به سویشان جلب کرد. استادان و شاگردان در مکتب هایی جمع می شدند که هر چند تعداد ساختمان هایشان زیاد نبود، به معنای دقیق کلمه مراکز آموزشی محسوب می شدند. تعلیمات این مکتب ها بر کل حیات فکری یونان سیطره داشت.
مکتب فیثاغورسی تأثیرگذارترین مکتب بود- هم از این نظر که ماهیت ریاضیات یونانی را تعیین کرد و هم از این جهت که محتوای آن را. بنیان گذار این مکتب، فیثاغورس، که در حجاب افسانه ها غرق شده است، در حدود سال 569 پ م در جزیره ساموس متولد شد. او سفرهای متعدد و طولانی ای به هندوستان و مصر کرد و دانش ریاضی و نیز عرفان بسیاری به دست آورد. پس از این، در کروتونا (2)، کوچ نشینی یونانی در جنوب ایتالیا، انجمنی را بنا نهاد که آموزه های عرفانی و عقلانی را کنار هم جمع می کرد. در عرفان، فیثاغورسیان از مذهب یونان الهام می گرفتند و گمان می کردند لازم است روح را از آلودگی مادیات پاک کنند و آن را از زندان تن نجات دهند. فیثاغورسیان برای رسیدن به این مقاصد تجرد می گزیدند و آداب و تشریفات خاصی به جای می آوردند. به علاوه، به رعایت تابوهای خاصی معتقد بودند. آنان جامه پشمی نمی پوشیدند؛ جز در مراسم عبادتی و مذهبی گوشت یا باقلا نمی خوردند؛ به خروس سفید دست نمی زدند؛ بر ظرفی که پیمانه سنجش مالیات بود [چون بشکه یا چیلک] نمی نشستند؛ در معابد عمومی قدم نمی زدند؛ از آهن برای به هم زدن آتش استفاده نمی کردند و نیز خاکستر را در آتشدان به جا نمی گذاشتند. آن ها معتقد بودند وقتی روح از کالبد خارج شد به کالبد دیگری وارد می شود (تناسخ). گزنوفون (3) می گوید که روزی فیثاغورس در راه دید که سگی را می زند، فریاد کشید که دست نگه دارید، دیگر او را نزنید؛ این روح یک دوست است، من آن را شناختم، به شکوه اش گوش کنید. این انجمن در وهله اول نخست خود را وقف مطالعه فلسفه، علم و ریاضیات کرده بود؛ گویی که این انجمن کاربردهای خوفناکی را پیش بینی می کرد که بعضی از این گونه معرفت ها می توانست به بار آورد، و از همین رو به رازداری و عضویت مادام العمر اعضای جدیدی که می گرفت بسیار متعهد بود. گرچه عضوگیری به مردان محدود بود، زنان هم می توانستند در جلسات سخنرانی شرکت کنند؛ چرا که فیثاغورس اعتقاد داشت زنان هم ارزش هایی دارند. سرشت مخفی این گروه و آداب و اعمال رازآمیز آنان شک و نفرت مردم کروتونا را برانگیخت؛ به طوری که سرانجام فیثاغورسیان را از شهر راندند و خانه هایشان را به آتش کشیدند. فیثاغورس از این شهر به متاپونتوم (4) در ایتالیای جنوبی گریخت و به روایتی در آن جا به قتل رسید؛ هر چند شاگردانش در دیگر مراکز یونانی پراکنده شدند و به تعلیمات وی ادامه دادند.
فیثاغورسیان از آن رو که به ریاضیات شأنی خاص و مستقل بخشیدند قابل ستایش اند. آن ها نخستین گروهی بودند که مفاهیم ریاضی را مجردات دانستند و هر چند طالس و ایونی های هم ولایتی اش قضایایی را به روش استنتاجی ثابت کرده بودند، فیثاغورسیان نخستین کسانی بودند که تنها از این روند، آن هم به صورتی سیستماتیک، استفاده کردند. آن ها نظریه ریاضی را از عمل ریاضی، درست مثل ژئودزی و محاسبه، متمایز کردند و قضیه های اساسی هندسه مسطحه و فضایی و نیز قضیه های علم حساب ( arithmetica) یا نظریه اعداد را ثابت کردند و، حتی با وجود اکراهی که داشتند، گنگی ریشه دوم عدد دو را ثابت کردند. آکادمی افلاطون، که ارسطو بهترین دانشجوی آن بود، از فیثاغورسیان شناخته شده تر است (ارسطو پس از مرگ افلاطون آکادمی را ترک گفت و خود مکتب لوکیون (5) را بنا نهاد).
شاگردان افلاطون از زمره مشهورترین فیلسوفان، ریاضی دانان و ستاره شناسان عصر خود بودند. این شاگردان تحت تأثیر استاد خود، افلاطون، بر ریاضیات محض تا حدی تأکید می کردند که عملاً همه کاربردهای عملی آن را به طاق نسیان سپردند، و تا حد زیادی بر معرفت ریاضی افزودند. این مکتب مدت ها بعد از آن که رهبری اصلی علم و ریاضیات به اسکندریه نقل مکان کند، همچنان در فلسفه مقام ممتاز خود را حفظ کرد. آکادمی افلاطون پس از نهصد سال دوام مستمر، در قرن ششم میلادی، به فرمان یوستی نیانوس (6) امپراتور بسته شد.
کاروبار بسیاری از مکتب ها و افراد جدا از هم را که در سرتاسر منطقه مدیترانه از آسیای صغیر گرفته تا سیسیل و جنوب ایتالیا زندگی می کردند، اقلیدس در شاهکار خود، اصول (7)، یکجا کنار هم جمع کرد. این، مشهورترین شرح ریاضی است که حدود سال 300 پ م تدوین شده که، در آن، هم تاریخ ریاضیات یک عصر آمده است و هم شرح منطقی هندسه. اقلیدس به کمک چند اصل متعارفی (8) (اصول موضوع)، که با هوشمندی و خردمندی تمام برگزیده بود، تمامی نتیجه گیری های مهم استادان بزرگ دوره کلاسیک یونان را، که به حدود پانصد قضیه می رسید، استنتاج کرد. این اصول موضوعه، آرایش و تنظیم و شکل ارائه آن ها، و تکمیل و تعمیم بعضی از مسائل کاملاً از آن خود اوست.
با بسیاری از مباحث اصول اقلیدس، از طریق آموزش دبیرستانی خود آشنا هستیم. به هر حال، پیش از آن که به بررسی اهمیت این کتاب در فرهنگ غرب بپردازیم، شاید بد نباشد اشاراتی هم به برخی از دیگر جنبه های این تأثیرگذارترین و، به تعبیر برخی، انقلابی ترین کتاب درسی تاریخ کنیم. آنچه مورد نظر ماست، ساختار کار اقلیدس است.
می دانیم که هندسه از نقطه، خط، سطح، زاویه، دایره، مثلث و نظایر آن ها بحث می کند. از دید اقلیدس و نیز از دید یونانیانی که اقلیدس به معرفی کارشان پرداخت، این اصطلاحات نماینده خود اجسام فیزیکی نیستند؛ بلکه مفاهیمی هستند که از اجسام فیزیکی جدا یا انتزاع شده اند. در واقع، فقط چند ویژگی انگشت شمار از اجسام فیزیکی وجود دارد که در تجرید ریاضی منعکس می شوند. ریسمان کشیده به صورت خط راست در ریاضی بازتاب پیدا می کند، اما رنگ ریسمان و ماده ای که ریسمان از آن ساخته شده ویژگی های خط راست نیستند. اقلیدس برای آن که کاملاً مشخص کند که اصطلاحات مجرد و انتزاعی اش چه چیزهایی را در بر می گیرد، با تعاریف آغاز می کند. خط مستقیم، بنا به تعریف وی، خطی است که از هر سو می توان آن را ادامه داد (انتزاع از ریسمان کشیده یا تراز بنایی در این جا کاملاً آشکار است). به گفته وی، نقطه چیزی است که هیچ بخشی [یا بُعدی] ندارد. و به همین ترتیب مثلث، دایره، چند ضلعی و نظایر آن ها را تعریف کرد.
* اقلیدس در تعریف های خود به اطناب های نالازم و نسنجیده ای تن داد. یک سیستم منطقی خودکفا باید از جایی شروع شود. نباید انتظار داشت هر مفهومی که در این سیستم به کار می رود در آن سیستم تعریف شود؛ چرا که تعریف عبارت است از توضیح یک مفهوم بر حسب مفهوم هایی دیگر، که توضیح این ها خود نیاز به مفهوم هایی دیگر دارد. بدیهی است در صورتی که کسی بخواهد این روند دور باطل نشود باید با اصطلاحاتی تعریف نشده شروع کند و دیگر اصطلاحات را بر حسب این اصطلاحات تعریف کند. مثلاً، بدیهی است که تعریف اقلیدس از نقطه تعریفی برای «بخش» می خواهد. هندسه دانانی کوشیده اند تعریف اقلیدس را از نقطه این طور اصلاح کنند که بگویند نقطه موضع یا جایگاهی محض است که، در این صورت، باید پرسید مقصود از جایگاه چیست؟ تردیدی نیست که بعضی از مفاهیم اجتماعی جایگاه یعنی همه چیز؛ همه چیز در زندگی- اما این برداشت از جایگاه معنای نقطه را روشن نمی کند.
بار دیگر تأکید می کنیم که نمی توان همه مفاهیم را در یک سیستم به هم پیوسته و جامع تعریف کرد. این درست است که همه مفاهیم در چنین سیستمی از اجسام فیزیکی ناشی می شوند و نماینده اجسام فیزیکی معینی نیز هستند، این معانی فیزیکی (مادی) در فرایند صوری تعریف کمکی به شمار نمی آیند؛ چرا که آن ها بخشی از ریاضیات نیستند، و عجیب آن که ناتوانی، در تعریف پاره ای از مفاهیمی که هندسه با آن ها سروکار دارد، همان طور که خواهیم دید، مشکلی اساسی ایجاد نمی کند.
اقلیدس با تعریف مفهوم هایی که از آن ها بحث می کند، حداقل در حدی که خود او را قانع کند، به اثبات فاکت ها (حقایق) یا قضایایی در مورد آن مفهوم ها می پردازد. برای طراحی استنتاجی درست و معتبر وی به مقدماتی نیاز داشت. همان گونه که ارسطو اشاره کرده است، هر چیز را نمی توان ثابت کرد؛ در غیر این صورت زنجیر برهان بی پایان خواهد بود. باید از جایی شروع کنید؛ از چیزهای پذیرفته شده اما غیر قابل اثبات شروع کنید. این ها اصل های نخستین (9) هستند که در تمام علوم مشترک اند و آن ها را اصول موضوع یا باورهای مشترک و عام می نامیم.
اقلیدس در گزینش اصول موضوع بینش و قضاوتی عالی را به نمایش می گذارد. ریاضی دانان مکتب های پیشرو هر کدام با اصول موضوعی شروع کرده اند که از نظرشان بدون اثبات پذیرفتنی اند. چندان که ریاضیات گسترده و گسترده تر می شد، این خطر هم محسوس و محسوس تر می شد که شاید اصول موضوع بسیاری پدید آید که همه ریاضی دانان صدق آن ها را در مورد جهان فیزیک ضروری و تردید ناپذیر ندانند.
علاوه بر این، انبوه غیر لازمی از اصول موضوع وجود داشت؛ و این وضعی است که از دیدگاه منطقی باطل و بی ثمر است، زیرا همیشه بهتر آن است که تا جایی که می شود فرض ها را به حداقل رساند. از این رو، وظیفه اقلیدس یافتن مجموعه ای کافی و مورد پذیرش همگانی از اصول موضوع برای هندسه بود. از این گذشته، چون کاوش های هندسی یونانیان جزئی از جست و جوهایشان در پی حقیقت بود، این اصول موضوع می بایست حقیقت هایی مطلق و تردید ناپذیر باشند.
اصول متعارفی که اقلیدس مطرح می کند، از ویژگی های نقطه، خط و دیگر شکل های هندسی که همتاهای فیزیکی شان از آن ها برخوردارند سخن می گوید. این ویژگی ها آن چنان در مورد شیء های فیزیکی بدیهی و صادق به نظر می رسند که هر کسی در درستی آن ها تردید ندارد.
شکل 1. مثلث متساوی الساقین
مزیت فوق العاده انتخاب اقلیدس در آن است که گرچه این اصل ها را هر کسی بلادرنگ قبول می کند، اصلاً این حرف بدین معنا نیست که آن ها پیش پاافتاده و کم مایه اند؛ زیرا به نتایجی عمیق راه می گشایند. علاوه بر این، او توانست تعداد بسیار کمی موضوع (فقط ده تا) انتخاب و، با این حال، بنای سیستم هندسه را تضمین کند. از یکی دو اصل موضوع اقلیدس، صرفاً برای آن که گواهی باشد بر نبوغ گزینش او، یاد می کنیم. وی اعلام می کند که « هر دو نقطه ای را می توانیم با یک خط راست به هم متصل کنیم»، یا آن که « با در اختیار داشتن مرکزی معلوم می توان دایره ای رسم کرد که از نقطه مفروضی بگذرد»، یا آن که « کل از هر یک از اجزای خود بزرگ تر است». تردید نیست که این اصول برای هر کسی پذیرفتنی و بدیهی است.
اقلیدس با انتخاب مفهوم هایی که هندسه از آن ها بحث می کند و برگزیدن صدق هایی تردید ناپذیر درباره این مفهوم ها به اثبات قضایا یا حکم ها می پردازد. روش برهان کاملاً استنتاجی است. برای این که بفهمیم چرا نسل های بعدی بر قدرت و اعتبار نتیجه گیری های اقلیدس صحه گذاشتند، بهتر است یکی از برهان های او را مرور کنیم.
یکی از قضایای ابتدایی اقلیدس می گوید که « زوایای قاعده یک مثلث متساوی الساقین مساویند». این قضیه می تواند از این جهت جالب توجه باشد که، با وجود ماهیت مقدماتی خود، حد نهایی مطالعه هندسه در دانشگاه های سده های میانه را نشان می دهد. این قضیه را به لاتین « pons asinorum» یا « پل خر بگیری» می نامیدند؛ زیرا احمق ها این برهان را درک نمی کردند و همچون خری که روی پل مانده باشد دیگر جلو نمی رفتند.
پیش از آن که نگاهی به برهان قضیه بیندازیم، بهتر است مفهوم قضیه را بررسی کنیم. اگر ABC مثلثی متسای الساقین باشد، دو ساق آن، یعنی AC و BC، برابرند. ما باید ثابت کنیم که دو زاویه قاعده این مثلث، یعنی زاویه های A و B زاویه های همآرا نسبت به ساق های مساوی آن هستند، برابرند.
برهان قضیه با ترسیم خط CD، که زاویه C را نصف می کند، آغاز می شود. درستی این مرحله از کار بدین خاطر است که اقلیدس پیش تر نشان داده است که هر زاویه ای را می توان نصف کرد. بنابر این، C را نیز می توان به دو قسمت مساوی تقسیم کرد. استدلال استنتاجی در این جا چیزی بدین صورت است: تمام سیب ها قرمزند؛ یک سیب داریم؛ پس این سیب قرمز است.
با ترسیم خط CD مثلث ABC به دو مثلث ACD و DCB تقسیم می شود. در مورد این دو مثلث اخیر می دانیم که اولاً AC وCB برابرند، زیرا گفته بودیم که مثلث نخستین، یعنی مثلث ABC، متساوی الساقین است. ثانیاً زاویه ACD مساوی با زاویه DCB است، زیرا CD نیمساز زاویه است. ثالثاً از آن جا که CD بین دو مثلث کوچک تر مشترک است، این ضلع آن دو مثلث برابرند. بنابر این می توانیم حکم کنیم که دو مثلث ACD و DCBهم نهشت هستند، زیرا پیش از قضیه مورد بحث ما قضیه ای هست که حکم می کند هر دو مثلثی که دو ضلع و زاویه بین آن ها از یکی با دو ضلع و زاویه بینشان از دیگری برابر باشند هم نهشت اند، و از آن جا که دو مثلث مورد بحث ما چنین قسمت های برابری دارند، هم نهشت هستند. سرانجام می توانیم حکم کنیم که زاویه A مساوی زاویه B است، زیرا بنا به تعریف مثلث های هم نهشت بخش های متناظر مساویند و زاویه های A و B چنین بخش هایی هستند. به این ترتیب، قضیه مورد بحث ما با چند دلیل استنتاجی که هر یک از آن ها فرضی بی تردید را به خدمت می گیرد و نتیجه ای بی تردید را به بار می آورد، ثابت می شود. البته، همه برهان های اقلیدس به این سادگی نیستند. اما، به هر حال، هر برهانی فارغ از این که در نظر نخست چقدر پیچیده به نظر آید، چیزی بیش از رشته ای از استدلال های استنتاجی ساده نیست.
ما تمامی قضایایی را که اقلیدس ثابت کرده است تک به تک مورد بررسی قرار نمی دهیم. تنها ذکر این نکته کافی است که بلافاصله در پی اصول موضوع پاره ای قضیه های ساده اثبات می شوند که این گونه قضیه ها خود کمک به اثبات قضیه های پیچیده تر و ظریف تر می کنند و، به این ترتیب، کل ساختاری که ایجاد می شود به نحوی شگفت به شدت به هم بافته شده اند. دود از کله دانش آموزان بلند می شود وقتی می بینند این همه قضیه را می توان از فقط چند اصل موضوع بدیهی نتیجه گرفت.
حال بهتر است به مباحث اقلیدس در مورد ویژگی های بنیادی اندازه و شکل اجسام نظری بیندازیم. نخستین سؤال مهم مورد نظر اقلیدس این است که در هر شرایطی اندازه و شکل شیء با هم برابر است؛ به عبارت دیگر، دو جسم در چه شرایطی هم نهشت هستند. مثلاً فرض کنید مساحی دو تکه زمین به شکل مثلث دارد. چگونه می تواند ثابت کند که این دو قطعه زمین برابر و مساویند؟ آیا باید هر ضلع، هر زاویه و نیز مساحت هر دو قطعه زمین را جزء به جزء اندازه بگیرد تا بتواند تساوی آن ها را بفهمد؟ با استفاده از قضایای اقلیدس نیازی به این کار نیست. دو مثلث با هم مساوی اند اگر، به عنوان مثال، ضلع های یکی مساوی با ضلع های دیگری باشد. این واقعیت ممکن است پیش پا افتاده به نظر برسد؛ اما خواننده اگر از خود بپرسد که در چه شرایطی می تواند برابری کامل دو چهار گوش یا چهار ضلعی را تضمین کند، پی می برد که مطلب چندان هم پیش پا افتاده نیست. بدیهی است که چنین پرسش هایی در مورد تمامی شکل های هندسی می تواند به کار آید.
آن گاه اقلیدس می پرسد اگر شکل ها مساوی نباشند، چه رابطه مهمی می توانند با یکدیگر داشته باشند و چه ویژگی هندسی مشترکی دارند؟ رابطه ای که وی بر می گزیند شکل است. پیکرهایی که اندازه آن ها نامساوی، اما شکل آن ها مشابه است؛ یعنی شکل های متشابه (مجانس)، ویژگی های هندسی مشترک بسیاری با هم دارند. مثلاً اگر این ویژگی ها را در مورد مثلث ها به کار بندیم، تشابه دو مثلث به این معنی می شود که زاویه های یکی مساوی زاویه های نظیرش در دیگری است. از تعریف این ویژگی نتیجه می شود که نسبت هر دو ضلع نظیر از مثلث های متشابه به هم ثابت است. از این رو، اگر دو مثلث ABC و
متشابه باشند (شکل 2)، نسبت مساوی با نسبت خواهد بود. از این گذشته، اگر نسبت دو ضلع نظیر در این مثلث ها r باشد، نسبت مساحت آن دو برابر خواهد بود.
شکل 2. دو مثلث متشابه
اگر پیکرهای هندسی نه شکل یکسان و نه اندازه های برابر داشته باشند، در باب آن ها چه می توان گفت؟ بدیهی است که آن دو ممکن است مساحت هایی برابر با هم داشته باشند یا، به تعبیر هندسی، هم ارز (10) باشند. به تعبیر دیگر، آن ها می توانند در دایره محاط شوند.
اقلیدس تمام مفهوم هایی را که بررسی کرد نه تنها در ارتباط با شکل های تشکیل شده از خطوط مستقیم، بلکه در مورد دایره ها و کره هم به کار برد. نزد یونانیان توجه به این دو شکل اهمیت قابل توجهی داشت؛ زیرا در نظر آنان دایره و کره، پیکرها (شکل ها) یی کامل بودند.
از دیدگاه زیباشناختی گروه دیگری از شکل ها نیز به همین اندازه آن ها را جلب می کرد. در میان مثلث ها، مثلث متساوی الاضلاع برایشان قابل توجه بود؛ زیرا نه تنها طول اضلاع، بلکه زاویه های آن نیز برابر است. از چهار ضلعی ها، مربع به همین دلیل بیش از سایر شکل ها نظرشان را جلب می کرد. شکل های مسطحه با پنج ضلعی، شش ضلع یا بیشتر را هم می توانستند طوری ترسیم کنند که اضلاع و زاویه های آن ها با هم برابر باشند. چنین شکل هایی را چند ضلعی منظم می نامیدند و آن ها را با دقت بررسی می کردند. با استفاده از چند ضلعی های منظم می شد سطوح کاملی را تشکیل داد که هر سطح آن تنها از یک قسم چند ضلعی تشکیل شده باشد. مثلاً سطح مکعب، سطح کاملی است که از شش مربع چسبیده به هم تشکیل شده است. چنین سطوحی را، که مکعب نمونه آن هاست، چند وجهی منتظم می نامند.
یکی از نخستین پرسش هایی که در ارتباط با چند وجهی های منتظم مطرح شد، این بود که چند گونه متفاوت از آن ها وجود دارد؟ با استدلالی بس ماهرانه، اقلیدس نشان داد که پنج گونه چند وجهی منتظم وجود دارد. این پنج گونه در شکل 3 تصویر شده اند.
افلاطون آن چنان این شکل ها را می پرستید که نمی توانست قبول کند خداوند آن ها را بی هیچ ثمری ساخته باشد. از این شروع به تحقیق در باب آن مکتب فکری یونان پرداخت که بر اساس آموزه های آن تمام اجسام از چهار عنصر آب، باد، خاک و آتش تشکیل شده اند و نتیجه گرفت که افزایش ذره های بنیادی آتش چهار وجهی می سازد؛ افزایش ذرات بنیادی هوا شکل هشت وجهی دارد؛ بیست وجهی زاده افزایش ذره های بنیادی آب است و مکعب از افزایش ذره های بنیادی خاک پدید می آید. پنجمین شکل را که دوازده وجهی باشد خداوند برای شکل خود عالم در نظر گرفته است.
شکل 3. شکل پنج چندوجهی منظم: چهاروجهی، هشت وجهی، مکعب، دوازده وجهی، بیست وجهی
یونانی ها دسته دیگری از منحنی ها را به تمام و کمال بررسی کردند. با شکل های مخروطی نظیر بستنی قیفی همه آشنا هستیم. اگر دو مخروط خیلی طویل داشته باشیم که نظیر شکل 4 قرار گرفته باشند، آنچه یک ریاضی دان سطح مخروطی، یا گاهی به اختصار مخروط می نامد، در می یابیم. این سطح مخروطی از دو بخش تشکیل شده که از O در جهت مخالف یکدیگر امتداد دارند و در هر دو جهت تا بی نهایت ادامه پیدا می کنند. اگر یک سطح مخروطی را یک صفحه (یعنی صرفاً یک سطح تخت، نظیر سطح میز که ضخامت ندارد و فقط طول و عرض دارد و از هر سو تا بی نهایت ادامه دارد، قطع کند، منحنی تقاطع حاصل می شود که شکل آن بستگی دارد به موقعیت صفحه نسبت به مخروط. بدین سان، وقتی این صفحه سرتاسر قسمتی در مخروط را قطع کند، بیضی (نظیر DEF، در شکل 4) یا دایره ( نظیر ABC، در شکل 4) پدید می آید. اگر صفحه قاطع مایل باشد، به نحوی که هر دو بخش مخروط را ببرد، منحنی حاصل از برش، هذلولی نامیده می شود (RST و در شکل 4) و سرانجام اگر صفحه برش تنها به موازات یکی از دو خط مخروط، مثلاً به موازات ، باشد، منحنی حاصل سهمی نام می گیرد (نظیر منحنی GIK در شکل 4).
شکل 4. یک سطح مخروطی و مقطع هایی که صفحه های قطع کننده آن می سازند.
* حقایق اساسی در مورد مقاطع مخروطی را نیز اقلیدس در کتابی که مفقود شده جمع آوری کرد و سازمان داد. اندکی پس از روزگار اقلیدس، ریاضی دان یونانی مشهور دیگری به نام آپولونیوس راجع به این موضوع رساله ای نوشت که اینک در دست است و او به خاطر همین رساله کما بیش همان شهرتی را دارد که اقلیدس به خاطر اصول. آثار ریاضی بسیار دیگری در این دوره کلاسیک آفریده و نوشته شده اما معدودی از این آثار به جا مانده است. اگر بخواهیم بر حسب کتاب ها و تکه آثاری که باقی مانده است قضاوت کنیم، با اطمینان می توانیم بگوییم که خلاقیت این عصر بی نهایت زیاد، و توجه اش به ریاضیات بسیار شدید بوده، و درخششی بی رقیب داشته است.
ریاضیات یونان از لحاظ مسائلی که مطرح کرد ولی پاسخی برای آن نیافت نیز به همان اندازه مسائلی که به آن ها پاسخ داد اهمیت دارد. از این مسائل دسته اول، سه مسئله را هر تحصیل کرده معمولی می شناسد. این سه مسئله عبارت اند از: « تربیع دایره»، « تضعیف مکعب» و « تثلیث زاویه.» تربیع دایره به معنی ترسیم مربعی است که مساحت آن مساوی با مساحت دایره ای مفروض باشد. تضعیف مکعب به معنی ترسیم طرفی از یک مکعب است که حجم آن دو برابر حجم یک مکعب مفروض باشد. تثلیث زاویه به معنی تقسیم « هر زاویه دلخواهی» به سه قسمت مساوی است. این کار را تنها باید به کمک یک چوب تراز، یعنی خط کش بدون معیار اندازه، و پرگار ترسیم کرد و از هیچ وسیله دیگری نباید استفاده کرد.
* توجه به دلایل این محدودیت نحوه برخورد یونانیان را به ریاضیات روشن می کند. چوب تراز و پرگار قراین فیزیکی خط راست و دایره هستند، و یونانیان به طور کلی هندسه خود را به برسی همین دو شکل و شکل هایی که مستقیماً از آن ها مشتق می شود محدود کرده بودند. حتی دیدیم که مقاطع مخروط (شکل 5) تنها با گذراندن یک صفحه از یک مخروط پدید می آیند و این هر دو شکل، یعنی صفحه و مخروط، را می توان با حرکت یک خط راست پدید آورد. انگیزه این محدودیت به خط راست و دایره که آگاهانه و دلبخواه بود، میل به ساده نگه داشتن و هماهنگ کردن هندسه بود؛ و بنابر این جنبه ای زیبا شناسانه داشت.
شکل 5. مقاطع مخروطی، شرح شکل، بیضی، دایره، هذلولی، سهمی
برخی از یونانیان، به ویژه افلاطون، برای تحلیل این محدودیت دلایل دیگری داشتند که حداقل از نظر خودشان اعتبار داشت. به نظر آنان، به وجود آوردن ابزارهای پیچیده تر که می توانند مسائل ترسیمی را حل کنند، نیاز به مهارت دستی دارد که شایسته یک متفکر نیست. از این گذشته، افلاطون می گفت که با استفاده از ابزارهای پیچیده خیر هندسه رخت بر می بندد و فاسد می شود، چرا که، با این کار، بار دیگر آن را به دنیای حواس بر می گردانیم، به جای آن که رفعتش بخشیم و با آن در تصویرهای جاودانه و تباهی ناپذیر اندیشه نفوذ کنیم- حتی درست همان گونه که خداوند به کارشان گرفته و اصلاً به همین دلیل او خداوند است.
این سه مسئله ترسیمی سخت ذهن یونانیان را مشغول کرده بود. در نخستین اشارات تاریخی آمده که آناکساگوراسِ (11) فیلسوف، روزگار زندانش را با سعی بر سر تربیع دایره می گذراند. با وجود کوشش های مکرر بهترین ریاضی دانان یونان، این مسئله ها حل نشدند و تا دو هزار سال حل نشده باقی ماندند. سرانجام حدود یک قرن پیش ثابت شد این ترسیمات را نمی توان در شرایط خواسته شده انجام داد. علی رغم این واقعیت برخی همچنان به حل آن ها می کوشند و غالباً ادعای موفقیت هم می کنند. حتی بدون بررسی کارشان می توانیم حکم کنیم که آن ها در اشتباه اند، یا آن که مسئله ها را نفهمیده اند.
تلاشی که سالیان دراز صرف این مسئله های مشهور شده حکایت از دقت، احتیاط، حوصله و استقامت ریاضی دانان دارد. این مسائل هیچ اهمیت عملی ای ندارند؛ چرا که این سازه ها را می توان به راحتی با استفاده از ابزارهایی اندکی پیچیده تر از چوب تراز و پرگار اجرا کرد. به هر حال، کسانی که میلی مهار نشدنی برای مواجهه با این گونه چالش های فکری و مفهومی دارند، می کوشند این گونه ترسیمات نظری را حل کنند.
جست و جوی آهن بیشتر وفت ها منجر به یافتن طلا می شود. مقاطع مخروطی که راه را بر اخترشناسی معاصر هموار کردند، ضمن تلاش برای یافتن راه حل این ترسیمات مشهور کشف شدند؛ همان طور که انبوهی از دیگر نتایج مفید و زیبای ریاضی چنین بودند. در واقع اگر بخواهیم ایده های عمده ریاضی را که از پنجه درافکندن با این گونه مسائل غیر علمی و « بی ارزش» پدید آمده اند فهرست کنیم، می بینیم رشد ریاضیات تا حد زیادی نتیجه همین چیزهای پیش پا افتاده بوده است( چه بسیار « استادانی» که چنین حکمی را صادر کرده اند ولی خود از ریاضیات و تاریخ آن بی خبر بودند). تاریخ تلاش بر سر مسائل ترسیمی مشهور نشان می دهد که حمله به یونانیان « عمل ستیز» چقدر ناعادلانه است، زیرا این خیال پرستان رویانشین بیش از بسیاری آدم های به اصطلاح « عملی» در جهت پیشرفت عصر علمی ما سهم داشتند.
پیش از این یونانیان را ستودیم از آن رو که ریاضیات را انتزاعی (مجرد) کردند. برای ارزیابی که از دورنمای ریاضیات انجام دهیم، بی فایده نخواهد بود اگر ببینیم این انتزاع، حداقل در هندسه اقلیدسی، چه نتایجی در پی داشت.
با این مثال ساده شروع می کنیم. فرض می کنیم دو نقطه ثابت A و B را و نیز خط L را خارج از این دو نقطه انتخاب می کنیم؛ نقاط A و B و نیز خط L، همگی در یک صفحه واقع اند. به علاوه فرض کنید می خواهید نقطه P را بر روی خط L چنان بیابیم که فاصله AP+BP کمترین فاصله ممکن باشد؛ یعنی طوری که اگرQ هر نقطه دیگری بر روی خط L باشد، فاصله AP+BP کمتر از AQ+BQ باشد. این نمونه ای از یک مسئله محض هندسی است. مشکل نیست اثبات این که اگرP طوری انتخاب شود که AP و BP « زوایای مساوی با خط L » را بسازند، فاصله AP+BP حداقل ممکن خواهد بود. اگر این قضیه را ثابت شده بگریم، بد نیست ببینیم که چگونه در وضعیت های عملی به کار می رود. فرض کنید A و B نشانه محل دو شهر و نماینده یک رودخانه باشد. اسکله ای که در کنار این رودخانه ساخته می شود تا هر دو شهر بتوانند از آن استفاده کنند، باید طوری بنا شود که کل فاصله آن از شهر A و از شهر B حداقل فاصله ممکن باشد. اسکله را در چه نقطه ای در امتداد رود باید بنا کرد؟ قضیه کلی بالا به پرسش ما جواب می دهد:
در نقطه ای مانند P که A و B زاویه های مساوی با رودخانه بسازند.
شکل 6
حال به وضعیت « عملی» دیگری توجه کنید. توپ بیلیاردی را در نظر بگیرید که در محلA روی میز قرار دارد و ضربه ای به آن می خورد که پس از تماس با ضلع L از میز واجهیده و به توپ دیگری، که در محل B قرار دارد، برخورد می کند. حرکت یک توپ همیشه به گونه ای است که زاویه مسیر برخوردش با یک ضلع میز مساوی با زاویه واجهش آن از همان ضلع میز است؛ یعنی، نظیر شکل 7 که در آن زاویه 1 مساوی با زاویه 2 است. هر بازیکن بیلیارد این حقیقت را حداقل به صورت ناخودآگاه می داند و از آن استفاده می کند. یعنی او طوری توپ را به طرف نقطه P هدایت می کند که AP و BP با خطی که P جزئی از آن است زاویه های مساوی بسازد. اما بی تردید او نمی داند مسیری که برگزیده و امیدوار است که توپ طی کند، کوتاه ترین مسیری است که توپ با واجهیدن از لبه میز از نقطه A به نقطه B می پیماید.
این مثال ها نشان می دهند که چگونه یک قضیه ریاضی اطلاعات مربوط به دو وضعیت کاملاً متفاوت و نامربوط را در اختیار ما می گذارد. در واقع، برای همین یک قضیه تعداد بی شماری کاربرد عملی دیگر وجود دارد. به این نکته باید توجه داشت که قضیه ای که برای پاسخ به مسئله ای در یک قلمرو مطرح شده و شکل گرفته است، غالباً در قلمروهای کاملاً متفاوتی اهمیت حیاتی پیدا می کند و همین نکته، خود، تاریخ ریاضیات را سرشار از شگفتی می کند.
شکل 7
بهای این کاربردپذیری وسیع ریاضیات انتزاع است، زیرا ریاضی دان برای آن که به قضایایی راجع به همه مثلاً مثلث ها دست یابد، ناچار است با مثلث «آرمانی» کار کند و در این حال، به جای سروکار داشتن با مثلثی ساخته شده از مثلاً چوب که محدود است، باید با اندیشه های فرّار و گاه غیر قابل مهار دست و پنجه نرم کند.
* در مورد رابطه قضایای مجرد ریاضیات با کاربردهای عملی آن ها، نکته خیلی مهم دیگری را هم باید در خاطر داشت؛ این که قضیه های مجرد از حالت ایده آل (آرمانی) سخن می گویند، حال آن که موقعیت های فیزیکی که ای قضیه ها در مورد آن ها به کار می روند چه بسا فاصله زیادی از حالت ایده آل داشته باشند. مثلاً، مثلثی را روی سطح سیاره زمین در نظر بگیرید. آیا می توانیم قضایای هندسه مسطحه را در مورد این مثلث به کار ببریم؟ پیش از هر چیز باید به خاطر داشته باشیم که سیاره زمین یک کره است و تخت نیست. از این گذشته، زمین کره کاملی نیست، بلکه کره ای است نسبتاً نامنظم. پس حداقل به این دو دلیل، مثلث روی سطح زمین با مثلث آرمانی تفاوت بسیار دارد. از این رو، احتمال دارد که خطاهایی در کاربرد قضایای ریاضی رخ بنماید. نتایج حاصل از ریاضیات تا جایی کاربردپذیر است که مثلث فیزیکی (مادی) به مثلث آرمانی نزدیک باشد. کوتاهی در درک این نکته می تواند به خطای جدی در کاربرد قضایا منجر شود.
دستاورد هندسه اقلیدس فقط به خلق قضایایی مفید و زیبا خلاصه نمی شود. این هندسه روحیه ای خردورز و عقلانی آفرید. هیچ یک از دیگر آفریده های ذهن انسان نتوانست مانند صدها برهان اقلیدس ثابت کند که تنها به کمک استدلال تا چه حد معرفت می توان به دست آورد. استنتاج این همه نتایج گسترده و عمیق به یونانیان و تمدن های بعدی توانایی خردورزیدن آموخت و به آنان اطمینان داد که با این امکان به کجا می توان رسید. انسان غربی به تشویق و تأیید این گواه برانگیخته شد تا عقل را در همه جا به کار بندد. الهیون، اهل منطق، فلاسفه، سیاستمداران و تمام دیگر جویندگان حقیقت شکل و روش هندسه اقلیدسی را تقلید کردند.
ریاضیات حتی در میان یونانیان هم معیارهایی جهان شمول و عینی برای تمام علوم ایجاد کرد؛ به خصوص ارسطو اصرار داشت که هر علم باید عبارت باشد از اثبات استنتاجی حقایق از چند اصل بنیادی که با روشی مناسب با همان علم مسجل شده اند و همان نقشی را دارند که اصول موضوع هندسه اقلیدسی در هندسه. بارها و بارها شنیده ایم که بر سر در آکادمی افلاطون نوشته شده بود: « کسی که ریاضیات نمی داند وارد نشود.»
انسان غربی از اصول اقلیدس آموخت که چگونه استدلال هایی محکم و معتبر طراحی کند، چگونه سهولت کار با آن را کسب کند، و چگونه استدلال های دقیق را از بلغورهای عامیانه که تنها تظاهر به استدلال می کنند متمایز کند. یونانیان ضمن توسعه دستگاه هندسه به اصول عام استدلال دست یافتند که، در میان این اصول، قوانین قیاس صوری شهرت جهان گیری پیدا کرده اند. آن ها همچنین روش های عمومی برخورد با مسئله ها و مشکلات را کشف کردند: مثلاً افلاطون را یابنده رهیافت تحلیلی می شناسند؛ به این معنا که استدلال با قلم مطلوب آغاز می شود و نتایجی را استنتاج می کند تا آن جا که به واقعیتی معلوم برسد. به این ترتیب، از طریق واژگون پیمودن مراحل تحقیقی، برهان درست به دست می آید. خواننده می تواند استفاده خود را از این روش در هندسه اقلیدسی، برای به دست آوردن برهان یک قضیه، به یاد آورد. شکی نیست که این روش هندسه را تعالی بخشید. هندسه دانان یونان روش برهان غیر مستقیم را نیز کشف کردند و آن را مایه مباهات خود می دانستند. در این روش چند امکان محتمل را بررسی می کنند که همه این امکانات، به استثنای آن که صحح است، به تناقض می انجامد و، بنابر این، باید طرد شود. بنیادهای منطقی این روش را که به قوانین عدم تناقض و طرد شق ثالث (12) مشهور است، ارسطو صورت بندی کرده است.
علاوه بر این ها، یونانیان در روند تحقیق های هندسی خود لزوم تعریف دقیق را، برای صورت بندی هر چه واضح تر فرضه ها و نیز برای به دست آوردن برهان هایی محکم و بی نقص، دریافتند. کسانی چون سقراط و افلاطون نه تنها بر این نیازها تأکید کردند، بلکه به نوبه خود در پالایش و پیرایش ساختار ریاضیات سهیم شدند. در واقع، حجم زیاد منطقی که از دل هندسه بیرون می آمد باعث شد تا ارسطو « قوانین فکر» [ یعنی « قانون عدم تناقض» و « قانون طرد من شق ثالث»] را بسازد و به آن ها نظامی بخشد- قوانینی که امروزه همه ما آن ها را به رسمیت می شناسیم و به کار می بندیم. از این رو هندسه یونان را باید پیشاهنگ علم منطق دانست.
صدها نسل پس از روزگار یونانیان هم با مطالعه اقلیدس آموختند که چگونه استدلال کنند. البته از این روش بسیاری هم روی برتافتند؛ دلیل آن ها این بود که می توانند بدون آموزش ریاضیات هم منطق را بیاموزند. این دلیل همان قدر معتبر است که بگوییم همه ما می توانیم نقاشی های بزرگ را درک کنیم و، بنابر این، وضع جهان همان قدر با مفهوم نقاشی ها خوب و خوش است که با خود نقاشی ها. ولی متأسفانه مفهوم یک نقاشی هرگز دلی را نلرزانده است.
ارزش و اهمیت کار اقلیدس به مراتب فراتر است از طرح مسائلی منطقی و مدلی برای استدلال. ریاضیات با ایجاد ساختاری زیبا و بنای استدلالی عالی در مورد هندسه به ابزاری برای پیشرفت دیگر فعالیت ها به نوعی از هنر تبدیل شد. یونانیان چنین کردند، چرا که در نظرشان، حساب، هندسه و اختر شناسی موسیقی روح و هنر ذهن بود.
در واقع علایق مجرد و عقلی، زیبا شناختی و نیز اخلاقی را در تفکر یونانی به سختی می توان از یکدیگر تفکیک کرد. بارها و بارها خوانده ایم که با باور آن ها زمین باید کروی باشد، زیرا، در میان شکل ها، کره زیباترین شکل است و، ازاین رو، شکلی آسمانی و نیکوست. به همین دلیل افلاطون معتقد بود که خورشید، ماه و ستارگان هر یک محکم به کره ای [فلک] چسبیده اند که، با چرخش به دور محور خود، به گرد زمین می گردند. علاوه بر این، به باور وی، مسیر هر جسم [آسمانی] باید دایره باشد، زیرا دایره در استحقاق زیباشناختی با کره سهیم است. دایره و کره مسیرهای کاملی بودند که معرف نظم جاودانه و تغییر ناپذیر آسمان ها به شمار می آمدند؛ در برابر حرکت به خط مستقیم که بر زمین ناقص رخ می داد. همچنین دلایل زیباشناختی و اخلاقی اقتضا می کرد که اجسام آسمانی با سرعتی یکنواخت حرکت کنند و در زمان های مساوی فواصل مساوی را بپیمایند. این حرکت حالت دار، منظم و بی شتاب برازنده اجرام آسمانی بود. در واقع، فیثاغورسیان استدلال می کردند که سرعت غیر ثابت برای سیارات غیر قابل قبول است. « حتی در میان انسان ها هم این جنس بی نظمی با منش و رفتار نجیب زادگان سازگار نیست.» حقیقت های شعر و حقیقت های علم یکی هستند یا، به قول ارسطو، هدف طبیعت و قوانین محکم آن، در جلوه های بی شمارش، همگی به شکلی از زیبایی گرایش دارند. هندسه، فلسفه، منطق و هنر، همگی جلوه های یک نوع ذهن اند؛ یک جهان بینی، و هیجان انگیز است اگر همچون تاریخ نویسان وجود مختصه های مشترک را در تمامی این حالت های فرهنگ کلاسیک یونان پیگیری کنیم. مثلاً ساختار روشن، شفاف و ساده هندسی اقلیدسی جلوه ریاضی همان عشق به طراحی واضح و منظمی است که در شکل های ساده و یکدست معبدهای یونانی می بینیم. کلیساهای گوتیک، با آن ساخت های تو در تو و ظریف درونی و بیرونی، در برابر این معابد بی نهایت پیچیده اند. مجسمه های یونانی دوره کلاسیک نیز سادگی شگفتی دارند. هیچ پوششی پیچیده، تزیین نظامی، چیز غیر ضروری، و حاشیه پرزرق و برق، مجسمه را شلوغ نمی کند یا از موضوع تصویری آن نمی کاهد.
به همین ترتیب، آثار کلاسیک ادبیات این دوره هم به شیوه ای شاده، واضح و واقع بینانه بدون استفاده از صنایع بدیعی نوشته شده اند. چاره ای جز این نداریم که برای درک ارزش های کیفی هنر یونان، مقایسه کنیم بلبلی را که آوازش « لایه های جادویی مسحور کننده ای دارد گشوده به کف دریاهای موج خیز، در سرزمین های گم شده پریان» و پرنده سوفوکلس (13) را که « آواز دل نشین خود را درون بیشه پیچک پوش سبز، مصون از آفتاب و از باد، سر می دهد». وضوح، سادگی و پرهیز [از زایدات] اجزای تشکیل دهنده زیبایی به شمار می آمدند. هنر یونان هنر تعقل است، هنر متفکران روشن اندیش؛ و در نتیجه هنری است یکدست و هموار. در هر حال، هندسه، معماری، مجسمه سازی و ادبیات به زیبایی و غنایی دست می یابند که از سادگی شان نشئت می گیرد.
هندسه اقلیدسی را غالباً بسته و محدود توصیف کرده اند. این صفات به چند معنی به کار می رود و جوهر بحث، همان طور که دیده ایم، محدود است به شکل هایی که می توان آن ها را با چوب تراز و پرگار ترسیم کرد، و قضیه هایی که می توان آن ها را مشتق از مجموعه ای از اصل موضوع ثابت به شمار آورد. ضمن آن که روند استدلال مبحث را می گشاید، به هیچ اصل موضوع جدیدی نیاز نیست؛ هندسه اقلیدسی، به این معنا هم محدود است که از نامتناهی می پرهیزد. مثلاً اقلیدس خط راست را به صورت امتدادی تا بی نهایت در نظر نمی گیرد. به گفته او، یک قطعه خط را می توان تا آن جا که لازم است، از هر طرف امتداد داد؛ گویی که از الزام به امتداد هراس دارد. همین طور در بحث از اعداد صحیح، یونانیان این مجموعه را بالقوه نامحدود می دانستند؛ یعنی نامحدود تنها به این معنا که همیشه می توان به یک مجموعه محدود، عدد یا عددهایی افزود. آن ها از کل مجموعه اعداد صحیح به عنوان یک هویت مستقل بحث نمی کردند.
این گونه دل بستگی به محدودیت بر معماری یونانی نیز اثر می گذارد. کل ساختار یک معبد یونانی جمع و جور، کوچک و به چشم ناظر کاملاً مرئی است. این بناها نشانه غایت، کمال و محدودیت را در خود دارند. چشم و ذهن به سرعت نسبت اندازه ها و شکوه بنا را درک می کند. معابد یونان را از این لحاظ نیز می توان با بناهای گوتیک مقایسه کرد. تقریباً هیچ وقت نمی توان یک بنای گوتیک را به یک بار دیدن مجسم کرد. چنین بنایی به نظر می رسد که از هر جهت چیزی کم دارد و تن به دریافت کامل ذهن نمی دهد. بنای گوتیک حکایت از فاصله های زیاد می کند و، به واسطه قسمت های تیز متعدد خود، نشان از الهامی روحانی دارد. خیال به جنبش در می آید، فرد در هیبت چشم انداز تاق های به درون نشسته فرو می رود و محراب های بلند کم نور آن به گونه ای دیده می شوند که گویی از دوردست ها نظاره می شود و، در عین حال، اندازه عظیم بنا، احساس جادویی پنهان را در ذهن بر می انگیزد. ساختار مرتفع این گونه بناها حس محدودیت را از میان بر می دارد، چون فرد را در هم می بلعد و در اندرونی های تیره و تار خود گم می کند.
در علوم یونانی مفهوم نامتناهی به زحمت درک می شد و، از این رو، یونانیان به صراحت از آن پرهیز می کردند. حرکت در طول خط راست، که ساده ترین شکل حرکت برای ماست، برای یونانیان ساده ترین حرکت نبود؛ چرا که خط راست تا بی نهایت ادامه نداشت- پس در نظر یونانیان حرکت بر خط راست هرگز کامل نمی شود. یونانیان حرکت دایره ای را ترجیح می دادند. مفهوم حرکت نامحدود آن ها را می ترساند و آنان در برابر« سکوت فضاهای نامتناهی» به خود می لرزیدند.
در فلسفه نیز از مفهوم بی نهایت (نامتناهی) پرهیز می شد. پارادوکس ها (باطل نماها)ی مربوط به بی نهایت، در برابر تفکر فلسفی یونانی سدی غیر قابل عبور می ساخت. ارسطو می گوید که نامتناهی ناقص، ناتمام و بنابر این غیر قابل اندیشیدن است. به اعتبار او، نامتناهی بی شکل است و گیج کننده. در واقع، اساس نیکی (خیر) از تصورات مفهومی محدود و معین، و اساس شر از تصورات ذهنی نامحدود و نامعین تشکیل شده است. همچنین کیفیت های محدود و معین است که به اجسام شخصیت و کمال می بخشد. سوفوکلس می گوید « هیچ چیز گسترده و وسیع، بدون نفرین در زندگی فانیان وارد نمی شود».
مختصه دیگری نیز ریاضیات یونان دارد که در سراسر فرهنگش به چشم می خورد. هندسه اقلیدسی ایستاست. ویژگی های شکل های متغیر بررسی نمی شود، بلکه شکل ها در حالت تمامیت خود در نظر گرفته می شود و آن گونه که هستند مورد بررسی قرار می گیرند. فضای آرام و ساکن معبد یونانی نیز همین بن مایه را منعکس می کند. ذهن و روان در آن جا احساس آرامش می کند. همین طور در مجسمه های یونان، چهره ها بی تحرک، ایستا، متعالی و از نظر روانی آرام هستند. انگیزش هیجانی در آن ها به مثلث متساوی الساقین می ماند. دیسک انداز اثر مایرون (14)، که دارد با تمام وجود تلاش می کند، همان قدر آرام است که انگلیسی ای که مشغول نوشیدن چای است.
غالباً به سرشت ایستایی که درام (نمایش) یونانی دارد نیز اشاره کرده اند. در این درام ها حرکت اندک یا هیچ است. در همان آغاز نمایش شرح جامعی از حوادث پیشین مطرح می شود که مشکل یا وضع ناگواری را برای شخصیت های نمایش ایجاد می کند. خود نمایش به کشاکش های ذهنی و اعمال جزئی مربوط می شود که به سرانجام کمابیش قابل پیش بینی آن منتهی می شود.
در رابطه با کیفیت ایستای درام یونانی، مختصه دیگری نیز وجود دارد که آن هم در هندسه اقلیدسی دیده می شود. تراژدی های یونانی بر نقش فعال تقدیر یا جبر و ضرورت تأکید دارند. به نظر نمی رسد که شخصیت های نمایش اراده یا توانانی تصمیم گیری داشته باشند، بلکه نیروهایی پنهان آن ها را به پیش می برد. از این روست که اودیپ (15) مجبور است ناخواسته به زنا با محارم و پدرکشی تن دردهد. نقش تقدیر در استدلال استنتاجی نیز منعکس می شود؛ چرا که با این روش ریاضی دان نمی تواند از پیش فرض های خود نتیجه ای دلبخواه بگیرد، بلکه ناچار است پیامدهای آن پیش فرض ها را بپذیرد.
در هنر، هندسه و فلسفه یونانی ویژگی دیگری هم هست که گرچه اصولاً در این فعالیت ها دیده می شود، در هیچ کجا جلوه ای آن چنان روشن ندارد که در میان یونانیان، آثار آنان بازتاب این واقعیت است که می کوشند جهانی را در کلیت فراگیر آن و از منظر ابدیت (16) بنگرند. آنان پیش از آن که در جست و جوی دانشی گریزنده و فردی باشند، در پی د انشی ازلی و جهان گیر بودند. قلمرو ریاضیات جاودانه است و ویژگی های جملات ریاضی همیشه معتبرند. از این روست که معرفت مطلوب معرفت قلمرو ریاضی است. حباب آب و بادکنکی که رنگ های درخشان دارد، هر قدر هم خیال انگیز باشند، ارزش توجه ندارند؛ چرا که خیلی زود از میان می روند. هنر یونان در دوره کلاسیک، بر همین اساس، می کوشد به کیفیت های بنیادی و جهان شمولی دست یابد که نه از آن انسان ها بلکه متعلق به انسان است. کیفیت هایی که در هر فرد انسانی جلوه می کند، به کل انسان ها در معنای عام نیز تعلق دارد. پوشش، روابط شخصی و فعالیت های روزانه همه جزئیاتی تصادفی و بی ارزش هستند. یونانیان در تأملات فلسفی خود نیز در پی تشخیص و فهم صورت کمال یافته مفاهیم و کیفیت ها هستند، زیرا کمال به اقتضای ذات و جوهرش جاودانه است. کمال ارزش تأمل دارد؛ و به همین دلیل تحقق دموکراسی در جامعه یونانی کار چندان دشواری نبود.
ریاضیاتی که تا این جا بررسی کرده ایم، و فرهنگی که آن را بازتاب می دهد، به دوره کلاسیک یونان تعلق دارد. این دوره به هیچ وجه نقش هایی را که « سرزمین بامداد تمدن» در ریاضیات و نیز در زندگی و اندیشه ما ایفا کرد، از میان نمی برد؛ چرا که عصر مهم دیگری نیز هست که از 300 پ م تا 600 پ م عرض اندام می کند. باید بر این تأکید کنیم که عصری که ضمن این مقاله به بررسی اش نشستیم، ریاضیات را به مفهومی که امروزه می فهمیم آفرید. اصرار بر استنتاج به عنوان تنها روش برهان، ترجیح انتزاع (تجرید) بر امور جزئی، و گزینش بارورترین مجموعه اصول موضوع که تا حد زیادی قابل قبول است، سرشت ریاضیات معاصر را تعیین می کند و یونانیان، در عین حال با ابداع و اثبات بسیاری از قضایای بنیادی، این سرشت را مستحکم کردند. نوری که از ریاضیات می تابد نور خیره کننده شعله خود انسان است که نخستین بار یونانیان آن را برافروختند. اسناد ریاضی آن ها اثبات نقش متعالی خرد در امور انسانی است که در بطن آن مفهومی تازه از تمدن وجود دارد.

پی نوشت ها :

1- Apollonius، از معروف ترین ریاضیون یونان حوزه اسکندریه (262؟ ق م- ؟)
2- Crotona
3- Xenophon، مورخ و نویسنده و سردار یونانی (ح 428 یا 427- ح 354 ق م)
4- Metaphontum
5- Lyceum، یا لوکئوم، محوطه مقدسی در آتن، با گردشگاه های سرپوشیده، که ارسطو آن جا تدریس می کرد.
6- Justinianus
7- Elements
8- axioms
9- first principles
10- equivalent
11- Anaxagoras، فیلسوف یونانی (ح 500 ق م- ح 428 ق م)
12- the Laws of excluded middle
13- Sophocles، شاعر تراژدی نویس یونانی (ح 496 – ح 406 ق م)
14- Myron، مجسمه ساز یونانی (قرن پنجم پیش از میلاد)
15- Oedipus، از پهلوانان داستانی یونان
16- sub specie aeternitatis

منبع :کلاین، موریس؛ (1388)، نقش ریاضیات در فرهنگ غرب، ترجمه محمد دانش، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی.