پیدایش ریاضیاتی دیگر

دستاوردهای نیوتون در پرینسیپیا را حساب او امکان پذیر ساخت، ‌گرچه خود کتاب به زبان هندسی تألیف شده بود، ‌از این رو که ریاضیدانان در آن دوران با روش های هندسی آشنایی بیشتری داشتند. کتاب نیوتون حتی اگر هم با معرفی روش ریاضی کاملاً جدیدی مانع بلندی ایجاد نمی کرد، باز خود مانع فکری بلندی بود. با این حال، نیوتون بدون حساب خود ـ یا به تعبیر خودش بدون روش «تغییرات دایمی» ـ هرگز نمی توانست به نتایجی که رسید دست یابد. اما فقط نیوتون نبود که به روشی از این نوع دست یافت. گتفریت لایب نیتس ریاضیدان آلمانی هم روش همانندی ابداع کرده بود و اتفاقاً او و نیوتون درگیری زیادی بر سر این قضیه داشتند که کدامشان آن را از دیگری به سرقت برده است، گرچه اینک ما می دانیم که آن ها هر کدام به طور مستقل به نتایج مشابه رسیده بودند. در عین حال، ‌نظرات آن ها یکباره از آسمان نیز بر آن ها نازل نگشته بود. به تعبیری آن ها صرفاً راهی را دنبال کردند که ریاضیدانان دیگری آغاز کرده بودند.
یکی از اینان کپلر بود که وقتی برای دومین بار ازدواج کرد، خمخانه ای ساخت و خواست حجم بشکه هایش را حساب کند. برای این کار، او هر بشکه را مرکب از تعداد بسیار زیادی مقاطع مدور بسیار نازک فرض کرد که مساحت آنها را محاسبه و با هم جمع کرد. او چنان افسون این روش شد که آن را برای اشکال دیگر نیز به کار برد و سپس رساله کوتاهی درباره آن منتشر ساخت. این طرز استفاده از مقاطع نازک و جمع مقادیر افزوده بی اندازه کوچکی که مقدار کل را تغییر می دادند، مفهومی بنیادین در روش لایب نیتس ـ نیوتون بود. یکی از معاصران کپلر از بولونیا به نام بوناونتورا کاوالی یری نیز «روش غیر قابل تقسیم ها» را ارائه کرد که در آن شکل مسطح به بی نهایت خط تقسیم می شد. این روش برای محاسبه سطوح زیر منحنی ها مفید بود و به پیدایش حساب معروف به «حساب انتگرال» کمک بسیار کرد، گرچه شدیداً مورد انتقاد گروهی از ریاضیدانان قرار گرفت ـ بر این پایه که خط، طبق تعریف، فقط طول دارد و فاقد عرض است؛ بنابراین هیچ تعداد خطی نمی تواند هیچ سطح قوسدار یا چند گوشی را پر کند. با این حال، ژیل روبروال (1) در پاریس در این زمینه مطلبی نوشت و از این روش برای پیدا کردن مساحت سطوح زیر منحنی های مختلف استفاده کرد، آن هم با چنان موفقیتی که باعث پذیرش بیشتر روش کاوالی یری شد. کار دیگری با استفاده از مماس های منحنی ها به وسیله آیزاک بارو و مطالعه خود منحنی ها توسط جان والیس نیز به گسترش این شیوه ها یاری داد.
رشد این نوع حساب به عنوان ابزاری بسیار کارا در همه مسائل، با استفاده از روش های جبری برای اجرای آن، در گرو «هندسه تحلیلی» (هندسه جبری) رنه دکارت و پی یر فرما بود. دکارت در کتاب ژئومتری(2) خود، که نخست به عنوان ضمیمه گفتار در روش (1637)انتشار یافت، روشی برای مشخص ساختن نقاط و خطوط با عدد، یا به صورت جبری با حرف، ارائه داد. این روش همانند روش ارجاع در نقشه با اعدادی به مبتدای یک «مبدأ» و مبتنی بر طرح شبکه ای از خطوط عمود برهم در روی نقشه است. دکارت پی برد که با استفاده از این روش می توان هر منحنی یا خطی را به صورت یک معادله جبری نشان داد. همعصر جوان تر او پی یر فرما نیز، که مستقلاً با کاربرد جبر در مسائل هندسی تجربه کرده بود، خود به این فکر رسیده بود که منحنی ها را می توان به صورت معادله نشان داد. او بر آن شد که این روش را فراتر بود؛ و نخستین کسی شد که به راه حل مسائل حد پایین و بالا پی برد ـ به عبارت دیگر دریافت که چگونه می توان کوچک ترین و بزرگ ترین مقادیری را که یک متغیر می تواند اختیار کند پیدا کرد و این مقادیر را به وسیله یک معادله بیان کرد. این نیز تأثیر قابل ملاحظه ای بر ارتقای روش های عمومی تر حساب داشت که اینک مسائل حد پایین و بالا، سطوح زیر منحنی، مقادیر بی نهایت خرد، و نرخ تغییر متغیرهایی از همه نوع را شامل می شد.
بحث رشد روش پر قدرت حساب انتگرال به کوشش لایب نیتس و نیوتون، که نخستین بار چنان مؤثر توسط نیوتون در حل مسئله حرکت سیارات به کار رفت، یک دنباله جالب دارد. نیوتون برای نشان دادن این که منظورش نرخ تغییر یک متغیر ـ مثلاً‌ مقدار x ـ است، ‌x را با نقطه ای در بالای آن بدین صورت می نوشت: x از سوی دیگر، لایب نیتس همین را به صورت dx/dt می نوشت. نکته این جاست که x نشان نمی دهد که بر سر x چه آمده است، حال آن که dx نشان می دهد. حروف dxبه همین صورت زوج به معنی یک افزایش بی نهایت ناچیز در مقدار x است. به همین سان، زوج dt بر یک افزایش بی نهایت ناچیز در زمان دلالت می کند. در نتیجه dx/dt به وضوح نشان می دهد که قضیه از چه قرار است: افزایش های بی نهایت ناچیز در مقدار x نسبت به افزایش های بی نهایت ناچیز در زمان t. به عبارت دیگر، منظور، نرخ تغییر x با زمان است. تفاوت به نظر حاشیه ای می رسد؛ و به یک معنا چنین نیز هست؛ ولی وقتی پای معادلات پیچیده تر به میان می آید، ‌برتری های سبک بیانی گویاتر اهمیت بیشتر می یابد. بریتانیایی ها با احترام فراوانی که برای نیوتون قائل بودند ـ او را پس از مرگش در کلیسای وست مینیستر به خاک سپردند و بر کتیبه گورش از قول الگزاندرپوپ(3) نوشتند:
طبیعت و قوانین طبیعت در تاریک شب پنهان بود؛
خدا گفت نیوتون باشد و روشنایی شد. (4)
ـ به اسلوب بیانی او وفادار ماندند، ولی ریاضیدانان کشورهای دیگر اروپا روش لایب نیتس را برگزیدند. ذکر این نکته نیز حائز اهمیت است که رشد حساب انتگرال در بریتانیا به مراتب کم تر از رشد آن در خاک اصلی اروپا بود. در سده هجدهم در اروپا ریاضیدان بزرگی چون لیونهارت ایلر، ژوزف لاگرانژ و پی یر لاپلاس دست به کار بودند. بعدها وضع چنان جدی شد که در دهه دوم سده نوزدهم، ‌جان هرشل(پسر ویلیام هرشل، ‌اخترشناس معروف) انجمنی در دانشگاه کیمبریج تشکیل داد تا سبک بیانی لایب نیتس را به بریتانیایی ها بقبولاند.
حساب انتگرال، با همه قدرتی که داشت با همه قدرتی که داشت، تنها نوآوری ریاضی در قرون هفدهم و هجدهم نبود. مثلاً‌ هم لگاریتم پا به میدان نهاد و هم ریاضیاتی برای محاسبه احتمالات پدید آمد. لگاریتم، ‌از یک جهت، ‌پدیده ای متعلق به قرن شانزدهم است؛ ‌زیرا بانیان آن، ‌جان نی پی یر اسکاتلندی و هنری بریگز انگلیسی، ‌به ترتیب در سال های 1550 و 1561 متولد شده بودند. اما روش نی پی یر که عبارت از ضرب اعداد از طریق عمل جمع( یعنی از طریق جمع «لگاریتم » های آن ها) و یافتن ریشه ها با تقسیم لگاریتم به عدد ریشه بود تا سال 1614 (در کتاب شرح قانون معجزآسای لگاریتم) انتشار نیافت. به علاوه، پیشبرد بیشتر این نظام به دست بریگز به همراه نی پی یر و ارتقای آن به کوشش او در کتاب حساب لگاریتم (1624) به معنی آن است که این کمک ارزشمند به محاسبه سریع تا دهه های دوم و سوم قرن هفدهم در دسترس ریاضیدانان قرار نگرفت. با این همه، ‌یک نشانه کارایی این نظام آن است که تا همین دیروز در اکثر عمل های حساب( ضرب، ‌تقسیم، ‌محاسبه توان و ریشه) و در مثلثات به کار می رفت. اینک نیز فقط ماشین حساب جیبی توانسته است آن را از میدان به در کند.
بلز پاسکال(1623 ـ 1662) که بیشتر ایام عمر خود را در پاریس گذراند، سهم عمده ای در پی ریزی حساب احتمالات داشت. او که در زمینه های بسیاری استعداد داشت، به فیزیک مایعات و خلأ نیز کمک هایی کرد.
پاسکال به فیلسوف مذهبی معروف بود؛ و همین دل مشغولی او به مذهب بود که بعدها همه وقت او را اشغال کرد و وی را با بحث هایی در مورد تصادف و وقایع نامعین در زندگی فرد و اجتماع درگیر ساخت. پی یر فرما قبلاً‌ مسئله محاسبه نتایج احتمالی ریختن طاس را بررسی کرده بود؛ ولی پاسکال کار را بسط داد و آنچه را که اکنون معروف به «حساب احتمالات»است پدید آورد. این حساب در واقع روش پرقدرتی است که آن را می توان وسیعاً‌ در حل مسائل علمی و همچنین محاسبه نتایج بازی های شانسی به کار بست. پاسکال قضیه دو جمله ای ها و مثلث پاسکال را نیز مورد مطالعه گسترده قرار داد.
یک کمک اصیل دیگر به ریاضیات در قرن هفدهم را معماری به نام ژرار دزارگ انجام داد که «هندسه ترسیمی» را در سال 1639 پی ریزی کرد. (در این نوع هندسه، اشکال هندسی از دیدگاه های گوناگون ترسیم و مطالعه می شود. ) هر چند این رشته به جز توسط چند تن از پی آیندگان وی، ‌از جمله پاسکال، ‌نامنکشف ماند؛ و تازه در قرن نوزدهم بود که تونست بر پای خویش بایستد. ریاضیات قرون هفدهم و هجدهم از کمک های خانواده برنولی نیز بهره مند بود که زندگی و کارشان از دهه 1650 تا دهه 1780 دوام داشت. خدمت آن ها پیشبرد حساب لایب نیتس و بکارگیری آن در طیف وسیعی از مسائل نجومی و مهندسی بود. آنان با هم میهن خود لیونهارت ایلر (1707 ـ 1782) که سرانجام حساب انتگرال را از چنگال هندسه رهانید و مثلثات را به زیر چتر جبر کشانید، ‌و پی یر لاپلاس (1749 ـ 1827)که اثر معروفش با نام مکانیک نجومی (1799 ـ 1825) خلاصه کاربرد جاذبه در اخترشناسی بود و ژوزف لاگرانژ(1736 ـ 1813)شکل پیشرفته ای از جبر را عرضه کردند. این «آنالیز عالی»، نه تنها با استفاده از حساب انتگرال بلکه با بهره گیری از روش های برخورد با تغییرات ادواری از نوع موجود در نجوم و نیز روش های رایج در حساب احتمالات، دانشمندان سده نوزدهم را به چندین روش کارآمد مجهز ساخت. خلاصه این که آنان به آنچه گالیله و نیوتون آغاز کرده بودند قوام بخشیدند و ریاضیات را به هر شاخه ای از علم فیزیک تسری دادند. «آنالیز عالی»، بعدها در دست ریاضیدانان ناب، ‌مولد نظرات ریاضی جدیدی شد که برای توصیف جهان واقعیت به کار آمد.

مراکز علمی

عامل جدید که در قرون هفدهم و هجدهم رخ نمود، علاقه روز افزون دولت ها به علم بود. تأسیس رصدخانه های گرینیچ و پاریس یک جنبه از آن بود، گرچه جنبه ای منفعت گرایانه بود زیرا غرض از آن کمک به امر دریانوردی به سود تجارت ماوراء بحار بود. اما قضیه وجه دیگری هم داشت و آن تأسیس مراکز علمی در پاره ای کشورها بود. پیش تر دیدیم که در ایتالیای اواخر قرن شانزدهم، ‌تعدادی آکادمی عالی در ناپل وجود اشت که دست کم یکی شان علمی بود. آکادمی لینچی در فلورانس نیز جای خود را داشت. اما از همه آکادمی ها پرآوازه تر، آکادمیا دل چیمنتو( آکادمی آزمایش ها) در فلوراس بود که در سال 1657 به دست دو تن از شاگردان گالیله به نام های وینچنزو و یونانی و اوانجلیستا تریچلی (5) بنیاد شده بود اعضای آن با کمک دو تن از افراد خانواده مدیچی، ‌که علاقه خود به آن را از قوه به فعل در آورده بودند، ‌انواع آزمایش ها را در زیست شناسی و فیزیک انجام می دادند؛ ولی وقتی یکی از مدیچی ها در سال 1667 به مقام کاردینالی رسید، آکادمی بسته شد. هر چند آن قدر دوام آورد که شرح مفیدی از کارش انتشار دهد.
در انگلستان وضع تا حدی فرق داشت. در لندن در سال 1596، ‌سرتوماس گرشم(6)، بازرگان ثروتمند و مشاور مالی ملکه الیزابت اول، «کالج گرشم در شهر لندن» را پی ریخت. این حرکتی جسورانه بود. در آن زمان، تنها دانشگاه های انگلیس اکسفرد و کیمبریج بودند و معاونت دانشگاه کیمبریج و هیئت مدیره آن در نامه ای به گرشم یادآوری کرده بودند که در حالی که معتقدند لندن، آکسفرد و کیمبریج تنها جاهای مناسب برای چنین کالجی است، ‌امیدوارند کسی که خود «پرورده کیمبریج» است، ‌«آکسفرد را انتخاب نکند». نظر گرشم این بود که کالجش هفت استاد مقیم داشته باشد که در کلاس های عمومی به دو زبان انگلیسی و لاتین تدریس کنند. بنا بود چند تن از آن ها به تدریس موضوعات علمی و عملی بپردازد که در برنامه درسی هیچ دانشگاهی قرار نداشت. شاید به این دلیل بود که او به جای آکسفرد یا کیمبریج، ‌لندن را انتخاب کرد. بیست و چهار سال بعد که کالج گرشم مرکزی پررونق شده بود، ‌فرانسیس بیکن، رئیس دانشگاه، ‌علم تجربی جدید را در کتاب خود موسوم به نووم ارگانوم (وسیله جدید) تبلیغ کرد. هدف او بیشتر «بهبود وضعیت انسان» بود تا تحصیل علم ناب. از این رو اعلام کرد که کاری که باید انجام داد، گردآوری اطلاعات هر چه بیشتری درباره هر موضوع تحت مطالعه است؛ و گفت که این اطلاعات را باید طبقه بندی و سپس جدول بندی کرد تا مشخص شود که آیا فلان خاصیت یا کیفیت وجود دارد یا موجود نیست و یا «به درجات مختلف، کم یا بیش»وجود دارد. سپس بررسی نتایج نشان می داد که پدیده تحت مطالعه چگونه است. البته هیچ کس از این راه چیزی کشف نکرد. عده ای آن را همانند «تحقیقات دولتی» دانستند. معلوم بود که این روش را کسی ابداع کرده است که اطلاعات عملیش از علم تجربی بسیار ناچیز است. این روش سراپا منطق بود و ذره ای خلاقیت در آن به چشم نمی خورد. ولی اهمیت بیکن در انگیزه ای نهفته است که افکار او پدید آورد؛ در تصور او از بهبودی وضعیت انسان از طریق استفاده از علم؛ و در پیشنهاد او برای تأسیس مرکزی برای دانشمندان که در سال 1627 در کتاب دیگر او آتلانتیس جدید عنوان شد.
نتیجه افکار بیکن و تأسیس کالج گرشم این بود که دوستداران علم رفته رفته شروع به تشکیل جلساتی کردند، ‌نخست در لندن، ‌سپس در خلال جنگ داخلی در آکسفرد و بعد در زمان احیای سلطنت در سال 1660 دوباره در لندن، که این بار به قصد تشکیل یک جامعه علمی بود. این جامعه مورد حمایت سلطنت قرار گرفت و به «جامعه سلطنتی لندن برای پیشبرد علوم طبیعی» معروف شد، ‌گرجه به زودی نامش به «جامعه سلطنتی»خلاصه شد. این کانون که مهم ترین جامعه علمی بریتانیا بود، ‌مانند آکادمیا دل چیمنتو شروع به برگزاری مباحثات علمی و انتشار کشفیات علمی نمود. خلاصه مذاکرات فلسفی جامعه سلطنتی نیز دایماً به صورت نشریه ای علمی به چاپ می رسید. انتشار آن را ویلیام الدنبورگ، منشی جامعه، خود شخصاً از سال 1665 آغاز کرد؛ ولی بعدها توسط خود جامعه انتشار یافت؛ به گونه ای که تا امروز ادامه پیدا کرده است. این نشریه و نیز خود جامعه در گسترش علوم تجربی جدید در اقصا نقاط پادشاهی متحد بریتانیا سهم بسیاری داشتند.
«آکادمی د سیانس» فرانسه نیز، ‌مانند جامعه سلطنتی، ریشه در ملاقات های غیر رسمی اهل علم داشت. اینان دکارت و پاسکال را نیز شامل می شدند و نخست در «حجره» یک دانشمند یسوعی به نام مارن مرسن در صومعه آنونسیاسیون در پاریس گرد می آمدند. مکان بعدی نشست های آنان خانه های بزرگ اعضای ارشد حکومت بود. سرانجام، نویسنده و مدیری به نام شال پرو(7) به ژان باتیست کولبر(8) وزیر دارایی لوئی چهاردهم پیشنهاد کرد که مرکز ثابتی تأسیس کند. قرار بود این مرکز، علاوه بر علم، ‌ادبیات و تاریخ را نیز در برگیرد؛ ولی نخستین نشست آن، درست پیش از کریسمس سال 1666، یکسره علمی از کار در آمد. اعضای این« آکادمی د سیانس»، علاوه بر کمک مالی برای پژوهش های خود، یک مقرری دایمی نیز از مقام سلطنت دریافت می کردند و هفته ای دوبار در اتاقی در کتابخانه سلطنتی گرد می آمدند.
آلمان قرن هفدهم نیز مراکز علمی خود را داشت. نخستین آن ها جامعه ای در روستوک بود که در دهه 1620 بنیاد شد ولی زیاد عمر نکرد. همتای آلمانی «جامعه سلطنتی» یا «آکادمی د سیانس» تا سال 1700 پدید نیامد. این «آکادمی علوم» که در برلین واقع بود، مانند همتاهای انگلیسی و فرانسویش، به تشویق مادی علوم و انتشار دستاوردهای علمی پرداخت.

پی نوشت ها :

1. Roberval , Giles
2. هندسه.
3. Pope , Alexander شاعر انگلیسی معاصر نیوتون.
4. با الهام از آیه سوم باب اول سفر پیدایش که از این قرار است: «و خدا گفت روشنایی بشود و روشنایی شد».
5. Torricelli , Evangelista
6. Gresham , Sir Thomas
7. perrault , charles
8. Colbert , jean- Baptiste

منبع: ا. رنان، کالین؛ (1366)، تاریخ علم کمبریج، حسن افشار، تهران: نشر مرکز، چاپ ششم 1388.