ریاضیدان همه فن حریف

گوتفرید ویلهلم فون لایب نیتس (1646-1716) جامع العلوم و همه فن حریف بود. به همه ی دانش های آن زمان، ریاضیات، منطق، فلسفه، علوم دینی و الهیات، حقوق، اقتصاد، زبان شناسی، تاریخ و افزون بر این ها، در نَسَب شناسیِ خانواده ی برونسویک، (1) وارد بود. چهل سال آخر عمرش را در دربار هانوور (2) به کار در این دانش و فن ها گذراند. آن گاه که دوکِ هانوور به لندن رفت و با نام جورج یکم پادشاه انگلستان شد، و نخستین آلمانی ای بود که به این مقام می رسید، لایب نیتس در اثر غفلت جا ماند و دو سال پس از آن درگذشت. گفته می شود منشی باوفایش تنها کسی بود که در آیین دفن او حضور داشته است.
دلبستگی لایب نیتس به ریاضیات پیامد مسافرت او در 1672 در هیئتی سیاسی به پاریس بود. در آن جا بخت با او یاری کرد و دیداری با کریستین هویخنس داشت. در این دیدار، هویخنس پس از آن که دریافت این دیپلمات جوان به تازگی چیزهایی را درباره ی آنالیز ترکیبی (=ترکیبی ها) و درباره ی مکانیک نوشته است، نسخه ای از کار خود در زمینه ی نوسان های پاندول را به او هدیه کرد، هوش و قریحه ی او را ستود و تشویقش کرد که ریاضیات را خط مشی زندگی خود قرار دهد. هویخنس همچنین شادمانه پذیرفت که لایب نیتس را در یادگیری کارهای بارو، کاوالیری، پاسکال، دکارت و کارهای ریاضیدانان دیگری یاری دهد.
لایب نیتس گفته است به هنگام خواندن کارهای پاسکال ناگهانی پی برد که برای یافتن خط مماس (یا شیب) منحنی داده شده، باید نسبت تفاضل عرض های دو نقطه ی نزدیک به هم از آن را بر تفاضل طول های آن ها به دست آورد و با نزدیک کردن دو نقطه به هم، این نسبت را کوچک تر و کوچک تر کرد. او می افزاید که مساحت سطح زیر منحنی را می توان مجموع عرض های نقطه های آن و یا مجموع بی نهایت مستطیل های بسیار نازک در نظر گرفت. به گونه ای معنی دارتر، از دید او این دو فرایندِ تبدیل به تفاضل کردن و تبدیل به مجموع کردن (به عبارت دیگر، دیفرانسیل سازی (3) و انتگرال سازی (4)) عمل های عکس یکدیگرند.
لایب نیتس در دستنوشته ای که تاریخ 29 اکتبر 1675 را دارد آنچه را «مثلث مشخصه» (5) می نامد، و پیش تر بارو و پاسکال آن را تصور کرده بودند، به نمایش می گذارد (شکل [8]-1). او منحنی را در نزدیکی نقطه ی تماس به تقریب خط مستقیم می انگارد و در این صورت دو مثلث قائم الزاویه، یکی با دو ضلع a و 1 و دیگری با دو ضلع p و y متشابهند و نتیجه می شود.
و یا اکنون با عمل جمع [روی pa ها و y1 ها که متغیرهایی کوچک شونده اند] و با نشانه گذاری های کاوالیری، که لایب نیتس در ابتدا به کار برد، به دست می آید
(که در آن omn. علامت اختصاری omnia به معنی «کل، همگی» است)؛ اما آن گاه در دستنوشته ی خود چنین نوشته است: «بهتر است به جای "omn.1" نماد
را به کار ببریم که به همان معنی جمع 1ها خواهد بود.» ما هم همین نماد را به کار می بریم و معادله ی [1] به تبدیل می شود که انتگرال
معین از تا y و حاصل آن ، برابر با مساحت مثلث قائم الزاویه ی شکل [8] -2، است. در واقع، لایب نیتس رابطه ی زیر را به دست آورد:
و یا که انتگرال گیری به شیوه ی امروزی را به یاد می آورد بنابراین، و بدون شکل، لایب نیتس آغازگر به کارگیری و گسترش این اندیشه شناخته می شود. چنانچه همان گونه که لایب نیتس خواسته یا ناخواسته عمل کرده است ما هم منحنی را گذرنده بر مبدأ مختص ها در نظر بگیریم، باید را به صورت بنویسیم. لایب نیتس از رابطه ی [3] رابطه های زیر را نتیجه گرفت:
یادآوری می کنیم که او هنوز به طور کامل به آن مرحله نرسیده بود که
***
را به همان گونه ی بنویسید، اما در همان دست نویس زیاد به پیش نرفته بود که موضوع «تفاضل ها» را به میان آورد، که همواره آن ها را «دیفرانسیل ها» می نامید. نخست به این دلیل که اگر «(جمع سازی پاره خط ها) اندازه ی ناحیه ی مساحت را افزایش دهد، آن گاه با توجه به این که تفاضل سازی عکس عمل جمع سازی است، «(تفاضل سازی» d» کاهش می یابد، dx را به صورت
نوشت.
ده روز بعد، آن گاه که در رساله ی دست نویس دیگری حسابان خود را روی مسئله هایی گوناگون به کار می برد دریافت که dx نماد بهتری است و در حاشیه نوشت «dx همان است و مفهوم تفاضل دو x در همسایگی هم را می رساند.» و در دومین رساله ی دست نویس خود یادآوری کرد که «باید دریافت آیا dx.dy همان مفهوم را می رساند؟» سپس با دقت به این نتیجه رسید که آن ها همسان نیستند و نمی توانند یک مفهوم را برسانند، و چنین بر می آید که در گزینش نشانه های دقیق درمانده بود. سرانجام در نوشته ی سوم که ده روز بعد فراهم آورد پی برد که و از آن نتیجه گرفت که رابطه ی دقیق به صورت زیر است: زمانی بعد هم به عبارت دقیق هم ارز با
دست یافت و از این هم جلوتر رفت و قاعده های دیگری مربوط به دیفرانسیل گیری را به دست آورد.
لایب نیتس نه تنها در نمادگذاری ها، بلکه در گزینش اصطلاح های ابتکاری و همه پذیر برای مفهوم هایی از حسابان، هندسه ی تحلیلی و زمینه های دیگر ریاضیات، مهارت تحسین برانگیز و سلیقه شایسته ای داشته است. این اصطلاح ها و معادل های آنها به زبان های دیگر، تا امروزه پابرجا مانده و به کار می روند. او برای نقطه ی از گونه ی P (شکل [8]-3) که در آن دو شاخه از یک منحنی مماس مشترک دارند، اصطلاح خوشایند «نقطه ی بوسش» (7) را برگزید.
بنابر آنچه «قضیه ی لایب نیتس» (8) نام دارد، به سادگی می توانیم مشتق مرتبه ی n ام حاصل ضرب دو تابع را به دست آوریم. مثلاً اگر y=uv و u و v هر کدام تابعی از x باشند، مشتق مرتبه ی چهارم y برابر است با و یا به صورت کلی که در رابطه ی [6] ضریب های 1، 4، 6، 4، 1 همان ضریب های بسط توان چهارم دو جمله ای اند و در رابطه ی [7] نماد (9) ضریب جمله ی عمومی بسط دو جمله ای است.
لایب نیتس قضیه ی دو جمله ای را به قضیه ی n جمله ای برای به دست آوردن حاصل عبارتی از گونه ی تعمیم داد. او همچنین در روبه رویی با حل دستگاه معادله های خطی، دترمینال ها (10) را اختراع کرد و به کار برد.
لایب نیتس در 1673 از لندن دیدن کرد. او در آن هنگام با شیوه ی کار با سری های نامتناهی آشنا بود و سری های زیر به نام او هستند ( اگرچه جیمز گرگوری پیش تر آن ها را کشف کرده بود): آزمون همگرایی سری های متناوب حسابان مقدماتی نیز مدیون لایب نیتس است.

پی نوشت ها :

1- Brunswick .
2- Hanover .
3- .differentiating
4- Integrating.
5- characteristic triangle .
6- ریاضیدانان یونان باستان و ریاضیدانانی پس از آن ها، از جمله ریاضیدانان دوره ی اسلامی، اصطلاح «مستطیل» را برای حاصل ضرب به کار می برده اند. در این رابطه هم rect. علامت اختصاری rectangle به معنی مستطیل است. – م.
7- point of osculation .
8- Leibniz' Theorem .
9- نماد ترکیب های n چیز هر بار k چیز است و با C(n,k) با نیز نموده می شود و مقدار آن است. – م.
10- determinants .

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..