سنجش حجم جسم های توپر

یوهان کپلر (1571-1630)، افزون بر کارهایی که در نجوم و در زمینه های گوناگون از ریاضیات انجام داده بود، بررسی هایی همه سویه را هم برای به دست آوردن حجم جسم های دوّار با شکل های گوناگون به کار برد. دلیل روی آوردن او به این کار، اندازه گیری حجم بشکه های شراب بود که به هنگام ازدواج دومش به آن نیاز پیدا کرده بود. برای این کار بر آن شد تا به روشی کلی دست یابد که نه تنها برای حل این مسئله ی ویژه، بلکه برای اندازه گیری حجم هر جسم دوّار به کار آید. برایند بررسی هایش کتابی شد با عنوان هندسه ی فضایی بشکه های شراب (2) که آن را در 1615 منتشر کرد. در این کتاب، حجم شکل هایی فضایی حساب شده بود که از دوران مقطع های مخروطی دور محوری واقع در صفحه ی آن ها پدید می آیند. کپلر این گونه شکل ها را به لایه هایی استوانه ای شکل برش داده و حجم شکل داده شده را مجموع حجم های این لایه ها پذیرفته بود.
اوتو توئپلیتز (3) پای فروشنده ی شراب عروسی را به میان آورد. این فروشنده میله ای درجه بندی شده را از سوراخ s واقع در کمر بشکه به درون آن فرو کرد و تا نقطه ی D واقع در لبه ی دهانه ی بشکه رساند (شکل [10]-1) و آن گاه بر پایه ی طول SD=d حجم بشکه و بهای شراب آن را حساب کرد. کپلر ملاحظه کرد که با این شیوه ی محاسبه، اگر دو بشکه یکی بلند و باریک و دیگری پهن و کوتاه، هر دو در اندازه ی d برابر باشند شراب های آن ها به یک بها فروخته می شوند، هر چند حجم های آن ها بسیار متفاوت باشد.
کپلر بشکه ای را در نظر گرفت که تقریباً استوانه ای باشد و با سنجش نمای برابر با d، شعاع قاعده ی r و ارتفاع h، و به روش بالا حجم آن را حساب کرد:
بنابر قضیه ی فیثاغورس در نتیجه و حجم برابر می شود با در اینجا کپلر معلوم کرد که با ثابت بودن دو مقدار d و r، برای آن که مقدار حجم بیشترین باشد h باید در رابطه ی صدق کند. این رابطه را امروزه از راه مشتق گیری از رابطه ی (5) و صفر کردن آن به دست می آوریم: در نتیجه پس که با این مقدار h مقدار حجم ماکسیمم خواهد بود.
مفهوم مشتق بعد از زمان کپلر تعریف شد و او از راه به کارگیری آن نمی توانسته به نتیجه ی بالا برسد. اما او می دانسته است که محاسبه ی بهای شراب داخل بشکه از روی اندازه ی d در اتریش جنبه ی قانونی داشته و بشکه ها هم بایستی شکل معین استانده داشته باشند به گونه ای که بُعدهای آن ها بر نسبت معینی باشند و بنابراین نسبت ها، مقدارهای d و h در رابطه های (7) صدق می کرده اند. اگر هم شکل بشکه ها از حالت استانده انحراف هایی داشته باشد باز هم روش بهره گیری از d کارساز خواهد بود، زیرا همان گونه که او ثابت کرد، تغییرهای تابع در نزدیکی ماکسیمم کند انجام می گیرد (امروزه بهتر می دانیم که بگوییم «در نزدیکی» ماکسیمم عادی نرخ تغییر تابع «نزدیک به» صفر است.) این درک شهودی و تا اندازه ای صوری از مفهوم مشتق که در اینجا به کار رفت، سال های بعد، در 1629، به وسیله ی فرما به طور صریح و نمادین بیان شد و در کتاب های درسی امروزی، با نام «روش فرما» و بیشتر برای به دست آوردن ماکسیمم و مینیمم تابع ها به کار می رود.
همراه با گذشت زمان کسانی دیگر هم اندیشه ی خود را روی مسئله ی یافتن حجم بشک های شراب به کار انداختند. روش هایی دقیق و ظریف نموده شدند و مورد سنجش قرار گرفتند و سرانجام هنری پا گرفت که موضوع آن اندازه گیری حجم هر گونه خُم با هر شکل بود. در این باره، نیکولاس پایک (4) روش خیلی کامل را به تفضیل شرح داده است:
قاعده – واحد را اینچ بگیرید. بُعدهای بشکه [یا هر خُم]، یعنی اندازه های قطر دهانه، قطر شکم، و بلندی آن را به دست آورید. اندازه ی قطر دهانه را از قطر شکم کم کنید و تفاوت را یادداشت کنید. بنابر آن که برآمدگی شکم بشکه (یعنی خمیدگی دیوار بشکه) خیلی زیاد، نه خیلی زیاد، کم، و یا تقریباً تخت باشد تفاوت یادداشت شده را به ترتیب در 70/0، 65/0، 60/0 و 55/0 ضرب کنید و حاصل ضرب را با اندازه ی قطر دهانه جمع کنید. حاصل جمع اندازه ی قطر میانگین بشکه است. با انتخاب این قطر، بشکه به شکل استوانه تصور می شود. اکنون، اندازه ی قطر میانگین را به توان دو برسانید و آن گاه در بلندی بشکه ضرب کنید و حاصل را برای شراب بر 294 و برای آب جو بر 359 تقسیم کنید. خارج قسمت، ظرفیت بشکه بر حسب گالن است.
پایک درازای قطر میانگین بشکه را با d و بلندی آن را با 1 نشان می دهد و حجم بشکه را با اینچ مکعب به دست می آورد. آن گاه بنابر آن که یک گالن برای شراب و آب جو به ترتیب 231 و 282 اینچ مکعب باشد حجم بشکه را به ترتیب برابر با گالن به دست می آورد. او این نکته را هم یادآوری می کند که دقت پاسخ به دست آمده بستگی به ضخامت چوبی دارد که در ساختن بشکه به کار می رود.

پی نوشت ها :

1- samuel J. Brannan.
2- solid geometry of wine barrels.
4- Otto Toeplitz .
3- .Nicholas Pike

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..