همگرایی

قیاسی که در زیر می آید ارزش خواندن را دارد. ریاضیات یک فروشگاه بزرگ است. انبوه نویسندگان دستاوردهای خود را در غرفه های آن جا به نمایش می گذارند. همگرایی(1) یکی از کلان بخش های فروشگاه است. در آن جا یک پوشینه (=کپسول) کیسه های خرید با اندازه های گوناگون را در دسترس می گذارد. خواننده، یا یکی دو قلم کالا (مطلب یا کتاب) را برمی گزیند و آن گاه خوشایندش خواهد بود اگر نویسنده او را به جایگاه کالاهای ارزشمند (کارهایی نمونه در زمینه ی تاریخ ریاضیات) راهنمایی کند، و یا این که بیشترین گزیده هایش کالاهای ساده و کارگذران از گونه ی سیخ کباب، خرده های نان و کره ی گیاهی (مطلب ها و کتاب های ساده ی وقت گذران) است.
از پارادوکسِ زنون (450 پیش از میلاد) آغاز می کنیم. به گفته ی او، یک دونده که پیمودن فاصله ای معین را آغاز کرده است هیچ گاه به پایان آن نخواهد رسید. خلاصه ی دلیل این است که و لازم است نادرستی این نابرابری ثابت شود. در این زمینه، ارشمیدس (220 پ م) یکی از نخستین کسانی است که به گلاویز شدن با مسئله های حد و سری ها روی آورده و دستاوردهایی داشته که با نمادها و نشانه های امروزی می شود او همچنین نشان داد که اما مدت ها گذشت تا این دستاوردها به هم پیوستند و پابرجا شدند. لایب نیتس در حدود 1673 در بررسی سری های متناوب دریافت که دو سری از دیدگاه همگرایی با هم تفاوت دارند. اما این رویداد را که نخستین آزمایش همگرایی بود تا سال 1705 با کسی در میان نگذاشت. نیوتن در اصول ریاضی این رویداد نیمه کاره را اوج کشف شهودی دانست (کشف شهودی = آنچه به دنبال فعالیت های ذهنی بر گرفته از دیده ها و شنیده ها آدمی را به کشفی تازه رهنمون می شود). او با وجود تیزبینی هایش واهمه داشت که حسابان با پوششی بدل نموده شود. مشتق، آن گونه که او تعریف کرده و به دقت بیان شده بود، بیش از آن که حدّی را نشان دهد گونه ای نسبت بود.
در این میان، به دنبال بررسی هایی که انجام می گرفت، فرمول هایی دل انگیز به دست می آمدند که شهودگرایی (3) را در پوشش نمادگرایی (4) (=فرمول گرایی = صورت گرایی) نشان می دادند ( شیوه ای که طبیعت از راه نمادها با آدمیان رابطه برقرار می کند). در حدود 1700، پیامی که به صورت (1) دریافت شده بود در حالت ویژه ی زمینه ی بحث مردمان شده بود. لایب نیتس مجموع های جزئی [جمله ی یکم، مجموع جمله های یکم و دوم، مجموع جمله های از یکم تا سوم، ...] را در نظر گرفت و با سری 1، 0، 1،0، 1، 0، 1، ... روبه رو شد و پای احتمال را به میان کشید. اویلر، که نمادگرایی را به اوج کارایی رسانده بود (حدود 1750) در رو به رویی با این چیستان و چیستان های دیگری همانند آن ساکت مانده بود. یکی از این گونه چیستان ها از راه به کار بردن بسط دو جمله ای روی
به شکل زیر به دست آمده بود: در همان زمان، کسانی با توجه به
نمادگرایی را نمایش یک حباب و رو به از بین رفتن دانستند. اویلر بر آن شد تا تعریفی را برای «مجموع سری» بیان کند. دالامبر (5) چنین تعریفی را درباره ی «حد» لازم دانست. لاگرانژ موافق بود اما آن را درمان موقت می دانست.
گاوس (6) (ح 1800) آغازگر عصری شد که دقت کامل را به همراه داشت. این عصر به آرامی پیش می رفت تا این که کوشی (1830) به آن تحرکی تازه داد و آنالیزی را که روی زمین شن زار ساخته شده بود روی پایه ای استوار و به شیوه ی صحیح تجدید بنا کرد. روشی سرشار از دقت کامل پا گرفت و از آن زمان تاکنون کارآمد و پا برجاست. وایرشتراس (ح 1860) با سختکوشی های همسنگ ریاضت های موئینه پوشان به نسخه ی کنونی کاملاً دقیق و سخت گیرانه ی «اپسیلون – دلتا» دست یافت. از این بابت به او مدیونیم و تلاش ها و پای بندی او را به دقت مداریِ افزون بر حد می ستاییم.
گفتنی است که سال های زیاد گذشت و پیشامدهای بسیار روی داد تا ریاضی پیشگان دریافتند دو رابطه ی دو گونه ی ناهمسانند. حتا کوشی و آبل (7) هم بر آن نبودند که دریابند حاصل جمع ها در سری های (3)، (4) و (5) باید نابجا و ناروا به شمار آیند. مدتی طول کشید تا محقق شد انجام دادن یا انجام ندادن دسته بندی ها در (6) ممکن است همگرایی را به واگرایی تبدیل کند. به معنی دیگر، مجموع های نامتناهی نمی توانند شرکت پذیر (8) باشند. بنابر تعریف، ترکیب شایسته ی دسته بندی های طبیعی به گونه ی زیر است: کوشی سری از گونه ی (3) را به کاربرد تا ثابت کند که شرکت پذیری هم باید فدا شود. با هر گونه تغییر ترتیب جمله های یک مجموع، مجموع دیگری که مورد نظر باشد به دست می آید.
دانشجویانی که آموختن حسابان را تازه آغاز کرده اند بعید است مجموع های (3) و (4) و (5) را دارای رفتاری ثابت در محیط های دیگر بدانند، زیرا از این بابت چیزی دستگیرشان نخواهد شد. آبل چنین سری هایی را کارهایی شیطانی می دانست و از آن ها پرهیز می کرد. کوشی به سری های واگرا روی آورد و در 1840 شالوده ی نظریه ای در این زمینه را طرح ریزی کرد. پوانکاره (9) با بررسی هایی که روی سری های واگرا انجام داد شأن و مرتبه ای والا را به آن ها بخشید. کسان زیادی بر آن بودند که تعریفی تازه را برای مجموع سری ها چنان بیان کنند که فراگیر کاربردهای ارزشمند آن ها نیز باشد و هلدر، (10) در 1882، در این باره نخستین گام را برداشت. با بیان روش هایی درباره ی مجموع پذیری، (11) رابطه ی (4) صحیح از کار درآمد. با ارزیابی هایی که بر پایه ی نظریه ی اوسترووسکی، (12) تازه نموده شده در 1918، روی ناجورترین نمونه، (5) انجام گرفت این هم جان سالم به در برد.
با وجود بهسازی هایی که یاد شد، تعریف پذیرفته شده ی عمومی برای مجموع، همان تعریف پیشین است و در کابردها همان را به کار می برند، قاعده هایی هم که برای عمل های روی سری ها به کار می روند با آن سازگارند.
ندانستن قاعده های مسابقه مانع از آن نشد که فوریه (13) و هوی ساید (14) از کشف های عظیم خود باز بمانند. اویلر، ناآگاه از خطرهایی که ممکن بود در پی بیاید، آرایش [جمله های] سری ها را بازسازی کرد. گاؤس حدها را تکراری جابه جا کرد بدون آن که پشیمانی خود را نشان دهد. کوشی، در وضعیتی مشابه، سرگردان ماند اما به خود آمد، در حالی که در این فرایند به اختراع همگرایی یکنواخت (15) توفیق یافت. با اراده های قوی و در تصمیم گیری ها ثابت قدم، فهمیدند و فهماندند و فراخور پیش بینی های ذهنی، خطاهای خطرزا را بی اثر کردند.
با همه ی این ها، ناب ترین شهودگرایی هایی که در تاریخ ریاضیات آمده اند گرفتار سردرگمی های فرایندهای نامتناهی بوده و برای رهایی از این گرداب ها دست و پا می زده اند. ناشایستگی در برابر ناچیزترین فناپذیرها همانند ریشخندهای آدمی خودخواه است در برابرِ، مثلاً، آزمون های همگرایی سری ها. مثال هایی گوناگون که خود سری بی نهایت را نشان می دهند سازوکار رو به رویی با آن را همراه دارند و باید از آن ها بهره جویی کرد. فرایندی که در زیر می آید به گردشی دوره ای و نامتناهی می انجامد. سه جعبه ی A، B و C را تصور کنید که در کنار هم نهاده شده اند و جعبه ی A از برچسب هایی به تعداد نامحدود پر شده است، اما دو جعبه ی B و C خالی اند. دو برچسب را از A بر می دارید و در B می گذارید. پس از آن، یک برچسب را از B بر می دارید و در C می گذارید. این عمل را پشت سر هم تکرار می کنید. در پایان چه تعداد برچسب در B وجود خواهد داشت؟ پیش از آغاز عمل، B خالی است و صفر برچسب در آن جای دارد. پس از آن هر بار دو برچسب در B می گذارید و یکی از آن ها را رد می کنید و بنابراین در هر بار تکرار عمل، یک برچسب به تعداد برچسب های B افزوده می شود و تعداد آن ها هر یک از عددهای 0، 1، 2، 3، ... تا بینهایت، می تواند باشد. اکنون اگر برچسب ها را به ترتیبی که از A به B و از B به C جابه جا می شوند شماره گذاری کنید، برچسب های وارد شده به B به ترتیب به شماره های 1، 2، 3، 4، 5، 6، ... و برچسب های خارج شده از B به ترتیب به شماره های 2، 4، 6، ... و برچسب های موجود در B پس از هر عمل به ترتیب به شماره های 1، 3، 5، ... خواهند بود. اگر فرایند را به تعداد معین، مثلاً 3 بار، تکرار کنید برچسب هایی که در B می ماند به شماره های 1، 3و 5 هستند. [و اگر تکرار فرایند بینهایت بار تصور شود، دو مجموعه ی هم ارز عددهای فرد و عددهای زوج نمایانگر برچسب های موجود در B و C خواهند بود].

پی نوشت ها :

1-convergence .
2- .Marlow Sholander
3- intuitionism.
4- .formalism
5-.D'Alembert
6- .Gauss
7- Abel.
8- Commutativity.
9- .Poincare
10- Holder.
11- summability.
12- Ostrowski.
13- Fourier.
14- Heaviside.
15- .uniform convergence

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..