خاستگاه قاعده ی لوپیتال

قاعده ای که به نام لوپیتال یا هوپیتال، شناخته می شود این است که با معلوم بودن دو تابع f(x) و g(x) و مقدار معین a، اگر آن گاه این قاعده را نخستین بار لوپیتال، ریاضیدان فرانسوی، در اثر خود به نام آنالیز بی نهایت کوچک ها در 1696 در پاریس منتشر کرد. مارکی (2) دو لوپیتال ریاضیدانی غیرحرفه ای بود و چون با موضوع جدید حسابان که لایب نیتس با انتشار دو رساله ی کوتاه در 1684 و 1686 به جهان دانش معرفی کرده بود آشنا شد، این موضوع توجهش را جلب کرد و علاقه مند به یادگیری آن شد. او نتوانست خود را کاملاً متقاعد کند که خواهد توانست نزد خودش بر این شا خه ی جدید از ریاضیات مسلط شود، پس فیزیک دان و ریاضیدان جوان سوئیسی یوهان برنولی را برای کمک نزد خود فرا خواند و مدت چند ماه از سال های 1691 و 1692، نخست در خانه اش در پاریس و پس از آن در جایگاه ییلاقیش، از او پذیرایی کرد. پس از آن که برنولی به شهر خود، بازل (3)، برگشت مارکی ارتباط خودش را با او، معلم سر خانه اش، حفظ کرد و در همان حال به انتشار مقاله هایی دست اول در زمینه ی یافته های خودش روی آورد. در 1696، آن گاه که کتاب [درسی ریاضی] تألیف مارکی پخش شد، او با عبارت هایی کاملاً معمولی گوشزد کرده بود که فراهم آوردن این کتاب را مدیون لایب نیتس و برنولی است:
«خود را در برداشت هایی از کشف ها و دستاوردهای آنان آزاد دانسته ام، از این رو هر چه را حق خود بدانند بی چون و چرا جبران خواهم کرد.»
این پرسش که ادعادی لوپیتال در نسبت دادن کارهایی از برنولی به خود تا چه اندازه واقعیت دارد بدون پاسخ باقی ماند و با گذشت زمان به صورت معما درآمد. آن گاه هم که برنولی نسخه ای از کتاب لوپیتال را، که برای او فرستاده بود، دریافت کرد مؤدبانه تشکر کرد و آن را ستود. اما بعدها، که لوپیتال هنوز زنده بود، در نامه هایی خصوصی که به او می نوشت ادعا داشت که عمده ی محتوای کتاب «آنالیز بی نهایت کوچک ها» در واقع متعلق به خود او است. پس از درگذشت لوپیتال (1704)، برنولی در نشریه ای که پخش کرد مدعی شد آن بخش از کتاب لوپیتال که قاعده ی را در بر دارد کار او بوده است. ریاضیدانان درباره ی حق تقدم این کشف با یک معما رو به رو شده بودند، برنولی از یک سو لوپیتال را همشأن یک ریاضیدان بزرگ ستوده و تعلق محتوای کتاب را به او تأیید کرده بود و از سوی دیگر، اکنون عکس مطلب را تصدیق می کرد و شهرت او را زایل می ساخت. درباره ی این تناقض گویی مگر در سده ی اخیر تفاهمی عمومی صورت نگرفت.
در 1922 گشایشی حاصل شد. دست نویس آخرین چاپ (به تاریخ 92-1691) کتاب حساب دیفرانسیل تألیف یوهان برنولی به دست آمد (این دستنوشته کاملاً مشابه به دستنوشته ی حساب انتگرال چاپ 1742 بود که مؤلف آن را نیز یوهان برنولی می شناختند.) از مقایسه ی این دستنوشته ها با متن کتاب لوپیتال دریافتند که یکسره با هم مطابق اند، و برنولی زمینه ساز عمده ی هوشمند نمایی های اشراف زاده بوده است. اما تنها در 1955، که به یکی از نخستین نامه های رد و بدل شده ی بین برنولی و مارکی دست یافتند، حقیقت امر روشن شد. بنابر این نامه، در 1694 بین مارکی و معلم خصوصی پیشین او قراردادی به شرح زیر منعقد می شود: لوپیتال مقرری سالانه ی بالغ بر 300 لیور (4) (او پس از آن بیشتر) را برای برنولی تعیین می کند و در برابر، برنولی تعهد به سه شرط زیر را می پذیرد:
1.روی همه ی مسئله های ریاضی که مارکی برای او می فرستد کار کند.
2. همه ی کشف هایی را که به آن ها دست می یابد به نام او شناسانده شوند.
3. از فرستادن و قرار دادن رونوشت یادداشت هایی که برای لوپیتال می فرستد در دسترس دیگران خودداری کند.
به این ترتیب از مسئله ی حق تقدم رفع ابهام شد. ترجمه ی بخشی از نامه ای را که لوپیتال در تاریخ 17 مارس 1694 از پاریس برای یوهان برنولی در بازل فرستاده و در آن پیشنهاد بالا را در میان گذاشته است در زیر آورده ایم.
با کمال میل یک مقرری سیصد لیوری را برای شما تعیین می کنم که از آغاز ژانویه ی سال جاری شروع می شود و بنابر گزارش های روزانه ای که خواهید فرستاد، دویست لیور را در نیمه ی نخست سال، و یکصد و پنجاه لیور را برای نیمه ی دیگر سال و به همین ترتیب در سال های بعد، خواهیم پرداخت. اطمینان می دهم که این مقرری را به زودی افزایش دهم، من این مبلغ را خیلی مناسب می دانم و هر چه زودتر که از شلوغی کارهایم کمی کاسته شود آن را انجام خواهم داد... من آن قدر غیر منطقی نیستم که از شما بخواهم همه ی وقت خود را روی این کار بگذارید، اما از شما می خواهم گاه به گاه ساعت هایی از وقت خود را در اختیار من بگذارید تا روی پرسش هایی که از شما خواهم کرد کار بکنیم – و همچنین کشف هایی را که به آن ها دست می یابید با من در میان بگذارید، با این درخواست که دیگران را بر آن ها آگاه نکنید. من همچنین از شما می خواهم رونوشت هایی از یادداشت هایی را که در دسترس من می گذارید نه برای م. وارینیون (5) و نه برای کس دیگر نفرستید، ناخوشایندم خواهد بود اگر به نحوی در دسترس دیگران قرار گیرند. در پذیرش همه ی این موردها پاسخ خود را به آگاهی من برسانید. به من اطمینان داشته باشید. هر چه میل شما باشد. (6)
مارکی لوپیتال
متن پاسخ برنولی به این نامه به دست نیامده است، اما بنابر نامه ای که در تاریخ 22 جولای 1694 نوشته می دانیم که این پیشنهاد را پذیرفته است. برای دانشمند جوان که گرفتار بی پولی هم بوده است چنین پیشنهادی دستیابی به مالی بادآورده به شمار می آمده است. او ازدواج کرده و چشم به راه دستیابی به یک مقام علمی بود (سال ها بعد در دانشگاه گرونینگن (7) هلند (8) به مقام استادی رسید). نمی دانیم رابطه ی جالب بین لوپیتال و برنولی تا چه مدت طول کشیده است، اما وضع مادی برنولی رو به بهبود بود و از لوپیتال بهتر از آنچه بود نشد. سال 1695 باید پایان ارتباط بوده باشد. تعدادی از نامه هایی که برنولی به حامی خود نوشته و در آن ها به پرسش هایی که از او شده پاسخ داده است اکنون چاپ شده اند. یکی از اینها قاعده ی را در بر دارد. فرمول بندی آن بسیار شبیه همان گونه ای است که در آنالیز بی نهایت کوچک ها و بر پایه ی اندیشه های هندسی بیان شده است و به زبان امروزی چنین می شود: اگر و نمودارهای دو تابع هر دو از نقطه ی P واقع بر محور X ها بگذرند و نقطه ی P به طور a باشد،
و با انتخاب و با توجه به شکل به سادگی در می یابیم که اگر h کوچک باشد آن گاه برابر است با خارج قسمت تقسیم . در حد، با عبارت هایی که برنولی به کار برده است،
برای آن که به سادگی مقدار عرض منحنی داده شده ی را به دست آوریم لازم است دیفرانسیل صورت کسر را بر دیفرانسیل مخرج کسر تقسیم کنیم.
در این جا برنولی یک مثال آورده که همان مثالی است که لوپیتال نیز به کار برده است: و اگر x=a آن گاه: مثال زیر را نیز برنولی و لوپیتال هر دو به کار برده اند: که اگر x=a آن گاه y=2a.
مثالی دیگر را برنولی به کار برده و لوپیتال آن را به صورت زیر تغییر داده است: که اگر x=a آن گاه اکنون موضوع از هر جهت روشن شده است. آن گاه که کتاب لوپیتال پخش شد برنولی در گرو تعهد خود بود و نمی توانست اعلام کند کدام بخش از کتاب زاده ی فکر اوست. او به ناچار این موضوع را رازی دانست که باید در دل نگه دارد. اما پس از مرگ مارکی خود را آزاد دید که بیش از این ساکت نماند و بر آن شد که از حق خود، به ویژه از جالب ترین فراورده کتاب، یعنی قاعده ی ، دفاع کند. اما او نتوانست برای اثبات ادعای خود دلیلی بیاورد. در حال حاضر از او احقاق حق شده است.
اکنون که به خاستگاه قاعده ی لوپیتال دست یافته ایم نمی توانیم تصمیم بگیریم که از این پس این قاعده به نام برنولی شناسایی شود. نخست آن که هم اکنون قاعده ها و قضیه های فراوانی به نام برنولی شناخته می شوند (با توجه به این که دست کم سه نفر از خانواده ی برنولی؛ یاکوب، یوهان و دانیل، در زمینه ی ریاضیات فعالیت داشته اند). افزون بر این، عامل های دیگری را هم باید در نظر گرفت. اگر حق تقدمِ به کلی دقیق را ملاک بگیریم و بنابر آن، نام های قاعده ها و قضیه هایی زیاد را تغییر دهیم با پیامدهایی ناخوشایند رو به رو می شویم و دانش های ما بسیاری از اصطلاح های آشنای همگانی را از دست می دهند. قضیه ای که به نام فیثاغورس آشنای همه است بیش از یک هزاره پیش از آن که این خردمند اهل کروتون (9) زندگی کند برای بابلی ها آشنا بوده است. معادله های کوشی و ریمان را متعلق به دالامبر و اویلر شناسایی کرده اند. قضیه ی تیلور بایستی به نام گریگوری باشد اما خارج از انتظار به نام دیگری شد – بعید نیست که ریاضیدانان هندی پیش تر به آن دست یافته باشند (ح 1500). همچنین پیش از آن که پِل (10) روی معادله ای که به نام اوست کار کند هندی ها با آن سر و کار داشته اند – پل پیش از آن که روی این معادله کار کند با آن آشنا بوده است. سری ای که به نام فوریه است پیش تر اویلر و دانیل برنولی آن را به کار می برده اند. مثلث حسابی پاسکال را ریاضیدان چینی یانگ هیوئی (11) (در سده ی سیزدهم) می شناخته است و به احتمال زیاد پیشینه ای بیشتر داشته باشد. (12) ریاضیدان دیگر چینی به نام چهین چیو – شائو (13) در سروکار داشتن با معادله های و با به کار بردن ابزاری قدیمی روش هورنر (14) را به کار می برده است و نمونه های دیگر.
نامی که روی یک کشف ریاضی گذارده می شود، بیشتر، نام کسی است که یا این دستاورد را به خوبی و به درستی شناسانده و یا در کار برجسته ای که انجام می داده به آن پی برده است. در نام گذاری دوباره ی یک کشف تاریخی ممکن است در توازن حساس موجود آشفتگی هایی پیش آید. مارکی نیک مرد و قاعده ی کارآمد زیبایی را که به نام اوست در نظر بگیریم. او برای آن پول پرداخته بود و آنچه منتشر کرد دارایی شخصی او به شمار می آمد. افزون بر این ها، او شایستگی نام آوری را داشت؛ کتاب او در شناسایی حسابان جدید نه تنها نخستین اثری بود که در این زمینه چاپ شد و مطلب هایی از خود او را هم در برداشت، بلکه چنان خوب و گیرا فراهم آمده بود که تا بیش از نیم قرن موقعیتی ممتاز و منحصر به فرد داشت. افزون بر این ها، بهترین کتاب درسی و نخستین شناساننده ی خوب حسابان شناخته شده بود. بنابر آنچه می دانیم آخرین تجدید چاپ آن در (1790) انجام گرفته است. کتاب به زبان های انگلیسی و لاتین ترجمه و چاپ می شد. کسانی هم، از جمله وارینیون دوست نزدیک لوپیتال، آن را تفسیر کرده اند. ارزش این کارها را بدانیم و یاد برآورنده ی آن ها را گرامی بداریم.

پی نوشت ها :

1- Dirk J. Struik.
2- عنوان و مقامی اشرافی در رده ای پایین تر از دوک.
3- Basel.
4- livre.
5- M.Varignon ، دوست نزدیک لوپیتال.
6- .Monsieur, tout a vous
7- Groninge .
8- Netherland.
9- Crotona.
10- .Pell
10- Yang Hui.
11-ریاضیدان بزرگ ایرانی خیام (439-526 هـ ق = 1047-1131م) نیز این مثلث حسابی را به کار برده است. – م.
12- .Chhin Chiu – Shao
13- Horner.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..