جنگلی از معادله های دیفرانسیل

تخم های حسابان، که دیرگاه سده ی هفدهم کاشته شدند، خیلی زود جوانه زده، رشد کرده و جنگلی انبوه از معادله های ریاضی را پدیدار ساختند. درختان این جنگل، بنابر نوع معادله ها، دسته بندی شدند و هر دسته جنگلی کوچک تر را به نمایش گذاشت که یکی از این ها جنگل معادله های دیفرانسیل است. ایزاک نیوتن، گوتفرید ویلهلم فون لایب نیتس، یاکوب برنولی و یوهان برنلوی از پیشگامان پرورش دهندگان این جنگل بودند. اینان، در روبه رویی با درخت های پر گره از گونه ی (که یک معادله ی دیفرانسیل «معمولی» است) به اندیشه وری و نظرسنجی ها برانگیخته شدند و با بررسی هایی پیش رس که انجام دادند انتظارشان آن بود در حل چنین معادله هایی سر و کارشان تنها با رابطه ای بین x و y و تابع هایی مقدماتی مثل و از این گونه خواهد بود. اما پیگیری های بعدی و روبه رو شدن با معادله هایی از گونه های دیگر، ثابت شد که چنین تابع های مقدماتی کارایی لازم را ندارند. ریاضیدانانی که در برابر ریاضیدانان سنتی سربرافراشته و شاخه هایی از درختان جنگل را زیادی دانسته و بریده بودند، این گونه معادله ها را ابزارهایی دانستند که در به فرمول و به معادله درآوردن قانون های حاکم بر جهان فیزیکی شایستگی خوب را دارند و جواب های معادله ها در حوزه های رو به گسترش مکانیک و نجوم کاربردهایی ضروری را دارند. برای نمونه، گلوله ای از ارتفاع 300 پا بالای زمین با سرعت آغازین 10 پا در ثانیه رو به پایین رها می شود و، صرف نظر از مقاومت هوا، معادله ی دیفرانسیل مربوط به حرکت آن می شود که y و x به ترتیب ارتفاع و زمان لحظه ای گلوله را نشان می دهند. این معادله بر پایه ی قانون دوم نیوتن مربوط به حرکت نوشته شده است و تابع زیر جواب آن خواهد بود:
و در زمان 3 ثانیه پس از آغاز حرکت گلوله مسافت پیموده شده ی آن برابر می شود با جنگل پذیرای تازه واردهایی شده بود؛ کسانی که به احتمال زیاد دوره های عالی ریاضیات را گذرانده و اکنون هر کدام از آن ها کوشش می کرد تا نام خود را دست کم روی یکی از درخت ها حک کند و آن معادله ی دیفرانسیل را به نام خود بشناساند. اما خواستاران ناحیه هایی وسیع بسیار اندک بودند. در 1800، تیغ هایی از نظریه های عمومی یکی پس از دیگری در جنگل روییدند و سطح آن جا را پوشاندند و با آن که بالقوه سودمند بودند توانستند بعضی از درختانی را هم که هنوز سرسختانه مقاومت می کردند به تسلیم شدن وادارند و برش دهند. اویلر هم در 1743 بر ناحیه ای از جنگل معادله های دیفرانسیل دست یافته بود؛ او توانسته بود معادله های دیفرانسیل معمولی همگن خطی با ضریب های ثابت را به طور کامل مورد بحث قرار دهد.
اگستن لویی کوشی بر لزوم دقت زیاد تأکید داشت، اشتباه ها و نارسایی های راه حل های دیگران و همچنین از همکاران و همگنان خود را بی پروا اعلام می کرد و آنان را به تجدیدنظر و به دقت دوباره در کارهای خود و در کارهای پیش تر نموده شده وا می داشت. اویلر حل معادله های دیفرانسیل را از راه به کار بردن سری های نامتناهی یک فن مهم به شمار می آورد که پسند همگان هم بود. اما معلوم شد استدلال های او هم گاه سست و پرسش برانگیز بوده است، از جمله این ادعای او که این گونه دقت ورزی ها و بازنگری ها اطمینان خاطر و راحتی خیال ریاضیدانانِ دومین سده ی پس از روی کار آمدن معادله های دیفرانسیل را در پی داشت. بنابر گفته ای از پل بونیان (2) در گفتگویی درباره ی ریاضیات و فیزیک، پیرلاپلاس (3) به یک سخنرانی کوشی گوش می داد و همین که موضوع همگرایی سری های نامتناهی پیش آمد به اشتباهی از خود در فهم یک مفهوم پی برد. با شرمندگی جلسه را ترک کرد و با شتاب خود را به خانه رساند تا آنچه را در زمینه ی مکانیک آسمانی نوشته وارسی کند و ایرادهایی را که بر آن وارد است رفع کند.
در این دوره، همراه با بهتر فهمیده شدن مسئله هایی که در حل معادله های دیفرانسیل به خودی خود پیش می آیند، ابزارها و روش های بهتری هم برای رو به رویی با معادله هایی فراهم شد که پیش تر رام نشدنی می نمودند. از جمله ی برجسته ترین این ابزارهای نو، روش تقریب های متوالی امیل پیکار (4)، تبدیل های لاپلاس، و عملگرهای اولیور هوی ساید را می توان نام برد.
در آستانه ی به پایان رسیدن سده ی نوزدهم، نظریه ی سوفوس لی (5) در زمینه ی گروه های پیوسته (6) روی کارآمد و نه تنها معادله های دیفرانسیل، بلکه کل نظریه ی معادله ها را، تحت تأثیر قرار داد. پس از آن هم چیزی نگذشت که جبر مجرد، (7) توپولوژی (8) و آنالیز تابعی، (9) به سان ماشین هایی سهمگین، به میدان آمدند و جنگل ناگزیر شد صدها هکتار عقب بنشیند و جا را برای آن ها خالی کند. رایانه های با سرعت بالا و اَبَررایانه ها به بازار آمدند و بهره گیری های گسترده از نظریه ی تقریب های عددی (10) و از روش های سود بخش تکرار (=از سرگیری) را ممکن ساختند. افزون بر آن، روش هایی کامپیوتری در دسترس قرار گرفتند که راه را برای پژوهش های ژرف و هدایت شده در زمینه ی معادله های دیفرانسیل هموار ساختند. جنگل معادله های دیفرانسیل به مقیاس بسیار زیاد از آلودگی ها پاک شده است.

پی نوشت ها :

1- James Porter.
2- Paul Bunyan.
3- Pierre Laplace.
4-.Emile Picard
5- Sophus Lie.
6- continuous groups.
7- .abstract algebra
8- topology.
9- .functional analysis
10- numerical approximation.

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..