جبر باستانی

چون منشأ جبر احتمالاً بابل(1) است، مناسب به نظر می رسد که سبک لفظی را با مثالی از این کشور شرح دهیم. مسئله ی زیر سطح نسبتاً پیچیده ی جبر بابلی را نشان می دهد. این، از آن نوع مسئله هایی است که در کتیبه های گلی به خط میخی دیده می شوند و قدمت آن ها به زمان سلطنت شاه حمورابی(حدود 1700 ق م) می رسد. توصیف البته به فارسی بیان می شود؛ و نمادگذاری اعشاری هندی-عربی به جای نمادگذاری شصتگانی میخی به کار رفته است. ستون موازی در سمت چپ گام های متناظر را در نمادگذاری امروزی به دست می دهد.
[1] طول، عرض. من طول را در عرض ضرب کرده ام و به این ترتیب مساحت را به دست آورده ام: 252.
طول را با عرض جمع کرده ام: 32. مطلوب: طول و عرض.
[2] [مفروض] مجموع 32، مساحت 252.
…(A) x+y=k
xy=p
[3] [جواب] طول 18، عرض 14.
[4] می توان به این روش عمل کرد:

نصف 32 را بردار [16 حاصل می شود].

[5] [امتحان کنید] طول 18 را در عرض 14 ضرب کرده ام.

مساحت 252=18×14

توجه کنید که 1) مسئله بیان شده است، 2) داده های مفروض فهرست شده اند، 3) جواب داده شده است، 4) روش حل به کمک اعداد شرح داده شده است، 4) روش حل به کمک اعداد شرح داده شده است و سرانجام 5) جواب امتحان شده است.
«دستور آشپزی» بالا (وان در واردن (2) روش حل را چنین نامیده است) مکرّراً در مسائل مشابه به کار رفته است. این روش به دلایل متعدد، از جنبه ی تاریخی مهم است و حتی امروزه نیز مورد توجه است.
نخست، این روشی نیست که امروزه دستگاه (A) را بر اساس آن حل می کنیم. شیوه ی استاندارد در متن های درسی جبر پیش دانشگاهی این است که مثلاً، معادله ی اول را بر حسب y (یا بر حسب X) حل کنیم، آن را در معادله ی دوم جایگذاری کنیم، و سپس معادله ی درجه دوم حاصل را نسبت به x حل کنیم؛ یعنی از روش حذف استفاده نماییم. بابلی ها روش حل دستگاه ها بر اساس حذف را می دانستند، اما اغلب ترجیح می دادند که از روش پارامتری خود استفاده کنند. یعنی، با نمادگذاری امروزی، آن ها x و y را بر حسب مجهول جدیدی (یا پارامتری) مانند t با قرار دادن در نظر می گرفتند. سپس حاصلضرب آن ها را به رابطه (B) می رسانید:
ثانیاً مسئله ی بالا این دلیل اهمیت تاریخی دارد که جبر(هندسی) یونانی فیثاغورس و اقلیدس (که بخش اعظم ریاضیات زمان خود را در کتاب اصول مدون کرد) همان روش حل را دنبال می کرد، هرچند که در قالب اصطلاحات پاره خط ها و مساحت ها عبارت پردازی و به کمک اشکال هندسی شرح داده شده بود. چند قرن بعد، یونانی دیگری، دیوفانتوس، نیز از رویکرد پارامتری در کار خود با معادلات «دیوفانتی» استفاده کرد و با معرفی کلمات اختصاری و اجتناب از سبک نسبتاً کسل کننده ی جبر هندسی، نمادگرایی نوین را آغاز نهاد.
ثالثاً، ریاضیدانان عرب (3)(از جمله خوارزمی) از روش مسئله ی بالا استفاده نکردند؛ آن ها ترجیح دادند که یکی از مجهول ها را از طریق جایگذاری حذف کنند و همه را در قالب کلمات و اعداد بیان کنند.
پیش از ترک بابلی ها و جبر آن ها، متذکر می شویم که آن ها توانستند انواع نسبتاً شگفت انگیزی از معادلات، از جمله برخی انواع خاص معادله های درجه سوم و چهارم را، البته همه با ضرایب عددی، حل کنند.

جبر در مصر

جبر در مصر تقریباً هم زمان با بابل پدیدار شد، اما جبر مصری فاقد آن پیچیدگی و نیز گونه گونی انواع معادلات حل شده بود- البته، در صورتی که مبنای قضاوت را پاپیروس مسکو و پاپیروس ریند (4) قرار دهیم که سندهایی مصری اند و قدمت آنها به ترتیب به حدود 1850 و 1650 قبل از میلاد باز می گردد، اما انعکاس دهنده ی روش هایی هستند که از دوره ای پیش تر مستخرج شده اند. مصریان برای معادله های خطی از روش حلی مرکب از یک برآورد آغازین و یک تصحیح نهایی بعدی استفاده کردند که اروپاییان بعدها عنوان نسبتاً غامض «قاعده ی امتحان و تصحیح» را به آن دادند. جبر مصر مانند جبر بابلی لفظی بود.
دستگاه شمارش مصری ها، که در مقایسه با دستگاه بابلی ها نسبتاً ابتدایی بود، توضیح نبود پیچیدگی در جبر مصری را ساده تر می کند. ریاضیدانان اروپایی قرن شانزدهم مجبور بودند پیش از آن که بتوانند به طور قابل ملاحظه ای از نتایج بابلی ها در حل معادلات فراتر روند، مفهوم هندی-عربی عدد را توضیح دهند.

جبر هندسی یونانیان

جبر یونانی، آن گونه که به دست فیثاغوریان (حدود 540 ق م) و اقلیدس (حدود 300 ق م) مدون شد، هندسی بود. به عنوان مثال، آنچه ما به صورت
می نویسیم، یونانیان در قالب نموداری که در شکل [1]- 1 نشان داده شده، به تصور در می آوردند و به طریقه ی زیر توسط اقلیدس در اصول او، مقاله ی II، قضیه ی 4، به طرزی غریب بیان شده است:
اگر خطی راست به دو جزء تقسیم شود، مربع روی تمام خط برابر است با مربع های روی دو جزء همراه با مستطیلی که به وسیله ی دو جزء محصور می شود [یعنی،
شخص وسوسه می شود که بگوید برای یونانیان عصر اقلیدس، a2 حقیقتاً یک مربع بوده است!
شکلی نیست که فیثاغورسیان با جبر بابلی کاملاً آشنا بوده اند و در واقع، از روش های استاندارد بابلی حل معادلات تبعیت کرده اند. اقلیدس این نتایج بابلی را ثبت کرده است و ما با انتخاب قضیه ای که متناظر با مسئله ی بابلی بالاست، موضوع را شرح می دهیم (در این جا بیان اندک ساده شده ای را ارائه می کنیم؛ عبارت پردازی اقلیدس عمومی تر و نیز ثقیل تر است).
از مقاله ی VI اصول، قضیه ی 28 را داریم:
با مفروض بودن خط راستAB یعنی
، بر امتداد این خط مستطیلی برابر با سطحی معلوم [xy=p] بسازید، به فرض این که مستطیل از AB به قدری که با مستطیل دیگری [مربع BF در شکل [1]-2 مشابه با مستطیلی مفروض [که آن را در این جا مربع دلخواهی گرفته ایم]، «پر می شود»، «کاستی» دارد.
در حل این مسئله ی ترسیم مورد نظر (--> شکل ‍‍[1]-2) کار اقلیدس تقریباً به طور دقیق به موازات حل بابلی مسئله ی معادل آن است. آن گونه که هیث متذکر شده است، مراحل کار عباتنداز:
آن گونه که اغلب رسم اقلیدس بوده، وی حالت دیگر، در این حالت
x=(k/2)+t را، که مطمئناً اقلیدس آن را تشخیص داده اما بیان نکرده، به دانشجو واگذار کرده است.
به راستی جالب توجه است که اغلب مسائل استاندارد بابلی را به این طریق اقلیدس «حل مجدد» کرده است!
اما چرا؟ چه عاملی موجب شد که یونانیان به جبر خود این فرمول بندی بدقواره را بدهند؟ پاسخ (که وان درواردن آن را مطرح کرده) کاملاً جنبه بنیادی دارد: آن ها با کسرها و اعداد گنگ مشکلات مفهومی داشتند.
گرچه ریاضیدانان یونانی این توانایی را داشتند که از کسرها با تلقی آن ها به عنوان نسبت دو عدد صحیح دوری کنند، با اعدادی مانند مشکلات حل نشدنی داشتند. «رسوایی منطقی» فیثاغورسیان را وقتی که دریافتند قطر مربع واحد با ضلع آن نامتوافق است (یعنی، نسبت دو عدد صحیح ≠ ضلع/قطر) نمی توان از خاطر برد.
بنابراین، دقت ریاضی مؤکد آن ها بود که وادارشان کرد تا از یک مجموعه از پاره خط ها به عنوان حوزه ی مناسبی از عناصر استفاده کنند. بنابراین گرچه را نمی توان بر حسب اعداد صحیح یا نسبت آن ها بیان کرد، می توان‌ آن را به عنوان پاره خطی نمایش داد که دقیقاً قطر مربع واحد است.
شاید کاملاً مزاح نباشد که بگوییم پیوستار خطی آن ها فقط ظاهراً خطی بود! باید یادی هم از آپولونیوس (5)(ح 225 ق م) بکنیم که روش های هندسی را در مطالعه ی مقاطع مخروطی به کار برد. در واقع، رساله ی بزرگ او مقاطع مخروطی (6) در مقایسه با دروس استاندارد امروزی مدارس عالی حاوی «هندسه ی تحلیلی» بیشتری درباره ی مقاطع مخروطی است که با اصطلاحات هندسی بیان شده است.
پس از آن، ریاضیات یونانی به سکون بدآهنگی دچار شد. اشغالگری رومیان آغاز شده بود، و این اشغالگری علم آموزی ریاضی را نمی پرورد، گرچه برخی شاخه های دیگر فرهنگ یونانی را تشویق کرد. به دلیل سبک ثقیل جبر هندسی (فقط سعی کنید که آپولونیوس را بخوانید!)، این شاخه نمی توانست صرفاً به کمک سنت مکتوب به حیات خود ادامه دهد و به وسیله ی ارتباطی ای شاداب و شفاهی نیاز داشت. شخص می توانست جریان اندیشه ها را به شرط این که مدرّس به نمودارهایی اشاره کند و آنها را شرح بدهد دنبال کند؛ اما مدارس آموزش مستقیم رخت بربسته بودند.

نمادگذاری اختصاری جبری

با این حال، چند قرنی بعد دیوفانتوس، ریاضیدان یونانی، جبر را در راستای روش های قدیمی تر بابلی از نو آغاز کرد. دیوفانتوس سبک اختصاری نوشتن معادلات را معرفی کرد. وی در دانشگاه اسکندریه در مصر، جایی که زمان اقلیدس در آن درس می داد، درس خواند و به کار پرداخت. به غیر از این چیز زیادی درباره ی زندگی او نمی دانیم به جز آنچه در معمای جبری زیر در جُنگ پالاتینا (7) به نثر مسج ادعا شده است:
این جا دیوفانتوس آرمیده است. شگفتی را ببین-از راه فن جبر، سنگ گور از سن او می گوید: «خداوند یک ششم عمرش را به دوره کودکی اش بخشید، یک دوازدهم دیگر را به نوجوانی اش آن گاه که پشت لبش سبز می شد؛ و یک هفتم دیگر پیش از آن که زندگی زناشویی اش آغاز شود؛ پنج سال از آن پسری خوش بر و روی به او عطا شد. دریغا که فرزند گرامی آن بزرگ و مرد دانا در نصف پایانی عمر پدر به دست اجل گرفتار آمد. چهار سال دیگر مطالعاتش از غصه تسکینش دادند، پس از آن او نیز با وداع دار فانی آرامش یافت.»
(چه جوابی برای سن دیوفانتوس به دست می آورید؟ هشتاد و چهار؟)
شهرت دیوفانتوس به کتاب آرثیمتیکای (8) اوست که در آن بررسی نبوغ آمیزی از معادلات سیاله-معمولاً دو معادله یا بیشتر بر حسب چند متغیر که تعدادی نامتناهی جواب گویا دارند-به عمل می اورد. این معادله ها اغلب "معادلات دیوفانتی" نامیده می شوند، گرچه وی نخستین کسی نبود که این گونه دستگاه ها را حل کرد. رهیافت او هوشمندانه است، اما روش نظام مندی برای یافتن جواب های عمومی پدید نمی آورد. رهیافت او در راستای روش های بابلی است به این معنی که همه ی مجهول ها را بر حسب یک پارامتر بیان می کند و سپس معادله ای شامل فقط همین پارامتر به دست می آورد.
پیش از ترک دیوفانتوس، مثالی از جبر تلخیصی را ارائه می کنیم:
به علامت منها، توجه کنید.

جبر هندی و عربی

صحنه اینک به هند و تمدن عربی انتقال می یابد. درباره ی ریاضیات هندی پیش از قرن های چهارم و پنجم بعد از میلاد چیز زیادی نمی دانیم، چون اسناد اندکی از دوره ی باستانی به دست آمده است. هند در معرض تاخت و تازهای متعددی قرار گرفت و پس از آن دوره ی پاکس رومانا (9) رسید که به تسهیل تبادل اندیشه ها انجامید. دستاوردهای بابلی و یونانی، به صورت خاص، ظاهراً برای ریاضیدانان هندی معلوم بوده است. برهمه گوپته (10) به سبکی تلخیصی کار می کرد که در آن
برهمه گوپته (ح 628 م) و بهاسکره (11) (ح 1150 م) برجسته ترین جبردانان هندی بودند. هندیان معادلات درجه دوم را با کامل کردن مربع ها حل کردند و ریشه های منفی و گنگ را پذیرفتند؛ آن ها همچنین تشخیص دادند که یک معادله ی درجه ی دوم (با ریشه های حقیقی) دو ریشه دارد.
کار هندیان در معادلات سیاله بر کار دیوفانتوس برتری داشت؛ هندیان تلاش کردند که همه ی جواب های صحیح ممکن را بیابند و شاید نخستین کسانی بودند که روش های کلی حلی را ارائه دادند. کار برهمه گوپته و بهاسکره درباره معادله ی موسوم به پل (12)
( که در آن a عدد صحیح غیرمربع است)
فوق العاده خوب است. آن ها نشان دادند که چگونه می توان بی نهایت جواب را از یک جواب مفروض x,y (مشروط بر این که به دست آورد.
ظهور دین اسلام انگیزه ای فراهم آورد که به غلبه ی اعراب بر هند، ایران، بین النهرین، شمال آفریقا و اسپانیا منجر شد. بدین ترتیب، اعراب نوشته های یونانی و هندی را (با کمال اشتیاق) به دست آوردند و آن ها را به عربی برگرداندند و در طول عصر تاریکی اروپا به حفظ آن ها همت گماشتند. یکی از درخشان ترین اکتسابات آن ها، به طوری که خواهیم دید، دستگاه شمار هندی است (که اغلب عربی نامیده می شود).
توجه عمده ی ما در دوره ی عربی به خوارزمی معطوف است، به این دلیل که کتاب هایش (جبر و کتاب آلگوریسمی که به هر دوی آن ها قبلاً اشاره شد) بعدها (ح 1200) به زبان لاتین ترجمه شدند و به این ترتیب ریاضیات اروپایی را به شدت تحت تأثیر قرار دادند. اما کار او در استانداردهای قبلی نبود؛ همان گونه که وان درواردن متذکر می شود، خوارزمی «علم یونانی» را رد کرده و دیگر نتایج معلوم را نادیده گرفته است. هدف وی نوشتن کتابی عملی درباره ی حل معادلات بوده است. سبک نوشتن او لفظی است و کار به خوبی کار بابلی ها یا هندیان نبوده.
برخی خوانندگان شاید تعجب شادی بخشی را از دانستن این مطلب احساس کنند که خالق رباعیات، عمر خیام (ح 1100)، نه تنها یک شاعر ایرانی بوده بلکه ریاضیدان تر از اولی در عالم عربی [= اسلامی] بوده است، کسی که با استفاده از مقاطع مخروطی برای ارائه ی راه حل های هندسی برای برخی انواع معادلات درجه سوم، در جبر ایفای سهم کرد.
وقتی که تولیدو (13) ‍[طلیطله] در اسپانیای موری [=اسپانیای دوره اسلامی] به دست مسیحیان (1085 م) تسخیر شد، جبر خوارزمی، المجسطی (14) بطلمیوس (اثری درباره ی نجوم)، اصول اقلیدس و کتاب های یونانی و عربی متعدد دیگری به دست فضلای مسیحی که به اسپانیا آمده بودند، به لاتین ترجمه شدند. با این حال، آنچه برای اروپا، و به ویژه ایتالیا، اهمیت بیشتری داشت، لیبر آباکی (15)[= کتاب حساب] فیبوناتچی (16) (لئوناردوی پیزایی) بود که در آن وی معادله ها را به سبک لفظی و عام خوارزمی حل کرد و قویاً از استفاده از شماره های هندی-عربی، که آن ها را طی سفرهایش به عنوان بازرگان و سوداگر کشف کرده بود جانب داری کرد.
برای ریاضیات مایه ی خوشحالی است که تاجر دوره گرد ما، فیبوناچی، این علاقه های ذهنی را داشته است!
تعجب آور نیست که در ابتدا اتاق های بازرگانی (در پیزا و شهر-کشورهای مجاور ایتالیا) در مقابل پذیرش شمارش های هندی-عربی «جدید» مقاومت کردند و در واقع با سوء ظن به آن ها نگریستند؛ اما این شمارها به تدریج پذیرفته شدند و چرتکه ی قدیم به پستو انداخته شد. هیچ مدرکی در دست نیست که بنابر آن فیبوناتچی در مقابل «کمیته ی فعالیت های غیر عددی» (17) در میز محاکمه ایستاده باشد!
به طور گذرا متذکر می شویم که کلمه ی عربی برای مجهول شیء («چیز») بود که به صورت رس (18) به لاتین و به صورت ایتالیایی کوزا (19) برگردانده شد؛ بنابراین برای مدتی در انگلستان به عنوان «فن کوسی» (20) و در آلمان «دی کوس» (21) شناخته می شد.

جبر در اروپا

جبری که وارد اروپا شد (از طریق لیبر آباکی فیبوناتچی و ترجمه ها) هم از لحاظ سبک و هم محتوا رو به انحطاط گذاشته بود. مقدور نبود که نیمه نمادگرایی (تلخیص کردن) دیوفانتوس و برهمه گوپته و دستاوردهای نسبتاً پیشرفته ی آن ها سهمی در پیشرفت ناگهانی نهایی در جبر اروپایی داشته باشند.
نوزایی و رشد سریع جبر در اروپا مدیون عوامل زیر است:
1. آسانی در انجام محاسبات عددی به کمک دستگاه شمار هندی-عربی، که به صورت معتنابهی به دستگاه هایی (نظیر شمارهای یونانی) که مستلزم استفاده از چرتکه بودند برتری داشت.
2. اختراع چاپ با حروف قابل جابه جایی (ح 1450 م)، که استانداردسازی نمادگرایی از طریق ارتباطات بهبودیافته ی متکی بر نشر گسترده را تسریع کرد.
3. تجدید حیات اقتصاد، که از فعالیت های علمی پشتیبانی می کرد؛ و از سرگیری داد و ستد و مسافرت، که تبادل اندیشه ها و نیز کالاها را تسهیل کرد.
شهرهای تجاری قدرتمند نخست در ایتالیا (1200-1300 م) سربرافراشتند، و در این جا بود که نوزایی جبری در اروپا واقعاً آغاز شد.

پی نوشت ها :

1. در واقع، منظور بیشتر ریاضیات مردم بین النهرین است و اقوام دیگری علاوه بر بابلی ها، مانند سومری ها، اکدی ها، کلدانی ها، آسوری ها و غیره مشمول این اصطلاح می شوند.-م.
2. B.L.van der waerden
3. اغلب نویسندگان کتاب های تاریخ ریاضیات، بنابر قرارداد یا از سر تجاهل، مؤلفان دوره ی اسلامی را- که به ندرت عرب بودند- به دلیل این که عمده ی آثار آنها به عربی نوشته شده است، «عرب» نامیده اند. بنابراین بدون اشاره مجدد پس از این همه جا مراد از «عرب»، «عربی نویس» است.-م.
4. Rhind
5. Apollonius
6. conic sections
7. Anthologia palatina
8. Arithmetica
9. pax Romana (صلح رومی)
10. Brahmagupta
11. Bhaskara
12. pell
13. Toledo
14. Almagest
15. Liber Abaci
16. Fibonacci
17. unnumerical Activities committee طنزی در مورد محاکمه ی گالیله به دلیل هواداری او از عدم مرکزیت زمین و رد نظریه ی بطلمیوسی حاکم.-م.
18. res
19. cosa
20. cossic art
21. die coss

منبع: باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست.