تابع

تعریف 1. تابع مجموعه ای از جفت های مرتب است که عنصرهای نخستین آن ها همه متفاوتند.
تعریف 2. وقتی یک مقدار یک متغیر به متغیری دیگر وابسته باشد، اولی را تابع دومی می نامند.
تعریف 3. اگر به هر مقدار مجاز x، یک مقدار یا بیشتر از مقادیرy متناظر شوند، در این صورت y تابعی از x است.
تعریف 4. اگر y تابعی از x باشد، آن گاه برابر با عبارتی جبری بر حسب x است.
بیست کتاب درسی جبر مقدماتی را برای ملاحظه ی تعریف «تابع» بررسی کردیم؛ یازده تا از این کتابها پیش از 1959 و نه تا پس از آن چاپ شده بودند. کتاب های قدیم تر، تعریف های 2،3،4 , تعریف های دیگر را به کار برده بودند؛ شش تا از کتاب های جدید از تعریف 10 استفاده کرده بودند.
پانزده کتاب درسی جبر پیش دانشگاهی را بررسی شدند، هفت تا پیش از 1959 و هشت تا پس از 1959 چاپ شده بود. هیچ کدام از کتاب های قدیم تر از تعریف 1 استفاده نکرده بودند؛ چهار تا از هشت کتاب جدیدتر این تعریف را به کار برده بودند.
این تاریخچه ی کاملاً جدید «تابع» در زمینه ی تاریخ آغازین ایده و اصطلاح مربوط اهمیتی بسیار دارد.
اریک تمپل بل (3) معتقد است که احتمالاً می توان مفهوم «تابع» را به بابلی های حدود 2000 ق م منسوب کرد؛ زیرا استفاده ی آن ها از جدول هایی نظیر جدول مربوط به ،90، ...، 2، 1=n این تعریف را مطرح می کند که تابع یک جدول با یک تناظر است (بین n در ستون چپ و در ستون سمت راست).
به نظر می رسد که ایده های صریح تر تابع از حدود زمان رنه دکارت (1637) شروع شده باشد و وی شاید نخستین کسی است که از این اصطلاح استفاده کرده است؛ او تابع را به معنای هر توان صحیح مثبت x، مانند و ... تعریف کرد.
گوتفرید ویلهلم فون لایپ نیتس (1992) به تابع به عنوان هر کمیتی وابسته به یک منحنی، نظیر مختصات نقطه ای روی یک منحنی، طول تانژانت بر منحنی و نظایر آن ها، فکر می کرد.
یوهان برنولی (4)(1718) تابع را به عنوان هر عبارتی متضمن یک متغیر و هر تعدادی مقدار ثابت تعریف کرد.
لئونهارت اویلر (1750) تابع ها را به معنای مورد نظر برنولی، «تابع های تحلیلی» نامید و تعریف دیگری را نیز به کار برد که بنابرآن لزومی نداشت که تابع تعریف تحلیلی داشته باشد، بلکه می شد آن را مثلاً به کمک یک منحنی نشان داد. اویلر همچنین نماد را معرفی کرد که امروزه رایج است.
ژوزف لوئی لاگرانژ (1800) معنی تابع را به یک نمایش سری توانی محدود کرد. ژان ژوزف فوریه (5)(1822) این حکم را بیان کرد که هر تابع دلخواه را می توان به کمک یکسری مثلثاتی نمایش داد. دیریکله (1829) گفت که y تابعی از x است هرگاه yبه ازای هر یک از مقادیر معین که x در بازه ای از x_0 تا x_1 اختیار می کند، دارای یک یا چند مقدار مشخص باشد.
مطالعه ی مجموعه های نقطه ای به توسط گئورگ کانتور (6) و دیگران، منجر به تعریفی از یک تابع بر حسب جفت های مرتب عناصر، نه لزوماً اعداد، شده است.

پی نوشت ها :

1. Joe kennedy
2. Esther Ragan
3. Eric Temple Bell
4. Johann Bernoulli
5. Jean Joseph Fourier
6. Georg contor

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385