هندسه های جدید، دنیاهای جدید

به چنان اکتشاف های عجیبی رسیده ام که خود در حیرت مانده ام: از هیچ دنیای تازه ای آفریده ام.
فارکاش بوبوئی
نخستین کسی که با اقلیدس درافتاد خودِ اقلیدس بود. خالق سیستم تفکری بیش از هر سیستم دیگری فراگیر و پذیرفته شده- سیستم تفکری که مسکن حقیقت و زادگاه فلسفه و علم به شمار می آید- نسبت به نتایجی که به دست آورده بود، حتی پیش از آن که آن را در معرض افکار جهانیان بگذارد، تردید داشت. تردید اقلیدس در باب اثر خود، « در پشت صحنه»، آغاز نبردی دو هزار ساله علیه بدیهیات را رقم می زند.
همه می دانند که هندسه اقلیدسی بر اساس ده اصل بدیهی بنا شده، که هیچ آدم «عاقلی» جرئت نمی کند در درستی آن ها تردید کند. منطق بر اساس همین شالوده استوار و بی عیب، صدق های بیشتر و بیشتری تولید می کند که دقیقاً به اندازه همان ده اصل قابل توسل و به همان اندازه قابل قبول هستند. دو هزار سال کاربرد موفق این هندسه در فیزیک که با موفقیت های عصر نیوتنی به اوج خود رسید، گواهی عملاً تردید ناپذیری بر درستی و اطمینان این حقایق بود. قرن ها بود که منطق با تجربه و عقل سلیم [حس مشترک] پشتیبانی می شد و همین امر، سیستم اقلیدس را به مرتبه تقدس می رساند. قرن هجدهم کار حتی به جایی رسید که تحصیل کردگان بیشتر ترجیح می دادند به قضایای اقلیدس سوگند بخورند تا به کتاب مقدس.
شخص چه تجربه گرا باشد، چه فلسفی کانتی را پذیرفته باشد، و چه تنها به امور بدیهی توسل جوید، به این نتیجه گریز ناپذیر پابند است که اقلیدس و فقط اقلیدس حقیقت محض است. با وجود این شأن و مقام رشک انگیزی که هندسه اقلیدسی از همان ابتدای عمرش از آن برخوردار بود و به مرور زمان بالاتر هم می رفت، برخی متفکران، از جمله خود اقلیدس، به دیده تردید به آن نگاه می کردند؛ چیزی که آسایش فکری را از آنان سلب می کرد دو اصل ظاهراً بی ضرر بود.
اولین اصل می گوید که می توان پاره خطی را در هر جهت به اندازه دلخواه ادامه داد. دومین اصل، اصل خطوط موازی است که بر اساس آن از نقطه P که بر خط L واقع نیست. یک خط و تنها یک خط همچون M ( که در صفحه P و L واقع باشد) می گذرد؛ به طوری که M و L هر چه ادامه پیدا کنند، به یکدیگر نخواهند رسید (شکل 1). اگر اصول هندسه اقلیدسی به این دلیل پذیرفتنی اند که فضای فیزیکی وادارمان می کند آن ها را بپذیریم، این اصول حتماً در معرض نوعی تردید قرار می گیرند. هیچ کس تجربه مستقیمی از آنچه در فضای ورای چند کیلومتری بالای سطح زمین رخ می دهد، نداشته است. درواقع، تمام آنچه می توانیم بگوییم این است که به نظر می رسد این اصول در فضای محدودی که به صورت عینی می توانیم در آن حرکت کنیم، درست باشند و حتی در این حال هم نمی توانیم به احکام خود بیش از حد یقین داشته باشیم؛ زیرا، ما حتی در بخشی از فضا که بلاواسطه در اطراف ماست، هرگز خطوط موازی را نمی بینیم. همچنان که وقتی به فاصله خطوطی نگاه می کنیم که اقلیدس آن ها را موازی به شمار می آورد، در می یابیم که این گونه خطوط ظاهراً با هم تلاقی می کنند.
نگرانی اقلیدس در مورد این دو اصل را زمانی می فهمیم که به نوع استفاده او از آن ها توجه کنیم. او از اصل توازی که تردید پذیرتر است استفاده نمی کند و فقط زمانی از اصل توازی کمک گرفته که دیگر نتوانسته بدون آن قضایایش را اثبات کند. او قضایای بسیاری را بدون اصل توازی اثبات کرده و به همین اندازه در رابطه با ادامه نامحدود خط راست هم محتاط بوده است. بررسی قضایایی که در هندسه وی آمده است نشان می دهد که او از پاره خط (قطعه خطی که بین دو نقطه محدود است) سود می جوید، اما هرگز فرض نمی کند که خط راست نامحدودی برای کارکردن در اختیار دارد و فقط زمانی یک پاره خط را از دو سو تا بی نهایت ادامه می دهد که قضیه مورد نظرش اقتضا می کند. البته، نباید چنین استنباط کرد که اقلیدس در صادق دانستن این اصول تردید داشت، بلکه، به دلیل کاربردهای نسبتاً ارزشمند آن ها، بی تردید ترجیح می داد که آن ها را نتایجی از اصول ساده تر محسوب کند.
در هر عصر، برخی متفکران بیش از حد خرده گیر، به پیروی از اقلیدس در اصل محسوب کردن دو گزاره بالا، تردید کردند؛ درست مانند تاجر خسیسی که آخرین دلارش را تا آخر پیش خود نگه می دارد و به این راحتی روی آن سرمایه گذاری نمی کند. همه این متفکران ممتاز برای از بین بردن همه تردیدهایی که سالیان دراز به جا مانده بود، به یک نکته پرداختند: آن ها توجه خود را به اصل توازی معطوف کردند و کوشیدند که یا آن را از نه اصل دیگر نتیجه بگیرند یا جانشین پذیرفتنی تری برای آن بیابند. چند صد سال تلاش شدید بهترین ریاضی دانان به شکست منتهی شد، به طوری که سال 1800 ماجرای اصل توازی به آن جا کشید که آن را رسوایی هندسه دانستند.
برای مرور و بررسی این تلاش ها نه دل و دماغی بود و نه انگار چندان سود و ثمری، اما کار یکی از این مردان، جووانی جیرولامو ساکری (1)، راهبی یسوعی که، در عین آن که دانشجوی تیزهوشی در منطق بود، استادی ریاضیات دانشگاه پاویا را نیز به عهده داشت، شایسته توجه است. کار ساکری ایده نویی در خود داشت. برخورد خاص و تازه او با اصل توازی به این ترتیب بود: خط L و نقطه P را در نظر بگیرید. در این صورت، یا الف) دقیقاً یک خط به موازات L وجود دارد که از نقطه P می گذرد، یا ب) هیچ خطی به موازات L وجود ندارد که از نقطه P بگذرد، یا ج) حداقل دو خط موازی L وجود دارد که از P می گذرد. مورد الف) همان اصل توازی اقلیدس است. فرض کنید به جای آن از مورد (ب) استفاده کنیم. (ب) همراه با نه اصل دیگر اقلیدس به قضایایی متناقض منجر می شود. پس یقیناً مورد (ب) نمی تواند درست باشد. به همین نحو، اگر از مورد (ج) و نه اصل دیگر اقلیدس استفاده کنیم، باز هم به قضایای متناقض می رسیم که نشانه نادرستی مورد (ج) است. در نتیجه، به نظر می آید که اصل توازی اقلیدس تنها اصل ممکن است.
ساکری با استفاده از مورد (ب)، همراه با نه اصل دیگر اقلیدس، قضایایی را استنتاج کرد که متناقض با یکدیگر بودند. اما وی نتوانست که تناقض ها را از نه اصل اقلیدسی و اصل جانشینی که وجود حداقل دو خط موازی را تصریح می کند استنتاج کند. هر چند تلاش های ساکری مهم و تعیین کننده بودند و نیز هر چند اگر پاره ای از استنتاج هایش را با نتایج مشابه شان در هندسه اقلیدسی مقایسه کنیم عجیب می نماید، نتوانست تناقض را از میان بردارد.
واقعاً چیزی نمانده بود که ساکری کشفی دوران ساز کند، اما هرگز به آن نرسید. در حال حاضر مطلب را به خواننده وامی گذارم تا خود نتیجه بگیرد که آیا ساکری می بایست از شکست خود تناقض های کارش را دریابد و آن ها را تفکیک کند یا نه. برای ساکری آن قدر قضیه هایی که به کمک مجموعه اصول خود ثابت کرده بود عجیب بود که سرانجام نتیجه گرفت اصل توازی اقلیدس درست است. به این ترتیب، در 1733، نتایجی را که به دست آورده بود در کتابی با عنوان اقلیدس از تمام عیب ها مبراست منتشر کرد. بدیهی است کسی که می خواهد و تصمیم می گیرد تا از دیگری برائت جوید، این کار را فارغ از هر نوع توجهی به واقعیت ها انجام می دهد.
یکی از تبیین هایی که برای شکست ساکری و بسیاری دیگر می توان به دست داد، این است که گرچه برخی از ریاضی دانان بزرگ به معضلی که از اصل توازی ناشی می شد پرداختند، آن قدر جرئت نداشتند که « عادت» فکری دو هزار ساله را زیر پا بگذارند. اما در اوایل قرن نوزدهم، در دنیای ریاضیات، در فضای فکری تغییری رخ داد که با خود تجدید نظر نقادانه و همه جانبه ای در باورهای بنیادی به همراه داشت. بی تردید همین تغییر می تواند این واقعیت را توجیه کند که هم زمان سه نفر، یعنی کارل فریدریش گاوس، نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی (2) و فارکاش بویوئی (3) که از اندیشه های یکدیگر در این مورد اطلاعی نداشتند، تفسیر صحیح کار ساکری را کشف کردند. لوباچفسکی و بویوئی نتایج کار خود را با فاصله چند سال از یکدیگر منتشر کردند.
از میان این سه تن، مقام کارل فریدریش گاوس از همه شامخ تر بود؛ گاوس به نوعی هم تراز نیوتن و ارشمیدس محسوب می شود. کارل نبوغی زودرس و باور نکردنی در بسیاری از زمینه ها به خصوص ریاضیات از خود نشان داد. در نوجوانی ثابت کرد که با خط کش و پرگار می توان 17 ضلعی منتظمی ترسیم کرد و از اثبات این مطلب چنان لذت برد که از فقه اللغه دست شست و به مطالعه ریاضیات روی آورد. به زودی در بسیاری از شاخه های ریاضیات کارهای استادانه ای انجام داد و، علاوه بر آن، در مقام مخترع و تجربه گر نیز شهرت یافت. با وجود آن که دستاوردهای گاوس نه کم شمارتر از دیگر ریاضی دانان بود و نه آن که در عمق و درخشندگی چیزی از آن ها کم داشت، خود او بسیار متواضع بود. او گفته است که « اگر دیگران هم در حقایق ریاضی همچون من آهسته و پیوسته و عمیق می اندیشیدند، می توانستند اکتشافاتی را که من کرده ام آن ها بکنند.» هم آن ها که معتقدند 99 درصد نبوغ زحمت کشیدن است و هم آن ها که از توانایی های ریاضی خود ناامیدند، در این جمله گاوس احساس راحتی می کنند.
گاوس هنوز خیلی جوان بود که مشکل اصل توازی نظر او را جلب کرد. ابتدا تلاش فراوانی به کار بست تا اصلی ساده تر را به جای اصل توازی بنشاند، ولی در این راه شکست خورد. سپس همان خط فکری ساکری را تعقیب کرد؛ به این شکل که اصل توازی ای را پذیرفت که با اصل توازی اقلیدس در تناقض است. در واقع، کار گاوس اساساً همان سومین راه حل ساکری است. او از این اصل جدید خود، همراه با نه اصل دست یافت. اما گاوس به جای آن که از عجیب بودن این نتایج بهراسد و عقب بنشیند، آتش را با آتش پاسخ داد. مشعل تازه ای برافروخت که بزرگان و نیمه بزرگان بسیاری نتوانسته بودند به آن نزدیک شوند. گاوس نتیجه گرفت: « هندسه های دیگری می توانند وجود داشته باشند که به اندازه هندسه اقلیدسی معتبرند».
گاوس این جرئت فکری را داشت که هندسه ای غیر اقلیدسی بیافریند، اما فاقد آن جسارت اخلاقی بود که بتواند با سیلی از تهمت هایی مواجه شود که خالق این هندسه را دیوانه می شمارد؛ چرا که دانشمندان اوایل قرن نوزدهم زیر سیطره اندیشه های کانت بودند و کانت تأکید کرده بود که هیچ گونه هندسه ای جز هندسه اقلیدسی نمی تواند بر جهان حاکم باشد. کارهای گاوس در زمینه هندسه غیر اقلیدسی را پس از مرگش در میان یادداشت هایش پیدا کردند.
از دو نفر دیگری که شایسته عنوان « خالق هندسه غیر اقلیدسی» بودند، نخستین نفر نیکولای لوباچفسکی بود. این نابغه به سال 1793 در یک خانواده فقیر روسی متولد شد. در دانشگاه قازان تحصیل کرد و در سن بیست و سه سالگی استاد تمام وقت همین دانشگاه شد. لوباچفسکی هم به مشکل اصل توازی توجه بسیاری کرد. او می گوید این واقعیت که دو هزار سال تلاش بهترین ریاضی دانان برای ایجاد اصلی بهتر شکست خورده بود برایش تکان دهنده بود. بدین سان او نیز، همچون ساکری و گاوس، هندسه جدیدی را بر اساس اصل توازی ای مغایر با اصل اقلیدس بنا کرد. قضیه های باور نکردنی که لوباچفسکی به آن ها رسید، نتوانست بیش از آن مایه هراس او شود که مایه هراس گاوس شده بودند. استدلال استنتاجی صحیح به آن قضایا راه برده بود و استدلال صحیح راهنمای مطمئنی است. بنابراین، لوباچفسکی نیز این نتیجه زیروروکننده و گریز ناپذیر را تأیید کرد: هندسه هایی غیر از هندسه اقلیدسی و به همان اندازه معتبر وجود دارند.
مردی که در افتخار کشف هندسه غیر اقلیدسی و جرئت انتشار اثر خود در این زمینه با لوباچفسکی سهیم بود، بویوئی، ریاضی دان مجار، بود. او نیز همچون گاوس و لوباچفسکی نابغه بود و، به علاوه، این مزیت را داشت که از تشویق و همگامی پدرش ولفگانگ بویوئی که او هم ریاضی دان بود، برخوردار بود. حشره اصل توازی خود ولفگانگ را هم گزیده بود؛ به طوری که او هم سال های بسیاری را به عبث بر سر حل آن گذاشته بود. ولفگانگ این مسئله را به پسرش سپرد و او در 1825، وقتی که تنها بیست و سه سال داشت، گره مشکل را گشود. وی نتیجه گرفت اصولی وجود دارد که ناقض اصول اقلیدس هستند و می توانند شالوده ای برای ایجاد هندسه هایی جدید محسوب شوند. بویوئی شروع به ساختن یکی از این هندسه ها کرد و، به اصرار پدرش، نتایج کار خود را در 1833 به صورت پیوستی بر کتاب پدر منتشر کرد.
با سندهای دوران ساز لوباچفسکی و بویوئی چگونه برخورد شد؟ وقتی دانشمندان این اخبار تکان دهنده را شنیدند چه واکنشی نشان دادند؟ خردگراترین فلاسفه با زیرو زبر کننده ترین افکار فلسفه غالب آن روزگار چگونه روبه رو شدند؟ آثار لوباچفسکی و بویوئی یکسره به فراموشی سپرده شد. از این بدتر، در 1847 لوباچفسکی از دانشگاه اخراج شد؛ با وجود آن که کارش بسیار درخشان و ایثار فروتنانه اش در کار ممتاز بود. احتمالاً بویوئی نیز اگر، به جای آن که افسر ارتش باشد، استاد دانشگاه بود، به همین سرنوشت دچار می شد.
حدود سی سال پس از انتشار کارهای جاودانه لوباچفسکی و بویوئی، اثر گاوس در زمینه هندسه غیر اقلیدسی همراه با مقالات دیگری از او پس از مرگش منتشر شد. نام گاوس نظر همگان را به این موضوع جلب کرد و اندکی پس از این دنیای ریاضی مطالعه آثار لوباچفسکی و بویوئی را در این زمینه آغاز کرد.
برای این که کار این مردان را در زمینه اصل توازی درک کنیم، لازم است اندکی به عقب برگردیم. توجه داشته باشید که در مورد هر خط راست همچون L (شکل 2) و هر نقطه ای در خارج از آن، همچون P، بنا به اصل توازی اقلیدس یک و تنها یک خط، همچون K، وجود دارد که از نقطه P بگذرد و خط L را قطع نکند.
حال فرض کنید Q هر نقطه ای روی L باشد، با حرکت Q به سمت راست، خط PQ در خلاف جهت حرکت عقربه ساعت، حول نقطه P می گردد و به نظر می رسد به خط K نزدیک می شود. به همین ترتیب، اگر Q در طول خطL به سمت چپ حرکت کند، خط PQ حول P در جهت حرکت عقربه ساعت می چرخد و به K نزدیک می شود. پس، در هر صورت، PQ به یک و تنها یک خط حدی، که همان K باشد، نزدیک می شود.
اما، بویوئی و لوباچفسکی فرض کردند که دو جایگاه حدی PQ خط K نیست، بلکه دو خط دیگر است که از P می گذرند و نیز آن که این خط های حدی، یعنی M و N (شکل 3)، با L برخورد نمی کنند. از این گذشته، این دو فرض کردند که هر خط همچون J که بین دو خط M و N رسم شود و از P بگذرد نیز با L تلاقی نخواهد کرد.
به این ترتیب، اصل توازی لوباچفسکی و بویوئی وجود مجوعه ای بی شمار از خطوط موازی با L را که از نقطه P می گذرد تصریح می کند. (لوباچفسکی و بویوئی واژه موازی را درست برای خط های حدی M و N حفط کردند؛ اما ما این واژه را برای دلالت به هر خطی که از P می گذرد و L را قطع نمی کند، به کار می گیریم.)
خواننده ممکن است همچون ریاضی دانان روزگار بویوئی و لوباچفسکی گمان کند که چنین فرضی مسخره است. شکل 3 نشان می دهد که اگر خط های Mو N به اندازه کافی ادامه پیدا کنند، با خط L تلاقی خواهند کرد. اما به یاد داشته باشیم که قصد لوباچفسکی و بویوئی به دست آوردن اصلی بدیهی بود که جایگزین منطقی اصل اقلیدس باشد و در این روند آن ها توجهی به این نکته نداشتند که آیا این اصل جانشین فضایی را که ما در آن زندگی می کنیم، توصیف می کند یا نمی کند و، چون قضایایی که از این اصل به همراه اصول دیگر اقلیدس نتیجه می شوند یکسره به استدلال متکی هستند (یعنی کاملاً مطابق با شکل های روی کاغذ نیستند)، ناتوانی این اصل در توضیح تجربه های بصری ابداً ربطی به موضوع ندارد.
لوباچفسکی و بویوئی با اصلی که به دست آوردند چه قضیه هایی را توانستند ثابت کنند؟ البته، چون تمام قضایای هندسه اقلیدسی بدون استفاده از اصل توازی اقلیدس ثابت شده اند، خود به خود، همان قضیه ها در هندسه لوباچفسکی و بویوئی نیز برقرار می مانند؛ چرا که این دو سایر اصول بدیهی اقلیدس را پذیرفتند. مثلاً قضیه هایی از این دست: زوایای قائم برابر هستند؛ از نقطه P حداکثر یک خط عمود بر خطی راست می توان رسم کرد؛ در مثلثی با اضلاع برابر، زاویه های مقابل به این اضلاع با هم برابرند.
در قضایای هندسه لوباچفسکی و بویوئی قضایایی شگفت آورند که به اصل توازی بستگی دارند و بنابراین در هندسه اقلیدسی یافت نمی شوند. این قضیه ها، نظیر تمامی دیگر قضیه های ریاضی، بر اساس روش استدلال استنتاجی، که خواننده دیگر با آن ها آشنا شده است، ثابت شده اند؛ هر چند در این نوع هندسه، بر خلاف هندسه اقلیدسی، ترسیم شکل در نشان دادن مراحل برهان یا روش کران معانی قضیه تقریباً نقش چندان کارسازی ندارد.#
غیر قابل انتظارترین قضیه این است که « مجموع زوایای هر مثلث همیشه کمتر از 180 درجه است» و، از این گذشته، « از دو مثلث آن که مساحت بیشتری دارد، مجموع زاویه هایش کمتر است». از این هر دو عجیب تر، این واقعیت است که هندسه جدید مفهومی حیاتی در هندسه اقلیدسی را از میان برداشت، و آن این است که دو شکل هندسی در هندسه اقلیدسی می توانند یک شکل ولی اندازه ای متفاوت داشته باشند. در چنین شرایطی می گوییم این شکل ها متشابه (4) هستند، ولی همنهشت (5) نیستند. در هندسه جدید، دو مثلث متشابه باید همنهشت نیز باشند. مثال آخری که از قضایای خاص این هندسه جدید می زنیم، این است « فاصله بین دو خط موازی، در یک جهت، در امتداد این خطوط به صفر نزدیک می شود و در جهت دیگر به بی نهایت می گراید.»
بویوئی و لوباچفسکی در ایجاد هندسه جدیدی که قضایای شگفت بسیاری داشت، موفق شدند. اما آیا کار آنان چیزی بیش از تمرینی در منطق بود؟ نخست، این نکته را به خاطر داشته باشیم که صدها استنتاج در هندسه جدید قضایایی تولید نکرده است که متناقض با یکدیگر باشند. این به معنی آن است که اصل توازی قدیمی [اقلیدس] نمی توانست از دیگر اصول اقلیدسی استنتاج شود و اگر چنین چیزی امکان پذیر بود، فرض اصلی جدید، در همراهی با دیگر اصول که از آنِ اقلیدس هستند، بی تردید به پدیداری تناقضاتی در این سیستم منجر می شد. در واقع، مسئله این است که اصل توازی هندسه اقلیدسی را نمی توان از دیگر اصول این هندسه استنتاج کرد. ریاضی دانان انتظار چنین چیزی را از مدت ها پیش داشتند.
کار لوباچفسکی و بویوئی پیامد دیگری هم داشت که این بار کسی انتظارش را نداشت. و آن این است که نمی توانیم با نشان دادن این که هر جانشین جدید برای اصل توازی اقلیدس تناقضاتی می آفریند، امید به اثبات صدق بی چون و چرایی این اصل داشته باشیم. پس، روشن است که هر دو طرحی که ریاضی دانان پیشین برای حمایت از اصل توازی از آن ها استفاده کرده بودند، نمی توانست موفق باشد.
اما، بزرگ ترین اهمیت هندسه جدید کاملاً دور از انتظار بود. مدت ها طول کشید تا این نتیجه منطقی در ذهن مردم بنشیند که « هندسه هایی غیر از هندسه اقلیدسی» وجود دارند. ریاضی دانی که چنین چیزی را می داند، شبیه پسر بچه ای است که تفنگ بادی در اختیار داشته باشد. وسوسه استفاده از این تفنگ در او قوی تر از آن است که در برابرش مقاومت کند. هندسه اقلیدسی را توصیفی دقیق از فضای فیزیکی می دانستند. اما هندسه غیر اقلیدسی بویوئی و لوباچفسکی به نظر نمی رسید در مورد دنیای فیزیکی به کار آید؛ به طوری که به این منظور هم خلق نشده بود. اما آیا واقعاً این هندسه نمی توانست در فیزیک کاربرد پیدا کند؟
نخستین واکنش نسبت به این پرسش یکسره منفی بود. اگر هندسه اقلیدسی درست است، چگونه این هندسه جدید متناقض با آن می تواند درست باشد؟ از این مهم تر، چگونه چنین قضیه های پوچی در این دنیایی که با آن آشنا هستیم، به کار می آید؟ اندکی تأمل نشان می دهد که واکنش نخست بیش از حد شتاب آلود است. چه تضمینی داریم که هندسه اقلیدسی درست است؟ واقعیت این است که این هندسه هزاران سال مورد استفاده قرار گرفته است. این هندسه موافق با عادت های قدیمی و دیرین بوده است. اول ببینیم دلیل خاطر پریشی خود اقلیدس در رابطه با اصل توازی چه بود. آیا به این دلایل نبود که اصل مورد بحث حکمی در رابطه با مناطقی از فضا صادر می کرد که بسیار دورتر از آن بودند که در حیطه تجربه روزمره انسان قرار بگیرند؛ فضایی آن چنان گسترده که نواحی در دسترس آدمی در قیاس با آن تنها به نقطه بر روی کره زمین شبیه است؟ کدام یک از ما به یقین می داند که هندسه عالم در مجاورت مریخ، یا حتی در همین ده بیست کیلومتری بالای سطح زمین چگونه است؟ به چه حقی می توانیم فرض کنیم که این هندسه باید همانی باشد که بر سطح زمین به کار می رود؟ وضع هندسه اقلیدسی هم چه بسا مثل وضع صدها قانون علمی باشد که در روزگار خود کاملاً کارآمد بودند، اما در نهایت رد شدند.
گاوس، پس از آنکه به دقت این مسئله را وارسی کرد، معیاری برای تعیین حقیقت هندسه اقلیدسی پیشنهاد داد. مجموع زوایای مثلث در هندسه اقلیدسی برابر 180 درجه و در هندسه جدید کمتر از 180 درجه است. پس، اندازه گیری زاویه های یک مثلث باید نشان بدهد که کدام هندسه مطابق دنیای فیزیکی است. به دو دلیل باید مثلث بسیار بزرگی انتخاب کنیم: اولاً به این دلیل که هر چه مثلث کوچک تر باشد، خطای بینایی در آن بیشتر است. ثانیاً به این خاطر که یکی از قضایای هندسه لوباچفسکی و بویوئی می گوید که هر چه اندازه مثلثی کوچک تر شود، مجموع زوایای آن به 180 درجه نزدیک تر می شود. در مورد یک مثلث کوچک، ممکن است مجموع زوایا آن چنان نزدیک به 180 درجه بشود که ابزارهای اندازه گیری حساسیت لازم برای تشخیص تفاوت را نداشته باشند.
گاوس خود این آزمایش را انجام داد. او سه قله را در نظر گرفت و بر هر قله ناظری گماشت. هر ناظر مسئول بود زاویه ای را که از تقاطع خط دید او با دو ناظر دیگر ایجاد می شد، اندازه گیری کند. نتیجه این آزمایش آن بود که مجموع سه زاویه مثلث حاصل 2 ثانیه از 180 درجه کمتر است؛ عددی چنان نزدیک به 180 که تفاوت حاصل را می شد به خطاهای اندازه گیری نسبت داد. آزمایش گاوس نتیجه قاطعی نداشت.
جنبه برانگیزاننده آزمون مثلثی گاوس این بود که حتی در بهترین شرایط آزمایشی نیز این آزمون نمی توانست ثابت کند که فضا اقلیدسی است، زیرا حتی اگر مجموع زوایای اندازه گیری شده 180 درجه می شد، همیشه این «امکان» وجود داشت که خطای اندازه گیری در نظر گرفته شود و، از این رو، این امکان پدید می آمد که مجموع زوایا کمتر از 180 درجه باشد. در واقع، این آزمایش متضمن دو فرض سست بود که نتیجه ای که به دست می آمد می توانست به نفع نتیجه دیگر بی اعتبار تلقی شود. فرض نخست این بود که مثلث تشکیل شده از اتصال سه قله کوه آن قدر بزرگ باشد که نتیجه حاصل از آن قاطع باشد. دومین فرض این بود که پرتوهای نوری که سه ضلع مثلث را می پیمایند، خط راست را پی می گیرند. در واقع، این پرتوها ممکن است اندکی انحنا داشته باشند، که البته محسوس نباشد.
آزمایش گاوس بی شک آزمایش جالبی است، ولی می توان آن را بی حاصل و سست تلقی کرد؛ با وجود این، لزوم توجه به پرسش اصلی، یعنی کاربردپذیری هندسه اقلیدسی، همچنان باقی است. تمام این تلاش ها در این جهت بودند که نشان دهند بالاخره کدام یک از این دو هندسه مطابق فضای فیزیکی است؛ و واقعیت جالبی که از این تلاش ها به دست می آید این است که « هر دو به یک اندازه مطابق فضای فیزیک اند». پیش از این اشاره کردیم که بر اساس هندسه جدید، در یک مثلث کوچک مجموع زوایا به 180 درجه نزدیک می شود؛ پس هر چه مثلث کوچک تر باشد، مجموع زوایای آن بیشتر به 180 درجه نزدیک می شود. اگر هندسه غیراقلیدسی را در مورد جهان فیزیکی به کار بگیریم و مجموع زوایای مثلثی را اندکی کمتر از 180 درجه گیریم، عملاً زیانی نمی بینیم. به همین نحو، زیانی ندارد اگر فرض کنیم در مورد نقطه مفروضی چون P و خط مفروضی چون L، بی نهایت خط موازی L از P، و در صفحه ای که P و L در آن واقع اند، می گذرد.
ممکن است تصور کنیم که هندسه جدید از آن جا که حکم می کند دو شکل متشابه باید همنهشت نیز باشند، نمی تواند در دنیای فیزیکی کاربرد یابد. یقیناً ترسیم دو مثلث فیزیکی که متشابه باشند ولی همنهشت نباشند، میسر است. در واقع، می توان دو مثلث، یکی خیلی بزرگ و یکی خیلی کوچک، رسم کرد؛ به طوری که هر چه دقت ترسیم آن ها بالا باشد، باز هم نتوانیم مطمئن باشیم آن ها واقعاً متشابه باشند- یعنی زوایای نظیر در آن ها دقیقاً برابر باشد. مجموع زوایای مثلث کوچک تر می تواند بیشتر باشد و این با هندسه غیراقلیدسی جدید توافق دارد، اما تفاوت مجموع زوایای دو مثلث را نمی توان اندازه گیری کرد. از این رو، در رابطه یا هر گونه مقصود عملی تفاوت چندانی نمی کند که احکام کدام هندسه را بپذیریم. به عبارت دیگر، به هیچ طریقی نمی توانیم تصمیمی قاطع بگیریم که کدام هندسه به جهان فیزیکی اطلاق می شود؛ از هر دو گونه می توان استفاده کرد. در این میان، پیش داوری ها و عادت های ما به نفع هندسه اقلیدسی است که البته ممکن است تا حدی ساده تر از هندسه غیر اقلیدسی باشد. اما این گونه دلایل کاربرد پذیری هندسه جدید را بی اعتبار نمی کند.
بی تردید، خواننده قانع نشده است. شاید استدلال محکم تر و جذاب تری لازم است که به او ثابت کند هندسه غیر اقلیدسی را می توان به جهان فیزیکی اطلاق کرد.
بهتر است بار دیگر اندکی به هندسه اقلیدسی توجه کنیم. ورق کاغذ بزرگی را در نظر بگیرید که از هر سو تا بی نهایت ادامه دارد. این ورق کاغذ احتمالاً مصداق فیزیکی صفحه ریاضی باشد، صفحه ای که قضیه های هندسه اقلیدسی در آن برقرارند.
حال فرض کنید این ورق کاغذ را با اندکی پیچاندن گوشه های راست و چپ آن به طرف بالا تغییر دهیم (شکل 4)؛ به طوری که این صفحه، سطحی منحنی تشکیل دهد که، باز هم همچون صفحه، از هر سو تا بی نهایت ادامه دارد. چنین سطحی را سطح استوانه ای می نامند. بیشتر خط های مستقیم آن صفحه، بر اثر تغییر شکلی که پدید آمده، تبدیل به منحنی هایی می شوند که این منحنی ها همان ویژگی خط های مستقیم صفحه را دارند- یعنی کوتاه ترین مسیر اتصال بین نقاط بر این سطح استوانه ای هستند. هر یک از این ها را یک « ژئودزیک» (کوته راه) می نامیم. دو خط راستی که در آن صفحه موازی یکدیگر بودند تبدیل به ژئودزیک های موازی بر این سطح می شوند و این ژئودزیک ها در سطح استوانه ای با هم تلاقی نمی کنند. مثلث هایی که بر آن سطح مستوی (صفحه) بودند شکل هایی می شوند که از کمان های ژئودزیک ها بر این سطح استوانه ای تشکیل شده اند. این شکل ها را نیز « مثلث» می نامیم. دایره های روی صفحه نیز به شکل هایی که آن ها را دایره می نامیم تبدیل می شوند.
حالا به واقعیت تکان دهنده ای می رسیم: هر اصل هندسه اقلیدسی در مورد شکل های واقع بر سطح استوانه ای برقرارند؛ منتها با این پیش فرض که کلمات «خط»، «مثلث» و «دایره» را درست همان گونه که در بند قبلی مطرح کردیم، تفسیر کنیم. « بنابر این، قضایای هندسه اقلیدسی که با استدلال استنتاجی از اصول بدیهی نتیجه می شوند، که این جریانی است کاملاً مستقل از تصاویری که ترسیم می کنیم، در مورد شکل های واقع یک سطح منحنی نیز برقرارند». مثلاً، مجموع زوایای یک «مثلث» بر روی این سطح نیز 180 درجه است.
خواننده ممکن است به این استدلال این طور ایراد بگیرد که بگوید خط های مستقیم و شکل هایی که بر حسب خط های مستقیم تعریف شده اند دیگر معنای خاص خود را ندارند، زیرا ویژگی مستقیم بودن را از دست داده اند. در هر حال، ما از این مزیت سود می جوییم که، مفهوم های بنیادی هندسه همچون نقطه و خط تعریف نشده اند. ما تنها از ویژگی های این مفاهیم که صراحتاً در اصول بدیهی به آن اشاره شده استفاده می کنیم. از این رو، اگر تصویر فیزیکی جدیدی از، مثلاً، خط ویژگی های مطلوب یک اصل بدیهی را برآورده کند، پذیرفتن این تصویر مجاز است، بنابراین، منطقاً محقّیم که تصویر فیزیکی کاملاً جدیدی را با تمامی هندسه اقلیدسی همراه کنیم.
استدلالی که هم اکنون در ارتباط با تعبیر فیزیکی هندسه اقلیدسی ارائه کردیم، در ارتباط با هندسه غیر اقلیدسی نیز به کار می آید. اگر از مزیت آزادی مان در انتخاب تعبیر فیزیکی خط و سایر اشکال سود جوییم، تفسیری از هندسه جدید خواهیم داشت که از لحاظ شهودی پذیرفتنی است.
شکل 5 سطحی را نشان می دهد که آن را «دروغین سپهر» (شبه کره) می نامند. خطوط منحنی روی دروغین سپهر که کوتاه ترین فاصله بین نقاط روی این سطح را مشخص می کنند- و این منحنی های خاص نیز به همین دلیل ژئودزیک نامیده می شوند- ویژگی هایی دارند که خط های مستقیم در اصول لوباچفسکی و بویوئی دارند. مثلاً، این اصل که دو نقطه یک و تنها یک خط مستقیم را مشخص می کنند، در مورد این ژئودزیک صادق است. دو نقطه بر روی دروغین سپهر (مثلاً C و D در شکل 5) یک و تنها یک ژئودزیک بین خود را مشخص می کنند. به همین نحو، اصل توازی لوباچفسکی و بویوئی (که می گوید از نقطه P نه واقع بر خط L بی نهایت خط می گذرد که L را قطع نمی کنند) در مورد ژئودزیک های دروغین سپهر برقرارند.
از آن جا که اصول بدیهی لوباچفسکی و بویوئی در مورد ژئودزیک های روی دروغین سپهر معتبرند، قضایای آن نیز، به مثابه منطقی این اصول، باید معتبر باشند. از این رو، این قضیه که مجموع زوایای یک مثلث کمتر از 180 درجه است، در مورد مثلث CDE که از کمان های ژئودزیک ها تشکیل شده معتبر است. به این ترتیب، تنها با تغییری اندک و بجا در تصویر خط راست، تجسمی عینی از هندسه غیر اقلیدسی کسب کرده ایم.
حال که معنایی برای هندسه جدیدمان پیدا کردیم، بهتر است به پرسش اصلی خود بازگردیم. آیا این هندسه جدید می تواند توصیف کننده دنیای فیزیکی ای باشد که در آن زندگی می کنیم؟ پاسخ، همان طور که خواننده احتمالاً پیش بینی می کند، این است که هندسه فضای فیزیکی بستگی به معنای فیزیکی دارد که برای مفهوم خط راست قائل می شویم. تجربه به ما می گوید که اگر خط راست را همچون نخی کشیده فرض کنیم، هندسه اقلیدسی در رابطه با جهان فیزیکی به خوبی کارآمد است. اما نه لازم است و نه مطلوب که خط راست در تمامی کاربردهای فیزیکی خود مانند نخی کشیده باشد. مثلاً، به مردمی فکر کنید که در کشوری کوهستانی زندگی می کنند و به هندسه سطح کشور خود توجه دارند. مفیدترین تعبیر فیزیکی از خط راست در نظر این مردم ژئودزیک ها است؛ یعنی کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه. نخستین واقعیت شگفت در ارتباط با این « خط های راست» این است که شکل آن ها بسته به شکل پستی و بلندی موضعی تغییر می کند. چنین « خط های مستقیمی» از چه اصول بدیهی پیروی می کنند؟ به یقین می توان گفت که این اصول اقلیدسی نیستند. مثلاً، توپوگرافی منطقه ای ممکن است چنان باشد که بین زوج هایی از نقاط چندین کوتاه ترین مسیر وجود داشته باشد. ممکن است ژئودزیک های بسیاری از یک نقطه معین بگذرند که ژئودزیک ویژه ای را قطع نکند، و همین طور تا آخر.
در اندازه گیری های اخترشناختی هم نخ کشیده نمی تواند تفسیر علمی خط راست باشد. در این جا می توان پرتو نور را در نظر گرفت. حال، کدام هندسه بهترین توصیف را به دست می دهد وقتی پرتو نور نماد خط راست باشد؟ حال بهتر است به شرح ریاضی هندسه غیر اقلیدسی بپردازیم. جهان های ریاضی دیگر هم هستند که باید به بررسی آن ها پرداخت.
لوباچفسکی و بویوئی توجه خود را به اصل خطوط موازی اقلیدس متمرکز کردند، اما دیگر اصول هندسه اقلیدسی را پذیرفتند؛ هر چند این اصول هم به همان اندازه قابل تردید بودند. مثلاً، این اصل که می گوید هر پاره خط را می توان از هر سو تا بی نهایت ادامه داد. در این جا هم اصلی در میان است که محتوای آن چیزی را توصیف می کند که در فضای هزاران کیلومتر دور از زمین رخ می دهد. چگونه می توان از صدق این اصل، یعنی، کاربرد پذیری آن در دنیای فیزیکی، یقین حاصل کرد؟
چندان زمانی از کار بویوئی و لوباچفسکی در مورد مفهوم توازی نگذشته بود که نظر ریاضی دانان به خصلت نامتناهی خط مستقیم جلب شد و، بنابر این، آن ها کوشیدند منطقی بودن این اصل را نشان دهند. برنهارد ریمان (6)، نابغه مریض احوال و پیش رسی که از پدر خود، که روحانی آیین لوتری به شمار می رفت، اجازه گرفته بود تا تحصیل در الهیات را ترک کند و به ریاضیات بپردازد، تحقیق در این مورد را آغاز کرد.
یکی از ایده های بدیع او این بود که باید بین بی پایانی (7) و بی نهایتی (8) تمایز قائل شویم. مثلاً، استواری زمین بی پایان است اما نهایتی دارد. ریمان، با توجه به این تمایز، اصل اقلیدس را در مورد خط راست چنین بیان کرد که طول هر خط راست نهایتی دارد، اما بی پایان است.
ریمان این اندیشه را با تأمل در مورد اصل خطوط موازی، نظیر کاری که لوباچفسکی و بویوئی انجام دادند، پیگیری کرد، اما به نتیجه ای متفاوت رسید. اگر در امتداد خط L نقطه R به سمت چپ و نقطه Q به سمت راست حرکت کنند، این دو نقطه سرانجام باید با یکدیگر تلاقی کنند؛ زیرا ریمان فرض کرده است که خط L محدود است.
در نتیجه، خط PR حول نقطه P می چرخد و تبدیل به PQ می شود؛ بدون آن که در این روند تماس خود را با خط L از دست بدهد. یعنی، هیچ خطی وجود ندارد که به موازات L از P بگذرد. شکل 6 نشان نمی دهد که این چرخش کامل PR حول P، باتوجه به درک معمول ما از خط راست، چگونه ممکن می شود باری، تنها قصد این شکل مطرح کردن اندیشه ریمان است. ریمان با توجه به فرض محدود بودن خط راست به این اصل رسید که خطوط موازی وجود ندارند.
ریمان سومین انحراف از هندسه اقلیدسی را ایجاد کرد؛ چنان که گویی دو انحراف پیشین کافی نبودند. ریمان به جای این اصل پذیرفته شده اقلیدسی که دو نقطه یک و تنها یک خط راست را مشخص می کنند، به این اصل قائل شد که هر دو نقطه ای بیش از یک خط را مشخص می کنند.
پیش از ادامه بحث یادآوری می کنیم که در حال حاضر این اصول را فعلاً فقط مبنایی برای ساخت منطقی هندسه ای جدید تلقی می کنیم.
هندسه ریما هم نظی هندسه لوباچفسکی و بویوئی قضایایی مشترک با هندسه اقلیدسی دارد. در این هر سه گونه هندسه این قضیه که زوایای قائم با یکدیگر برابرند یا این که زوایای متقابل به اضلاع برابر هر مثلث با هم برابرند، به یکسان اعتبار دارند؛ زیرا این قضایا تنها به آن اصول بدیهی ای بستگی دارند که در این هر سه گونه هندسه مشترک اند.
برخی از قضایای هندسه ریمان که با قضایای هندسه اقلیدسی تفاوت دارند جالب توجه اند. مثلاً، « تمام عمودهای وارد بر یک خط مستقیم در یک نقطه تلاقی می کنند« (شکل 7). واقعیت دیگر این دنیای جدید و عجیب این است که در آن « هر دو خط مستقیم منطقه ای را محاط می کنند»( شکل 8). در این جا نیز نظریه هندسه لوباچفسکی و بویوئی « مثلث های متشابه متساوی هم هستند». دو قضیه دیگر را هم می توان تقریباً پیش بینی کرد یکی این که « مجموع زوایای داخلی هر مثلث بیش از 180 درجه است» و دومی این که از هر « دو مثلث، آن که مساحت بیشتری دارد، مجموع زوایایش هم بیشتر است».
حال همان سوالی پیش می آید که در مورد هندسه لوباچفسکی و بویوئی پیش آمده بود: آیا هندسه ریمانی اصلاً اهمیتی، بیش از تمرین و کنکاشی فکری برای ریاضی دانان، دارد؟ جواب باز هم مثبت است. می توان هندسه ریمانی را با درک معمولمان از خط مستقیم در مورد دنیای فیزیکی به کار برد، بی آن که تفاوتی بین حکم های هندسه و وضعیت فیزیکی پدید بیاید. استدلالی که این ادعا را به کرسی می نشاند همانی است که در مورد هندسه لوباچفسکی و بویوئی از آن یاد کردیم.
علاوه بر این، با تغییر تصویر خط راست می توانیم به تفسیرهای دیگری از هندسه ریمانی دست پیدا کنیم که از لحاظ شهودی قانع کننده اند. درست همان طور که می توانیم هندسه اقلیدسی را بر سطحی استوانه ای و هندسه لوباچفسکی و بویوئی را بر شبه کره تصور کنیم، می توانیم هندسه ریمانی را نیز بر سطح کره ای معمولی به تصور در آوریم.
منحنی ای که دو نقطه را از طریق کوتاه ترین مسیر بر کره به یکدیگر متصل می کند. –یعنی منحنی ای که تصویر خط راست است- قوسی (کمانی) از دایره عظیمه ای است که از این دو نقطه می گذرد. منظور از دایره عظمیه دایره ای است که مرکز آن مرکز کره هم هست. بنابر این، در شکل 9، از دو دایره ای که از نقاط A و B می گذرد، دایره ABCDE دایره عظیمه است؛ در حالی که دایره ABFGH چنین دایره ای نیست.
حال ببینیم که آیا می توانیم اصول هندسه ریمان را در مورد کره، با این شرط که خط راست این اصول را به معنی دایره عظیمه بر کره بپذیریم، به کار ببریم. اولین نکته ای که باید در نظر داشته باشیم این است که دایره های عظیمه طولی محدود و بی پایان دارند. دومین نکته این است خطوط موازی بر روی کره وجود ندارد، زیرا همه دایره های عظیمه یکدیگر را قطع می کنند. مثلاً، دو دایره عظیمه ABCDE و MNPD در نقاط N و D تلاقی دارند. این اصل هم که هر دو نقطه بیش از یک خط را مشخص می کنند، در مورد کره اعتبار دارد. از دو نقطه N و D در شکل 9 دو دایره عظیمه می گذرد؛ در حالی که از دو نقطه A و B در همین شکل تنها یک دایره عظیمه می گذرد.
از آن جا که اصول هندسه ریمان بدیهیات مربوط به کره را به درستی تعبیر می کنند، قضایایی که با استدلال استنتاجی معتبر از این اصول نتیجه شوند در مورد کره هم اعتبار خواهد داشت. بهتر است اندکی در این نکته دقیق شویم: بنابر قضیه ای در هندسه ریمان، تمام عمودهای وارد بر خطی مستقیم در یک نقطه تلاقی می کنند. اگر در شکل 10، دایره عظیمه L را خط مستقیم فرض کنید، می بینید که تمام عمودهای وارد بر L در نقطه P به یکدیگر می رسند. اگر L استوای زمین باشد، P قطب شمال یا قطب جنوب آن خواهد بود.
قضیه دیگری در هندسه ریمانی می گوید که مجموع زوایای مثلث بیش از 180 درجه است. چون خط های راست در اصول بدیهی ما دایره های عظیمه اند، مثلث شکلی خواهد بود که از قوس های این دایره ها حاصل می شود. مثلث ABP در شکل 10 چنین مثلثی است؛ چون دو زاویه این مثلث قائمه هستند، مجموع سه زاویه به ناچار بیش از 180 درجه خواهد بود. این نکته در مورد «هر» مثلثی بر سطح کره صحت دارد.
لزومی ندارد که نکته ای را که بداهتش از پیش معلوم است دوباره تکرار کنیم. « روی کره، هر قضیه از هندسه ریمان را می توان صرفاً این طور تعبیر کرد که خطوط راست به کار رفته در این قضایا دایره های عظیمه ای واقع بر کره اند.» به این ترتیب، می توانیم معنایی هندسی به هندسه ریمان بدهیم؛ معنایی که، در عین حال، از نظر شهودی قانع کننده است. مهم تر از این آن که، به کمک این هندسه به مسائل علمی و عملیِ مربوط به « سطح کره» جواب های دقیق داده می شود. بنابر این، تردیدی نیست که هندسه ریمان هندسه دنیای فیزیکی است. درواقع، هر استدلالی که به دست دادیم تا نشان دهیم که دنیای فیزیکی می تواند به معنای لوباچفسکی و بویوئی کلمه غیر اقلیدسی باشد، کاملاً در مورد هندسه ریمان هم برقرار است.
وقتی به گذشته نگاه می کنیم، می بینیم که تاریخ زایش هندسه های غیر اقلیدسی تاریخ کوری انسان ها، از کوچک و بزرگ، است. انسان بر سطح زمین زندگی می کند. فرض کنید او بخواهد هندسه ای بسازد که « عیناً مطابق سطح زمین» باشد، یعنی هندسه خود را توصیف کننده سطحی خاص در جهان سه بعدی اقلیدسی در نظر نگیرد، چه نوع هندسه ای باید پدید بیاورد؟ در چنین هندسه ای که مطابق سطح کروی زمین است، « خط» به وضوح باید « منحنی» باشد که کوتاه ترین مسیر هر دو نقطه را به یکدیگر متصل می کند، زیرا در این حال منحنی مفیدترین تصور از کوتاه ترین مسیر است. این منحنی، همان طور که دیدیم، دایره عظیمه ای است که دو نقطه مورد نظر را به یکدیگر وصل می کند. از طرفی، یقیناً خط مستقیم (راست) را به تعبیری که در هندسه اقلیدسی وجود دارد و با‌آن آشناییم، نمی توانیم منحنی در نظر بگیریم؛ آن هم به همین دلیل ساده که چنین خطی ابداً نمی تواند بر سطح کره وجود داشته باشد.
هندسه دان برای دوایر عظیمه خود چه اصولی را می تواند برگزیند؟ چرا هیچ اصول دیگری جز آنچه ریمان برگزیده است، یعنی سیستمی از اصول که در آن ها خطوط موازی وجود ندارد و طول خط نهایتی دارد، مطابق جهان نیست؟ به عبارت دیگر، هندسه طبیعی، هندسه عملی، هندسه مبتنی بر عقل سلیم ما فانیان و خاکیان هندسه ریمانی است.
این هندسه هزاران سال زیر پاهایمان در جریان بود. با این حال، در تمام این سال ها، بزرگ ترین ریاضی دانان هم حتی یک بار نکوشیدند اصل توازی را با توجه به هندسه یک کره مورد بررسی قرار دهند و یک نقطه اوج این هزاران سال جایی است که کانت کبیر فلسفه عمیق خود را بر صدق ضروری و بی چون و چرای هندسه اقلیدسی و تصور ناپذیری هر نوع هندسه دیگر بنا کرد. اما، در تمام این مدت او اگر نه « در»، که « بر» دنیای غیر اقلیدسی زندگی می کرد.
پس چرا هندسه که از دل اندازه گیری بر روی سیاره زمین پدید آمد، نخست به شکل اقلیدسی آن به بار آمد؟ پاسخ آن است که انسان ها در قلمروهایی محدود بر زمین زندگی می کنند و زمین به نظر آنها در واقع تخت است و کوتاه ترین فاصله بر سطحی تخت، به تعبیری از « کوتاه ترین فاصله» که عامه پذیرفته اند، خط راست است. اصول و قضایای هندسه اقلیدسی با در نظر داشتن تصویر نخ کشیده شده از خط راست به سرعت به دست می آیند. زمانی که هندسه سطوح تخت توسعه می یافت، کره هم می بایست در چهارچوب هندسه اقلیدسی به آن اضافه شود. به ذهن هیچ کس، حتی به ذهن یونانیانی که آن چنان شیفته کره بودند، هرگز خطور نکرد که از طریق مجموعه ای از اصول بدیهی که دقیقاً توصیف کننده کره باشد مستقیماً به هندسه این شکل بپردازند. این تاریخ نشان می دهد که آدمی به همان اندازه در سیطره عادات اندیشه خود زندگی می کند که در سیطره عادات فیزیکی، آداب اجتماعی و سنت ها. تردیدی نیست که پیشگامان ناکام لوباچفسکی و بویوی از مهارت تکنیکی لازم یا تسلط بر ریاضیات سطح بالا بی بهره نبودند. شکست آن ها در حل مسئله اصل توازی تنها به این دلیل بود که آن ها نتوانستند حجاب عادت اندیشه، یعنی هندسه اقلیدسی، را بدرند. تاریخ این لَختی اندیشه مثالی عالی از آن چیزی است که لکی (9) در کتاب تاریخ خردباوری در اروپا (10) روان یا « خرِد روان» (11) یک عصر دانسته است، یعنی آنچه مردم یک عصر را از پیش به نظرها، باورها و گمان هایی مستقل از استدلال هایی له یا علیه آن ها می کشاند. در مورد کانت و تمام ریاضی دانان تا قرن نوزدهم وضع همین بود. باور به صدق حمله ناپذیری و تردید ناپذیری هندسه اقلیدسی مانع از آن بود که کسی بتواند امکان نوع دیگری از هندسه را حتی در نظر آورد و جالب آن که نوعی از هندسه غیراقلیدسی درست پیش رویشان قرار داشت.
آنچه در تاریخ اندیشه ها از اهمیت هندسه غیر اقلیدسی می گویند، سخنانی به گزاف نیست. هندسه غیر اقلیدسی، نظیر نظریه خورشید مرکزی کوپرنیک، قانون گرانش نیوتن و نظریه کامل داروین تأثیری بنیادی در علم، فلسفه و مذهب داشته است. به حق می توان گفت که هیچ رویدادی به این اندازه زیر و زبر کننده در کل تاریخ تفکر رخ نداده است.
نخست آن که ایجاد هندسه غیر اقلیدسی از تمایزی که همیشه تلویحاً در کار بود، اما هرگز صراحتاً روشن نشد، پرده برگرفت؛ تمایز بین فضای ریاضی و فضای فیزیکی. خطاست اگر این دو فضا را یکی بگیریم. گیرنده های حسی، حس بینایی و لامسه چنین القا می کردند که اصول هندسه اقلیدسی در مورد فضای فیزیکی صادق و برقرارند. قضایایی را هم که از این اصول استنتاج می شوند می توان کاملاً با حس بینایی و لامسه به آزمون گذاشت. بنابر این، این تصور پدید آمد که هندسه اقلیدسی توصیف دقیق جهان فیزیکی است. این عادت فکری طی صدها سال چنان جا افتاده بود که حتی تصور چنان هندسه ای جدید هم بی معنا به نظر می رسید. « هندسه» یعنی هندسه جهان فیزیکی و چنان هندسه ای اقلیدسی بود. اما، با پدیدار شدن هندسه غیر اقلیدسی، سرانجام ریاضی دانان و دانشمندان و بالاخره عامه مردم ناچار شدند که این امر مسلم را بپذیریند که «سیستم اندیشه ای که بر اساس احکامی درباره فضای فیزیکی است، با خود آن فضای فیزیکی فرق دارد.»
این تمایز برای توسعه و پیشرفت ریاضیات و علوم از سال 1880 تا به زمان ما نقشی حیاتی بازی کرده است. امروزه باید این را بگوییم که فضای ریاضی اهمیت نظریه ای علمی را به خود گرفته است. فضای ریاضی؛ تا آن جاکه با نتایج تجربه جور در می آید، در مطالعه فضای فیزیکی نقشی محوری بازی می کند و، در واقع، نیازهای علمی را رفع می کند. پس، فضایی ریاضی می تواند به دلیل توافق بیشترش با نتایج آزمایشات علمی جایگزین فضای ریاضیاتی دیگر بشود؛ همان طور که نظریه بطلمیوس در مورد حرکت اجسام آسمانی جای خود را به نظریه کوپرنیک داد.
بنابراین، باید هر نظریه در باب فضای فیزیکی را « سازه» ‌محض ذهنی ای در نظر بگیریم و واقعیت عینی را به غلط در آن تزریق نکنیم. انسان هندسه ای، اقلیدسی یا غیر اقلیدسی، می سازد و فضا (مکان) را از منظر آن می بیند و، در نتیجه، می تواند درباره فضا بیندیشد و نظریه اش را در کارهای علمی به خدمت گیرد- هر چند او هرگز نمی تواند یقین حاصل کند که آیا فضا واجد تمام آن ویژگی های ساختاری که در ذهن خودش ساخته هست یا نه. بینش از فضا و طبیعت غالباً انکار نمی کند که چیزی به عنوان دنیای عینی فیزیک وجود دارد. بینش مورد بحث صرفاً این واقعیت را آشکار می کند که قضاوت انسان و نتیجه گیریهایش درباره فضای فیزیکی کاملاً ساخته خود اوست.
تولد هندسه غیر اقلیدسی قلمرو حقیقت را به شکل ویران کننده ای حذف کرد. ریاضیات در تفکر غرب، جایگاهی تعالی و بی رقیب نظیر مذهب در جوامع ابتدایی داشت. این معبد ریاضیات بود که تمام حقایق را در خود داشت و اقلیدس کاهن اعظم این معبد به شمار می رفت. اما کارهای سه مرتد، بویوئی و لوباچفسکی و ریمان، آن آیین و کاهن اعظم و تمام پیروانشان را از تقدس آسمانی ای که داشتند به زمین کشاندند. واقعیت این است که این مغزهای جسور و گستاخ در آغاز کار خود تنها دل مشغول نتایج منطقی اصل توازی جدیدی بودند و یقیناً، در آن آغاز، در ذهنشان هم نمی گنجید که خود حقیقت را به مبارزه خوانده اند و در واقع، مادامی که کار آن ها را صرفاً شعبده ای زیرکانه در ریاضات محسوب کنیم، مشکلی جدی پیش نمی آید. اما وقتی همگان به این نتیجه رسیدند که هندسه های غیر اقلیدسی می توانند توصیف هایی معتبر از فضای فیزیکی به دست دهند، با مسئله ای گریز ناپذیر مواجه شدند. چگونه ریاضیات که همیشه ادعا داشت حقیقت کمیت و فضا (مکان) را در سینه دارد، می تواند چندین شکل هندسه ارائه کند که ناقض یکدیگر باشند؟ بی تردید، فقط یکی از آن ها می توانست درست باشد. ولی، در حقیقت ماجرا این است (و این نکته از هر چیز آشفته کننده تر است) که چه بسا هیچ کدام این هندسه ها درست نباشد. بدین سان، وجود هندسه های جدید اصول بدیهی ریاضی باید «اگر»ی با خود داشته باشد. اگر اصول بدیهی هندسه اقلیدسی حقایقی درباره جهان فیزیکی باشند، قضایای آن هم صادق نخواهند بود. اما متأسفانه به شکلی «پیشینی» نمی توان تصمیم گرفت که اصول هندسه اقلیدسی حقیقی و صادق اند یا اصول هندسه های دیگر.
با ظهور هندسه های غیر اقلیدسی، ریاضیات، این پیکره مقدس حقایق، از جایگاه رفیع خود سقوط کرد؛ یدن سان، انسان والاترین و قطعی ترین حقایق خود را از کف داد و حتی شاید از این امید هم دست شست که مگر روزی بتواند درباره امور به قطعیت دست یابد. تا پیش ازقرن هجدهم هر نسلی به وجود حقیقت مطلق اعتقاد داشت و تفاوت تنها در انتخاب سرچشمه آن بود. ارسطو، « آبای کلیسا»، « کتاب مقدس»، و فلسفه و علم، هر یک در دورانی داوران حقایقی عینی و سرمدی بودند. در قرن هجدهم، تنها خرد انسانی بود که چنین اعتباری داشت و این به دلیل دستاوردهای ریاضیات و نیز دستاوردهای ریاضی در علوم بود. در اختیار داشتن حقایق ریاضی، به خصوص این اطمینان خاطر را به ارمغان می آورد که امید می رفت انبوه بیشتری از آن ها به دست آید، ولی افسوس که این امید بر باد رفت. پایان سیطره هندسه اقلیدسی پایان سیطره چنین معیارهای مطلقی هم بود. امروزه، فیلسوف همچنان می تواند مدعی تفکرات عمیق باشد؛ هنرمند می تواند با شوری دیوانه وار بر اعتبار بینشی که مهارت تکنیکی او نشان می دهد، اصرار بورزد؛ عالم روحانی می تواند با پژواک الهامات الهی بزرگ ترین کلیساها را از توده مردم سرشار کند؛ و شاعر رمانتیک می تواند آلام ذهن را به خلسه خواب آلود شعرش تسکین دهد و قبول بی چون و چرای شعر فریبنده اش را به کرسی بنشاند. این ها همه شاید سرچشمه های حقیقت باشند. شاید هم حقیقت سرچشمه های دیگری داشته باشد. اما انسان عاقل و بالغ که از ماجرای هندسه غیر اقلیدسی درس گرفته باشد، حداقل در افتادن به دام جزمیات محتاط است و اگر حقیقتی را هم بپذیرد موقتی و گذرا می پذیرد و هر لحظه احتمال بطلان آن را می دهد. ولی تناقض داستان در این است که با آن که هندسه های جدید توانایی انسان را در دستیابی به حقایق زیر سوال بردند، خود بهترین گواه قدرت ذهن آدمی اند؛ زیرا این ذهن می تواند عادات شهود و ادراک حسی را زیر پا بگذارد و با ایجاد چنین هندسه هایی بر آن ها غلبه کند.
از میان رفتن تقدس ریاضیات پرسشی کهن را درباره ماهیت ریاضیات مطرح کرد. آیا ریاضیات نظیر کوه و دریا مستقل از انسان « وجود» دارد یا آن که تماماً آفریده انسان است؟ به عبارت دیگر، آیا ریاضی دان با کار خود « جواهراتی» را که طی قرن ها در ظلمت پنهان بودند از زیر خاک بیرون می آورد یا این که صرفاً جواهراتی مصنوعی می سازد؟ حتی در نیمه قرن نوزدهم، هاینریش هرتس، که فیزیک دانی برجسته بود، با وجود آن که ماجرای هندسه غیر اقلیدسی را پشت سر داشت، می گفت « نمی توان از این حس خلاص شد که فرمول های ریاضیات وجودی مستقل و شعوری از آن خود دارند که خردمندانه تر از ما و حتی از کاشفان آن هاست و بسیار بیش از آنچه ابتدا در آن بود، از آنان نتیجه استخراج می شود.» با وجود چنین عقیده ای به نظر می رسد که ریاضیات بیش از آن که جوهر جاودانه جهانی مستقل از انسان باشد، محصول ذهن خطاپذیر انسانی است. ریاضیات سازه ای فولادی نیست که بر پی سنگ واقعیت عینی بنا شده باشد، بلکه تورتاری است ظریف که با دیگر نظریه پردازی های انسانی در نواحی نیمه کاوش شده ذهن در سیلان است.
اگر چه آفرینش هندسه غیر اقلیدسی با خشونت تمام ریاضیات را از عرش به فرش آورد، در عین حال فضای آن را باز کرد. کار لوباچفسکی، ریمان و بویوئی عملاً برگ سفر به هر کجا را به ریاضی دانان داد. چون هندسه های غیر اقلیدسی که ابتدا به خاطر زیبایی منطقی جالب آن ها مورد پژوهش قرار گرفتند، اهمیت بی مانندی پیدا کردند. امروزه دیگر واضح به نظر می رسد که ریاضی دانان امکانات هر مسئله ای را پژوهش کنند و در مورد هر مجموعه ای از اصول بدیهی که به نوعی مورد توجه باشند تحقیق کنند و بدیهی است که کاربرد ریاضیات در مورد دنیای فیزیکی هم همچنان انگیزه ای اساسی در تحقیق است. ریاضیات، در این مرحله از تاریخ خود، خاشاک راه را از پایش تکاند و از علم جدا شد؛ درست همان طور که روزگاری علم از فلسفه و فلسفه از مذهب و مذهب از بت پرستی و جادو گسست. اینک می توان هم زبان با گئورگ گانتور مدعی شد که « آزادگی جوهر ریاضیات است».
تا پیش از سال 1830، وضعیت ریاضی دان شبیه وضع نقاشی است که محرکش عشق محض به نقاشی است. اما غم نان وامی داردش که به نقاشی روی جلد مجلات بپردازد. او، با رهایی از این اجبار، می تواند پرنده تخیلش را پرواز دهد و آثاری به یادماندنی خلق کند. هندسه غیر اقلیدسی دقیقاً همین تأثیر آزادکننده را داشت. گسترش سرسام آور فعالیت های ریاضی و تأکید روزافزون بر کیفیت زیبا شناسانه در کار ریاضیات، از نیمه قرن گذشته بدین سو، گواهی بر تأثیر این هندسه جدید است.
هندسه غیر اقلیدسی، با این اهمیت بی مانند که در تاریخ اندیشه دارد، نقطه اوج دو هزار سال جر و بحث بر سر مسائل منطقی « بی سود و ثمر» بود. ریاضیات یک بار دیگر مثالی از شکوه امر مجرد، تفکری منطقی و فارغ از انگیزه ها و ملاحظات سودپرستانه و کاربردی به دست داد؛ نمونه دیگری از انکار گواهی های حواس- نظیر همان کاری که کوپرنیک در نظریه خورشید مرکزی خود انجام داد.

پی نوشت ها :

1- G. G. Saccheri، ریاضی دان ایتالیایی (1667- 1733)
2- N. I. Lobatchevsky، ریاضی دان روس (1793- 1856)
3- Farkas Bolyai، ریاضی دان مجار (1775- 1856)
4- similar
5- congruent
6- G. F. B. Riemann، ریاضی دان بزرگ آلمانی (1826- 1866)
7- endlessness
8- infiniteness
9- W. E. H. Lecky، مورخ بریتانیایی (1838-1 903)
10- History of Rationalism in Europe
11- Zeitgeist

منبع :کلاین، موریس؛ (1388)، نقش ریاضیات در فرهنگ غرب، ترجمه محمد دانش، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی.