محاسبه با چرتکه

قدیم ترین ابزاری که برای انجام عملیات معمولی حساب شناخته شده است چرتکه است. نام این ابزار از واژه ی یونانی abax، یا abakion، مشتق شده است که تخته ای پوشیده از شن یا خاک بود و برای محاسبه یا رسم شکل به کار می رفت. چنان که از شرح هرودوت معلوم است، اغلب از ریگ برای محاسبه استفاده می شده است.
با گذشت زمان، ریگ و حساب شنی جای خود را به تخته ای دادند که روی آن خط هایی برای هدایت مهره هایی که نمایشگر عددها بودند تعبیه شده بود. چرتکه ی رومی صفحه ای فلزی بود با شیارهایی که مهره ها در امتداد آن ها حرکت می کردند. هنگام محاسبه با عددهای صحیح از دستگاه دهدهی و برای کسرها از دستگاهی دیگر استفاده می شد. در چرتکه ی رومی دو شیار برای کسرها بود. شیار اول برای واحدهای دوازده بود، چون دستگاه وزن و پول بر حسب یک دوازدهم بودند؛ و مهره های شیار دوم نمایشگر کسرهایی به شکل زیر بودند:
به تدریج، چرتکه مهم ترین ماشین محاسبه ی ملت های غربی شد. استفاده از چرتکه به شرق هم راه پیدا کرد. چینیان در قرن ششم میلادی چرتکه را می شناختند. در ژاپن، در قرن هفدهم میلادی چرتکه استفاده ی همگانی داشت، گرچه بی شک ژاپنیان مدت ها قبل از آن با چرتکه آشنا بوده اند. در چین چرتکه را سوان فان (1)، یعنی تخته ی حساب می نامند؛ ژاپنی ها آن را سوروبان (2) می نامند.
چرتکه ی امروزین تفاوت اساسی با نوع رومی آن ندارد، اما شکلش تغییر کرده است: در چرتکه ی امروزی به جای شیارها میلیه هایی تعبیه شده است که مهره ها روی آن ها حرکت می کنند. شکل 1-2 سوروبان امروزین ژاپنی را نشان می دهد. شباهت عمومی این چرتکه با چرتکه ی رومی (غیر از پیش بینی بخش های کسری) آشکار است.
هم در چرتکه ی رومی و هم در سوروبان ژاپنی، در هر خط چهار مهره در قسمت پایین و یک مهره در قسمت بالا وجود دارد. ارزش مهره های قسمت بالا پنج برابر ارزش مهره های پایینی است.
در هر شکلی از چرتکه، مستقل از این که برای چه پایه ی شماره ی ساخته شده باشد، و خط ها یا میله های آن عمودی یا افقی باشند، استفاده ی اصلی یکسان است. در عمل جمع، یکی از عددهای مفروض روی چرتکه ثبت می شود. سپس با استفاده از عدد دوم و پیش رفتن در جهت مشخص شده، تعداد مناسبی مهره «اضافه» می کنیم. هر وقت که یک ستون پر می شود، مهره های آن ستون را به جای اول بر می گردانیم و یک مهره از ستون مجاور به جای آن می گذاریم.
یک ضعف محاسبه با چرتکه این است که در هر مرحله، مرحله ی قبلی پاک می شود و در نتیجه، برای تحقیق درستی جواب، راهی نیست جز محاسبه ی مجدد. ضرب و تقسیم با تکرار جمع و تفریق انجام می شوند. برای کاربرد مؤثر چرتکه، دانستن میانبرهای گوناگون و تجربه ی زیاد لازم است.
چرتکه به عنوان ابزاری برای انجام محاسبات عادی سریع و کاراست و هنوز هم، به خصوص در شرق، به طور گسترده ای به کار می رود. مثال جالبی از سرعت محاسبه با چرتکه، مسابقه ای است که در سال 1946 بین کیوشی ماتسوزاکی (3)، قهرمان ژاپنی محاسبه با سوروبان، و توماس وود (4) که گفته می شد یکی از متخصص ترین محاسبان با ماشین حساب برقی رومیزی در ژاپن بود برگزار شد. در انجام عمل های جمع (جمع کردن پنجاه عدد از سه تا شش رقمی)، تفریق و تقسیم، ماتسوزاکی رقیب خود را شکست داد. وود در عمل ضرب برنده شد؛ ولی عمل ضرب با ماشین حساب برقی فقط وقتی سریع تر بود که هر دو عامل ضرب بیشتر از ده رقم داشتند. در یک مسئله ی ترکیبی که شامل همه ی عملیات بود، سوروبان پیروزی چشم گیری کسب کرد (اما باید توجه کرد که در گزارش دیگری از این مسابقه، مهارت کاربر ماشین حساب برقی مورد تردید قرار گرفته است).

چرتکه

امروزه احتمالاً چرتکه را ابزار محاسباتی باستانی ای می دانیم که با اهداف آموزشی به کلاس های درس مقدماتی راه یافته است. در واقع چرتکه، در دست کاربران ماهر، ابزار محاسباتی سریعی بود – و هست – و هنوز هم در کشورهایی مثل هند، چین، ژاپن و روسیه به کار می رود.
به لحاظ تاریخی، چرتکه اساسی ترین ابزار محاسباتی مکانیکی بوده است، به خصوص در زمانی که دستگاه های شمار هنوز برای محاسبات نوشتاری مناسب نبودند.
طی قرون، سه شکل اصلی از چرتکه به کار رفته است. تخته ی شنی باستانی (abax در یونانی، که احتمالاً منشأ نام چرتکه abacus است)؛ تخته ی شیاردار با دیسک ها یا مهره هایی روی شیارها یا بین آن ها برای نمایش اعداد صحیح؛ و سرانجام، قاب کوچک قابل حملی با مهره هایی که در امتداد میله های سیمی یا چوبی حرکت می کنند.
منشأ دقیق شکل های مختلف چرتکه و چگونگی رسیدن آن ها از یک کشور به کشور دیگر روشن نیست. حتی وقتی که ذکری از کاربرد چنین وسیله ای در میان ملتی نشده باشد یا شاهدی مبنی بر چنین کاربردی وجود نداشته باشد، مثل مورد بابلی ها، رسم بر این بوده است که فرض کنند آن ملت از چرتکه استفاده می کرده اند.
ایده ی اساسی در هر یک از شکل های مختلف چرتکه این است که شمارنده ها (مهره ها، نشانگرها، یا دیسک ها)ی روی یک خط نشانگر واحدها هستند؛ روی خط بعدی، با فرض استفاده از دستگاه مبنای ده، شمارنده ها نشانگر ده ها هستند؛ روی خط بعد، نشانگر صدها هستند؛ سپس هزارها و غیره. این در ابتدایی ترین شکلش به معنی آن است که در لحظه ای که ده مهره روی یک خط جمع می شوند، می توان به جای آن ها یک مهره روی خط بلافاصله بعد از آن خط گذاشت. همچنین، در جهت عکس، می توان یک مهره را با ده مهره روی خط قبلی عوض کرد. احتمالاً این عمل مبنای ایجاد اصطلاح‌های «ده بر یک» و «وام» بوده است که امروزه در حساب به کار می روند. در چرتکه ی رومی که قبلاً درباره اش صحبت کردیم، مهره ها در مواضع مناسب می توانستند نشانگر مقادیر میانی، مثل V، L، D و مانند آن باشند؛ در این حالت، پنج مهره در بخش پایینی یک خط را می‌ شد با یک مهره در بخش بالایی خط عوض کرد. فاصله ی میان شیارها در تخته ی شمارش نیز برای مقادیر میانی به کار می رفت.
در شکل ابتدایی تر، تخته ای با خاک یا شن پوشانده می شد و سپس با یک چوب روی شن ها خطوط و نشانه ها را می کشیدند. برای پاک کردن از انگشت استفاده می شد.
شکلی جالب از چرتکه که چندان مورد استفاده قرار نگرفت، توسط ژربر (5)، که بعداً (در سال 999) با عنوان سیلوستر (6) دوم پاپ شد، ساخته شد. این چرتکه شامل بیست و هفت ستون بود؛ در هر ستون فقط یک مهره ی علامت دار قرار می گرفت – مثلاً مهره ای که شکلی از عدد 4 روی آن بود به جای 4 مهره به کار می رفت؛ اما مهره ی صفر وجود نداشت. در این چرتکه، دیگر تعداد واقعی مهره ها به محاسبه کمک نمی کرد و شاید به همین دلیل هیچ گاه چندان مورد توجه قرار نگرفت.
شمارش مهره ها با استفاده از تخته ی شمارش یا چرتکه ی خطی، در تمام قرن شانزدهم در اروپای غربی بسیار متداول بود. در این نوع از چرتکه، معمولاً خط ها به صورت افقی قرار می گرفتند و خطهای نشانگر هزاره ها و میلیون ها را با یک صلیب یا یک ستاره مشخص می کردند تا به آسانی تشخیص داده شوند. این عمل، مدت ها بعد، هنگام استفاده از ارقام هندی – عربی برای نوشتن، به استفاده از ویرگول بین گروه های سه تایی ارقام تبدیل شد.
در بسیاری از اولین کتاب های حساب که حدود سال 1500 چاپ شد، دستورالعمل‌هایی برای هر دو نوع محاسبه ی مکانیکی و محاسبه ی الگوریتمی وجود داشت. در سال 1522، آرلم ریس آلمانی کتابی منتشر کرد با عنوان شمارش با خطوط و با قلم، که البته منظور از شمارش با قلم شکل الگوریتمی محاسبه بود.
رابرت رکورد (7) در کتاب خود (حدود 1540-1542) ابتدا محاسبه با قلم را شرح داده و سپس چهل صفحه را به شرح هنر محاسبه با شمارنده ها اختصاص داده است. بحث میان طرفداران چرتکه و طرفداران الگوریتم در قرن وسطی بر سر مزایای شکل مکانیکی و شکل الگوریتمی محاسبه، بحثی طولانی و داغ بود. کسانی که تحت تأثیر سنت های تاجران ایتالیایی بودند، زودتر از آنان که بیشتر با تجارتخانه های آلمانی در تماس بودند به سوی کنار گذاشتن چرتکه (در شکل های مختلفش) مایل شدند.
نوع چارچوبی چرتکه (شکلی اولیه از چرتکه که در آن دکمه هایی در شیارها حرکت می کردند و قدمت آن دست کم به زمان رومیان می رسد) امروزه به شکل سوان فان چینی یا سوروبان ژاپنی درآمده است. شکل چینی چرتکه پنج مهره در پایین و دو مهره در بالا داشت و شبیه نسخه ی رومی آن بود. سوروبان ژاپنی بعد از انقلاب سیاسی سال 1868 به شکل پنج مهره در پایین و یک مهره در بالا درآمد و از 1940 به بعد، متداول ترین نوع آن دارای چهار مهره در پایین و یک مهره در بالا است.
توصیفی که از شکل اولیه ی چرتکه ی چینی در دست است، نشان می دهد که این چرتکه دارای ستون هایی عمودی بوده است که هر یک به نُه بخش افقی تقسیم شده بودند و روی هر کدام توپی به پایین و بالا حرکت می کرده است. کاربر با حرکت دادن توپ ها می توانست هر عددی را روی چرتکه ایجاد کند و عملیات معمول را انجام دهد. اگر استفاده از این چرتکه ادامه می یافت، احتمالاً قرن ها قبل از زمان دکارت منجر به پیدایش دستگاه مختصات دکارتی می شد!
در ادبیات ارجاع های فراوانی به چرتکه وجود دارد. پولیبیوس (8)، مورخ یونانی، نوشته است: «آن ها که در دربار شاه هستند ... در واقع شبیه مهره های تخته ی شمارشند. چون مهره ها، به دلخواه شمارنده، گاه ارزش پول سیاه دارند و گاه ارزش پول نقره. » بوئتیوس (حدود 510) تخته ی شمارش را «تخته ی فیثاغورس» نامید و آدلارد اهل باث (9) (حدود 1120) حتی آن قدر پیش رفت که پیدایش چرتکه را به فیثاغورس نسبت داد (اصطلاح «تخته ی فیثاغورس» را برای آرایه ی مربعی تخته ی ضرب نیز به کار برده اند).
شکسپیر در اتللو (پرده ی اول، صحنه ی 1) با تحقیر از «این چرخ شمارنده» یاد می کند و در داستان زمستان (پرده ی چهارم، صحنه ی 3) چنین می خوانیم: «هزار و پانصد مو، چقدر پشم می شود؟ ... نمی توانم بدون مهره ها حساب کنم». سرتوماس هابز (10) هم می نویسد: «واژه ها مهره های چرتکه ی مردان زیرکند، آن ها را جز برای شمارش به کار نمی برند، ولی برای ابلهان پولند» (لویاتان (11)، فصل چهارم).
واژه ی exchequer (خزانه داری)، مثلاً در Court of Exchequer (دیوان محاسبات در بریتانیای قدیم) از واژه ی checkered (پارچه ی شطرنجی) گرفته شده است که روی میز حسابداران را با آن می‌ پوشاندند. در صورت لزوم، از خط های پارچه برای محاسبه استفاده می شد. این به زمان پادشاهان نورماندی (حدود 1100 میلادی) برمی گردد.
در آلمان، نیمکت یا میزی را که روی آن خط می کشیدند و مهره ها را برای محاسبه قرار می دادند، Rechenbanck یا banck می نامیدند و واژه های امروزی bank (بانک) و banker (بانکدار) از این واژه گرفته شده اند.

پی نوشت ها :

1. suan phan
2. soroban
3. Kiyoshi Matsuzaki
4. Thomas N. Wood
5. Gerbert
6. Pope Sylvester II
7. Robert Recorde
8. Polybius
9. Adelard of Bath
10. Sir Thomas Hobbes
11. Leviathan

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول