محاسبه‌ ریشه ی دوم

نکته ای حائز اهمیت این است که مهم ترین ابزار تحلیلی محاسبان اولیه، روشی برای استخراج ریشه های دوم بوده است.
اهمیت محاسبه ی ریشه های دوم در اثر بطلمیوس به خوبی دیده می شود. او موفق شد با استفاده ی نبوغ آمیزی از جذرهای متوالی، جدولی برای وترها ترتیب دهد. این را که بطلمیوس روشی عالی برای محاسبه ی جذر در اختیار داشته است از آن جا می توان دریافت که برای وتر که شامل جذر 3 است، بطلمیوس مقدار

را به کار می برد که برابر 1/7320509 است و فقط یک واحد در آخرین رقم اعشار خطا دارد. حتی مهم تر از این، محاسبه ی او برای وتر است که برابر است با ، یعنی

همچنین می‌توان دید که استخراج ریشه ی دوم مهم ترین و شاید تنها ابزار محاسبان تا قرن هفدهم باقی ماند. شاهد این ادعا این است که هنری بریگز (1561-1631) در محاسبه ی جداول لگاریتم خود، از جذر به طور بنیادی استفاده کرد. بعداً در مورد این اثر مفصل تر صحبت خواهیم کرد.
این ریاضیدانان چگونه توانستند به چنین تقریب هایی دست بیابند؟ ریاضیدانان اولیه تقریباً چیزی درباره ی روش های یافتن ریشه ی دوم نگفته اند. تئون (2) (390م)، پدر هیپاتیا (3)، فیلسوف و ریاضیدان، محاسبه ای را شرح می دهد که تقریباً معادل روش ما بر اساس رابطه ی

است. او برای یافتن جذر 4500 چنین می‌ نویسد:

سپس به روش آزمون و خطا مقادیر 4=x و 55=y را می‌ یابد، که تقریب 0819/67 را با نماد اعشاری به دست می دهد که فقط در آخرین رقم اعشار یک واحد خطا دارد (باید پیوسته به خاطر داشت که یونانی ها اعداد را در دستگاه شصتگانی نمایش می دادند نه به صورت اعشاری).
نمی توان باور کرد که بطلمیوس روش های بهتری را نمی شناخته است. یکی از کاراترین فرمول هایی که تاکنون ابداع شده است به «روش هرون» (4) مشهور است، گرچه به احتمال بسیار زیاد، بابلی ها مدت ها قبل از هرون از آن استفاده می کرده اند. این روش منسوب به هرون اسکندرانی است که مطمئناً دوران شکوفایی اش قبل از بطلمیوس بوده است، ولی تاریخ های دقیق را نمی دانیم. هرون مهندسی تجربی بود و بی شک باید مسئله های بسیاری را حل می کرد که شامل محاسبه ی جذر بودند. او نخستین برهان شناخته شده را برای فرمول مساحت مثلث بر حسب طول اضلاع آن به دست داده است و این برهان شامل جذر است.
روش هرون یکی از تقریب های متوالی است و بر پایه ی فرمول

که در آن N عددی است که جذرش را می خوانیم و ، ، ... مقادیر متوالی اند. سرعت همگرایی چشم گیر است. بنابراین، اگر 3=N و 2= ، داریم

و این مقدار تا هفت رقم اعشار صحیح است. تقریب بعدی مقداری را به دست می دهد که تا رقم هفدهم اعشار، صحیح است.
روش هرون کاربرد خاصی از روش تکراری بسیار جامع تری است که قرن ها بعد، آیزاک نیوتون (5) و جوزف رافسون (6) آن را مستقل از یکدیگر کشف کردند و معمولاً روش نیوتون نامیده می شود، در حالی که باید روش نیوتون – رافسون نام بگیرد. این روش در شکل امروزین آن برای محاسبه ی ریشه ی x=c از معادله f(x)=0، با روش تکراری زیر به کار می رود:

که در آن ، ، ، ... تقریب‌ های متوالی برای c هستند. این روش که توسط رافسون به کار گرفته شد، کمی با روشی که نیوتون واقعاً به کار برده بود تفاوت دارد ولی اساساً همان است.
در یک سنگ نوشته ی جالب از دوران بابل باستان، بعضی از نتایج اولیه در مورد داده شده است، ولی متأسفانه جزئیات روش های محاسباتی ذکر نشده است. در این سنگ نوشته فقط یک مربع با دو قطرش رسم شده است. سه عدد با نماد شصتگانی داده شده اند: 30 روی یکی از اضلاع و دو عدد 10، 51، 24؛ 1 (یعنی
) و 35، 25؛ 42 روی یکی از قطرها. به آسانی می توان تحقیق کرد که 10، 51، 24؛ 1 تقریبی عالی برای
و 35، 25؛ 42 حاصل ضرب طول ضلع 30 در این تقریب
است. از این می توان نتیجه گرفت که بابلی های باستان فنونی حسابی در اختیار داشته اند که برای یافتن تقریب خوبی از
کفایت می کرده است و حالت خاصی از قضیه ی فیثاغورس را در حدود 1200 سال قبل از زمان فیثاغورس می شناخته اند.
مسئله ای جالب شامل ریشه های دوم در کتاب اندازه گیری دایره نوشته ی ارشمیدس دیده می شود. این نابرابری
است. نکته ی مهم در مورد این تقریب این است که دو کسر ذکر شده، کسرهایی از بسط
به کسرهای مسلسل هستند. ارشمیدس هیچ اشاره ای نمی کند که این مقادیر را چگونه یافته است. مسئله ی استخراج ریشه های سوم تقریباً هیچ مورد اشاره ی ریاضیدانان اولیه واقع نشد. هرون یک بار، موقعی که مقدار 14/9+4 را به عنوان تقریبی از ریشه ی سوم 100 به دست می دهد، به این موضوع اشاره می کند. اما این که مسائل ریشه ی سوم مورد توجه بوده اند، از وجود ابزارهایی مثل کونکوئید (7) نیکومد (8) (240 ق.م.) و سیسوئید (9) دیوکلس (10) (180ق.م) که جواب های تقریبی دو تا از مسائل کلاسیک یونان را به دست می دادند، روشن می شود.
هندیان روشی برای محاسبه ی ریشه ی سوم بر اساس بسط داشتند و مسلمانان نیز در حساب خود روش مشابهی را به دست داده اند. فیبوناتچی در قرن سیزدهم و تارتاگلیا (11) و کاردانو (12) در قرن شانزدهم، و همچنین کسانی دیگر، به این مسئله علاقه مند شدند. اما به نظر می رسد که تا قبل از انتشار جداول جدید ریاضی (13) پیتر بارلو (14) در سال 1814، جداول کافی برای ریشه های سوم وجود نداشته است.
در اواخر قرن شانزدهم، فرانسوا وِیت (15) (که به فرانسیس یا فرانسیسکوس ویتا هم مشهور است) روشی را برای تقریب ریشه های معادلات خاصی از درجه ی سوم، پنجم و غیره ابداع کرد که در یکی از آن ها بزرگ ترین نما 45=n بود.
شاید گفتن این نکته بد نباشد که فرمول هرون برای یافتن ریشه های دوم را که قبلاً بیان کردیم، می توان برای محاسبه ی ریشه ی اُم، عدد N تعمیم داد. فرمول تعمیم یافته چنین است:

متأسفانه این فرمول برای مقادیر p بزرگ تر از 2 چندان کارساز نیست، چون N باید بر توانی از تقریب قبلی تقسیم شود. مثلاً نویسنده ی این کتاب برای محاسبه ی جدول ریشه های سوم تا دوازدهم رقم اعشار، ساده تر دید که از جدول لگاریتم طبیعی پانزده رقمی استفاده کند و آنتی لگاریتم را از یک جدول تابع نمایی پانزده رقمی به دست آورد.

پی نوشت ها :

1. Henry Briggs
2. Theon
3. Hypatia
4. Heron's method
5. Isaac Newton
6. Joseph Raphson
7. conchoids
8. Nicomedes
9. Cissoid
10. Diocles
11. Tartaglia
12. Cardano
13. New Mathematical Tables
14. Peter Barlow
15. Francois Viete

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول