پاپیروس رایند

پژوهشگر و عتیقه شناس اسکاتلندی، ای.هنری رایند (2)، زمستان سال 1858 را برای سلامتی اش در مصر می گذراند. روزی در ویترین فروشگاهی یک پاپیروس قدیمی مصری را که گزارش شده بود در ویرانه های تِب (3) پیدا شده است کشف کرد و خرید. چند سال پس از آن، وقتی که رایند درگذشت، این پاپیروس به موزه ی بریتانیا منتقل شد. معلوم شد که این طومار که در اصل 18 فوت در 13 اینچ بوده است، به چند «کتاب» تقسیم شده و برخی از بخش های آن گم شده است. بعداً معلوم شد که بسیاری از این بخش های گم شده در مالکیت «انجمن تاریخ نیویورک» است و به این ترتیب، امکان ترجمه ی کامل این پاپیروس فراهم شد.
پاپیروس رایند مجموعه ای از مثال های ریاضی است که توسط کاتبی به نام اَحمِس (4) (این نام را گاهی اَحمُس (5) ذکر کرده اند) حدود 1650 پیش از میلاد در زمان سلطنت اوسزرع (6) از سلسله ی هیکسوس (7) نوشته شده است. کاتب شرح می دهد که این نوشته ها نسخه ای است از نوشته های پیشینی که در زمان نمارع (8) (آمِن اِم حِت (9) سوم) نگاشته شده است و به این ترتیب، قدمت این نوشته به نیمه ی دوم قرن نوزدهم پیش از میلاد می رسد. کاتب در کتیبه ی عنوان، هدف خود را نشان دادن «شمارش دقیق برای راه یافتن به چیزها، برای شناختن آنچه موجود است، هر راز ... هر چیز سر بسته ای» بیان می کند. نوشته به خط هیراتیک است، خطی که کمتر از هیروگلیف رسمی بوده است و در آن از نمادهای کلی به جای تصاویر استفاده می شده است. این سند، پس از مقدمه، به سه بخش تقسیم شده است: مسائل حسابی، مسائل هندسی و مسائل گوناگون، شامل کاربردهایی در مساحت و حجم.
کتاب پاپیروس ریاضی رایند (10) که در سال 1927 منتشر شد، شامل بازنویسی متن سند به هیروگلیف، ترجمه ی انگلیسی آن و چندین یادداشت سودمند در مورد متن است.
کل اثر بر دو مفهوم تکیه دارد که مشخصه ی ویژه ی ریاضیات مصریان باستان هستند: (1) کاربرد منظم روال های جمعی، و (2) محاسبات کسری که تقریباً به طور کامل بر «کسر واحد» تکیه دارد. کسر واحد، کسری است که صورت آن 1 باشد؛ ما «بخش پنجم» یا 1/5 را با نشان می دهیم. تنها کسر غیر واحد مهم، که ظاهراً در هر جای ممکن به کار می رفت، 2/3 بود؛ ما این کسر را با نشان می دهیم، چون نماد خاصی به شکل مصری داشته است.
بنابراین، پاپیروس با جدولی آغاز می شود که مقادیر دو برابر را به ازای همه ی اعداد فرد n از 3 تا 101 به دست می دهد. این جدول را اغلب جدول 2/nمی نامند، چون معادل های 2 تقسیم بر n را به دست می دهد. مثلاً درایه های متناظر با 5 در جدول (یعنی 2/5) عبارت است از (به معنی 1/15+ 1/3)؛ مصریان در این جا از علامت جمع استفاده نمی کردند، ولی برای خواناتر شدن، از این پس علامت جمع را می گذاریم. 2/15 به صورت داده شده است و 2/31 به صورت

نظریه های گوناگونی در مورد روش های مورد استفاده ی مصریان برای استخراج این مقادیر ارائه شده است، ولی هیچ کدام از این اصول برای همه ی مقادیر کارساز نیست.
ضرب، به صورتی که مصریان انجام می دادند، چیزی نبود جز دو برابر کردن های متوالی تا رسیدن به مقادیر مناسب و سپس یک عمل جمع ساده نتیجه ی مطلوب را به دست می داد. کاتب در مسئله ی 79، ضرب در 7 را نشان می دهد (خواننده باید این کار را خود انجام دهد):

پس

(اگر از خواننده خواسته شود که یازده برابر مقداری را بیابد، باید آن مقدار را دو برابر، دو برابر و باز هم دو برابر کند تا مقادیر یک برابر، دو برابر، چهار برابر و هشت برابر عدد را بیابد. چون 8+2+1 برابر با 11 است، مجموع مقدار اولیه با دو برابر آن مقدار و هشت برابر آن مقدار، حاصل ضرب مطلوب را به دست می دهد. دانش آموزان امروزی، کاربردی از ویژگی توزیع پذیری را در این جا می یابد).
ضرب کسرها در اعداد صحیح نیز به شیوه ی مشابهی انجام می شد. در مسئله ی 2، برای تقسیم 2 گرده نان به طور مساوی بین 10 نفر (شش مسئله ی اول عبارتند از تقسیم 1، 2، 6، 7، 8، و 9 گرده نان به طور مساوی بین 10 نفر)، متن فقط بیان می کند که هر نفر باید 1/5 از یک گرده نان بگیرد و سپس به تحقیق درستی این مقدار، با ضرب 10 در 5/1 می پردازد.

«مجموع 2 گرده نان، که درست است.» گرچه کاتب واقعاً این را نشان نمی دهد، می توانیم تحقیق کنیم که 10=8+2 و متناظر با آن،

برابر با 2 است. در این محاسبه، دو برابر 1/5و 1/15 مقادیری هستند که در جدول 2/n در آغاز سند داده شده اند. برای دو برابر کردن n وقتی که n زوج باشد فقط باید n را بر 2 تقسیم کرد.
نتیجه ی تقسیم 6 گرده ی نان بین 10 نفر به صورت 1/10+1/2 داده شده است؛ برای 7 گرده ی نان نتیجه 1/30+ 2/3 است که استفاده از مقدار 2/3 را در جایی که امکان دارد نشان می دهد. یکی از معدود روش های تعمیم یافته در مسئله ی 61 (ب) داده شده است: «برای یافتن 2/3 از ، دو برابر آن و شش برابر آن را بگیر و برای هر کسری که ممکن است ایجاد شود همانطور عمل کن.» پس باید را بیابیم که 1/30+1/10 است و این برابر با 2/3 کسر 1/5 است؛ اما برهانی داده نمی شود که چرا این روش همیشه جواب درست را به دست می دهد.
انجام فرایند تقسیم بسیار شبیه روش ضرب است. در مسئله ی 69 باید بر 80 تقسیم شود، که خارج قسمت 14 را به دست می دهد. دستورالعمل پاپیروس چنین است: «80 را ضرب کن [لفظاً «تو عمل 80 را انجام بده» آن قدر که بیابی.»

مجموع 1/120 است.
(با جمع کردن 10 و 4 خارج قسمت 14 را به دست می آوریم، ولی پاپیروس بر یافتن تاکید می کند).
جایی که تقسیم خارج قسمت صحیح ندارد، نصف کردن هم به کار رفته است که نتیجه ی کسری به دست می دهد. مثلاً در مسئله ی 24، که برای یک مرحله ی میانی آن باید 19 را بر 8 تقسیم کرد، داریم.
خارج قسمت است.
مسئله ی 24 نمونه ی دسته ای از مسائل مشابه است که اساساً معادلات خطی از یک مجهول هستند: «آها، خودش، یک هفتمش، 19 می شود» («آها» عبارتی است برای کمیت مجهول). معادله ی حاصل 19=x (1/7)+x است. جواب با روش آزمون و خطا به دست آمده است. جنبه های عددی جواب با شرط میانی نشان داده شده اند: تعداد دفعاتی که 8 باید ضرب شود تا 19 را به دست دهد، همان تعداد دفعات 7 باید ضرب شود تا جواب مطلوب به دست آید. مسئله ی بعد هم کاملاً شبیه همین مسئله است: «آها، خودش، یک پنجمش، با هم 21 می شود.»
بسیاری از مسائل جنبه ی عملی بیشتری دارند؛ تعدادی از این مسائل مربوط به محاسبات پسو (11) است. اصطلاح فنی پسو نشانگر تعداد گرده های نان یا تعداد لیوان های آبجو است که می توان از مقدار مفروضی غله به دست آورد. سپس یکسان نبودن غلات مختلف در مقدار پسو منجر به مسائل پیچیده‌ تری می شود.
مسئله ی 41، دانش آموز امروزی را هم به مبارزه می طلبد: «حجم انبار غله ی استوانه ای به قطر 9 و ارتفاع 10 ذراع (12) را پیدا کن» (روال مصری برای یافتن مساحت دایره

است). پس از یافتن حجم بر حسب ذراع مکعب، خواننده باید حجم هکات (13)غله ای را که در انبار جا می گیرد بیابد. یک خار (14) برابر 2/3 ذراع مکعب است و 1/20 تعداد خار، تعداد صدهای چهار برابر هکات موجود در انبار است (جواب باید 48، یا 4800 چهار هکات باشد؛ هکات تقریباً برابر 1/2پِک (15) بوده است).

پی نوشت ها :

1.Harriet D.Hirschy
2.A. Henry Rhind
3.Thebes
4. Ahmes
5. Ahmose
6. A-use Re
7. Hyksos
8. Ne-ma'et-Re
9. Amenemhet
10. The Rhind Mathematical Papyrus
11. pesu
12. واحد طول در قدیم؛ برابر 45 تا 56 سانتی متر.
13. hekat
14. khar
15. peck، واحد اندازه گیری حجم تقریباً برابر 9 لیتر.

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول..