روال های ضرب و تقسیم

روال های انجام عملیات اصلی ریاضی مانند ضرب و تقسیم همیشه مواجه با محدودیت‌هایی بوده است که دستگاه نمادگذاری مورد استفاده به طور ضمنی تحمیل می کند. به همین ترتیب، نوع مواد موجود – یا غیر موجود – لازم برای نوشتن بر شکل ها یا الگوریتم های نوشتاری تأثیر گذاشته است. استفاده ی گسترده از شکل های مختلف چرتکه در سراسر بخش بزرگی از تاریخ محاسبه، بازتاب این دو اثر است؛ این موضوع همچنین دالّ بر این است که نوعی روال مکانیکی بر فرایند نوشتن یا «تفکر» مرجح بوده است.
روش های مصریان باستان که شامل دو برابر کردن های مکرر برای ضرب (نصف کردن برای تقسیم) و سپس جمع کردن مقادیر مناسب بوده است قبلاً تشریح شد. گونه ای از این روش که «تضعیف و تنصیف» (دو برابرکردن و نصف کردن) نامیده می شد در اروپای قرون وسطی متداول بود؛ این روش را «ضرب روسی» هم نامیده اند، چون تا زمان جنگ جهانی دوم مورد استفاده ی روستاییان روس بود. گرچه فرایند تضعیف و تنصیف، مشابه روش دو برابر کردن مصری است، انتخاب جمعوندهای مناسب به طور خودکار انجام می شود. برای ضرب 43 در 45، مکرراً سمت چپ نصف می شود، در هر مرحله باقیمانده ی احتمالی کنار گذاشته می شود و سمت راست دو برابر می شود.
سس اعدادی از ستون سمت راست که متناظر با اعداد فرد در ستون سمت چپ هستند، مطابق شکل [7]-2، با هم جمع می شوند. با تبدیل 43 به نمایش دودویی (مبنای 2) می توان درستی این روال را تحقیق کرد.
بابلی ها دست کم از 2000 سال پیش از میلاد، اعمال ضرب و تقسیم را به کمک جدول انجام می دادند. لوح هایی گلی یافت شده است که هر کدام جدولی است از مضارب یک عدد مفروض، که ما آن را «مقدار اصلی» جدول می نامیم.
به دلیل استفاده از دستگاه مبنای شصت، انتظار می رود که مجموعه ی کاملی از جداول ضرب شصتگانی شامل جداولی برای مقادیر اصلی 2، 3، 4، ...، 59 باشد که در هر کدام حاصل ضرب مقدار اصلی در اعداد 1 تا 59 ذکر شده است؛ اما این چنین نیست. اگر مقدار اصلی p باشد، برای صرفه جویی در جا، می توان فقط مقادیر p1، p2، p3، ...، p10، p20، p30، p40 و p50 را داد. هر حاصل ضرب اصلی دیگر را می توان با جمع دو تا از این مقادیر به دست آورد؛ مثلاً p43 مجموع p40 و p3 است.
جدول های یافته شده شامل همه ی مقادیر اصلی از 2 تا 59 نیست؛ اما در حالی که جدولی برای مقادیر اصلی 11، 13، 14، 17 و 19 یافته نشده، جدول های مضارب اعداد ظاهراً نامعمولی مثل 35,3 و 40, 26, 44 مکرراً پیدا شده است. این معنا با یافتن جدول هایی از نوعی دیگر حل شد. در این جدول ها، معکوس اعداد شصتگانی «منظم» مختلفی داده شده است و معکوس ها هم به شکل شصتگانی هستند. اعداد شصتگانی منظم اعدادی هستند که معکوس آن ها را می توان به شکل شصتگانی متناهی نوشت. مثلاً معکوس 8 به صورت 30,7 بیان شده است. اگر این را 30,7؛ تعبیر کنیم، به معنی خواهد بود.
شرطی معادل برای منظم بودن یک عدد این است که فقط به توان های اعداد اول 2، 3 و 5 تجزیه شود، چون معکوس ذکر شده برای 21,1 عدد 40، 26، 44 است. معکوس واقعی 21، 1 (81 در مبنای 10) به شکل شصتگانی عدد 40، 26، 44،0 ؛ 0 است که به آسانی قابل تحقیق است. در نگاه اول فقدان ممیز شصتگانی در دستگاه بابلی ها اشکالی بزرگ به نظر می رسد. اما همان طور که در مبنای 10، معکوس 8 برابر 0/125 و معکوس 80 برابر 0/0125 است و نکته ی مهم دنباله ی رقم هاست که مستقل از ممیز اعشاری است، در دستگاه شصتگانی نیز فقدان ممیز ممکن است چندان مشکل ساز نشود.
اکنون اهمیت جدول معکوس ها روشن می شود. اگر بخواهیم 43 را بر 8 تقسیم کنیم، ابتدا با استفاده از جدول معکوس ها معکوس 8 را که 30، 7 است می یابیم. سپس از جدول ضرب با مقدار اصلی 30، 7 استفاده می‌کنیم. با استفاده از جدول مناسب، عمل تقسیم به عمل ضرب تبدیل می شود. تقریباً همه ی جدول ضرب های یافته شده جدول های مقادیر اصلی ای هستند که معکوس اعداد شصتگانی منظمند. جدول ضرب های 7 هم باقی مانده اند و به این ترتیب ابزار کافی برای انجام همه ی ضرب های پایه وجود دارد.
مسئله ی تقسیم بر یک عدد نامنظم دشواری هایی در بر دارد، چون معکوس متناهی برای عدد مورد نظر وجود ندارد. در لوح های بابلی اغلب این جمله به چشم می خورد: «بر 11 نمی توان تقسیم کرد». در این گونه موارد از تقریب هایی استفاده شده است که احتمالاً با درونیابی به دست آمده اند. چند جدول که مقادیر تقریبی بعضی از اعداد نامنظم را به دست می دهند باقی مانده اند.
برخی از جدول ها که قدمتشان به دوره ی متأخر سلوکیان می رسد، مفصل هستند و اعداد منظم را با هفت رقم و معکوس های حاصل را گاه تا 17 رقم به دست می دهند. ظاهراً این جدول ها عمدتاً در محاسبات نجومی به کار می رفته اند.
برخی از دشواری های مربوط به شکل نوشتاری ضرب با استفاده از دستگاه ایونی (الفبایی) یونانی را می توان با نوشتن حاصل ضرب های 4×2، 40×20 و 400×200 با این نمادگذاری متوجه شد. بیست و هفت نماد الفبایی برای اعداد، الگوی مکرر 2، 4، 8 را که ما امروزه داریم ندارند. جزئیات خاص روان های مورد استفاده ی یونانیان در دست نیست، ولی به نظر می رسد که تا حدی اتکا به چرتکه و جدول برای کمک به محاسبات لازم بوده است. چندین مثال از عمل ضرب توسط ائوتوسیوس آسکالونی (حدود 560 م) در شرحی که بر ارشمیدس نگاشته است، داده شده است. یکی از این نمونه ها را در شکل [7]-3 می بینید (نمادهای کمکی که نشان می دهند حروف به عنوان عدد به کار رفته اند حذف شده، و معادل های امروزی در سمت راست اضافه شده است).
یونانی ها ریاضیات خود را عمدتاً در چارچوب هندسه ایجاد کردند و نه با حساب و جبر. برای این موضوع دلایل چندی وجود دارد که ظاهراً یکی از این دلایل مشکلات مربوط به نمادگذاری بوده است. در محاسبات انجام شده توسط ارشمیدس در اندازه‌ گیری دایره (240 ق.م.) استفاده ی زیادی از کسرها و جذر اعداد نسبتاً بزرگ شده است، که نشان می دهد. این دشوار های محاسباتی غیرقابل حل نبوده (در این کتاب فقط نتایج مراحل مختلف محاسبه داده شده است، نه روال های مورد استفاده). پُل تانری (1)، ریاضیدان فرانسوی، در قرن نوزدهم مهارت زیادی در انجام محاسبات با دستگاه یونانی کسب کرد و نتیجه گرفت که این دستگاه مزیت هایی نسبت به دستگاه امروزین ما دارد.
گرچه عمدتاً ریشه های دستگاه نمادهای هندی – عربی را که امروزه به کار می بریم مربوط به پیش از 600 میلادی می دانند، اما تا سال 1600 شکل های نوشتاری انجام محاسبات با این دستگاه به طور معقولی استاندارد نشد. مثلاً در ضرب، شیوه های گوناگونی برای نوشتن حاصل ضرب های جزئی وجود داشت و وقتی که لوکا پاچولی ایتالیایی رساله ی خود را در سال 1494 منتشر کرد، هشت شکل یا طرح مختلف برای ضرب ارائه داد.
اصطلاح هندی برای حساب، بعد از قرن هفتم میلادی، پاتیجینتا (2) بود که واژه ای مرکب است به معنی «علم محاسبه روی تخته». وقتی که کاغذ برای نوشتن کم بود، اعداد را بر خاک یا شن روی تخته یا زمین می نوشتند یا احتمالاً گچ یا سنگ صابون نیز برای نوشتن روی تخته به کار می رفته است. کم بودن فضای کار روی تخته و همچنین سهولت پاک کردن نوشته ها، بر روال های اولیه تأثیر زیادی گذاشته اند. در سال های بعد و در کشورهای دیگر، روال های پایه به همین شکل باقی ماندند، جز این که به جای پاک کردن اعداد، روی عدد خط می کشیدند و جایگزین آن را بالای آن عدد خط خورده می نوشتند و همین کار بود که روش هایی را که امروزه روش چرکنویس می نامیم ایجاد کرد.
در اکثر موارد، محاسبات از چپ به راست پیش می رفت و نتایج را در بالای محاسبات می نوشتند، نه در زیر آن. مراحل متوالی در مسئله ی تفریق 839 از ، آن طور که در یک دست نوشته ی عربی، حساب هندی، نوشته ی کوشیار گیلانی حدود 1000 میلادی، ارائه شده، چنین است (در این جا برای نشان دادن توالی مراحل به جای پاک کردن، از خط زدن استفاده کرده ایم):
نهایتاً فقط جواب و مفروق باقی می مانند. برای ضرب هم روشی مشابه این، باز هم از چپ به راست، به کار می رفته است.
شکل [7]-4. سه روش ضرب
سه تا از روش هایی را که در کتاب حساب ترویزو ارائه شده و پاچولی هم آن ها را توصیف کرده است، مطابق شکل [7]-4 برای ضرب 934 در 314 به کار رفته اند. روش (الف) کاملاً شبیه روشی است که امروزه به کار می بریم و جواب مستقیماً در پایین محاسبات خوانده می شود. در روش (ب)، جمع کردن اعداد ردیف های قطری، از گوشه ی سمت راست در بالا شروع می شود و با ردیف های سمت چپ متوالی ادامه می یابد و همیشه حرکت روی قطر به سمت پایین و سمت راست است. همان طور که دیده می شود، جواب از پایین شروع می شود و به سمت بالا ادامه می یابد. در روش (ج) نیز جمع کردن از گوشه ی سمت راست در پایین شروع می شود و در ردیف های قطری متوالی ادامه می یابد. این روش را معمولاً روش جلوشا یا «مشبک» می نامند که از شکل خاص آن گرفته شده است.
یک روش «چرکنویس» برای تقسیم، که احتمالاً منشأ هندی دارد، طرح متداول تا قرن هفدهم بود. چند مرحله ی میانی در تقسیمبر 594 در شکل [7-]-5 نشان داده شده است؛ خارج قسمت 109 و باقیمانده 538 است. شکل نهایی عملیات تقریباً شبیه به قایق است و به همین دلیل معمولاً روش باتلو (3)، یاگالی نامیده می شد.
در کتاب حساب کالاندری (4) مربوط به 1491، برای اولین بار شکلی از تقسیم به کار رفت که امروزه استاندارد شده است. تا آخر قرن هفدهم، این شکل از تقسیم کاملاً جا افتاده و روش گالی به تاریخ پیوسته بود.

پی نوشت ها :

1.Paul Tannery
2. Patiginta
3. batello (قایق)
4. Calandri

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول..