عدد پی

عدد نسبت محیط دایره به قطر آن است و نسبت مساحت دایره است به مساحت مربعی که روی شعاع دایره ساخته شود. همچنین را می توان به صورت نسبت مساحت های سطوح یا حجم های شکل های فضایی خاصی بیان کرد. فرمول بیضی و منحنی های دیگری چون ستاره وار، دل وار و حلزونی هم شامل هستند. اما استفاده از عدد به هیچ وجه محدود به هندسه نیست.
در بسیاری از شاخه های ریاضیات، از جمله در شاخه های به ظاهر نامربوطی چون نظریه ی ارتعاشات، نظریه ی اعداد، آمار و نظریه سرشماری به کار می رود.
گسترش تدریجی درک این مفهوم را می توان از قدیمی ترین اسناد تاریخ ریاضیات تا امروز دنبال کرد. در این گسترش، تعامل جنبه های گوناگونی از ریاضیات، از حدس های تجربی تا دقیق ترین بررسیهای نظری، نقش داشته است.
یکی از اولین مسائل هندسی انسان یافتن مربعی بود که مساحتش با مساحت دایره ی مفروضی برابر باشد (عبارت «تربیع دایره» مربوط است به مسائلی ترسیمی که شامل یا تقریبی از مقدار آن هستند). بسیاری از نخستین اشارات به این مسئله نشان می دهند که در آن زمان، هنوز مفهوم نسبتی ثابت شناخته شده نبوده است.
مسئله ی 41 از پاپیروس رایند (حدود 1650 پیش از میلاد) نماینده ی ریاضیات مصری در این زمینه است: «مثال محاسبه ی ظرفی دایره ای به قطر 9 و ارتفاع 10. تو باید یک نهم از9، یعنی 1 برداری؛ باقیمانده 8 است. 8 را هشت بار جمع کن، نتیجه 64 است. بعد باید 64 را 10 بار جمع کنی، که 640 می شود». با تعمیم این مسئله، می توان گفت که مساحت دایره ی قاعده برابر است با مربع 8/9 قطر. البته مصریان این مسئله را به صورت چنین فرمولی تعمیم ندادند، ول پاپیروس رایند حاوی پنج مسئله حل شده است که در آن ها مساحت دایره حساب شده است؛ در چهار تا از این مسائل قطر دایره 9 و در یکی قطر دایره 10 است. اگر مسئله ی بالا را به شکل فرمول درآوریم، ثابت k تقریباً 3/1605 خواهد بود. این را که اغلب گفته می شود مصریان مقدار 3/16 را برای یافته بودند، باید به معنی بالا تعبیر کرد.
در مسائلی که روی لوح های گلی بابلی نوشته شده است (احتمالاً 1800-1600 پیش از میلاد) مساحت دایره با استفاده از محیط به وسیله ی رابطه ی (شصتگانی) به دست می آید. چون (یک دوازدهم) تقریبی برای است، این فرمول منجر به تقریب 3 برای می شود. اما در برخی از مسائل ضریب تصحیحی وارد شده است که عبارت است از ضریب فرمول بالا در 36، 57؛0. نتیجه‌ی نهایی معادل است با استفاده از مقدار برای .
گاهی شنیده می شود که در انجیل مقدار 3 برای به کار رفته است. این گفته مبتنی بر آیه ای اس که می گوید استخری [که در معبد سلیمان، حدود 1000 پیش از میلاد ساخته شده بود] از یک لبه تا لبه ی دیگر 10 ذراع بود، «و خطی به طول 30 ذراع دور تا دور آن را فرا گرفته بود».
یکی از اولین ریاضیدانان یونانی که کوشید مسئله ی «تربیع دایره» را به شیوه ای کاملاً هندسی، و با این محدودیت که فقط از پرگار و ستّاره (خط کش غیر مدرج) استفاده شود، حل کند هیپوکراتس اهل خیوسی (2) (حدود 440 پیش از میلاد) بود. او توانست نشان دهد که مساحت ماهک های (شکل های هلالی حاصل از تقاطع دو کمان) خاصی را می توان با مساحت شکل های مثلثی (و در نتیجه شکل های مستطیلی) نمایش داد. مثلاً اگر AOB یک ربع دایره و AB قطر نیم دایره ای باشد که بیرون از ربع دایره قرار دارد، آن گاه مساحت ماهک محدود به نیم دایره و ربع دایره برابر است با مساحت مثلث AOB. موفقیت او در مورد این نمونه های خاص، او را به این فرض راهنمایی کرد که ممکن است بتواند یک چندضلعی، و در نتیجه یک مربع رسم کند که مساحتش دقیقاً برابر با مساحت یک دایره باشد.
یک یونانی دیگر، دینوستراتوس (3) (حدود 350 پیش از میلاد) توانست از یک منحنی به نام «قوس تربیع» (4) که قبلاً توسط هیپیاس (حدود 425 پیش از میلاد) ابداع شده بود، برای یافتن طول ربع دایره استفاده کند. منحنی ای که شعاع دایره ی مفروضی را به نسبت تقسیم می کند با محدودیت خط کش و پرگار که توسط یونانیان وضع شده بود قابل ترسیم نیست.
در اصول اقلیدس (حدود 300 پیش از میلاد) ذکری از نسبت ثابت بین محیط و قطر دایره نشده است، ولی در مقاله‌ ی II، گزاره ی 2، اثباتی صوری داده شده است برای این که نسبت مساحت دو دایره مانند نسبت مربع قطرهای آن دایره هاست این رابطه را هیپوکراتس هم می دانسته و آن را بیان کرده است. ارشمیدس در کتاب اندازه گیری دایره (240 پیش از میلاد) ثابت کرد که مساحت هر دایره برابر است با مساحت مثلث قائم الزاویه ای که یک ساقش برابر با شعاع و ساق دیگرش برابر با محیط دایره باشد.
نتیجه ی مهم دیگری که ارشمیدس به دست آورد این بود که نسبت محیط هر دایره به قطر آن دایره کوچک تر از ، ولی بزرگ تر از است؛ به همین دلیل، اغلب را «مقدار ارشمیدسی » می نامند. روش ارشمیدس متکی بر کار با چند ضلعی های منتظم محیطی و محاطی و دو برابر کردن پیوسته ی تعداد ضلع ها بود تا محیط چندضلعی های 96 ضلعی به دست آمد.
ریاضیدانان کشورهای مختلف تقریب های گوناگونی برای پیشنهاد کرده اند. مثلاً تسوچونگ – چی (5) چینی (حدود 470 میلادی) که در زمینه ی مکانیک کار می کرد، مقدار گویای 355/113 (...3/1415929) را که تا رقم ششم اعشار صحیح است، به دست داد. آریابهاتا (6) (510 میلادی) در هند نیز برای می گوید: «4 را به 100 اضافه کن، در 8 ضرب کن و اضافه کن. این محیط دایره ای است که قطر آن است.» این مقدار برابر است با که به صورت اعشاری است و کمتر از 0/0001 از بزرگ تر است.
براهماگوپتا (حدود 628 میلادی)، ریاضیدان هندی دیگر، 3 را به عنوان مقدار عملی و (یعنی ) را به عنوان «مقدار دقیق» به دست داد. این «مقدار دقیق» ممکن است از فرمول تقریب متداول برای به دست آمده باشد، زیرا که همان مقدار ارشمیدسی است. در قرون وسطی مقدار به طور گسترده ای مورد استفاده بود.
تقریب به وسیله ی «روش کلاسیک» ارشمیدس را می توان تا هر وقتی که قدرت محاسباتی و صبر و تحمل محاسبه گر اجازه دهد پیش برد. در سال 1579، فرانسوا ویت، ریاضیدان فرانسوی، از چند ضلعی هایی با ضلع استفاده کرد و مقداری برای یافت که تا 9 رقم اعشار درست بود. در سال 1610، لودولف وان سویلن (7) آلمانی چند ضلعی های با ضلع را برای محاسبه ی تا سی و پنج رقم اعشار به کار برد (در آلمان هنوز هم را عدد لودولفی می نامند).ساده ترین ترسیم تقریبی با خط کش و پرگار (که مقدار را با دقت شعاع به دست می دهد) در سال 1685 توسط آداماس کوشانسکی (8)، یسوعی لهستانی پیدا شد. در این ترسیم، ابتدا یک قطر دایره و دو مماس بر دایره در نقاط انتهایی این قطر رسم می شود. سپس یک مماس تا نقطه ی تقاطع شعاعی که با قطر زاویه ی می سازد امتداد می یابد. قطر دیگر را تا طول سه برابر شعاع امتداد می دهیم. طول پاره خط واصل بین نقاط انتهایی این دو مماس برابر شعاع است. اگر از ابتدا دایره ای به شعاع 1 بگیریم طول این پاره خط برابر با خواهد بود.
علی رغم موفقیت‌هایی که در قرن شانزدهم در ارزیابی مقدار حاصل شد، این موفقیت‌ ها برای کاشفان آنها رضایت بخش نبود. انتظار می رفت که ، نسبت اندازه گیری هایی برجسته در کامل ترین شکل هندسی، عددی بسیار خاص باشد. این انتظار به صورت اعتقادی راسخ درآمد مبنی بر اینکه رازی وجود دارد که بربسته مانده است.
تقریباً دو هزار سال بعد از دوره‌ ی طلایی یونان، نور تازه ای بر تابید. این با کشف فرانسوا ویت اتفاق افتاد که در سال 1592 فرمول را یافت.
در سال 1658 ویلیام برونکر (9) را به شکل یک کسر مسلسل نامتناهی بیان کرد:

تقریباً در همان زمان، جان والیس، ریاضیدان انگلیسی، ثابت کرد که

 سرانجام، به صورت حد یک سری نامتناهی بیان شد. این کار در سال 1674 توسط ریاضیدان و فیلسوف آلمانی، گوتفرید ویلهلم فون لایب نیتز انجام شد:

آیا می توان به فرمولی با کسرهای ساده تر یا انتظام بیشتر فکر کرد؟ فرمول لایب نیتز کامل ترین پاسخی است که می توان به انتظارات ریاضیدانان یونانی از داد. از زمان لایب نیتز تاکنون، سری های دیگری با هدف رسیدن به همگرایی قوی تر برای تسهیل محاسبات ساخته شده است، ولی هیچ کدام سادگی کلاسیک سری لایب نیتز را ندارند.
در سال 1761، وقتی یوهان هاینریش لامبرت (10) نشان داد که کنگ است (و بنابراین نمی توان آن را به صورت عدد اعشاری متناوب نمایش داد)، ماهیت دقیق عدد روشن تر شد. سرانجام در سال 1882، فردیناند لیندمان (11) ثابت کرد که عددی جبری نیست و بنابراین، به عنوان عددی متعالی طبقه بندی می شود (عدد جبری عددی است که ریشه ی یک معادله ی چند جمله ای با ضرایب گویا باشد). این نتیجه به طور قاطع نشان داد که تربیع دایره فقط با خط کش غیرمدرج و پرگار غیرممکن است.
کاربرد رابطه هایی چون

 که در سال 1706 توسط جان ماشین به دست آمد، به محاسبه ی تا تعداد زیادی از ارقام اعشاری به وسیله ی نمایش به سری های گوناگون کمک کرد. ویلیام شنکس انگلیسی با استفاده از رابطه ی بالا را تا 707 رقم اعشار محاسبه کرد. این محاسبه در سال 1873 بعد از 15 سال کار تکمیل شد. بعد از جنگ جهانی دوم که محاسبه ی با کامپیوترهای الکترونیکی انجام شد، در 528 اُمین رقم کار شنکس اشتباهی یافته شد. برای مقایسه ی سرعت انسان و سرعت کامپیوتر الکترونیکی (و افزایش سرعت کامپیوترها) به وقایع زیر توجه کنید: در سال 1949 محاسبه ی با ENIAC تا 2037 رقم در هفتاد ساعت انجام گرفت؛ در سال 1958 عدد با

رقم طی یک ساعت و چهل دقیقه انجام شد (محاسبه ی 707 رقم اول فقط 40 ثانیه طول کشید!)؛ و در 1961 طی ساعت و چهل و سه دقیقه عدد تا رقم محاسبه شد.
در سال 1967، تقریب تا رقم اعشاری در فرانسه روی یک کامپیوتر CDC 6600 انجام شد.
انتخاب نماد در سال 1736 است. در دهه ی 1730، اویلر ابتدا نماهای P و c را برای نسبت محیط به قطر دایره به کار برد و بعد نماد را انتخاب کرد. اما اویلر این نماد را ابداع نکرده است.
ویلیام آوت رد (1647) و آیزاک بارو (12) (1664) واقعاً نماد نسبت را برای نسبت قطر به محیط دایره به کار برده بودند. دیوید گرگوری، برادرزاده ی جیمز گرگوری، نماد را برای نسبت محیط به شعاع دایره به کار برد (1697) در سال 1706، ویلیام جونز، نویسنده ی انگلیسی، در کتابی که تقریب 100 رقمی جان ماشین را در آن ارائه کرده بود، برای اولین بار تک نماد را به کار برد.
مسئله ی سوزن بوفون (13) که مربوط به احتمالات است، ظهور را در عرصه ای متفاوت نشان می دهد. در سال 1760، ژ. اِل. لوکلرک (14)، کنتِ بوفون، مسئله ی انداختن سوزن یکنواختی به طور 1 را روی صفحه ای که با خطوط موازی به فاصله ی (1<d)d خط کشی شده است طرح کرد. بوفون نشان داد که احتمال افتادن سوزن در امتداد یکی از خط ها است. اگر طول سوزن 1/2 فاصله ی بین خطوط باشد، احتمال موفقیت است و بنابراین می توان با آزمایش، مقداری تقریبی برای به دست آورد.
در میان تربیع کنندگان دایره، یعنی کسانی که می کوشیدند مقدار دقیقی برای بیابند (و اغلب فکر می کردند که موفق شده اند)، مردانی از طبقات مختلف و با مشاغل گوناگون یافت می شدند. یکی از مشهورترین آن ها، توماس هابز، فیلسوف سیاسی انگلیسی، بود. هابز در سال 1655، در سن شصت و هفت سالگی، اولین راه از حدود دوازده راه مختلف تربیع دایره را منتشر کرد. در دوره ی بیست و پنج ساله ی بعد از آن، مشاجره ای دائمی بین هابز و جان والیس در جریان بود و والیس می کوشید نشان دهد که دانش ریاضی هابز بسیار اندک است و در نتیجه، عقاید مذهبی و سیاسی او هم فاقد اعتبار است.
ثابت شد که امید ریاضیدانان یونانی به تربیع دایره فقط با خط کش و پرگار واهی بوده است. اما نکته ی مهم تر برای یونانیان اعتقاد راسخشان بود مبنی بر این که نظم و زیبایی عام لازم می دارد که جواب ریاضی برجسته ای برای نسبت کامل ترین شکل عالم وجود داشته باشد. از این دیدگاه، دیگر داستان پایانی غم انگیز ندارد، بلکه برعکس، پایانش سری لایب نیتز با زیبایی و سادگی کلاسیک آن است.

پی نوشت ها :

1.Hermann von Baravalle
2. Hippocrates of Chios
3. Dinostratus
4. quadratrix
5. Tsu Ch’ung-chih
6. Aryabhata
7. Ludolph van Ceulen
8. Adamas Kochansky
9. William Brouncher
10. Johann Heinrich Lambert
11. Ferdinand Lindemann
12. lassc Barrow
13. Buffon
14. G. L. Leclerc

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول