عدد پی
عدد پی نسبت محیط دایره به قطر آن است و نسبت مساحت دایره است به مساحت مربعی که روی شعاع دایره ساخته شود. همچنین پی را می توان به صورت نسبت مساحت های سطوح یا حجم های شکل های فضایی خاصی بیان کرد.
نویسنده: هرمان فون باراوال (1)
ترجمه: مهران اخباریفر
ترجمه: مهران اخباریفر
عدد
گسترش تدریجی درک این مفهوم را می توان از قدیمی ترین اسناد تاریخ ریاضیات تا امروز دنبال کرد. در این گسترش، تعامل جنبه های گوناگونی از ریاضیات، از حدس های تجربی تا دقیق ترین بررسیهای نظری، نقش داشته است.
یکی از اولین مسائل هندسی انسان یافتن مربعی بود که مساحتش با مساحت دایره ی مفروضی برابر باشد (عبارت «تربیع دایره» مربوط است به مسائلی ترسیمی که شامل
مسئله ی 41 از پاپیروس رایند (حدود 1650 پیش از میلاد) نماینده ی ریاضیات مصری در این زمینه است: «مثال محاسبه ی ظرفی دایره ای به قطر 9 و ارتفاع 10. تو باید یک نهم از9، یعنی 1 برداری؛ باقیمانده 8 است. 8 را هشت بار جمع کن، نتیجه 64 است. بعد باید 64 را 10 بار جمع کنی، که 640 می شود». با تعمیم این مسئله، می توان گفت که مساحت دایره ی قاعده برابر است با مربع 8/9 قطر. البته مصریان این مسئله را به صورت چنین فرمولی تعمیم ندادند، ول پاپیروس رایند حاوی پنج مسئله حل شده است که در آن ها مساحت دایره حساب شده است؛ در چهار تا از این مسائل قطر دایره 9 و در یکی قطر دایره 10 است. اگر مسئله ی بالا را به شکل فرمول
در مسائلی که روی لوح های گلی بابلی نوشته شده است (احتمالاً 1800-1600 پیش از میلاد) مساحت دایره با استفاده از محیط به وسیله ی رابطه ی (شصتگانی)
گاهی شنیده می شود که در انجیل مقدار 3 برای
یکی از اولین ریاضیدانان یونانی که کوشید مسئله ی «تربیع دایره» را به شیوه ای کاملاً هندسی، و با این محدودیت که فقط از پرگار و ستّاره (خط کش غیر مدرج) استفاده شود، حل کند هیپوکراتس اهل خیوسی (2) (حدود 440 پیش از میلاد) بود. او توانست نشان دهد که مساحت ماهک های (شکل های هلالی حاصل از تقاطع دو کمان) خاصی را می توان با مساحت شکل های مثلثی (و در نتیجه شکل های مستطیلی) نمایش داد. مثلاً اگر AOB یک ربع دایره و AB قطر نیم دایره ای باشد که بیرون از ربع دایره قرار دارد، آن گاه مساحت ماهک محدود به نیم دایره و ربع دایره برابر است با مساحت مثلث AOB. موفقیت او در مورد این نمونه های خاص، او را به این فرض راهنمایی کرد که ممکن است بتواند یک چندضلعی، و در نتیجه یک مربع رسم کند که مساحتش دقیقاً برابر با مساحت یک دایره باشد.
یک یونانی دیگر، دینوستراتوس (3) (حدود 350 پیش از میلاد) توانست از یک منحنی به نام «قوس تربیع» (4) که قبلاً توسط هیپیاس (حدود 425 پیش از میلاد) ابداع شده بود، برای یافتن طول ربع دایره استفاده کند. منحنی ای که شعاع دایره ی مفروضی را به نسبت
در اصول اقلیدس (حدود 300 پیش از میلاد) ذکری از نسبت ثابت بین محیط و قطر دایره نشده است، ولی در مقاله ی II، گزاره ی 2، اثباتی صوری داده شده است برای این که نسبت مساحت دو دایره مانند نسبت مربع قطرهای آن دایره هاست این رابطه را هیپوکراتس هم می دانسته و آن را بیان کرده است. ارشمیدس در کتاب اندازه گیری دایره (240 پیش از میلاد) ثابت کرد که مساحت هر دایره برابر است با مساحت مثلث قائم الزاویه ای که یک ساقش برابر با شعاع و ساق دیگرش برابر با محیط دایره باشد.
نتیجه ی مهم دیگری که ارشمیدس به دست آورد این بود که نسبت محیط هر دایره به قطر آن دایره کوچک تر از
ریاضیدانان کشورهای مختلف تقریب های گوناگونی برای
براهماگوپتا (حدود 628 میلادی)، ریاضیدان هندی دیگر، 3 را به عنوان مقدار عملی و
تقریب
علی رغم موفقیتهایی که در قرن شانزدهم در ارزیابی مقدار
تقریباً دو هزار سال بعد از دوره ی طلایی یونان، نور تازه ای بر
در سال 1658 ویلیام برونکر (9)
تقریباً در همان زمان، جان والیس، ریاضیدان انگلیسی، ثابت کرد که
سرانجام،
آیا می توان به فرمولی با کسرهای ساده تر یا انتظام بیشتر فکر کرد؟ فرمول لایب نیتز کامل ترین پاسخی است که می توان به انتظارات ریاضیدانان یونانی از
در سال 1761، وقتی یوهان هاینریش لامبرت (10) نشان داد که
کاربرد رابطه هایی چون
که در سال 1706 توسط جان ماشین به دست آمد، به محاسبه ی
رقم طی یک ساعت و چهل دقیقه انجام شد (محاسبه ی 707 رقم اول فقط 40 ثانیه طول کشید!)؛ و در 1961 طی ساعت و چهل و سه دقیقه عدد
در سال 1967، تقریب
انتخاب نماد
ویلیام آوت رد (1647) و آیزاک بارو (12) (1664) واقعاً نماد نسبت
مسئله ی سوزن بوفون (13) که مربوط به احتمالات است، ظهور
در میان تربیع کنندگان دایره، یعنی کسانی که می کوشیدند مقدار دقیقی برای
ثابت شد که امید ریاضیدانان یونانی به تربیع دایره فقط با خط کش و پرگار واهی بوده است. اما نکته ی مهم تر برای یونانیان اعتقاد راسخشان بود مبنی بر این که نظم و زیبایی عام لازم می دارد که جواب ریاضی برجسته ای برای نسبت کامل ترین شکل عالم وجود داشته باشد. از این دیدگاه، دیگر داستان
پی نوشت ها :
1.Hermann von Baravalle
2. Hippocrates of Chios
3. Dinostratus
4. quadratrix
5. Tsu Ch’ung-chih
6. Aryabhata
7. Ludolph van Ceulen
8. Adamas Kochansky
9. William Brouncher
10. Johann Heinrich Lambert
11. Ferdinand Lindemann
12. lassc Barrow
13. Buffon
14. G. L. Leclerc
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول
تازه های مقالات
ارسال نظر
در ارسال نظر شما خطایی رخ داده است
کاربر گرامی، ضمن تشکر از شما نظر شما با موفقیت ثبت گردید. و پس از تائید در فهرست نظرات نمایش داده می شود
نام :
ایمیل :
نظرات کاربران
{{Fullname}} {{Creationdate}}
{{Body}}