مدل اتمی دوبروی

اگرچه تئوری بور توانست طیف اتم های تک الکترونی (در آخرین لایه) را توجیه کند. با این همه قادر به توجیه صحیحی از طیف عناصر چند الکترونی نبود. در سال های 1920 فیزیک نظری با دو اشکال مهم مواجه بود یکی مسئله طبیعت نور و دیگری کوانتیزه بودن انرژی. لذا تدوین مکانیک جدیدی که قادر به بیان مسئله ذره و موج، و نمایش کوانتیکی انرژی به صورت یک اصل اساسی باشد، بسیار ضروری بنظر می رسید.
اولین گام در مورد پیدایش مکانیک موجی جدید توسط لویی دوبروی فرانسوی(1) (1960-1892) در سال 1924 برداشته شد. مدت ها بود که فیزیکدانان عقیده داشتند که پرتوهای الکترومانیتیک عبارتند از پدیده های موجی مطلق. اما آینشتاین خاطرنشان کرد که در بعضی آزمایش ها این موج های الکترومغناطیسی خاصیت ذره ای نیز از خود نشان می دهند.
آرتور کمپتون(2) (کامپتون) (1954-1892) استاد دانشگاه شیکاگو نیز در سال 1923 طی آزمایشی ثابت کرد که پراکندگی اشعه ایکس بر الکترون ها هیچ شباهتی به پراکندگی امواج دریا نداشته و برعکس درست تصادم دوگوی بیلیارد را بخاطر می آورد، که یکی الکترون با جرم m و دیگری کوانتوم نور با انرژی
یک سیم یکپارچه به انواع و اقسام زیادی می تواند به نوسان درآید، اما همواره در طول سیم، عدد صحیح نیمه طول موج
جای می گیرد. دوبروی نیز با توجه به این مطلب مدار الکترون را به شکل سیم نوسان کننده ای تجسم کرد که به صورت حلقه ای بسته درآمده باشد.
چون در سیم حلقوی، حداقل یک موج کامل
جای می گیرد، نه نیمه موجی
که در سیم صاف وجود دارد، به این ترتیب حرکت الکترون فقط وقتی پایدار خواهد بود که در طول مدار عدد صحیح n (موج الکترونی) λ جای گیرد. یعنی:
دوبروی این شرط را با اصل اول بور مقایسه کرد. یعنی:
و از اینجا طول موج الکترون را بدست آورد:
با تکیه به روابط آینشتاین و پلانک در مورد انرژی و فرکانس یک فوتون نیز می توان به معادله دوبروی دست یافت.
این معادله رابطه بین طول موج و مقدار حرکت یک فوتون را تشریح می کند. دوبروی اظهار داشت که می توان به کلیه ذراتی که دارای مقدار حرکت
می باشند طول موجی را مطابق فرمول بالا نسبت داد.
دوبروی همچنین عقیده داشت که حرکت الکترون و دیگر ذرات مادی توسط موج هایی هدایت می شود که همراه با ماده در فضا انتشار می یابد. اگر چنین باشد، مدارهای کوانتومی برگزیده در مدل اتمی بور می توانند همچون مدارهایی تعبیر شوند که طول آن مدارها شامل تعداد صحیحی از این موج های حامل باشد. برای مثال یک موج در نخستین مدار کوانتومی و دو موج در مدار دوم.
مطابق فرمول دوبروی، هر چه جرم و سرعت ذره بیشتر باشد طول موجش کوتاهتر می شود. و چون طول موج دوبروی برای الکترون در حدود
سانتیمتر پیش بینی می شد، (که در حدود طول موج اشعه ایکس است) برای تحقیق در اینکه آیا امواجی با الکترون ها همراهند یا نه، می توان از تکنیک پراش اشعه ایکس استفاده کرد. بنابراین هنگامی که یک دسته الکترون به یک شبکه کریستالی، تابانده می شود، برحسب قاعده باید انکسار پیدا نماید. و این موضوعی است که برای اولین بار در سال 1927 (یعنی سه سال بعد از نشر نظریات دوبروی) توسط دانشمندان آمریکایی به نام های کلینتون ژوزف دیویسون(3) (1958-1881) و لسترهالبرژرمر(4) (متولد 1896) آشکار، و سرانجام به عمومیت دادن فرضیه دوبروی و پیدایش مکانیک موجی منجر گشت.
جرج پاجت تامسون(5) (1975-1892) پسر جوزف تامسون نیز توانست تصویری بسیار عالی از پراش الکترون ها را بدست آورد، که به طور حتم پراش اشعه ایکس را بخاطر می آورد. این دیگر حادثه جالبی بود: تامسون پدر ثابت کرد که الکترون یک ذره است، و پس از سی سال پسرش ثابت کرد که الکترون موج است.
در نهایت پذیرفته شد که هر ذره ای از جمله الکترون و فوتون دارای طبیعت دوگانه موج- ذره می باشد، که در بعضی از آزمایش ها خواص موجی بودن و در برخی دیگر خواص ذره ای آن ظاهر می شود. بدین ترتیب بود که مفهوم موج ـ ذره(6) بوجود آمد.
فیزیکدانان در این مرحله از تاریخ تکامل علم فیزیک، سه نوع موج را در طبیعت شناخته و به شرح زیر طبقه بندی نمودند:
1ـ امواج مکانیکی مانند امواج صوتی که احتیاج به محیط مادی دارند. به همین دلیل است که در خلاء هیچ صوتی شنیده نمی شود.
2ـ امواج الکترومغناطیسی مانند امواج نوری که محیط مادی باعث کندتر شدن سرعت آنها می شود. و در نتیجه این گونه امواج در خلاء براحتی عبور می کنند.
3ـ موج دوبروی یا موج منتسب به ماده، که نه مکانیکی است (چون در خلاء مطلق می تواند وجود داشته باشد) و نه الکترومغناطیسی است (زیرا که دارای بار الکتریکی نیست). براساس فرضیه دوبروی که تئوری موج و ماده نیز نام دارد؛ ماده تا وقتی که ساکن است از استقلال خاص خود برخوردار است، ولی وقتی به حرکت درآید موجودی به نام موج منتسب به ماده از عدم، بیرون می جهد و به وی می پیوندد. و تا زمانیکه ماده در حال حرکت است موج نیز وی را تعقیب و هدایت می کند.
برای ارزیابی و آشنایی بیشتر در مورد طول موج امواج دوبروی کره زمین و الکترون را در نظر می گیریم. اگر جرم کره زمین
طول موج، موج منتسب به زمین برابر می شود با:
و این طول بسیار کوچکی است که دستگاه های اندازه گیری فعلی از ضبط آن عاجزند. اکنون یک الکترون را درنظر می گیریم. جرمش حدود
گرم است. اگر الکترون در میدان الکتریک، به اختلاف پتانسیل یک ولت حرکت کند، سرعتی برابر
سانتیمتر بر ثانیه خواهد داشت. و از آنجا، طول موج، موج منتسب به الکترون خواهد بود:
و این بار وضع تفاوت زیادی کرده است. زیرا
سانتیمتر، تقریباً طول موج اشعه ایکس است، که فیزیکدانان بسادگی قادر به ضبط و ثبت آن هستند.

مدل اتمی هایزنبرگ

فیزیکدانان می دانستند که الکترون بر هسته سقوط نمی کند و تا وقتی که تحریک نشده باشد تشعشع نیز نمی نماید. تمام اینها بقدری غیرعادی بود که به عقل نمی گنجید، زیرا الکترون که از الکترودینامیک منشأ گرفته بود، حالا یک مرتبه از تحت نظارت قوانین آن سرباز می زد.
ورنر کارل هایزنبرگ(7) (1966-1901) از شاگردان زمرفلد در بهار سال 1925 بنا به دعوت بور، از مونیخ به کپنهاک رفت و مانند دیگران در فکر این بود که چرا الکترون از قوانین الکترودینامیک پیروی نمی کند.
هایزنبرگ فکر کرد که نمی توان حرکت الکترون ها در اتم را همچون حرکت گوی کوچکی در مسیرش پنداشت. پس در این صورت تلاش برای پیدا کردن مسیر الکترون در اتم، به مفهوم طرح پرسشی غیرقانونی از طبیعت است. مانند پرسش هایی نظیر اینکه کره زمین بر روی چه چیزی متکی است؟ یا انتهای کره زمین کجاست؟
طرح بور درباره اینکه بر الکترون در لحظه جهش و یا در حال پرواز بین دو حالت ثابت چه می گذرد، چیزی نمی گوید، و تا به حال نیز همه از روی معادلات الکترودینامیک سعی داشتند یک مسیر فرضی برای الکترون در اتم بیابند، که همواره تابع زمان باشد. در نتیجه به مواضع مشخص الکترون ها در لحظات زمانی
هایزنبرگ معتقد شد که چنین مسیری در اتم وجود ندارد. و به جای منحنی پیوسته X(t) یک دسته اعداد منفصل
وجود دارد که تعداد آن وابسته به شماره
آغاز و پایان حالت الکترون می باشد. همانطور که قواعد و مقررات شطرنج با قوانین مکانیک بستگی ندارد، در مورد حرکت الکترون نیز احتیاجی به مفهوم مسیر نیست. یعنی حالت اتم را می توان بسان صفحه شطرنج بی حد و حصری درنظر گرفت که در هر خانه آن عدد
نوشته شده است.
بدیهی است که مقدار این اعداد بستگی به موقعیت آن خانه ها در صفحه شطرنج اتمی دارد یعنی به شماره n یا ردیف های افقی (حالت ابتداییه) و شماره k یا ستون های عمودی (حالت پایانی) که در محل تقاطع آنها شماره

22بزودی با کمک ماکس بورن(8) (1970-1882) و پاسکوال یوردان (جردان)(9) توانستند بفهمند که اعداد
یک جدول ساده ای نبوده بلکه یک ماتریس است. ماتریس، جدولی است از نوع اعداد
که برای آنها عملیات جمع و ضرب کاملاً معینی وجود دارد. برای مثال حاصلضرب دوماتریس بستگی به ترتیبی که آنها ضرب می شوند دارد
البته ریاضیدانان مدت ها قبل از هایزنبرگ از ماتریس ها اطلاع داشتند و می توانستند با آنها کار کنند، اما خدمت هایزنبرگ و همچنین بورن در آن بود که آنها سد روانی را در هم شکستند و با جسارت، اندیشه توافق بین خواص ماتریس ها و حرکت الکترون ها در اتم را پیدا کردند و بدین شکل مکانیک اتمی ـ کوانتومی ـ ماتریسی جدید را پایه ریزی نمودند.
در مکانیک نوین در برابر هر یک از ویژگی های الکترون یعنی مختصات X ، تکان (mv)P و انرژی E یک ماتریس موافق آن قرار داده می شود، یعنی:
هایزنبرگ حتی یک چیزی هم زیادتر ثابت نمود؛ او روشن ساخت که ماتریس های مکانیکی کوانتایی مختصات
عموماً ماتریس نیستند، به غیر از فقط برخی از آنها که از تناسب جابجایی (کموتاسیونی) پیروی می کنند. یعنی:
که در آن
همچنان که بور مدار ثابت را از میان مجموع تمام امکانات برگزید، تناسب کموتاسیونی هایزنبرگ هم از مجموعه تمام ماتریس ها فقط مکانیکی کوانتایی را انتخاب کرد.
پائولی که در 21 ماه 1925 گفته بود: «فیزیک دوباره به بن بست افتاده و حداقل برای من فوق العاده مشکل است. و من ترجیح می دهم که دلقک سینما و یا چیزی شبیه به آن بودم و چیزی از فیزیک به گوشم نمی خورد.» در نهم ماه اکتبر همان سال نوشت: «مکانیک هایزنبرگ سرود زندگی و امید را به من بازگرداند اگرچه حل معماها را بدست نمی دهد؛ با این همه، بر این باور هستم که اکنون می توان دوباره به پیش رفت.» در سال 1927 هایزنبرگ حدس زد که دو مفهوم ذره و موج را لااقل می توان در مورد اتم بخوبی بکار برد، اما تعیین خصوصیات آنها فقط جداگانه امکان دارد.

اصل عدم قطعیت هایزنبرگ(10)

اگر قصد تعیین وضعیت (X) و یا محاسبه سرعت الکترون (V) را داشته باشیم، می بایستی از پرتوهای نوری جهت تعیین وضعیت الکترون استفاده کنیم، اما با توجه به قانون بقا مقدار حرکت یعنی
در چنین شرایطی به محض برخورد فوتون های اشعه گاما به الکترون، الکترون به گوشه دوردستی پرتاب می شود. بنابراین در عمل در تعیین وضعیت الکترون، دقت عمل برابر با
می باشد؛ یعنی برابر با طول موج نور استفاده شده. اگر در تعیین وضعیت الکترون (X) از پرتوهای نورانی که طول موج آنها بسیار کوچک است استفاده کنیم، دقت عمل، زیاد می شود، ولی در همین زمان خواه ناخواه مقدار حرکت الکترون
«به کمک یک فوتون می توان وضعیت (X) الکترون را تشخیص داد. این فوتون اگر دارای طول موج λ باشد، مقدار حرکتش برابر است با:
از طرفی در برخورد فوتون با الکترون یک قسمت از این مقدار حرکت به الکترون عدم قطعیتی برابر با
حاصل می شود. و چون در تعیین وضعیت الکترون دقت عمل برابر است با
لذا حاصل ضرب این دو عدم قطعیت برابر می شود با
ه از اینجا به تناسب عدم قطعیت هایزنبرگ می رسیم یعنی:
در فیزیک اتمی پدیده و مشاهده جدایی ناپذیرند. در حقیقت مشاهده نیز پدیده است. و مسئله در این است که هم دستگاه و هم سوژه در یک جهان کوانتایی قرار دارند. و از این رو تأثیرات متقابله آنها هم تابع قوانین کوانتایی است. ویژگی اصلی پدیده های کوانتایی نیز همان اتصال و گسستگی آنهاست. تناسب عدم قطعیت هر قدر هم که نامفهوم به نظر آید، بالاخره یک نتیجه ساده دوآلیزم ذره ای ـ موجی سوژه های اتمی است. پس هر قدر ذره آهسته تر حرکت کند همان قدر طول موجش
زیادتر خواهد بود و همان قدر هم میزان اشتباه
کمتر خواهد شد. اما درست برای چنین ذره ای عدم قطعیت مختصات
خیلی بزرگ است. با تغییر سرعت ذره ما می توانیم
را تقلیل دهیم، اما هرگز نمی توانیم حاصل ضرب آنها را تقلیل دهیم. در نتیجه رابطه عدم قطعیت، گناه این بن بست جدید فیزیک کلاسیک را، هم به گردن خصوصیات دستگاه های اندازه گیری می اندازد، هم به گردن خصوصیات موجی ـ ذره ای خود الکترون.

نارسایی های تئوری هایزنبرگ

«بار الکتریکی ذرات را، که با کمک فرمول هایزنبرگ محاسبه نمودند یک و نیم برابر کمتر از میزان واقعی بار آنها شد. از طرفی فرمول هایزنبرگ جرم ذرات را نیز به درستی تعیین نمی کند. و بالاخره این تئوری، همه جلوه های ماده را شامل نمی شود. نقطه ضعفی که در تئوری هایزنبرگ و همچنین دیگر تئوری های معاصر او وجود داشت، همان عدم توجه به وجود میدان جاذبه نیوتنی است»(12) ولی به هر حال ارزش کار هایزنبرگ در این بود که او بدون آنکه از قوانین حساب احتمالات که اداره کننده جریانات در اتم است، چیزی بداند، ویژگی های آنها را به خوبی احساس نموده و ماتریس های خویش را بکار برد.

مدل اتمی شرودینگر

در اواخر سال 1925 یک فیزیکدان اتریشی به نام اروین شرودینگر(13) (1961-1887) در مقاله ای از آینشتاین جملاتی تحسین آمیز نسبت به فرضیه دوبروی مشاهده کرد. همین خود محرکی بود تا شرودینگر به فرضیه دوبروی درباره امواج مادی معتقد گردد و آن را ترقی داده و به پایان منطقی اش برساند.
با مقایسه فرمول دوبروی
معلوم می شود که قطر اتم تقریباً سه برابر کمتر از طول موج الکترون است.
اکنون آشکار می گردد که چرا تصور الکترون ها به صورت ذراتی در درون اتم غیر ممکن است، زیرا در آن صورت باید اجازه داده شود که اتم از ذراتی بزرگتر از خویش تشکیل شده باشد. و همان طور هم که هایزنبرگ گفته بود مفهوم مسیر الکترون در اتم وجود ندارد. پس می توان نتیجه گرفت که الکترون ها در اتم وجود دارند، ولی نه به شکل ذرات بلکه به صورت نوعی امواج.
بنابه نظر شرودینگر طبیعت این امواج الکترونی هر چه باشد، حرکت آنها باید از معادله موجی تبعیت کند. یعنی:
(2) طول موج، A دامنه یا ارتفاع موج، و X مختصات موج نسبت به محور X هاست. حال اگر از طرفین این معادله مشتق بگیریم:


چون مجموع انرژی الکترون (E) عبارت است از مجموع جبری انرژی جنبشی الکترون
E_c و انرژی پتانسیل آن (V)
این عبارت، رابطه شرودینگر را در مختصات یک بعدی نشان می دهد، که در آن m جرم الکترون، h ثابت پلانک، E انرژی کامل الکترون در اتم، V یا u(x) انرژی پتانسیل آن در اتم است که نشان می دهد الکترون با چه نیرویی از فاصله X جذب هسته می شود، و X هم فاصله هسته از الکترون است.
پسی
تعریف بخصوصی ندارد ولی ربع قدر مطلق آن یعنی
یک اصطلاح ریاضی جهت پیدا کردن احتمال یک ذره است. یعنی عبارت است از احتمال وجود ذره متغیر از محلی به محل دیگر.
به عبارت دیگر آنچه که در مورد چگونگی حرکت یک ذره امکان دارد که بدانیم، به شناسایی یک تابع ریاضی از مختصات و زمان منجر می شود یعنی:
این تابع را تابع موج ذره مورد نظر می نامند، مقدار
، احتمال وجود این ذره را در لحظه t در نقطه ای به مختصات x و y و z نشان می دهد. چون احتمال کل یافتن بایستی برابر با یک باشد، این نوع تغییر احتمالی مستلزم این است که تابع موج از شرط زیر پیروی کند:
با این شرط دیگر نمی توان از وجود یک الکترون در یک لحظه معین، و در نقطه بخصوصی صحبت نمود. بلکه باید گفت احتمال یافتن آن در نقطه ای بیش از نقطه دیگر است. با این حساب می توان تصور نمود که الکترون به صورت ابری پراکنده شده باشد. و دانسیته این ابر در هر نقطه، احتمال وجود الکترون را در این نقطه نمایش می دهد.
حل معادله شرودینگر نشان می دهد که به ازای کلیه مقادیر (n) اربیتال هایی که عدد کوانتایی (L) آنها برابر با صفر است (L=0) یعنی اربیتال های (S) شکل آنها کروی بوده و هسته در مرکز این کره قرار دارد. احتمال وجود الکترون مثل @ ابری کروی هسته را در شعاع مشخص و محدودی فرا گرفته است. در مورد اربیتال های P سطح
عبارت است از دو کره شلجمی روی محوری قرینه که هسته در مرکز آن قرار دارد.
آنچه که بر این مدل اتمی شرودینگر ایراد گرفته اند، همانا فرض وجود چنین فضاهای موهومی برای الکترون هاست.
شرودینگر در ابتدا نشان داد که پایداری اتم را با قبول اینکه الکترون موج است نه ذره، طبیعی تر می توان توضیح داد. این فرضیه با آزمایشات مستقیم دیویسون، ژرمر و جورج تامسون در مورد پیدا کردن قابلیت پراش در الکترون بیشتر مورد تأیید قرار می گرفت. اما سرانجام شرودینگر در اوایل سال 1927 در برابر تضاد میان مکانیک ماتریسی هایزنبرگ از یک طرف و مکانیک موجی دوبروی و خودش از طرف دیگر به این مباحثات خاتمه داد و ثابت کرد که هر دو مکانیک هم ارزهای ریاضی می باشند. و در نتیجه آنها در عین حال هم ارزهای فیزیکی نیز هستند. یگانگی غیر عادی خاصیت موجی ـ ذره ای در فرمول های بلانک

از نشانه های جریان موجی است. یگانه علتی که موجب می شود تا ما در زندگی روزمره خود متوجه این دوگانگی نشویم ـ همانا کوچکی ثابت پلانک یعنی
به خاطر همین نکات بود که بور اصل متممیت یا اصل تکمیل(15) خود را در سال 1927 بیان می نماید. مطابق این اصل اگرچه خواص ذره و موجی ذرات با هم متضادند ولی برای بیان کامل سوژه اتمی هر دوی آنها به یکسان لازمند؛ از این رو آنها نه متناقض بلکه مکمل و متمم یکدیگرند. سوژه اتمی نه ذره است و نه موج و حتی نه آندو با هم. سوژه اتمی یک چیز سومی است که جمع ساده دو خاصیت موج و ذره نمی باشد. این یک چیز اتمی، محسوس حواس پنجگانه نیز نمی باشد. فقط می توان آن را تا حدودی به آب دریا تشبیه کرد که خواص موج و ذره را با هم داراست. بنا به عقیده عده ای، بور اصل متممیت را نه از راه فیزیک بلکه از راه فلسفه بدست آورده است. گویا اندیشه متممیت را او تحت تأثیر فیلسوف دانمارکی سورن کی یرکگارد(16) (1855-1813) وضع نموده است.

پی نوشت ها :
 

1ـ Louis de Broglie
2ـ Compton
3ـ Davisson
4ـ Germer
5ـ Georg Paget Thomson
6ـ Wave-Particle
7ـ Heisenberg
8ـ Max Born
9ـ Jordan
10ـ The Un-Certainly Principle
11ـ اصول شیمی نوین، اثر علی افضل صمدی، انتشارات دانشگاه مشهد، صفحه 66
12ـ تئوری نسبیت (جلد دوم)، اثر کاظم عضوامینیان، انتشارات جیران، صفحه 135
13ـ Erwin Schrodinger
14ـ Pessi
15ـ Complementarity Principle
16ـ Soren Aabye Kiekegaard

منبع :ارزنده نیا، محمد، (1387) اتم و الفبای کتاب طبیعت، تهران: اطلاعات، کتابهای سپیده، چاپ سوم