لاک پشت زنون

پارمنیدس شعری را که در فصل قبل بررسی کردیم با توصیفی جاندار از سفر افسانه ای مردی جوان، سوار بر ارابه، برای ملاقات با الاهه ای فراسوی دروازه های روز و شب آغاز می کند؛ با این همه، زمانی که سرانجام مرد جوان به مقصد می رسد، الاهه او را مجاب می کند که اصلاً جابه جایی و هر نوع تغییر دیگر در جهان - جهانی که هیچ چیز به آن نمی آید و از آن نمی رود - وجود ندارد. گویی خود پارمنیدس این پیغام را قلباً نپذیرفته است، یا دست کم آن قدر قانع نشده است که سفر با ارابه را از آغاز شعر خود حذف کند.
آیا ما می توانیم از جایی به جای دیگر حرکت کنیم؟ اغلب تصور می کنیم می توانیم و غالباً هم این کار را می کنیم. اما پارمنیدس گرایشی را در زادگاه خود، الئا، رواج می دهد و هم شهری اش، زنون، هم این مضمون را می گیرد و پیش می برد. زنون همان پیغام عجیب را دارد: هیچ چیز حرکت نمی کند. همه یکی است. اما ابتکار بزرگ او، که شهرتش را به حق مدیون آن است، در این نهفته است که ما را مجاب می کند این بازنگری ناخوشایند را در عقاید متداولمان بپذیریم. فهرستی که معمولاً « پارادوکس های زنون» نامیده می شود عبارت است از قطعه هایی زنده از تجربه - فکر که در آن ها سناریویی که به نظر آشنا می آید مطرح می شود، اما بعد نشان داده می شود که امور به هیچ وجه امکان ندارد به شیوه ای که ما عموماً باور داریم رخ دهند.
داستان آشیل و لاک پشت، محبوب ترین پارادوکس زنون، را در نظر بگیرید.

پارادوکس ب: آشیل و لاک پشت

آشیل تصمیم می گیرد با یکی از کندترین رقبای خود، لاک پشت، مسابقه ی دو بدهد او لطف می کند و می گذارد لاک پشت از نقطه ای جلوتر از او مسابقه را شروع کند. وقتی آشیل از نقطه ی شروع خود حرکت می کند، لاک پشت قبلاً یک مسافتی پیش رفته است و مدتی طول می کشد، البته نه خیلی زیاد، تا آشیل به نقطه ای برسد که لاک پشت حرکتش را از آن جا شروع کرده است مسلماً تصور می کنیم آشیل، تیزپاترین دونده در میان یونانیانِ اعزام شده به تروا، بیش از این عقب نخواهد ماند: هر چقدر هم مسیر مسابقه کوتاه و فاصله ی اولیه ی لاک پشت از آشیل زیاد باشد، آشیل باید زودتر به خط پایان برسد. اما در واقع این طور نیست؛ زیرا مدتی طول می کشد تا آشیل به نقطه ای برسد که لاک پشت از آن جا راه افتاده، و لاک پشت در این مدت خود را کمی جلو کشانده اشت. زمانی که آشیل به آن نقطه برسد، لاک پشت جلوتر است. پس آشیل به سمت نقطه ای می دود که لاک پشت از آن جا راه افتاده و لاک پشت در این مدت خود را کمی جلو کشانده است. زمانی که آشیل به آن نقطه برسد، لاک پشت جلوتر است پس آشیل به سمت نقطه ای می دود که لاک پشت آلان هست و مدتی طول می کشد تا به آن نقطه برسد. مسلماً در طول این مدت لاک پشت با گام ها سخت و سنگین باز کمی دیگر خود را جلو کشانده است. آشیل مثل سایه لاک پشت را تعقیب می کند، اما زمانی که به نقطه ای می رسد که لاک پشت بوده، لاک پشت باز هم اندکی جلو رفته است و آشیل هنوز به او نرسیده است این ماجرا تا ابد ادامه می یابد، زیرا همواره مدتی طول می کشد تا آشیل فاصله ی میان خودش و لاک پشت را طی کند، و هر قدر هم که لاک پشت کند حرکت کند بخشی از مسافت را درزمان حرکت خود طی می کند و دیگر در نقطه ی قبل نیست و از آن نقطه جلوتر است. پس به هر حال هر چقدر هم این زنجیره را ادامه دهیم، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد، چه رسد به این که از او جلوتر بزند. پس مسلماً وقتی که مسابقه در نهایت به پایان می رسد، لاک پشت از آشیل جلوتر است.
این هم از آن چه به خیال خودمان باور داشتیم: پارادوکس چیزی است که کاملاً مخالف آن چه انتظارش را داریم از کار در می آید.
این پارادوکس مشهور شبیه پارادوکس دیگری است، اما اندکی از آن پیچیده تر است. پارادوکس الف نشان می دهد که ما نه تنها نمی توانیم به دونده ای کندتر از خودمان برسیم، بلکه اصلاً نمی توانیم در استادیوم بدویم. توجه کنید:

پارادوکس الف: تقسیم دوتایی

اگر از نقطه ی A به نقطه ی B بدوید، قبل از رسیدن به B باید از نقطه ی مبانی این مسافت عبور کنید. پس از این نقطه ی میانی، باید از نقطه ی دیگری بگذرید میانی دیگری هست که باید قبل از B به آن برسید. در واقع بی نهایت نقطه میانی قبل از رسیدن به B وجود دارد. پس هرگز به خود نقطه ی B نمی رسید، زیرا هر بار که هر یک از مسافت های کاهش یابنده را به قصد نقطه ی میانی بعدی طی می کنید هنوز فاصله ای به همان اندازه باقی مانده است که باید پیموده شود، و این فاصله هرگز به صفر نمی رسد، همیشه میان شما و انتهای مسیر فاصله ای وجود دارد و در نتیجه رسیدن به نقطه ی پایان غیر ممکن است. البته به فرض این که اصلاً بتوانید حرکتتان را شروع کنید. اما اصلاً چطور می توانید حرکتتان را شروع کنید؟ زیرا قبل از رسیدن به میانه ی مسیر باید یک هشتم مسیر را بدوید و پیش از آن یک شانزدهم مسیر را، و همین طور تا بی نهایت. هیچ حرکت آغازینی وجود ندارد، زیرا همیشه قبل از آن حرکت دیگری هست که باید اول انجامش داد. افسوس که حتی ورزشکارترینمان هم همواره در همان نقطه ی A زمین گیر می شود نتایج دو پارادوکس زنون به نظر بی معنی می آید، و اتفاقاً نکته ی قضیه ی هم دقیقاً همین است. اگر ما نتوانیم ننتیجه را قبول کنیم باید چیز دیگری را رد کنیم، مثلاً یکی از فرض هایی را که به نتیجه منتهی شده است. در این صورت استدلال از الگوهایی پیروی می کند که بنا به آن چه یاد گرفته ایم آن را برهان خلف می نامیم؛ الگویی که به نظر می رسد زنون آن را تکمیل کرده است. اساس کار این الگو آن است که نشان می دهد اگر فرضی را بپذیرید ( که باید خلاف آن ثابت شود) نتیجه ای بی معنی و نپذیرفتنی به دست می آید، و بهترین راه رفع این بی معنایی رد کردن فرض اولیه است.
پس حالا ببینیم به نظر زنون دقیقاً کجای پارادوکس های الف و ب غلط است، برخی معتقدند زنون با طرح این پارادوکس ها می خواسته ما را قانع کند که حرکت غیر ممکن است؛ یعنی ما باید این نتیجه ی ظاهراً بی معنی را بپذیریم که هرگز نمی توانیم از نقطه ی A تکان بخوریم، زیرا اصلاً حرکت وجود ندارد. پارمنیدس قبلاً تلاش کرده بود ما را در این باره قانع کند و پاردوکس های زنون در باره ی حرکت را اغلب ادامه ی آن تلاش ها برای رسیدن به همان نتیجه تلقی می کنند.
اما حتی اگر زنون از طرح این پاردوکس ها چنین هدفی را دنبال می کرده، دقت کنید که خود آن ها ساختار برهان خلف ندارند. در برهان خلف به جای آن که فرضیه ها را بپذیریم و نتیجه را در بست قبول کنیم، باید ناچار شویم نتیجه ی بی معنی را رد کنیم، و بنابراین در درستی قضیه هایی که این نتیجه از آن ها قرار گرفته شده است تردید کنیم. پس بیایید و دو پارادوکس بالا را دوباره بررسی کنیم. فرض کنید ما نتیجه ی بی معنی آن ها را راحت قبول نکنیم. فرض کنید بگوییم این که آشیل هرگز از لاک پشت جلو نمی زند و این که دونده هرگز به نقطه ی پایان مسابقه نمی رسد نمی توانند صادق باشند. آن وقت چه می شود؟ در آن صورت باید فرضی را که استدلال را به آن نتیجه رسانده رد کنیم. اما کدام فرض را؟
به این پرسش دو پاسخ می توان داد. یکی پاسخی که زنون امیدوار است ما به آن برسیم. او حتماً این استدلال را به این منظور طرح کرده است که ما را قانع کند نگاهمان را عوض کنیم و هدف مشخصی هم در ذهن داشته است. به لحاظ تاریخی می توانیم بپرسیم آن هدف چه بوده است، و به لحاظ فلسفی بپرسیم آیا ما مجبوریم با زنون موافقت کنیم و در نگاهمان به جهان تجدید نظر کنیم؟ پاسخ دیگر پاسخی است که ریاضی دانی امروزی برای تن ندادن به نتیجه ی بی معنی ممکن است پیشنهاد کند. ریاضیدان ممکن است بگوید پارادوکس های زنون فقط به این سبب ادامه می یابند که او برخی حقایق روشن ریاضی را متوجه نشده است و بنابراین اصلاً لازم نیست فرضی را که زنون امیدوار بود هدف تجدید نظر ما باشد هدف قرار دهیم.
بحث درباره ی هر دوی این پرسش ها هم چنان داغ است و شما هم فرصت را دارید که راه حل های خودتان را جست و جو کنید. من برای هر سؤال یک پیشنهاد ممکن می دهم. درباره ی سؤال اول، یعنی این که « زنون می خواست ما چه چیزی را رد کنیم؟» ، برخی صاحب نظران معتقدند که هدف او تقسیم نامتناهی زمان و مکان بوده است. ما می توانیم کاملاً مطمئن باشیم که زنون مایل بود ثابت کند که کثرت غیر ممکن است؛ او به پیروی از پارمنیدس معتقد بود که ممکن نیست بیش از یک چیز در جهان وجود داشته باشد. او در این دو پارادوکس نتیجه ای عجیب را خلق می کند، به این ترتیب که این تصور را القا می کند که هر چقدر هم بخشی از زمان یا مکان مفروض شما کوچک باشد، همیشه می توانید آن را به بخش های کوچک تری تقسیم کنید. دونده هر قدر هم به پایان مسابقه نزدیک شود، همواره نیمی دیگر از مسافت باقی است که باید طی شود و آن نیم دیگر را هم می توان به دو نیم دیگر تقسیم کرد، الی آخر. از آن جا که این زنجیره ی تقسیم ها، یعنی به دو نیمه تقسیم کرد، الی آخر. از آن جا که این زنجیره ی تقسیم ها، یعنی به دو نیمه تقسیم کردن مکان های باقی مانده. تا بی نهایت ( 1) ادامه می یابد. هرگز در این زنجیره قدم آخری در کار نخواهد بود. هیچ حرکتی ممکن نیست وجود داشته باشد که در آخر ما را از این تقسیم ها عبور دهد و به نقطه ی پایان برساند. این نتیجه صادق است و از این قضیه استنتا می شود که مکان ها را پیوستاری فرض کنیم که به لحاظ نظری تا بی نهایت تقسیم پذیر است. امروزه ما عموماً معتقدیم مکان ( به لحاظ ریاضی) حالت پیوستار دارد، اگر چه به لحاظ فیزیکی نمی توان خطوط یا نقاطی را [ تا بی نهایت] رسم کرد و آن خطوط یا نقاط با هم قاطی نشوند ( اما این تقصیر کلفتی نوک مدادمان است - در نظریه ی ریاضی هیچ حدی برای تقسیم کردن پاره خط وجود ندارد) . همین فرض است که سبب این تصور می شود که به پایان رساند مسیر مسابقه ناممکن است، زیرا هیچ مرحله ی آخری وجود ندارد. پس شاید زنون می خواسته ما به این نتیجه برسیم که تقسیم های بی نهایتِ مکان ناممکن است.
اگر این طور باشد می بینیم که پارادوکس ب همین مسئله را یک قدم جلوتر می برد. مخالفان از زمان ارسطو به بعد ( بنگرید به پنجره ی 10) غالباً خاطرنشان کرده اند که با پذیرفتن این که زمان هم دقیقاً مانند مکان تا بی نهایت تقسیم پذیر است، می توان پارادوکس الف را حل کرد. اما پارادوکس ب نشان می دهد که پاسخ به این سادگی نیست، زیرا در پارادوکس ب ما فرض می کنیم که زمان، مانند مکان، تا بی نهایت تقسیم پذیر است، و اصلاً با این فرض است که پارادوکس ادامه می یابد. هر چقدر هم زمان کوتاهی طول بکشد که آشیل فاصله ی میان خودش و لاک پشت را طی کند، آن زمانِ کوتاه باز بخشی از زمان است و آن قدر هست که لاک پشت از جای قبلی خود جنبیده باشد. در هیچ نقطه ای زمان تمام نمی شود: ما همیشه می توانیم آن را به زمان های کوتاه تر تقسیم کنیم و بفهمیم که لاک پشت وقت دارد که دوباره جلو بیفتد. به این ترتیب منطقی است که پارادوکس الف و ب را یک جفت استدلال ببینیم که اولی ساده تر و دومی پیچیده تر است، اما بی معنایی هر دو ناشی از تقسیم بی نهایتِ زمان و مکان است.

پنجره ی 10

استدلال زنون بر این فرض استوار است که ممکن نیست شیئی بتواند در زمانی متناهی از بی نهایت اشیا عبور کند یا با بی نهایت اشیا مماس شود. اما این فرض غلط است؛ زیرا، به قولی، هم مکان و هم زمان - و در واقع همه ی پیوستارها - از دو نظر نامتناهی تلقی می شوند: یا از نظر تقسیم پذیریِ نامتناهی و یا از نظر حدهای نامتناهی. مماس شدن شیء در زمانی متناهی با اشیایی به لحاظ کمّی نامتناهی ممکن نیست، اما مماس شدن آن با اشیایی که از نظر تقسیم پذیری نامتناهی اند ممکن است؛ زیرا خود زمان از این نظر نامتناهی است و بنابراین چنین نتیجه می شود که آنچه [ از نظر تقسیم پذیری] نامتناهی است، در زمانی نامتناهی، و نه متناهی، طی می شود و مماس شدن با اشیای نامتناهی در « آن» های نا متناهی، و نه آن های فراوان متناهی، صورت می گیرد.
پنجره ی 10: ارسطو ( 384- 322 پ. م.) با تحلیل دو نوع عدم تناهی به پارادوکس زنون پاسخ می دهد. سماع طبیعی، 233 الف، 21- 31 ( ترجمه ی جی. بارنز) [ با اندکی دخل و تصرف برگرفته از: ارسطو، سماع طبیعی، ترجمه ی محمد حسن لطفی، تهران، طرح نو، 1378. م. ]
در جست و جوی پاسخ به سؤال دوم، یعنی این که « ریاضیدان چه گونه ممکن است تلاش کند این بی معنایی را حل کند؟» ، می توانیم دوباره به نظر ارسطو ( پنجره ی 10) متوسل شویم که تقسیم های نامتناهی درون کلی متناهی آن کل را بزرگ تر از آن چه بوده نمی کند: کل متناهی ای که به گونه ای نامتناهی تقسیم شده باشد هنوز کلی متناهی است. بنا براین فاصله ی نقطه ی A تا نقطه ی B در پارادوکس الف، هر چقدر هم به فاصله های ریزتر تقسیم شود، فاصله ای متناهی باقی می ماند و می توان آنرا درزمانی متناهی طی کرد؛ زیرا دونده، در زنجیره ی فاصله های کاهش یابنده، هر پاره ای از مسافت را در زمان کوتاه تری نسبت به پاره ی بزرگ تر قبلی طی می کند، و همین طور که مسافت ها کوچک و کوچک می شوند تا این که محو شوند، زمان لازم برای پیمودن آن ها نیز کوچک و کوچک تر می شود تا این که محو شود؛ در هر دو مورد جمع کل مجموعه ی اجزاء، اگر آن ها را با هم جمع کنیم، برابر همان مسافت و زمان می شود که ما پیش از انجام عملِ تقسیم داشتیم. در ریاضیات تکنیک هایی برای محاسبه ی مجموع یک زنجیره ی نامتناهی وجود دارد، اما ساده ترین برهان این است که خیلی راحت مسئله را در مکان تصویر کنیم. ما کل عمل تقسیم فاصله ی نقطه ی A تا نقطه ی B در نمودار 14 را میان حدهای A وB انجام می دهیم و روشن است که مجموع همه ی اجزا برابر طول پاره خط AB خواهد بود. اگرحساب حرکت ها در این هندسه را جمع بزنیم، متوجه می شویم که دونده در نهایت نه مسیر نامتناهی که مسیری متناهی را باید طی کند، و تا زمانی که سرعتش ثابت باشد، همین طور که کارش کم تر و کم تر می شود زمان انجام دادنش هم کوتاه تر و کوتاه تر می شود.
این واقعیت در پارادوکس ب به این روشنی نسیت؛ زیرا ما اولاً فاصله ی متناهی نقطه ی شروع آشیل [ تا پایان مسابقه] را نمی دانیم، ثانیاً نمی توانیم نقطه ای را که او ازلاک پشت جلو می زند پیش بینی کنیم: آن چه ما نقطه ی B می نامیمش در نمودار مشخص نمی شود، تا زمانی که آشیل به آن جا برسد ( و ببیند که لاک پشت قبل از او به ان نقطه رسیده است) . با این حال اگر نمودار شکل 13 را کامل کرده باشید، نقطه ی B را برای جفت رقیبان مسابقه پیدا کرده اید. این همان نقطه ای است که خط های تقاطع فاصله ای متناهی و زمانی متناهی وجود دارد. بنیان پارادوکس زنون بر تقسیم مداوم به تکه های کوچک و کوچک تر است؛ تقسیم کردنی که در محدوده ی بخشی متناهی از زمان و مکان، میان لحظه ی شروع مسابقه و لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد - درست پیش از آن که از او جلو بزند - انجام می شود. در انتهای آن بخش از مسابقه به هر حال نقطه ای عبوری وجود دارد و می توانیم محاسبه کنیم که آن نقطه کی پدیدار می شود.
پس ریاضیات می تواند با ارائه برهان هایی اثبات کند که انواع خاصی از زنجیره های نامتناهی که به صفر میل می کنند دارای مجموع متناهی اند و مبنای پاراوکس زنون چنین زنجیره هایی است. از آن جا که مجموع اجزا متناهی و سرعت پیش روی ثابت است، زمانی که برای انجام این کار طول می کشد باید متناهی باشد. به این ترتیب پارادوکس ها حل می شوند.
اما آیا این واقعیت راه حل است؟ این راه حل به ما چیزی را نشان می دهد که از قبل می دانستیم؛ این که فاصله ی نقطه ی A تا نقطه ی B متناهی است و این که کمیتی متناهی بر اثر تقسیم های نامتناهی به اجزای ریزتر تقسیم می شود. آن چه این راه حل به ما نشان نمی دهد. این است که چگونه می توان کار را به پایان برد، زیرا این مشکل را حل نمی کند که هیچ حرکتی آخری، هیچ عبوری از مرز میان « هنوز نرسیده» و « حالا رسید» ، وجود ندارد.
اگر زنجیره های واقعاً نامتناهی باشند، آن گاه به لحاظ ریاضی هیچ نقطه ای وجود ندارد که بتوان گفت آخرین نقطه پیش از رسیدن به B است و هیچ زمانی نخواهد بود که در آن، وضعیت آشیل از پشت سر لاک پشت بودن به رسیدن به او تغییر کند. زمانی هست که در آن آشیل هنوز نرسیده است و زمانی هست که می گوییم در این زمان آشیل رسیده است. اما هیچ زمانی نیست که بتوان گفت او دقیقاً در آن لحظه توصیف اول از وضعیت خود را با توصیف دوم از مفهوم خیالیِ مقادیر « بی نهایت کوچک» از زیر بار این مشکل شانه خالی می کنند. بنا به این مفهوم، این گونه فرض می شود که گویی زنجیره ها واقعاً یک عضو آخرین دارند که بی نهایت کوچک است اما این حقیقت باقی است که اجزا در واقعیت، ناگهان « بی نهایت کوچک» نمی شوند گویی که آن کوچکی اندازه ای نهایی بوده است؛ بلکه در واقع تا بی نهایت به کوچک تر شدن ادامه می دهند. پس حق با زنون بود: ما از این حقیقت گریزی نداریم که به پایان رساندن مسابقه چه بسا میان دو نقطه ی تشخیص دادنی در زمان اتفاق افتد، اما نه در هر زمان یا مکانی. به علاوه، ابهامی گریز ناپذیر در این باره وجود دارد که این نقطه های تشخیص دادنی باید در چه فاصله ای از هم باشند
دغدغه های زنون درباره ی موقعیت های مکانی و زمانی، در شواهد دیگری هم که از نویسندگان پس از او به دست آمده آشکار است. برخی مثال های کلیدی را در پنجره ی 11 آورده ایم. در کلیه ی آثار او می توان خط فکری مشخصی را تشخیص داد: اول، روش خاص او در چلاندن فرض های پیش پا افتاده ی طبیعی تا آن جا که از آن ها مهمل های مابعدالطبیعی بیرون نزند؛ دوم، علاقه ی شدید او به زنجیره های نامتناهی، سوم، علاقه ی او به اجزای با امتداد یا بی امتداد ( در اجسام، مکان یا زمان) ؛ و چهارم، علاقه ی او به تحلیل حرکت از جای به جای دیگر و چگونگی اندازه گیری آن به اشاره ای که او، در پنجره ی 11، به تیر رها شده کرده است توجه کنید: شاید پیشنهاد زنون این باشد که برای اندازه گیری حرکت تیر ببینیم آیا در مجاورت چیزی به اندازه ی خودش هست یا نه ، اما جایی را که تیر در فضا اشغال می کند نمی توان معیاری برای نشان دادن نمودار حرکت آن در نظر گرفت، زیرا تیر همواره جایی به اندازه ی خودش اشغال می کند. تیر هرگز از جای خودش فراتر نمی رود و
بنابراین، با این معیار سکون، به نظر می رسد که در تمام مدت حرکت خود ساکن است. این همان چیزی است که به پارادوکس سوم زنون مشهور است. او همچنین در پارادوکس چهارم، که نحوه ی ارائه اش در منابع کمی گیج کننده است، طاهراً نشان می دهد که اندازه گیری حرکت جسمی متحرک براساس سایر اجسام مشابِه ساکنِ کنار آن ناممکن است.

پنجره ی 11

زنون حرکت را نفی می کند و می گوید: « شی ءِ متحرک نه در جایی که هست حرکت می کند و نه در جایی که نیست. »
(دیوگنس لائرتیوس 7209)
معمای زنون نیازمند توضیح است: زیرا اگر هر چیزی مکانی داشته باشد، بدیهی است که آن مکان هم مکانی دارد، همین طور تا بی نهایت.
(ارسطو، سماع طبیعی، 209 الف 23)
زنون مرتکب سفسطه می شود، زیرا می گوید: « اگر هر چیزی زمانی که در مجاورت چیزی برابر خودش است همواره ساکن باشد، و شیء متحرک همواره در زمان حال باشد، پس تیر متحرک غیر متحرک است. »
( ارسطو، سماع طبیعی، 239 ب 5)
پنجره ی 11: پاسخ به دیدگاه های زنون درباره ی مکان و زمان. [ با اندکی دخل و تصرف برگرفته از: ارسطو، سماع طبیعی، ترجمه ی محمد حسن لطفی، تهران، طرح نو، 1378 .م.]
مهم نیست که آیا زنون صرفاً می خواست از پارمنیدس در برابر تمسخر دیگران دفاع کند یا هدف دیگری داشته است. مهم این است که او بی تردید تحلیل واقعیت را به مرزهای جدیدی رسانده است. او ما را وا می دارد که نه تنها
درباره ی اشیا در مکان، بلکه در بازه مکان به عنوان رفتار اجسام مادی، که به عنوان مفهومی نظری شامل تقسیم های مفهومی در مکان و زمان؛ درباره ی عدد، نه فقط به عنوان ابزاری برای شمارش اجسام متناهی، که به عنوان نظامی عقلانی که بالقوه ( یا عملاً) تا بی نهایت ادامه می یابد، و نتایج مشکل سازی که این دیدگاه ممکن است به دنبال داشته باشد؛ درباره ی مفاهیم « قبل» و « بعد» در زمان، و این که زمان حال چقدر طول می کشد. این موضوع ها به حیطه ای تعلق دارند که آن را مابعد الطبیعه می نامیم، و معماهای زنون به قلمروی وارد می شوند که هنوز بر سر آن جنگ است.

پی نوشت ها :

1. ad infntium.

منبع مقاله :
آزبورن، کاترین؛ (1389)، فلسفه پیش سقراطی، گلناز صالح کریمی، تهران: نشر ماهی، چاپ اول