عمر خیام در حوزه‌ی معادلات درجه سوم

یکی از دست آوردهای ریاضی دان پارس، عمر خیام، ساختار هندسی بخشیدن به ریشه‌های معادله‌ی درجه سوم از طریق محل تقاطع دو مخروط بود. البته این روی کرد پیش‌تر توسط منایخموس و دیگران برای محاسبه‌ی اعداد مکعب‌ خاص به کار گرفته شده بود (به ویژه در رابطه با مسئله‌ی "تضعیف مکعب")، ولی خیام به آن عمومیت بخشید تا تمام مکعب‌ها را در بر بگیرد (اگر چه موارد ویژه‌ای هم وجود داشت، مانند پرهیز از اعداد منفی) اغلب گفته می‌شود خیام به اشتباه باور داشت که معادلات درجه سوم به صورت جبری حل نمی‌شوند، ولی گمان می‌کنیم که ما می‌بایست در این مورد دقت کنیم. تعریف خیام در این مورد با تعریف امروزی راه حل‌های "جبری" تفاوت داشت. یکی از مهمترین بیانات وی عبارت است از:

"...نباید به این امر توجه کنیم که جبر و هندسه در ظاهر متفاوت هستند. آن چه در جبر می‌بینیم همان حقایق هندسی هستند که اثبات شده‌اند."

این مطلب گواه این است که خیام چقدر در آشتی دادن دو حوزه‌ی هندسه و جبر نقش داشته است. این دو حوزه طی سال‌ها با تلاش و پشت کار یونانی‌ها از یک دیگر جدا شده بودند و به واسطه‌ی این شواهد در می‌یابیم که خیام در این امر از دکارت پیشی گرفته بوده است. حقیقتاً هم این مطلب درست است، زیرا خیام بسیار بیشتر از یونانیان تمایل داشت پاره‌ خط‌های هندسی را به صورت مقادیر عددی در نظر بگیرد تا این که آن‌ها را تنها مقادیر دقیق فاصله‌ای بداند. در واقع، او نسخه‌ی عددی نظریه‌ی تناسب اقلیدس (اودوکسوس) را ارائه کرد که بسیار نزدیک به تعریف دد کیند از اعداد گنگ می‌باشد.
با این وجود، گمان می‌کنیم که در رابطه با معادلات درجه سوم، ذکر این نکته حائز ارزش است که:
تا زمانی که در معادله‌ای یک عبارت درجه سه داریم، استفاده از هندسه‌ی مسطحه امکان‌پذیر نیست، بلکه برای حل چنین معادلاتی می‌بایست از مقاطع مخروطی کمک بگیریم.
ممکن است در این جا ما به سبب پیش تازی خیام در زمینه‌ی اثبات نهایی لاینحل بودن مسئله‌ی تضعیف مکعب که توسط خط‌ کش و پرگار صورت گرفت، به او اعتبار بخشیم، ولی به نظر می‌رسد علاوه بر این، نظر مذکور باعث قابل فهم‌تر شدن این عبارت گشته است که معادلات درجه سوم نمی‌توانند به شیوه‌ی "جبری" حل شوند.
به خاطر داشته باشید که از نظر خیام، محتویات علم جبر، حقایقی هندسی هستند که اثبات شده‌اند؛ او هم چنان به شدت تحت تأثیر اصرار و پا فشاری یونانیان بر ساختار خط‌کش و قطب‌نما به عنوان تنها موارد معتبر به معنای رسمی دقیق و ویژه بود. این امر توسط سه مسئله‌ی هندسی مشهور در یونان باستان اثبات گشته است. این سه مسئله عبارتند از: تربیع دایره، تثلیث زاویه و تضعیف مکعب، که هر یک از آنان به سادگی با استفاده از شیوه‌های متفاوت هندسی حل می‌شدند؛ اما آن روش‌ها با ساختار اقلیدسی تناسب نداشتند و از نظر منطقی در درجه‌ی دوم قرار داشتند. به عبارت دیگر آن‌ها "ساختارهای مکانیکی" بودند (مشابه آنچه ما می‌توانیم "استدلال‌های معقول" بنامیم) و نمی‌توانستند به عنوان اثبات‌هایی از تنها سیستم موجود دارای قاعده‌ی منطقی و دقیق پذیرفته شوند.
بنابراین، به احتمال زیاد آن هنگام که خیام گفت معادلات درجه‌ی سوم نمی‌توانند به صورت "جبری" حل شوند، از تعریف خود در مورد "جبر" استفاده کرد؛ یعنی حقیقتی هندسی که اثبات شده است. در واقع او هم چنان وفا دار به یونانیان بود و می‌پنداشت تنها اثبات تئوری یک حقیقت هندسی، بر مبنای سیستم قاعده‌مند اقلیدس یا به بیان دیگر استفاده از خط‌کش و قطب‌نما می‌باشد. البته با این تفسیر می‌توان گفت که نظریه‌ی او کاملاً درست بوده است و در واقع این راه دیگری بود برای بیان این ادعا که مسئله‌ی تضعیف مکعب نمی‌تواند با استفاده از خط‌کش و قطب ‌نما حل شود.