پئانو نظریه ی اعداد طبیعی را اصل موضوعی ساخت و قدم اصلی را برای حسابیدن ریاضیات، یعنی تحویل ریاضیات به حساب، برداشت. وی سه مفهوم اولیه صفر، عدد و تالی را ارائه کرد ( مقصود از عدد، عدد طبیعی و منظور از تالی، عدد بعدی در تربیت طبیعی بود، مثلاً یک تالی صفر است، دو تالی یک است و قس علی هذا). سپس پنج اصل موضوع زیر ( موسوم به اصول پئانو) را وضع کرد:
الف) صفر یک عدد است.
ب) تالی هر عدد، یک عدد است.
ج) صفر تالی هیچ عددی نیست.
د) هیچ دو عدد متفاوتی دارای تالی برابر نیستند.
ه) هر خاصیتی که به صفر و به تالی هر عدد دارای آن خاصیت متعلق، باشد، به همه اعداد متعلق است ( اصل استقرای ریاضی). به این ترتیب می توانیم رشته اعداد طبیعی را با شروع از صفر و گذر از یک عدد مانند n به تالی آن یعنی (s(n در دست داشته باشیم.
جمع به سادگی قابل تعریف است. در واقع به ازای هر m ، عدد 0+m را برابر m قرار می دهیم و اگر m+n داده شده باشد، (m+s(n را برابر تالی m+n یعنی (s(m+n تعریف می کنیم. ضرب نیز به طور مشابه تعریف می شود و به دنبال آن می توان همه قضایای حساب ( مقدماتی) را اثبات نمود.
کار پئانو ایرادتی داشت، از جمله این که دستگاه قیاسی وی قابلیت پذیرفتن تعدادی نامتناهی تعبیر را داشت. یک تعبیر این است که صفر را به معنی صد، عدد را به معنای اعداد طبیعی بزرگتر یا مساوی صد و تالی را به معنای معمولی آن می گیریم. در این صورت هر پنج اصل موضوع پئانو، احکام صادقی خواهند بود ( توجه کنید که صد تالی نود و نه نیست زیرا در این الگو نود و نه عدد نیست!).
بر طبق نظر راسل، در دستگاه پئانو چیزی برای تمیز دادن الگوهای متفاوت وجود نداشت. ما می دانیم « صفر» چه باید باشد، به ویژه نمی خواهیم به معنای صد باشد. دستگاهی که در آن صفر به معنای صد است به درد زندگی نمی خورد. می خواهیم اعدادمان چنان باشند که بتوانند برای شمارش اشیای معمولی به کار روند.
در 1884 فرگه به منطقیدن حساب، یعنی تقلیل حساب به منطق ( و با توجه به کار پئانو، در واقع منطقیدن ریاضیات) همت گماشت و اولین مکتب ریاضی را به نام منطق گرایی، که به عقیده ی کواین یک رهیافت افلاطون گرایانه به ریاضیات بود، تأسیس کرد . هدف این مکتب تحویل ریاضیات به منطق بود، یعنی اثبات این که ریاضیات شاخه ای از منطق ( جدید و نه سنتی ) است.
به زعم فرگه عدد چیزی است که مشخصه اعداد است همان طور که انسان مشخصه انسان ها است. یک عدد خاص مانند 3 نمونه ای از عدد است و یک گروه سه نفری نمونه ای از عدد 3 است، و نه عدد. خود عدد 3 چیزی است که بین همه ی گرد آیه های سه عضوی مشترک است. فرگه صفر را گرد آیه ی متشکل از مجموعه ی تهی، 1 را گرد آیه ی متشکل از همه مجموعه های تک عضوی، 2 را گرد آیه متشکل از همه ی مجموعه های دو عضوی و ...تعریف کرد.
با این حال همه ی این ها، توسط راسل دوباره کشف شد. در واقع منطق گرایی در حدود 1910 توسط راسل و وایتهد تنقیح شد. این دو نفر سعی کردند نشان دهند تمام ریاضیات کلاسیک که تا آن زمان شناخته شده بود از نظریه ی مجموعه ها و این نظریه در جای خود از اصول موضوع مذکور در کتاب اصول ریاضیات آن ها مشتق می شود و بالاخره که این اصول موضوع متعلق به منطق هستند.
آن ها در ارائه ی منطق گرایی نظریه ی انواع و اصل تقلیل پذیری را به کار بردند. اما برنامه ی آن ها ناقص بود، زیرا مثلاً این اصل موضوع که مجموعه های نامتناهی وجود دارند یک حکم منطقی ( یعنی حکمی با عمومیت کامل که صدقش در پرتو صورتش باشد نه محتوایش) نبود. در واقع پذیرش این اصل به خاطر آشنایی ما با مجموعه های نامتناهی مانند مجموعه اعداد طبیعی یا مجموعه نقاط فضای سه بعدی بود، یعنی بر مبنای مضمون این اصل، نه صورت آن. همین وضعیت در مورد اصل انتخاب نیز برقرار بود. مشکل دیگر این بود که فرآیند استخراج قضایا از اصول منطق، طویل، پیچده و ملال آور بود و با دید شهودی ما از ریاضیات منطبق نبود. به این ترتیب، منطق گرایی در ارائه قواعد و اصول زیر بنایی ریاضی شکست خورد.
هم اکنون جریان های اصلی فلسفه ریاضی عبارتند از: صورت گرایی، شهود گرایی یا ساخت گرایی، و انسان گرایی.
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن