هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی

ارسطو اولین کسی بود که پایه های روش علمی را بنا نهاد. اساس این شیوه بر تنظیم منطقی اطلاعات یک حوزه علم بر اساس مفاهیم اولیه، اصول، تعاریف و قضایا بود، همان چیزی که امروزه روش صوری خوانده می شود. ایده های روش شناسی ارسطو شدیداً بر کار اقلیدس در کتابش به نام « اصول» اثر گذاشت. اقلیدس در حدود سه قرن قبل از میلاد مسیح اولین نمونه دستگاه های اصل موضوعی را در هندسه ارائه داد. او ابتدا تعدادی مفهوم از جمله جزء، طول، عرض و ... را به عنوان اصطلاحات اولیه برگزید و سپس به تعریف مفاهیم هندسی پرداخت. وی گفت که نقطه آن است که جزء ندارد، خط را طول بلا عرض نامید و ... . سپس پنج گزاره زیر را به عنوان اصل موضوع انتخاب کرد:
1- از هر نقطه به هر نقطه دیگر می توان خطی کشید.
2- هر پاره خط را می توان به طور نامحدود امتداد داد.
3- با هر مرکز و هر شعاعی می توان دایره رسم کرد.
4- همه زوایای قائمه با هم برابرند.
5- اگر خطی دو خط را قطع کند و مجموع زوایای داخلی در یک طرف کوچکتر از دو قائمه باشد آن گاه آن دو خط همدیگر را قطع می کنند، در صورتی که به قدر کافی در همان طرفی که مجموع زوایا از دو قائمه کم تر است امتداد داده شوند ( این اصل موسوم به اصل پنجم ( اصل توازی) اقلیدس است که معادل بدیل ارائه شده توسط پلی فیر می باشد که از یک نقطه واقع در خارج یک خط، یک و فقط یک خط موازی آن رسم می شود).
اقلیدس سپس از روی این اصول ساده و به کمک پنج اصل متعارف:
الف)- دو چیز مساوی با یک چیز، با یکدیگر مساوی اند؛
ب)- کل از هر جزء خود بزرگ تر است؛
ج)- دو چیز منطبق بر هم، با یکدیگر برابرند؛
د)- حاصل جمع مقادیر متساوی با مقادیر متساوی، با یکدیگر مساوی اند؛
ه)- حاصل تفریق مقادیر متساوی از مقادیر متساوی، با یکدیگر مساوی اند.
که اصول منطقی تصور می شوند، به اثبات 456 حکم هندسی که بعضی از نظر شهودی بسیار پیچیده هستند پرداخت و اولین دستگاه قیاسی را در تاریخ تفکر به دست داد.
البته کار اقلیدسی شامل ایرادهای اساسی بود. مثلاً بنا به اصل دوم « خط راست را می توان پیوسته ادامه داد»، اما این نتیجه نمی داد که « خط نامتناهی است»، در حالی که اقلیدس خط را نا متناهی فرض کرده بود. یا در جایی دیگر تلویحاً از این فرض موسوم به اصل پاش استفاده کرده بود که « اگر خطی یکی از اضلاع مثلثی را ببرد، حداقل یکی از دو ضلع دیگر را قطع خواهد کرد»، بدون این که اصلی که وی را مجاز به استفاده از این فرض بکند ارائه دهد. او همچنین بدون این که مفهوم حرکت ( و ویژگی های سطح) را بیان کند، از حرکت در انطباق های هندسی، مثلاً در اثبات حالت های مختلف تساوی دو مثلث، استفاده کرده بود. با این حال باید توجه داشت تلاش اقلیدس آرمانی کردن دیدگاه های شهودی عصر خود از نقطه فیزیکی، خط فیزیکی و ... بود که تا حد زیادی موفقیت آمیز بود.
در اوایل قرن بیستم تعدادی از ریاضی دانان از جمله داوید هیلبرت و آلفرد تارسکی به اصلاح کار اقلیدس همت گماشتند. هیلبرت ضمن ارائه یک دستگاه اصل موضوعی برای هندسه تأکید کرد که به جای « نقطه، خط و صفحه» در هندسه می توان از « میز، صندلی و فنجان» استفاده کرد زیرا مفاهیم اولیه هیچ معنایی در خارج از دستگاه قیاسی ندارند.
در این جا طرحی از نظریه ی صوری آلفرد تارسکی را برای هندسه ی مسطحه ی اقلیدسی به دست می دهیم:
محمولات ( مفاهیم) اولیه عبارتند از: P ( « نقطه»)، B ( « بین»)، D ( « فاصله»)، I ( « همانی»). فرمول های بسیط Px، Bxyz، Dxyuv و Ixy به ترتیب به معنای « x یک نقطه است»، « y بین x و z قرار دارد»، « فاصله ی x تا y برابر فاصله ی u تا v است» و « x همان y است» می باشند. اشیاء دیگر هندسی از قبیل پاره خط ها، زوایا، مثلث ها، دوایر و ... به وسیله ی مفاهیم اولیه تعریف می شود. مثلاً دایره به مرکز x و شعاع uv متشکل از همه نقاط y است به طوری که Dxyuv برقرار باشد.
در هندسه دو نقطه x و y یکی تصور می شوند هرگاه فاصله بین آن ها صفر باشد. تارسکی این مطلب را با اصل موضوع بیان کرد. یک اصل موضوع دیگر عبارت است از

که مبین این مطلب است که به ازای هر چهار نقطه ی داده شده، اگر دومبی بین اولی و سومی و سومی بین اولی و چهارمی باشد، آن گاه سومی بین دومی و چهارمی است.
یک اصل قابل توجه عبارت است از:

که می گوید هر سه نقطه ی x، y و z هم فاصله با دو نقطه متمایز u و v باید بر یک استقامت باشند.
تارسکی روی هم رفته دوازده اصل موضوع به علاوه یک گردایه از اصول موضوع که پیوستگی خط را به دست می دهد، ارائه کرده است. وی همچنین نشان داد که دستگاه صوری اش تمام است یعنی به ازای هر گزاره هندسی، یا آن گزاره یا نقیضش قضیه دستگاه است. از طرفی قضیه ی تمامیت گودل بیان می کند هر دستگاه اصل موضوعی تمام، و از جمله دستگاه هندسی تارسکی، تصمیم پذیر است. یعنی الگوریتمی وجود دارد که یک گزاره دلخواه از هندسه مسطحه اقلیدسی را به عنوان ورودی می پذیرد و خروجی « راست» یا « دروغ» را بر حسب این که گزاره، راست یا دروغ باشد به دست می دهد.
اصل پنجم اقلیدس، بر خلاف چهار اصل اول، به طریقی تجربی قابل تحقیق نبود و ایجاز و وضوح آن ها را نداشت. بنابراین عده ی زیادی از جمله والیس، لژاندر، ساکری و لامبرت سعی کردند آن را به کمک چهار اصل دیگر اثبات کنند. ولی در طول دو هزار سال این تلاش ها ناموفق ماند، مثلاً ماری لژاندر چند بار کتاب اصول هندسه خود را چاپ کرد و در هر بار اثباتی از اصل توازی ارائه داد، ولی همه ی اثبات هایش شامل استفاده از صورتی معادل از اصل توازی بود. حتی می گویند عمر خیام و خواجه نصیرالدین طوسی نیز برهانی « دوری» را برای اصل پنجم ارائه کردند. اما این شکست ها مقدمه یک پیروزی بود و منجر به کشف هندسه های نااقلیدسی شد. این هندسه ها با کارهای گاوس، لباچوفسکی، ریمان، فورکوش، یانوش بریویی و ... تکوین یافتند. به علاوه با کمک الگوها نشان داده شد که این هندسه ها و هندسه اقلیدسی به یک اندازه سازگارند، یعنی اگر یکی سازگار باشد دیگری نیز سازگار است. به این ترتیب نظر کانت مبنی بر ترکیبی پیشینی بودن هندسه و ذاتی ساختار ذهن بودن آن ( مطلبی که بیشتر گویای دانش روز و محدودیت های علمی دوران کانت است) رد گردید.
البته انتخاب یک دستگاه هندسی از نوع اقلیدسی یا نااقلیدسی به نوع کاربردها وابسته است، مثلاً اینشتین در نظریه ی نسبیت عام از هندسه ی ریمانی و در نظریه نسبیت خاص از هندسه ی ساده تر فضا – زمان مینکوفسکی استفاده نمود.
پوانکاره می گوید: « اگر هندسه دانشی تجربی بود نمی توانست دانشی دقیق باشد و پیوسته دستخوش تجدیدنظر می بود ... بنابراین، اصول هندسی نه شهود ترکیبی هستند و نه حقایق تجربی، بلکه قرارداد هستند. تنها انتخاب ما از میان همه ی قراردادهای ممکن به وسیله حقایق تجربی رهبری می شود، ولی انتخاب ما آزاد است و فقط به لزوم اجتناب از هر گونه تناقضی محدود می شود. بنابراین، این اصول هستند که می توانند دقیقاً درست باقی بمانند، حتی اگر قوانین تجربی که موجب پذیرفته شدن آن ها شده اند تقریبی باشند. به عبارت دیگر اصول موضوع هندسه تنها عبارتند از تعاریف در لباس مبدل. پس برای این پرسش که « آیا هندسه اقلیدسی درست است؟» چه باید اندیشید؟ پرسشی بی معنی است، درست مثل این که بپرسیم « آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاس های قدیم نادرست اند؟ آیا مختصات دکارتی درست و مختصات قطبی نادرست است؟» ... هیچ هندسه ای نمی تواند درست تر از هندسه ای دیگر باشد، تنها ممکن است مناسب تر باشد.»
متذکر می شویم که در هندسه بین اشیاء فیزیکی و اشیاء ریاضی تفاوت وجود دارد. خطی که بر صفحه کاغذ رسم می شود، یک خط فیزیکی است و نه خط ریاضی؛ خط ریاضی یک موجود ایده آلی است.
رادولف کارناپ می گوید که ما، بین هندسه فیزیکی و هندسه ریاضی تفاوت قائل می شویم. قضایای هندسه ریاضی تحلیلی پیشینی هستند، در حالی که اساس هندسه فیزیکی تجربه بوده و قضایای آن ترکیبی پسینی است.
هانس رایشنباخ در کتاب خود با نام « فلسفه فضا - زمان» می گوید که ریاضیات متشکل از حقایق تحلیلی پیشینی است و صدق ترکیبی یک هندسه سؤالی تجربی است ... ما دیگر نمی توانیم بگوییم که هندسه اینشتین « درست تر» از هندسه اقلیدسی است چنان که نمی توانیم بگوییم متر یک مقیاس « درست تر» از یارد است.
اکنون طرحی از یک الگو موسوم به الگوی کلاین با موجودات اقلیدسی برای اصل توازی بیضوی که می گوید خطوط موازی وجود ندارند ارائه می دهیم:
فرض کنید یک نقطه، یک جفت نقطه متقاطر از یک کره باشد ( دو نقطه از یک کره را متقاطر می گویند، هرگاه دو سر یک قطر باشند) و یک خط، یک دایره ی عظیمه ی آن کره باشد. در این صورت خطوط موازی وجود ندارند ضمن آن که همه خطوط، درازای متناهی دارند.
و سرانجام اجازه دهید یک الگو موسوم به « قرص پوانکاره» برای هندسه هذلولوی و با موجودات اقلیدسی ارائه دهیم:
فرض کنید C یک دایره ثابت در صفحه اقلیدسی باشد. درون C را صفحه هذلولوی تصور می کنیم. یک نقطه هذلولوی را ( که –H نقطه می نامیم) یک نقطه از درون دایره C و یک خط هذلولوی را ( که –H خط می نامیم) فصل مشترک درون C با یک دایره عمود بر C یا فصل مشترک آن با یک قطره C تعبیر می کنیم. نسبت های « قرارداشتن» یک –H نقطه بر یک –H خط و « میان بودن» یک –H نقطه بین دو –H نقطه دیگر به معنای معمولی ( اقلیدسی) آن است.

اینک –H خط DE و –H نقطه B را که بر آن قرار ندارد در نظر می گیریم. ملاحظه می شود که تعداد نامتناهی –H خط از قبیل CB و AB وجود دارند که از B می گذرند و « موازی» DE هستند ( به یاد آورید که دو خط را موازی گویند هرگاه نقطه مشترکی نداشته باشند). پس این حکم صادق در هندسه اقلیدسی که دو خط موازی با یک خط با هم موازی هستند، در هندسه هذلولوی صادق نیست.
همچنین فاصله هذلولوی دو نقطه P و Q توسط داده می شود که در آن A و B دو سر –H خط مار بر P و Q و مثلاً نمایش فاصله اقلیدسی دو نقطه T و S است ( این تعریف فاصله همه خواص متعارف مفهوم فاصله را دارد). نکته جالب در این جا این است که اگر P ثابت باشد، می توانیم d(P,Q) را هر قدر بخواهیم بزرگ کنیم مشروط به این که Q به قدر کافی بر –H خط AB به B نزدیک شود. پس H - خطوط درازای نامتناهی دارند. همچنین توجه کنید که در این جا بر خلاف هندسه اقلیدسی، خطوط موازی، هم فاصله نیستند. ضمناً نور در این جهان ( هذلولوی) و در خلأ، روی –H خطوط حرکت می کند.
یک –D زاویه از برخورد دو –H خط حاصل می شود و اندازه آن برابر اندازه معمولی زاویه اقلیدسی بین مماس های اقلیدسی مرسوم بر دو –H خط مورد نظر در نقطه تقاطع آن ها تعریف می شود. پس در شکل زیر اندازه –H زاویه برابر اندازه زاویه اقلیدسی می باشد. در این هندسه مجموع زوایای داخلی یک –H مثلث ( که شکل حاصل از برخورد دو به دوی سه تا –H خط متمایز تعریف می شود) همواره کوچکتر از است. اگر s اختلاف مجموع زوایای یک مثلث از
باشد، مشاهده می شود که هر قدر اضلاع مثلث کوچکتر باشد s کوچکتر خواهد بود لذا می توان گفت که یک تکه کوچک از فضای هذلولوی رفتاری مشابه فضای اقلیدسی دارد.
در شکل زیر

 

 

منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن