عدد چه نوع چیزی است؟

ریاضیات چیست؟ علم اعداد و حروف چیست؟ نه فیزیکی و نه ذهنی است، بلکه اجتماعی است. قسمتی از فرهنگ و تاریخ است. شبیه قانون، مذهب، پول و همه چیزهای دیگری است که خیلی حقیقی اند اما فقط بخشی از آگاهی انسان اجتماعی را تشکیل می دهند و این دقیقاً همان چیزی است که ریاضیات است.

به نظر روبن هرشِ ریاضی دان، ریاضیات فقط به عنوان قسمتی از فرهنگ انسان وجود یا واقعیت دارد. با وجود این که ریاضیات بی زمان و لغزش ناپذیر به نظر می رسد ولی پدیده ای اجتماعی – فرهنگی – تاریخی است.

او دیدگاه وسیعی دارد و در مورد مسائل کهن بسیار فکر می کند: اعداد چیستند؟

مثلث، مربع و دایره چیستند؟ مجموعه های نامتناهی چیستند؟ بعد چهارم چیست؟ معنا و ماهیت ریاضیات چیست؟ او ضمن زیاد اندیشیدن، نظریه های قدیم و جدید در مورد ماهیت ریاضیات را توضیح داده و مورد نقد قرار می دهد. هدف اصلی او روبرو شدن با مسائل فلسفی است: اشیا ریاضی به چه مفهومی وجود دارند؟ چگونه می توانیم نسبت به آن ها آگاهی کسب کنیم؟ چرا ریاضی دانان فکر می کنند که اعیان ریاضی مستقل از دانش ریاضی و عمل ریاضی وجود دارند و جاودانه اند؟
 

هرش: عدد چیست؟ مثلاً دو چیست؟ این یک سؤال کودکستانی است و البته یک بچه ی کودکستانی جوابی این چنین می دهد: سه ( سه انگشتش را بالا می برد). دو ( دو انگشتش را بالا می برد). این یک جواب خواب و در عین حال یک جواب بد است.

در واقع برای بیشتر مقاصد، این جواب به قدر کافی خوب است ولی فراتر از کودکستان، تا حد جسارت در پرسیدن سؤالات عمیق تر، سؤال فوق به صورت زیر در می آید: یک عدد چه نوع چیزی است؟

حال وقتی می پرسید « یک عدد چه نوع چیزی است؟»، می توانید راجع به دو جواب اصلی فکر کنید:
یکی این که عدد در مکان خارجی است، شبیه یک صخره یا یک روح؛ یا آن که در داخل است، اندیشه ای در ذهن یک شخص. فلاسفه از یکی از این دو جواب دفاع کرده اند. این واقعیت رقت انگیز است زیرا هر کسی که کوچکترین دقتی بکند می تواند دریابد که هر دو جواب کاملاً اشتباه هستند. عدد چیزی خارجی نیست، مکانی برای حضور و یا چیزی برای عدد بودن، وجود ندارد.

همچنین فقط یک فکر نیست، زیرا با این همه، چه بدانید یا ندانید، دو و دو، چهار می شود. به این ترتیب در می یابید که سؤال مذکور بر خلاف آن چه در ابتدا به نظر می رسید، نه آن قدرها ساده و نه آن قدرها بدیهی است. یکی از فلاسفه ی بزرگ ریاضی یعنی گوتلوپ فرگه، مقاله ی کاملی مبنی بر این حقیقت که ریاضی دانان قبل از او معنی یک را نمی دانستند منتشر کرد. یک چیست؟ هیچ کس به طور دقیق نمی تواند جواب دهد. البته فرگه به سؤال اخیر جواب داد ولی جوابش نه تنها بهتر نبود بلکه از پاسخ های قبلی هم بدتر بود و این چنین بود که این سؤال به عنوان یک سؤال عجیب و باور نکردنی تا امروز باقی ماند. ما همه چیز را درباره آن همه ریاضیات می دانیم، ولی نمی دانیم ریاضیات واقعاً چیست؟ البته وقتی می پرسیم « یک عدد چیست»؟ چنین سؤالی در مورد یک مثلث، یک مربع، یک دایره، یک تابع دیفرانسیل پذیر یا یک عملگر خودالحاق نیز دقیقاً قابل طرح است. شما در مورد عدد، زیاد می دانید؛ اما عدد چیست؟ چه نوع چیزی است؟ به هر حال سؤال من این است، یک جواب طولانی به سؤال کوتاه شما.
 

هرش: هوم، شما پاسخ را خیلی سریع می خواهید. باید برای یافتن جواب قدری تلاش کنید! من تدریجاً به جواب خواهم رسید.

هنگامی که می گویید یک چیز، شی یا وجود ریاضی کاملاً خارجی است یعنی مستقل از فکر یا عمل انسان می باشد، و یا داخلی است یعنی یک اندیشه در ذهن شما است – شما نه در مورد اعداد، بلکه تنها در مورد وجود صحبت می کنید – در این صورت منظورتان این است که فقط دو نوع هستی وجود دارد. هر چیزی یا خارجی و یا داخلی است و هیچ یک از این دو انتخاب ( دو قطب یا ثنویت) مناسب اعداد نیست، و این دلیل معما بودن آن است.

موضوع با این پیش فرض اشتباه که فقط دو نوع چیز پیرامون ما وجود دارد شکل پیچیده ای به خود گرفته است. اما اگر وانمود کنید که یک فیلسوف نیستید و فقط یک انسان واقع بین هستید و از شما سؤال شود آن چه که در پیرامونتان می باشد چیست، مثلاً برگ جریمه ای که باید آن را بپردازید، اخبار در تلویزیون، یک مراسم ازدواج که مجبور به شرکت در آن هستید یا یک صورت حساب که باید پرداخت کنید، خوب هیچ یک از این چیزها صرفاً اندیشه ای در ذهن شما نیست و هیچ یک از آن ها نسبت به فکر یا عمل انسان، خارجی نیست. آن ها نوع دیگری از واقعیت هستند و مشکل همین جاست. این نوع واقعیت با وجود این که به خوبی شناخته شده است و از متافیزیک و هستی شناسی مستثنی گردیده است، ولی علوم انسان شناسی و جامعه شناسی با آن سروکار دارند. اما وقتی از منظر فلسفه نگاه می کنید، این نوع سوم به هیچ گونه مطمح نظر قرار نمی گیرد و حتی رد می شود.

حال که جواب را عرضه کرده ام از آن آگاهید. ریاضیات نه فیزیکی و نه ذهنی است بلکه اجتماعی است. قسمتی از فرهنگ و تاریخ است. شبیه قانون، مذهب، پول و همه چیزهایی است که خیلی حقیقی اند، اما فقط بخشی از آگاهی انسان اجتماعی را تشکیل می دهند.

هم درونی و هم بیرونی است زیرا قسمتی از جامعه و فرهنگ است. درونی نسبت به جامعه و فرهنگ به عنوان یک کل، بیرونی نسبت به فردی که مجبور به یادگیری آن از کتاب ها و در مدرسه است. این چیزی است که ریاضیات است.

اما برای بعضی از ریاضی دانان افلاطونی این موضوع به قدری سنگین است که حتی شروع به درک مطلب تلاش زیادی می طلبد.
 

هرش: می گویید که فلسفه ی من ممکن است تحت نفوذ سیاستم درآمده باشد. خوب این درست است! این یکی از چیزهای بسیار جدید در کتابم است که به همبستگی بین عقیده سیاسی و اعتقاد در مورد ماهیت ریاضیات توجه دارد.
 

هرش: من آن را فلسفه ی انسان گرایانه ریاضیات می نامم. این واقعاً یک مکتب نیست، هیچ کس دیگری با این نام وارد این بحث نشده است، اما افراد دیگری نیز هستند که به طریق مشابه فکر می کنند و نام های گوناگونی به آن ها داده اند. من در این جا « یک گرگ تنها نیستم، من یکی از ماوریک هایم، به همان معنایی که آن ها را می نامیم، گرگ هایی که در خارج از حیطه ی فلسفه زوزه می کشند.»

در هر صورت به سؤال دیگرمان بر گردیم. من دریافتم که با تقسیم فلاسفه ریاضی به دو گروه توضیح بهتری ارائه می شود. یک گروه که آن را عمده گرا و دیگری که آن را انسان گراها یا ماوریک ها می نامیم. انسان گراها یا ماوریک ها ریاضیات را به صورت یک فعالیت انسانی، و گرایش عمده آن را به صورت چیزی غیرانسانی و فوق انسانی می بینند. در هر حال در طول تاریخ، انسان گراها وجود داشته اند، که ارسطو یکی از آن ها بود. نمی دانم آیا در آن زمان نیز ارتباطی با سیاست وجود داشت یا خیر.

بنابراین سعی کردم که با توجه به موقعیت زمانی، این مردان را به صورت راست گرا یا چپ گرا معرفی کنم. افلاطون خیلی راست، ارسطو تا حدی لیبرال، اسپینوزا انقلابی و دکارت سلطنت طلب بودند. این ها حقایق معلومی هستند. مردانی هم وجود دارند که در این رده بندی نمی گنجند.

چنین به نظر می رسد که شما فقط به این موضوع توجه می کنید که انسان گراها به طور برجسته چپ گرا و عمده گراها به طور برجسته راست گرایند. هر تبیینی از این مطلب یک گمانه خواهد بود با این حال به طور شهودی با معنی است. برای مثال یک نمونه واقعی از فلسفه ریاضیات عمده گرا، افلاطون گرایی است. افلاطون گراها می گویند که همه ی اشیا و اعیان ریاضی، چه آن هایی که ما هنوز کشف نکرده ایم و چه آن هایی که هرگز کشف نخواهند شد، همه از ازل وجود داشته اند. هیچ تغییری در حیطه ی ریاضیات وجود ندارد، ما چیزها را کشف می کنیم و به این ترتیب دانشمان افزایش می یابد. اما دنیای ریاضی واقعاً به طور کامل ایستا است، همواره وجود داشته است و همواره خواهد بود.

می دانید این نوعی محافظه کاری است؟

درست متناسب با افکار شخصی که عقیده دارد رسوم اجتماعی نباید تغییر کند. بنابراین چنین همانندهایی وجود دارد البته استثناهایی نیز وجود دارد. برای مثال برتراند راسل افلاطون گرا و سوسیالیست بود. یکی از فلاسفه ی محبوب من یعنی ایمره لاکاتوش از نظر سیاسی راست گرا اما از نظر فلسفی بسیار رادیکال بود. این همبستگی ها بسیار سست بوده و از روی آمار به دست آمده اند و به صورت یک حکم قطعی نیستند. شما نمی توانید راجع به فلسفه ی کسی از روی گرایش های سیاسی اش قضاوت کنید و بر عکس. من برای نام گذاری ایده هایم جستجو کردم و چندین نام که برای نقطه نظرهای مشابه به کار می رود یافتم: ساخت گرایی اجتماعی، خطاپذیری، شبه تجربه گرایی، طبیعت گرایی. مایل نبودم نام دیگری از کسی اخذ کنم، زیرا من راه خود را روشن ساخته ام و نمی خواهم خود را در زمره ی مکتب شخص دیگری قرار دهم. نامی که دقیق ترین و صحیح ترین باشد، مفهوم گرایی اجتماعی بود.

ریاضیات متشکل است از مفاهیمی که به طور جنبی و انفرادی وضع شده اند. شاید من انسان گرایانه فکر کنم. زیرا متعلق به گروهی هستم که شبکه ریاضیات انسان گرا نامیده می شود.

انسان گرایی مناسب است زیرا می گوید ریاضیات چیزی انسانی است. هیچ ریاضیاتی بدون آدمیزاد وجود ندارد. بسیاری از مردم فکر می کنند که بیضی ها و اعداد و غیره وجود دارند، خواه مردم درباره ی آن ها بدانند یا ندانند، این چیزی است که من فکر می کنم اشتباه است.

هرش: شاید این طور باشد. هرگز در مورد آن فکر نکرده ام. روزی بحثی جدی در دانشگاه نیومکزیکو با یکی از دوستانم که یک فیلسوف علم بود داشتم. او می گفت: اکنون 9 سیاه وجود دارد و قبل از این که انسانی وجود داشته باشد 9 سیاره وجود داشت. پس عدد 9 وجود داشته است قبل از این که هیچ انسانی وجود داشته باشد.

در این جا اشکالی وجود دارد که مجبورم آن را مشخص کنم. ما اشیا ریاضی شبیه اعداد کوچک را واقعیت ریاضی می بینیم و این مطلب متناقض با این ایده که اعداد اعیانی اجتماعی هستند به نظر می رسد. شیوه ی حل این مشکل توسط دیگران نیز تذکر داده شده است.

ما واژگان عددی را به دو منظور متفاوت به کار می بریم: به عنوان اسامی و به عنوان صفات. این ملاحظه مهم است. وقتی می گوییم 9 سیب، 9 یک صفت است. اگر این که 9 سیب روی میز وجود دارد، حقیقتی خارجی ( عینی) باشد آن گاه این که سیب ها قرمزند یا آن ها رسیده اند یا هر چیز دیگری در مورد آن ها نیز، به همان اندازه حقیقت خارجی ( عینی) است و در این حالت واقعاً هیچ مشکل خاصی درباره آن ها وجود ندارد. اشیا مشکل ساز می شوند وقتی ما ناآگاهانه و بدون دقت بین تعبیر صفت گونه واژگان ریاضی این جهان حقیقی ( مانند عدد 9) و تجرد محض که درباره اش در کلاس ریاضی صحبت می کنیم، ارتباطی ایجاد می کنیم. این واقعاً همان 9 نیست، البته یک بستگی متقابل و یک ارتباط وجود دارد. اما عدد 9 به عنوان یک شی مجرد و به عنوان قسمتی از یک دستگاه عددی یک ملک انسانی و یک مخلوق آدمی است و بدون ما وجود ندارد. وجود ممکن گردآیه هایی از اشیا 9 تایی یک چیز فیزیکی است که مطمئناً بدون وجود ما وجود دارد. این دو نوع 9 متفاوتند. به طور مشابه می توانیم بگوییم که یک سیاره گرده است، یک حقیقت عینی، اما مفهوم گردی ( گردی ریاضی)، چیز دیگری است. متأسفم از این که فلسفه قطعاً یک فعالیت دل بخواه است. اکثر مردم حتی ریاضی دانان نمی دانند که آیا آن ها دارای فسفه هستند یا نه، یا فلسفه ی آن ها چیست. مسلماً آن چه آن ها انجام می دهند تحت تأثیر بحث های فلسفی قرار نمی گیرد. این مطلب در بسیاری از زمینه های دیگر درست است. وکیل کاری بودن یک چیز است و فیلسوف بودن چیز دیگر. برای توجیه فعالیت فلسفی باید به سطح عمیق تری رفت، برای مثال همچون گفته ی سقراط در مورد زندگی تجربه نشده. رقت انگیز است در تمامی زندگیتان ریاضی دان باشید ولی هرگز در نگرانی، در اندیشه یا در بیم آن چه به ریاضیات معنی می دهد نباشید. بسیاری از مردم چنین اند. من این را با شنای روی آب یک ماهی قزل آلا مقایسه می کنم. او می داند چطور در سطح آب شنا کند اما نمی داند چه کاری انجام می دهد و چرا.

هرش: فلسفه ریاضیات به تدریس ریاضیات بسیار وابسته است. نادرستی های تدریس ریاضیات خاص این کشور ( آمریکا) نیست. این روزها مردم ایالات متحده در مورد تدریس ریاضیات بسیار خرده گیرند، گو این که این، فقط یک مساله ی آمریکایی است. گرچه بعضی از کشورهای دیگر رتبه های سنجش بالاتری به دست آورده اند ولی اساس تدریس بد ریاضیات، بین المللی است و این موضوعی استاندارد است.

در بعضی از جهات ما به بدی کشورهای دیگر نیستیم. با این حال نمی خواهم بگویم همه چیز رو به راه است.

اجازه دهید سه طرز تلقی فلسفی از ریاضیات را بیان کنم:
افلاطون گرایی می گوید ریاضیات در مورد ماهیت های مجردی است که مستقل از انسان هستند. صورت گرایی می گوید که ریاضیات چیزی جز محاسبات نیست، در کل هیچ معنایی ندارد و با پیروی از قوانین، پاسخ های درست ( به سؤالات مطرح شده) به دست می آید.

انسان گرایی به ریاضیات به عنوان بخشی از فرهنگ و تاریخ انسان می نگرد. رسیدن به نتایج دقیق در مورد این نوع چیز، دشوار است. اما احساس می کنم تقریباً بدیهی است که افلاطون گرایی و صورت گرایی، ضد آموزشی هستند و با فهم در تعارضند و حداقل انسان گرایی صدمه ای وارد نمی کند و می تواند سودمند باشد.

صورت گرایی به عادت مربوط است. روشی سنتی که هنوز در بخش های زیادی از جهان مرسوم است. این جا الگوریتمی موجود است این مسلماً چیزی است که بسیاری از مردم را از ریاضیات متنفر می کند ( منظورم این نیست که ریاضی دانانی که صورت گرایند از تدریس مبتنی بر عادت دفاع می کنند، اما باید اذعان کرد که به طور طبیعی تصور صورت گراها از ریاضیات متناسب با روش تعلیم بدون تفکر است).

انواع گوناگونی از افلاطون گرایی وجود دارد. بعضی افراد معلم خوبی هستند و بعضی بد. اما این ایده افلاطونی ( به بیان دوستم فلیپ دیویس) که آسمان است، ریاضیات را ترسناک و دور از دسترس می سازد و این می تواند دلیل عدم موفقیت یک دانش آموز در یادگیری یا دلیل موجه برای این سخن یک معلم باشد که « بعضی متوجه ریاضیات نمی شوند». فلسفه ی انسان گرایی ریاضیات را از آسمان به زمین می آورد، آن را از نظر روانی قابل دسترس می سازد و این احتمال را که کسی بتواند یاد بگیرد، افزایش می دهد. زیرا این درست یکی از چیزهایی است که مردم انجام می دهند. این صرفاً یک عقیده است. هیچ داده و آزمونی وجود ندارد، اما اعتقاد دارم که چنین است.
 

هرش: قصد دارم از پاسخ به این سؤال قدری طفره بروم. به شما مقصودم را از تدریس خوب ریاضی می گویم. این که چگونه این مطلب با فلسفه مرتبط می شود ممکن است کم اهمیت باشد.

مساله اساسی، تأثیر و تأثر متقابل و ارتباط است. فقط در ریاضیات است که شما نمونه ای دارید که توسط نوربت واینر به طور فرضی معرفی شده است: او به داخل کلاس می آید به دانش آموزان نگاه نمی کند، نوشتن روی تخته را شروع می کند، وقتی ساعت به اتمام می رسد از نوشتن دست می کشد و باز هم بدون نگاه به دانش آموزان از کلاس خارج می شود.

یک معلم ریاضی خوب درسش را با مثال شروع می کند او به جای این که جوابی به سؤال مطرح نشده بدهد، ابتدا سؤالی را مطرح می کند و سپس جواب آن را ارائه می کند او به مکالمات و حرکات چشم دانش آموزان کلاس توجه دارد. اگر دانش آموزان چشمانشان را به اطراف بگردانند و یا لم دهند، او اثبات یا محاسبه اش را متوقف می کند و آن ها را یک جوری حتی با گفتن « متوجه این نکته نمی شوم»، وادار می کند از خود حساسیت نشان دهند. در کل هیچ کلاس ریاضی بد نیست، در صورتی که دانش آموزان آزادانه صحبت کنند و هیچ سخنرانی ریاضی علی رغم زیبایی آن خوب نیست، هرگاه به شنوندگان فقط اجازه دهند که منفعل باشند. بعضی از این ها در تدریس هر چیزی به کار می رود، اما متأسفانه ریاضیات، ناقل تدریس بد است.

خیلی عجیب است که قضایای ریاضی واقعاً می توانند بسیار مفید باشند، اما هیچ کس این را نمی داند. معلم این مطلب را بیان نمی کند و دانش آموزان هم آن را نمی دانند. تمام آن چه که آن ها می دانند این است که ریاضیات بخشی از دروسشان است. این چیزی غیرانسانی است، آیا چنین نیست؟

حکایتی دارم. به کلاسی درس می دهم که خودم آن را به نام حل مسأله برای معلمان دبیرستان و مدارس راهنمایی و معلمان آینده طرح ریزی کرده ام، هدف این کلاس مشغول داشتن آن ها به حل مسأله، داشتن شوخ طبعی در حل و داشتن اطمینان نسبت به آن است. به این امید که وقتی معلم شدند، بعضی از آن ها را در کلاسشان پیاده سازند. دانشجویان وظایفی داشتند: آن ها باید روی موضوعی کار می کردند و سپس در کلاس راجع به آن صحبت می کردند. یک روز داوطلب خواستم. هیچ داوطلبی نبود. انتظار کشیدم، انتظار. سپس با شجاعت به عقب کلاس رفتم، نشستم و هیچی نگفتم. و لحظه ای بعد یک دانشجو به پای تخته رفت. کلاس به کلاسی خوب بدل شد. کلید این بود که خواستم سکوت کنم، چیز ساده ای که صدها بار آن را انجام داده بودم گفتن این جمله بود: « بسیار خوب من آن را به شما نشان خواهم داد.»

زیاد صحبت کردن شاید بزرگترین مشکل برای اکثر یا تقریباً همه ی معلم ها باشد. ساکت باشید فکر نکنید اگر دو تا سه دقیقه سکوت کنیم، دنیا به آخر می رسد.
 

هرش: خوشبختانه پاسخی برای این سؤال دارم. دوستم جیان کارلوروتا به این موضوع در کتاب جدیدش « اندیشه های ناگسسته» پرداخته است. او می گوید تمایل به گفتن « چقدر زیبا» با یک بصیرت همراه است. زیبایی وقتی است که چیزهایی غیر واضح یا مغشوش ناگهان با هم در تناسب قرار می گیرند. شاید وضعیت های دیگری موجود باشد که شما آن را زیبا بنامید. اما احساس می کنم وقتی کتاب مزبور را خواندم احساس کردم که او ( نویسنده) حقیقتاً چیزی برای گفتن دارد. زیرا ما مدام درباره ی زیبایی صحبت می کنیم بدون این که منظورمان از آن روشن باشد. این کار کاملاً ذهنی است. اما روتا خیلی به آن نزدیک شد. نظم حاصله از اغتشاش، سادگی حاصله از پیچیدگی و فهم حاصله از عدم درک، زیبایی ریاضی است.


منبع مقاله : فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن