شهود چهار بعدی

خط یک بعدی است. یک سطح صاف دو بعدی است. مواد جامد سه بعدی هستند. اما چهارمین بعد چیست؟
بعضی از مردم می گویند که زمان، چهارمین بعد است. در نسبیت اینشتین، یک هندسه چهار بعدی به کار می رود که در آن از ترکیب یک فضای سه بعدی و یک مختصات زمانی یک بعدی یک پیوستار چهار بعدی حاصل شده است. اما نمی خواهیم درباره نسبیت و فضا – زمان صحبت کنیم. فقط می خواهیم بدانیم که آیا با معنی است در فهرست ابعاد هندسی یک قدم جلوتر رویم. برای مثال در بعد دو شکل های آشنای دایره و مربع را داریم. مشابه سه بعدی آن ها کره و مکعب است. آیا می توانیم درباره ی ابر کره یا ابر مکعب صحبتی ارائه کنیم؟
می توانیم در سه مرحله از نقطه به یک مکعب برسیم. در اولین مرحله، دو نقطه را که به فاصله یک سانتی متر از یکدیگرند به یکدیگر وصل می کنیم تا پاره خط، یعنی یک شکل یک بعدی به دست آوریم. سپس هر زوج از نقاط پایانی دو پاره خط یک سانتی متری را که به فاصله یک سانتی متر و به موازات هم قرار دارند، به یکدیگر متصل می کنیم تا به یک مربع یک سانتی متری، یعنی یک شکل دو بعدی برسیم. در مرحله ی بعد، گوشه های متناظر دو مربع یک سانتی متری را که موازی یکدیگرند، و مثلاً اولی به فاصله ی یک سانتی متر بالای دومی قرار دارد، به هم وصل می کنیم تا یک مکعب سه بعدی حاصل شود.
پس برای بدست آوردن یک ابرمکعب یک سانتی متری، باید دو مکعب یک سانتی متری را که به فاصله ی یک سانتی متر و به موازات هم قرار دارند در نظر بگیریم و سپس رأس های متناظر را به هم وصل کنیم. به این شیوه یک ابرمکعب یک سانتی متری، یعنی یک شکل چهار بعدی حاصل شود.
مشکل این است که باید در هر مرحله در یک جهت جدید حرکت کنیم. این جهت جدید باید عمود بر جهت های قبلی باشد. اما تمام جهاتی که برای ما قابل دسترسند با حرکت به جلو و عقب، راست و چپ و بالاخره بالا و پایین قبلاً استفاده شده اند. ما موجوداتی سه بعدی هستیم که قادر نیستیم از فضای سه بعدی به چهارمین بعد گذر کنیم. در حقیقت تصور چهارمین بعد فیزیکی شاید در حد یک تخیل و یک دست آویز برای داستان های علمی تخیلی باشد. تنها نکته راجع به آن این است که ما می توانیم آن را تصور کنیم و این که هیچ چیز غیرمنطقی و ناسازگار در مورد تصورمان وجود ندارد.
اگر ابرمکعبی چهاربعدی وجود داشته باشد، می توانیم بسیاری از خواص آن را کشف کنیم. می توانیم تعداد رأس ها، یال ها و وجه های آن را بشماریم. چون ابرمکعب از اتصال دو مکعب سه بعدی که هر کدام 8 رأس دارند ساخته شده است، باید 16 رأس داشته باشد. علاوه بر همه یال هایی که آن دو مکعب دارند، یال های جدیدی نیز دارد، یک یال به ازای هر زوج از رأس هایی که به هم وصل می شوند، پس 32=8+12+12 یال دارد. با قدری فکر می توان دید که ابرمکعب 24 وجه ( مربعی) و 8 ابر وجه ( مکعبی) دارد.
جدول زیر تعداد « قسمت های» پاره خط، مربع، مکعب و ابرمکعب را نشان می دهد این اکتشافی شگفت انگیز است که مجموع این قسمت ها همیشه توانی از سه است.

 

بعد	شی	وجه 0 بعدی (رأس)	وجه 1 بعدی (رأس)	وجه 2 بعدی (رأس)	وجه 3 بعدی (رأس)	وجه 4 بعدی (رأس)
0	نقطه	1	-	-	-	-
1	پاره خط	2	1	-	-	-
2	مربع	4	4	1	-	-
3	مکعب	8	12	6	1	-
4	ابرمکعب	16	32	24	8	1

در یک درس حل تمرین برای معلم های دبیرستان و محصلین، کشف تدریجی این حقایق در مورد ابرمکعب معمولاً یک یا دو هفته طول می کشد. حقیقت این است که این همه اطلاعات روشن درباره ی ابرمکعب گویای این است که به مفهومی، ابرمکعب وجود دارد.
البته این مکعب از نظر فیزیکی وجودی خیالی است. وقتی که از تعداد رأس های یک ابرمکعب می پرسیم، منظورمان این است که اگر یک چنین چیزی وجود می داشت، چه تعداد رأس می توانست داشته باشد. این شبیه این لطیفه ی قدیمی است که « اگر شما برادری می داشتید، آیا شاه ماهی دوست می داشت؟» تفاوت این است که سؤال در مورد برادری که وجود ندارد احمقانه است در حالی که سؤال درباره ی رأس های مکعبی که وجود ندارد چنین نیست، زیرا دارای جواب معینی است.
در حقیقت با به کار بردن روش های جبری، یعنی با تعریف یک ابر مکعب به کمک مختصات، می توانیم به هر سؤال درباره ی آن پاسخ دهیم. می توانیم آن را به جبر تحویل کنیم، دقیقاً چنان که هندسه ی تحلیلی معمولی سؤالات مربوط به شکل های دو یا سه بعدی را به جبر تحویل می کند. جبر چهار متغیره اساساً مشکل تر از جبر دو یا سه متغیره نیست، پس می توانیم پرسش های مربوط به ابر مکعب ها را به همان سادگی سؤالات مربوط به مربع ها و مکعب ها پاسخ دهیم. به این طریق، ابرمکعب یک مثال خوب برای چیزی است که وجود ریاضی خوانده می شود. این شی فرضی یا تصوری است ولی هیچ شکلی درباره ی تعداد رأس ها، یال ها، وجه ها و ابر وجه های آن وجود ندارد!
اشیاء هندسه دو یا سه بعدی معمولی اشیایی ریاضی اند که گرچه فرضی یا تصوری هستند ولی به واقعیت فیزیکی نزدیک اند، بر خلاف ابرمکعب که ما نمی توانیم آن را بسازیم مکعب سه بعدی یک شی ایده آلی است. اما می توانیم با نگاه به یک مکعب چوبی خواص مکعب سه بعدی را معین کنیم. تعداد یال های مکعب سه بعدی 12 است چنان که تعداد یال های یک حبه قند نیز 12 است. می توانیم با رسم تصاویر یا ساختن مدل ها و سپس بررسی آن ها اطلاعات زیادی درباره ی هندسه ی دو یا سه بعدی به دست آوریم. ممکن است با درست استفاده نکردن از یک تصویر یا مدل به اشتباه بیافتیم، اما کمتر چنین چیزی پیش می آید. توصیف موقعیتی که در آن فردی به این طریق اشتباه کند، به مهارت نیاز دارد. علی القاعده، کاربرد تصاوییر و مدل ها سودمند است، حتی برای درک هندسه ی دو یا سه بعدی ضروری می نماید. استدلال مبتنی بر مدل ها و شکل ها، خواه واقعی خواه تصاویر ذهنی آن ها، استدلال شهودی نامیده می شود که در برابر استدلال دقیق یا صوری قرار دارد.
وقتی به هندسه ی چهار بعدی می رسیم، به نظر می رسد که چون ما موجوداتی سه بعدی هستیم، بر اساس سرشت خود، امکان استدلال شهودی درباره ی اشیا چهار بعدی نداریم. ولی چنین نیست، درواقع درک شهودی اشیا چهار بعدی غیرممکن نیست.
در دانشگاه براون، تاوماس بنکاف که یک ریاضی دان و چارلز اشتراس که یک دانشمند کامپیوتر است، تصاویر متنحرک کامپیوتری از یک ابرمکعب که به درون و بیرون فضای سه بعدی ما حرکت می کند تهیه کرده اند.
برای درک آن چه انجام داده اند موجود دو بعدی مسطحی را تصور کنید که در سطح یک استخر زندگی می کند و فقط می تواند اشیا روی این سطح ( ولی نه بالا یا پایین سطح) را ببیند.
این موجود مسطح به دو بعد فیزیکی محدود است دقیقاً همچون ما که به سه بعد فیزیکی محدود هستیم. او می تواند از اشیا سه بعدی فقط از طریق مقاطع دو بعدی آن ها با جهان مسطحش آگاه شود. اگر یک مکعب صلب از هوا به داخل آب عبور نماید، او مقاطع عرضی را که مکعب با سطح آب هنگام ورود به سطح، گذر از آن و بالاخره ترک سطح می سازد، می بیند.
در صورتی که مکعب مکرراً تحت زوایا و جهات مختلف از سطح مزبور گذر کند، موجود دو بعدی سرانجام اطلاعات کافی برای درک مکعب، حتی اگر نتواند از جهان دو بعدی خود بگریزد، خواهد داشت.
فیلم های اشتراس – بنچاف نشان می دهد که ما چه خواهیم دید، اگر یک ابرمکعب از فضای سه بعدی ما تحت یک یا چند زاویه عبور کند. ما شکل های کم و بیش پیچیده ای از رأس ها و یال ها خواهیم دید. توصیف آن چه ما به کمک یک فرمول ریاضی تصور می کنیم یک چیز است و دیدن تصویری از آن و حتی بهتر دیدنش در حال حرکت، یک چیز کاملاً متفاوت با آن است. وقتی که فیلم بنچاف – اشتراس را دیدم تحت تأثیر موفقیت بزرگ آن ها و لذت بصری حاصل از تماشای آن قرار گرفتم. اما کمی احساس ناامیدی به من دست داد، زیرا من هیچ احساس شهودی از ابر مکعب به دست نیاوردم.
چند روز بعد در مرکز محاسبه دانشگاه براون، اشتراس چگونگی عمل با سیستم گرافیکی که تولید چنین فیلمی را ممکن ساخت به من نشان داد. کاربر، پشت دستگاه کنترل در جلوی صفحه یک تلویزیون می نشیند. سه کلید به او اجازه ی چرخش یک شکل چهاربعدی روی هر زوج از محورها در فضای چهاربعدی را می دهد و به این ترتیب وی روی صفحه، اشکال سه بعدی مختلفی را که حاصل تلافی شکل چهار بعدی با فضای سه بعدی است می بیند.
کنترل دستی دیگری این امکان را فراهم می کند که این برش سه بعدی را به دلخواه به اطراف بچرخانیم. دکمه ی دیگری اجازه می دهد که تصویر را منسجم یا منقبض کنیم، جلوه ی حاصل این است که بیننده فکر می کند در حال پرواز، از تصویر دور می شود یا به سوی ( در واقع به توی) تصویر روی صفحه نمایش حرکت می کند ( در فیلم جنگ ستارگان بعضی از جلوه های پرواز در نبرد ستاره ای به همین شیوه با گرافیک های کامپیوتری خلق شده است). در مرکز کامپیوتر، اشتراس نشان داد چطور این کنترل ها می توانند برای به دست آوردن تصاویر سه بعدی گوناگون از ابرمکعب به کار روند.
من تماشا کردم و تمام سعی خودم را کردم تا آن چه را نگاه می کردم دریابم. او سپس بلند شد و پیشنهاد کرد روی صندلی، جلوی دستگاه بنشینم. سعی کردم ابرمکعب را بچرخانم، آن را دور یا نزدیک کنم یا به طرق دیگر بچرخانم. ناگهان توانستم آن را احساس کنم! وقتی یاد گرفتم چگونه با آن کار کنم ابرمکعب، تحت احساس قدرت در نوک انگشتانم برای تغییر آن چه می دیدم و بازگشت به حال قبل، به وجودی حس شدنی تبدیل شد. کنترل فعال در میز فرمان کامپیوتر اتحادی از حرکات جسمی و تفکر بصری به وجود آورد که در نتیجه، ابرمکعب را تا سطح درک شهودی پیش راند.
در این مثال، می توانیم کار را فقط با درک مجرد یا جبری آغاز کنیم که برای طراحی یک سیستم کامپیوتری به کار می رود. سیستمی که برای ابرمکعب انواع تجارب شامل کنترل کردن، حرکت دادن و دیدن مکعب های سه بعدی واقعی را به اجرا می گذارد و شهود سه بعدی آن را به ما می دهد. بنابراین شهود چهار بعدی برای کسانی که خواهان یا محتاج به آنند قابل دسترس است.
وجود این امکان امیدهای جدیدی را برای تحقیق در مورد شهود ریاضی نوید می دهد . به جای کار با اطفال، تشریح نژادها یا مواد تاریخی که در مکتب پیاژه برای مطالعه تکوین شهود هندسه مقدماتی باید صورت پذیرد، می توانیم با بزرگسالان کار کنیم، خواه آنان که تربیت ریاضی یافته اند خواه آنان که به طور طبیعی رشد یافته اند، و تلاش کنیم با آزمون های روانشناختی، تکامل شهود چهار بعدی را، احتمالاً با جداسازی نقشی که با شهود صرف و کارکردن فعال بازی می شود، مستند سازیم.
تحت چنین مطالعه ای درک ما از شهود ریاضی بالا می رود و بهانه ی کمتری برای کاربرد شهود به صورت یک اصطلاح مبهم برای توضیح چیزهای سری یا مشکوک وجود خواهد داشت.
با توقف در موضوع معرفت شناسی، انسان در می ماند که آیا واقعاً ا ختلافی اساسی بین بعد چهار و بعد سه وجود دارد یا خیر. می توانیم مفهوم شهود را گسترش دهیم تا با شی تصوری چهار بعدی ما جور در آید. وقتی این کار انجام شد، به نظر نمی رسد که خیلی موهومی تر از اشیا واقعی همچون منحنی های مسطح و رویه های فضایی باشد. این ها همه اشیا ایده آلی هستند که ما قادریم هم به طور شهودی و هم به طور منطقی در اختیار بگیریم.
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن