قوانين بنيادي مکانيک سنتي (2)

 

9. جرم و اندازه حرکت (امپولس)

تاکنون فقط با يک گلوله آزمايش کرديم، ولي اينک مي خواهيم همين آزمايش را با گلوله هاي متنوع انجام دهيم، با گلوله هاي مختلف الجنس و داراي بزرگي متفاوت، بعضي توپر و بعضي توخالي، فرض مي کنيم که اين گلوله ها همگي تحت ضربه هاي يکسان به حرکت در آيند. ضربه هاي يکسان (با شدتهاي متساوي) را به وسيله چشکي که در قياس با گلوله ها بسيار سبک باشد، وارد مي آوريم. از آن جا که گلوله ها بسيار سنگينند و ضربه را در فاصله زماني بسيار کوتاه دريافت مي کنند، در پايان ضربه هنوز از جاي قبلي خود به سختي رانده مي شوند. به اين ترتيب مي توان گفت که شدت ضربه وارد آمده بر همه گلوله ها به يک اندازه است اينک آزمايش نشان مي دهد که گلوله ها از اين پس سرعتهاي متفاوت به خود مي گيرند: سبکترها (نسبت به چکش هنوز سنگين) تندتر از سنگينترها مي غلطند. پس در اين جا به يک نوع ارتباط با وزن برمي خوريم که در خصوص آن بعداً به تفصيل سخن خواهيم گفت، خلاف آن را بپذيريم، به اين معنا که مي گوييم، اين واقعيت که گلوله هاي مختف بر اثر ضربه هاي يکسان سرعتهاي متفاوت کسب مي کنند، به مفهوم انتزاعي محض ربطي به وزن ندارد. وزن در جهت پايين تأثير مي کند و موجب فشار گلوله بر سطح مي گردد، ولي هيچ نوع نيرويي در امتداد افقي ظاهر نمي کند. اينک مي بينيم که گلوله اي در برابر ضربه از گلوله ديگر متفاوت بيشتري نشان مي دهد؛ اينکه در عين حال وزن اين گلوله نيز از وزن گلوله ديگر بيشتر است يک واقعيت تجربي نو است، ولي در موضع اتخاذ شده حاضر به هيچ طريقي نمي توان آن را از مفهوم وزن استخراج کرد. آنچه که در اينجا براي ما مسلم مي شود، همانا مقاومت متفاوت گلوله ها در برابر ضربه است؛ اين مقاومت را نيروي لختي يا به طور ساده لختي (ماند) خواند و آن را از خارج قسمت ضربه J بر سرعت V دريافت شده از حالت سکون محاسبه مي کنند. براي اين نسبت نام جرم و حرف m انتخاب شده است. پس مي نويسند:
[1]
m =
فرمول مزبور حکايت از اين مي کند که، افزايش اندازه حرکت و سرعت براي يک جسم به نحوي است که نسبت J به v همواره به يک اندازه خواهد بود. اينک با اين تعريف که براي جرم شده است، انتخاب يکاي آن ديگر آزادانه نيست، زيرا که يکاهاي سرعت و ضربه از قبل تثبيت شده اند. به اين ترتيب، بعد جرم عبارت است از:
[ ] = [m]
و يکاي آن در دستگاه يکاهاي معمول، خواهد شد
cm p / کلمه جرم در زبان معمولي تقريباً مترادف است با مقدار جوهر يا کميت ماده بدون آنکه تعريف دقيقي درباره اين کميت يا مقدار داده شود. اما در فيزيک که قوياً بايد تأکيد شود، جرم جز آنچه که از دستور [1] استنباط مي گردد، معناي ديگري ندارد جز ميزان مقاومت است در برابر تغييرات سرعت،
تساوي [1] را مي توان به صورت عمومي تر زير نوشت:
[2] mw = J
اين رابطه تغيير سرعت w را که بر اثر ضربه در حرکت جسم متحرک پديد مي آيد، تعيين مي کند.
حاصل ضرب mv که از جرم و سرعت به دست مي آيد، اندازه حرکت p خوانده مي شود. کميت mw که w در آن تغيير سرعت را نمايش مي دهد، به تغيير اندازه حرکت موسوم است و بر اثر ضربه J پديد مي آيد.
تاکنون فرض ما اين بود که چکش در قياس با گلوله ها سبک باشد. از اين رو مي توانستيم ضربه نيرو را در حکم يک مقدار معلوم تلقي کنيم. اما اگر دقيق بنگريم، اين تصور درست نيست. چکش گلوله ها را قبلاً در جريان ضربه به حرکت درمي آورد، سبکتر را بيش از سنگينتر. به اين سبب ضربه هاي انتقال يافته و به همين ملاحظه اندازه حرکتهاي دريافت شده، دقيقاً به اندازه نيستند. بهتر اين خواهد بود که هر دو جسم بر خورد کننده را به يک چشم بنگريم. يعني اگر چکش را هم در حکم گلوله اي تلقي کنيم، مسئله روشنتر خواهد شد. پس اينک دو جسم را در نظر مي گيريم که روي يک خط راست با سرعتهاي v_1 و v_2 حرکت مي کنند. چنانچه اين دو جسم با يکديگر برخورد کنند، متقابلاً ضربه نيرو به يکديگر انتقال مي دهند. فرض کنيم که J_1 ضربه دريافتي اولي از دومي و J_2 ضربه دريافتي دومي از اولي باشد. بنابر اصل نيوتن که تساوي نيرو و ضد نيرو را بيان مي کند، نيروهايي که اين دو جسم متقابلاً بر يکديگر اعمال مي کنند از حيث مقدار با هم برابرند، ولي از لحاظ جهت مخالف يکديگر. و چون زمان کوتاه تأثير نيرو براي هر دو جسم به يک اندازه است، ضربه هاي نيرو متساوي و در جهات مخالف يکديگرند:
پس حاصل جمع آنها صفر است، به اين صورت که
[3]

از این جا نتیجه می شود

يعني اگر يکي از دو گلوله سرعت از دست بدهد (w1 منفي)، گلول ديگر سرعت به دست مي آورد (w2 مثبت) و بعکس.
اينک به سرعت قبل و بعد از ضربه به گلوله ها توجه مي کنيم:
براي گلوله اول،
براي گلوله دوم. در اين صورت تغيير سرعتها خواهند شد.

مي توان تساوي (8) را به صورت زير نوشت

اينک همه مقادير مربوط به قبل از ضربه را به يک سمت تساوي مي بريم و بقيه را که به بعد از ضربه مربوطند به سمت ديگر. در نهايت به دست مي آيد:
[4]

در طرف چپ تساوي مجموع اندازه حرکت قبل از ضربه گلوله ها را مي يابيم که عبارت است از

و در طرف راست مجموع اندازه حرکت بعد از ضربه را که مي شود
از اين جا تساوي
[4a] P=P’]
حاصل مي گردد و اين بدين معناست که: مجموع اندازه حرکت دو جسم بر اثر ضربه تغيير نمي کند، و اين همان قانون بقاي اندازه حرکت است.

10. نيرو و شتاب

پيش از آنکه توازي چشمگير جرم و وزن را بيشتر دنبال کنيم، مي خواهيم قوانين عايد شده را به حالتي انتقال دهيم که نيروها به طرز مداوم تأثير مي کنند؛ البته اثبات دقيق عبارات در اين مورد نيز مستلزم شيوه محاسبه بينهايت کوچکهاست، ولي دست کم مي توان نکات زير را درباره تصور تقريبي ارتباطها به دست آورد.
نيرويي که پيوسته تأثير مي کند، حرکتي ايجاد مي کند که سرعت آن مدام در حال تغيير است. اينک به جاي نيرو، ضربه هايي را به تصور مي آوريم که سريع و پي در پي وارد شوند؛ پس سرعت حرکت بر اثر هر ضربه يک تغيير ناگهاني پيدا مي کند؛ و نمودار حرکت به صورت خط جهاني شکسته اي درمي آيد. اما اين خط شکسته در واقع به طور يکنواخت با يک خط جهاني خميده کاملاً مماس مي گردد و مي تواند به جاي خط خميده محسوب شود. حال اگر n ضربه در طول يک ثانيه جاي نيروي K را بگيرد، تأثير هر يک از اين ضربه ها به ميزان J = tK خواهد بود، که t زمان کوتاه مربوط به يک ضربه را نشان مي دهد. بر اثر هر ضربه، يک تغيير سرعت w روي مي دهد و اندازه اين تغيير از تساوي mw = J = tk يا از m (w / t) = k تعيين مي شود. اما اينک با توجه به تساوي w / t = b از(2)، رابطه زير به دست مي آيد:
[5] mb = K
اين است قانون حرکت ديناميک براي نيروهايي با تأثير پيوسته؛ اين قانون مي گويد:
هر نيرويي شتابي متناسب با خود پديد مي آورد؛ ثابت نيست K / b معرف جرم است. اينک مي خواهيم شکل ديگري به اين قانون بدهيم که در بسياري از موارد ضرورت پيدا مي کند، به ويژه براي ديناميک اينشتين که بايد شکل تعميم يافته اي داشته باشد (رجوع شود به فصل ششم، بند 7، ص.283 به بعد). هنگامي که سرعت به مقدار w تغيير مي کند، اندازه حرکت جسم متحرک، يعني J = mv، به مقدار mw تغيیر خواهد کرد. از اين رو تغيير اندازه حرکت جسم در هر ثانيه (يا سرعت تغيير اندازه حرکت جسم) مي شود: mb = mw / t. پس قانون بنيادي [5] را مي توان چنين بيان کرد:
چنانچه نيروي K بر جسمي تأثير کند، اندازه حرکت اين جسم به صورتي تغيير خواهد کرد که سرعت تغيير اندازه حرکت با نيروي مؤثر K برابر باشد.
اين قانون ابتدا فقط در مورد حرکتهايي صدق مي کند که بر يک خط راست انجام شوند و تأثير نيرو نيز در امتداد همين خط باشد. چنانچه تأثير نيرو در امتداد خط حرکت نباشد، يعني نسبت به امتداد لحظه اي حرکت به سمت جانبي متوجه گردد، قانون مزبور را بايستي به صورتي تعميم يافته نمود. اينک نيرو را به صورت پيکاني که بر دو محور متعامد xy تصوير شده باشد، در نظر مي گيريم. چنين حالتي را نيروي K در صفحه مختصات xy (ش. 1) نمايش مي دهد. به همين ترتيب تصوير نقطه متحرک بر محورها را در نظر مي گيريم؛ بنابراين هر نقطه هاي تصويري، حرکتي حول محور خود انجام مي دهد. اينک قانون حرکت چنين بيان مي شود که، شتابهاي اين حرکتهاي تصويري با مؤلفه هاي نيروي مربوطه به صورت تساوي K = mb ارتباط دارند. ولي ما در اين گونه مقولات که از طريق رياضي تعميم داده مي شوند از لحاظ ماهيت هيچ مطلب تازه اي عرضه نمي کنند، نمي خواهم عميقاً وارد شويم.

11. نوسانهاي کشسان

به عنوان نمونه ارتباط نيرو با جرم و شتاب جسمي را در نظر مي گيريم که تحت تأثير نيرو نوسان مي کند. يک تيغه نازک و پهن فولادي را گرفته يک سر آن را به محلي محکم مي کنيم، به طوري که لبه باريک تيغه به هنگام تعادل در وضع افقي قرار گيرد؛ گلوله اي را نيز به سر ديگر تيغه وصل مي کنيم (ش.2). حال تيغه مي تواند در سطح افقي به اين سو و آن سو نوسان کند. اما عامل وزن در حرکت تيغه تأثيري ندارد، فقط نيروي کشسان فنر است که تيه را به نوسان درمي آورد. حرکت گلوله را براي انحرافهاي کوچک مي توان به خط مستقيم به حساب آورد، و اين خط فرضاً محور x است.
اينک اگر حرکتي به گلوله داده شود؛ اين گلوله يک رشته نوسانهاي تناوبي انجام مي دهد. وجود اين نوسانها را بدين نحو مي توان شناخت که گلوله را با دست کمي منحرف سازند و تأثير نيروي واکنش فنر را بر دست احساس کنند. هنگامي که گلوله را رها کنند، نيروي واکنش فنر شتابي به گلوله مي دهد، و گلوله با سرعتي فزاينده به سمت مرکز برمي گردد. ولي اين نيروي باز گرداننده و به همين نسبت شتاب در ضمن اين برگشت پي در پي کاهش مي يابد، به طوري که در موضع مرکزي درست به صفر مي رسد. پس گلوله در اين موضع به حالت تعادل است و تحت تأثير هيچ نيرويي نيست؛ در همين موضع که سرعت به حداکثر رسيده است، شتاب تا حداقل صفر تنزل کرده. اما گلوله دراين وضع باقي نمي ماند و تحت تأثير نيروي لختي (نيروي ماند) از محل تعادل به سمت جلو خيز برمي دارد، و در همين ضمن نروي فنر در حکم عامل بازدارنده وارد مي شود و حرکت را ترمز مي کند. هنگامي که ميزان انحراف به حد سمت ديگر برسد، سرعت تا صفر تنزل کرده، ولي نيروبه بالاترين مقدار خود رسيده است؛ در همين لحظه، شتاب هم به حداکثر رسيده و جهت سرعت را برمي گرداند. اينک همين فرايند از اين نقطه در جهت معکوس تکرار مي شود.
حال اگر يک گلوله داراي جرم ديگر به جاي اين گلوله قرار گيرد، ملاحظه مي شود که روند حرکت همچنان باقي مي ماند، ولي مدت يک نوسان تغيير مي کند. در مورد جرم بزرگتر، حرکت کندتر مي شود و شتاب کوچکتر؛ نتيجه اينکه کوچک شدن جرم موجب بالا رفتن عدد نوسان خواهد شد.
در بسياري از موارد مي توان پذيرفت که نيروي باز کشاننده K با انحراف x دقيقاً متناسب است. آنگاه شکل هندسي فرايند حرکت را به صورت زير مي توان نمايان کرد. يک نقطه متحرک p که محيط دايره اي به شعاع a را در مدت زمان T يک بار دور بزند، در نظر گرفته مي شود. در اين صورت شماره دور زدنهاي نقطه مزبور در هر ثانيه عبارت است از = 1 / T v. نقطه p محيط دايره را که 2πaاست (……14/3 =π) با سرعت av π2 a / t = π2 طي مي کند. چنانچه p به اندازه مسافت s را در مدت زمان t بپيمايد، براي سرعت s/t=2πav را به دست مي آوريم.
اينک مرکز دايره O را نقطه صفر يک دستگاه مختصات قائم اختيار مي کنيم و مختصات p را د راين دستگاه با x، y نشان مي دهيم. هنگامي که نقطه p بر محيط دايره مي چرخد، تصوير p بر محور x، يعني نقطه A روي محور مزبور حرکت رفت و آمدي مي کند، درست مانند جرم متصل فنر. پس اين نقطه p در حکم جرم نوسان کننده است. هنگامي که نقطه p قطعه کمان کوچک s را طي مي کند، A به اندازه قطعه کوچک ξ روي محور x مي رود، و t / ξv = سرعت A خواهد بود. شکل 3 نشان مي دهد که جابجاييهاي ξ و s عبارتند از ضلع قائم و وتر يک مثلث قائم الزاويه کوچک که با مثلث بزرگ قائم الزاويهOAP محققاً متشابه است، زيرا که ضلعهاي متناظر عمود بر يکديگرند. پس تناسب زير صادق است:
حال نقطه B که تصوير نقطه p بر محور y است، درست يک حرکت رفت و آمدي مشابه روي اين محور انجام مي دهد؛ بر اثر يک جابه جايي کوچک s به توسط p، نقطه B به اندازه n جابه جا مي شود، و رابطه مشابه زير به دست مي آيد:
η =
η منفي است، زيرا که y کاهش مي يابد.
اين تغييرη که از تغيير y ناشي مي شود، مطابق است با تغييري که در سرعت نقطه A يعني در
2
vy = v روي مي دهد. مقدار اين تغيير سرعت عبارت است از:
**18
w =
علامت منفي به اين معناست که سرعت کاهش مي يابد.
با توجه به اندازه هاي 2πa = s و 1 / t = v، براي شتاب خواهيم داشت:

بنابراين براي x مثبت هم b همچنان منفي است. پس ملاحظه مي شود که در حرکت نوساني نقطه A، شتاب در هر لحظه واقعاً با انحراف x متناسب است. براي نيرو به دست مي آيد:
[6]
X
m - = K = mb
علامت منفي جلو K نشان مي دهد که نيرو گلوله را در هر لحظه به سمت نقطه مرکزي x = 0 مي راند.
به اين ترتيب، با اندازه گيري نيروي K متعلق به انحراف x و شماره کردن نوسانها، مقدار جرم m را مي توان تعيين کرد.
صورت خط جهاني چنين نوساني محققاً يک خط موج واقع در سطح xt است؛ x در اين تصوير امتداد نوسان را نشان مي دهد (ش. 4). در اين تصوير فرض اين است که گلوله در لحظه t = 0 از نقطه مرکزي x = 0 به سمت راست عبور مي کند. ديده مي شود که شاخه منحني همواره به هنگام عبور از محور t، يعني موقعي که x = 0 است نسبت به محور x خفته تر مي گردد و بدين نحو بزرگترين سرعت را نشان مي دهد؛ از اين رو منحني در آنجا خميدگي ندارد، پس تغيير سرعت يا شتاب در آنجا صفر است. اما منحني در جاهايي که انحراف به بزرگترين مقدار مي رسد، يک وضع کاملاً معکوس به خود مي گيرد.

12. وزن و جرم

هم اکنون به هنگام وارد کردن مفوم جرم تثبيت کرديم که، جرم و وزن به نحوي چشمگير به موازات يکديگر خودنمايي مي کنند. جسمهاي سنگين بيش از جسمهاي سب در برابر نيروهاي شتابدهنده مقاومت نشان مي دهند. آيا اين امر با يک قانون دقيق ارتباط دارد؟ در حقيقت چنين است. براي آنکه موضوع روشن شود، بار ديگر به آزمايشي مي پردازيم که گلوله هايي بر سطح افقي و صاف ميزي قرار گرفته اند و بر اثر ضربه بحرکت در مي آيند. دو گلوله A و B را اختيار مي کنيم، به طوري که سنگين B دو برابر سنگيني A باشد، يعني در يک کفه ترازو با دو نمونه A در کفه ديگر تعادل برقرار مي کند. اينک بر A و B که بر سطح ميز قرار گرفته اند، ضربه هاي يکسان وارد مي آوريم و به سرعت حرکت آنها توجه مي کنيم؛ خواهيم ديد که A درست دو برابر تندتر از B مي غلتد.
بنابراين t گلوله دو برابر سنگين B مقاومتي در برابر تغيير سرعت از خود نشان مي دهد که درست دو برابر مقاومت گلوله A است. اين مطلب را همچنين مي توان چنين بيان کرد: جرمها موجوديت خودرا به نسبت موجوديت وزنها نمايان مي کنند. نسبت وزن G به جرم m يک مقدار کاملاً معين است، اين مقدار را با g نمايش داده مي نويسند:
آزمايشي که براي توضيح قانون مورد نظر اجرا کرديم، البته بسيار نقص دارد (1). ولي بسيار پديده هاي ديگر هستند که عين اين واقعيت را اثبات ميکنند، از همه چشمگيرتر اينکه جسمها همگي با تندي متساوي سقوط مي کنند. در اين مورد البته فرض اين است که نيرويي جز نيروي سنگيني در ايجاد حرکت دخيل نباشد؛ پس آزمايش را بايد در لوله خلاء، انجام داد، تا مقاومت هوا در ميان نباشد. يک سطح شيبدار که دو گلوله به ظاهر يکسان ولي با سنگينيهاي متفاوت روي آن قرار گرفته باشند، براي اين آزمايش بسيار مناسب است (ش. 5). دو گلوله را بر سطح مزبور قرار مي دهند و ملاحظه مي کنند که هر دو گلوله همزمان به پايين سطح مي رسند.
وزن نيروي محرک است، و جرم موجب مقاومت ميگردد. چنانچه اين هر دو در موقعيت متساوي قرار گيرند، جسم سنگينتر در واقع شديدتر از جسم سبکتر رانده مي شود، ولي در عوض مقاومت بيشتري در مقابل رانش از خود ظاهر مي کند، و نتيجه اين است که جسمهاي سنگين و سبک هر دو با سرعت يکسان به سمت پايين مي غلتند يا به طريق آزاد سقوط مي کنند. اين واقعيت را از دستورهاي ذکر شده همچنين به روشني مي توان دريافت. چون اگر وزن G را در رابطه [5] به جاي نيرو قرار دهند و اين وزن را بنابر رابطه [7] متناسب با جرم تلقي کنند، تساوي زير به دست خواهد آمد
mb = G = mg
و در نهايت
[8]
b = g.
پس جسمهايي که فقط تحت تأثير نيروي سنگيني در حال حرکتند، خواه در پرتاب و خواه در سقوط آزاد، همگي شتاب به يک اندازه و در راستاي قائم به سمت پايين مي گيرند. کميت g که شتاب سنگيني ناميده مي شود، بالغ است بر
**22
g = 981cm /
دقيقترين راه براي آزمودن اين قانون همان آزمايش با آونگ رشته اي است. نيوتون از قبل پي برده بود که دوره نوسان را در صورتي که طول رشته l ثابت بماند، براي هر جسم آونگي اختياري يکسان است. فرايند نوسان کاملاً مانند نوسان کشساني است که قبلاً ملاحظه کرديم، فقط با اين تفاوت که اينک به جاي نيروي پس کشنده فنر، نيروي سنگيني اين عمل را انجام مي دهد. نيروي سنگيني را به صورت دو مؤلفه جداگانه بايد در نظر گرفت؛ يکي در امتداد رشته که موجب کشيده شدن اين رشته مي گردد؛ ديگري را در جهت حرکت که باعث حرکت آونگي گلوله مي شود.
اينک در تصوير(ش. 6) ملاحظه مي شود که گلوله آونگي به موضع انحراف x رسيده است. در اين جا دو مثلث قائم الزاويه متشابه به چشم مي خورند، به طوري که بين اضلاع اين مثلثها تناسب زير برقرار است:
علامت منفي در اين جا نشان مي دهد که نيرو به سمت موضع تعادل x = 0 متوجه است. به اين ترتيب، براي دو گلوله به جرمهاي G1 و G2 که طول رشته l متساوي داشته باشد، از دستور [6] به دست مي آيد:

پس:

يعني نسبت وزن به جرم براي هر دو آونگ يکسان است. اين نسبت را قبلاً در دستور[7]، g ناميديم، از اين رو تساوي زير را به دست مي آوريم:
[9]
l
g =
در اين تساوي ديده مي شود که از طريق اندازه گيري طول آونگ l و شماره نوسانها v، مقدار g را مي توان تعيين کرد.
غالباً از قانون تناسب وزن با جرم صحبت مي شود، مي گويند: «جرم سنگين و جرم لخت با يکديگر برابرند.»
منظور از جرم سنگين، صرفاً خارج قسمت وزن بر g است، و به منظور متمايز کردن اين جرم از ديگري، صفت «لخت» را به دنبال جرم واقعي مي افزايند.
اما اينکه قانون فوق مسلم و دقيقاً صادق است، از همان زمان بر نيوتون پوشيده نبود، و اکنون نيز پس از يک رشته آزمايشهاي بسيار ظريف که به توسط اوتوش (2) (1890) انجام گرفته، صحت آن قوياً تأييد شده است. بنابراين جايز و به حق است که جرمها را نيز مانند وزنها توزين مي کنيم.
اينک ناگزير چنين فکري به مغز خطور مي کند که اين قانون بايستي در پايه و زير بناي مکانيک قرار گرفته باشد. اما آنچنان که توصيف نسبتاً دقيق ما از محتوا و مفهوم مکانيک سنتي نشان مي دهد، به هيچ وجه اين طور نيست. در حقيقت مي توان گفت که اين قانون به نوعي خاص و به صورتي لغزنده قوانين ديگر چسبيده است. اين واقعيت طبعاً بسياري از کسان را به شگفت آورده بود، ولي هيچيک از اينان به فکر نيفتاد که عمق اين ارتباط را بيابد. در واقع فراوان و گوناگونند آن نيروهايي که مي توانند بر جرم وارد آيند، پس به چه علت بايد انتظار نداشت که يکي از اين نيروها متناسب با جرم بوده باشد؟ هنگامي که سؤالي مطرح نشود، چگونه مي توان انتظار جواب داشت. به هر حال مسئله دست نخورده و به همين صورت در طي قرنهاي متمادي باقي مي ماند، و دوام اين وضع فقط در سايه غلبه مکانيک گاليله و نيوتون ممکن بوده است. مکانيک نيوتن در حالي که حرکتهاي زميني و آسماني را زير سلطه گرفته بود، در حکم مطمئن ترين پايه براي سراسر علوم طبيعي خودنمايي کرد. هدف پژوهشهايي علمي در اواسط قرن نوزدهم حتي اين بود که کليه فرايندهاي فيزيکي را از ديدگاه آموزش نيوتوني بنگرند و به صورت مکانيکي توجيه کنند. در حقيقت پيش از آنکه ساختمان را بسازند، معلوم نبود که پي ريزي ساختمان مورد نظر قدرت تحمل چنين باري را دارد يا نه. نخستين بار اينشتين بود که دريافت، قانون تساوي جرم لخت و جرم سنگين براي پايه هاي علم فيزيک تا چه اندازه مهم است.

13. مکانيک تحليلي

وظيفه مکانيک محاسباتي تحليلي عبارت است از اينکه، مشخصات حرکت را بر اساس نيروهاي معلوم K از قانون
m b = K
استخراج کند. از تساوي اخير فقط مي توان شتاب يعني تغيير سرعت حرکت را شناخت. حال آنکه سرعت در مرحله بعد بر اساس شتاب محاسبه مي شود، و سپس تعيين مکان نقطه متحرک از اندازه هاي سرعت به دست مي آيد، يعني از طريق محاسبات پيچيده و دشوار انتگرال ميسر تواند بود، خاصه اگر نيروهاي دخيل بر حسب زمان و مکان به طرزي پيچيده متغير باشند. مشتق تغيير مکان در حرکت مستقيم همراه با شتاب يکنواخت، نوع بررسي مکانيک تحليلي را نشان مي دهد. از اين پيجيده تر حرکت در سطح است، مثلاً در پرتاب يا سقوط جسمها که حرکت بر اثر يک نيروي ثابت در جهت خاص و معين صورت مي گيرد. در اين جا هم جاي مسير پيوسته را تقريباً مي توان به حرکتهاي داد که بر اثر ضربه هاي متوالي پديد مي آيند و به دنبال يکديگر مي پيوندند. حال بار ديگر به حرکت گلوله روي ميز برمي گرديم و فرض مي کنيم که ضربه هاي يکسان و همسو در فاصله هاي زماني کوتاه و يک اندازه t به گلوله در حال غلتيدن وارد آيند (ش. 7). چنانچه گلوله حرکت خود را با سرعتي اختياري از نقطه صفر آغاز کرده باشد، پس از زمان t به نقطه 1 که محل دريافت نخستين ضربه است مي رسد. گلوله جهت حرکتش را از اين نقطه تغيير مي دهد و با يک سرعت ديگر حرکت خواهد کرد، تا پس از زمان 2t به نقطه 2 برسد و در آن جا ضربه ديگري دريافت کند و جهت حرکت خود را تغيير دهد، به همين ترتيب تا آخر. يکايک انحرافها به وسيله قانون اندازه حرکت قابل تعيين است. از اين سراسر حرکت را مي توان با يک نمودار ترسيمي نمايش داد و ملاحظه کرد که روال بعدي حرکت از روي سه معلوم نقطه مبدأ، جهت اوليه و سرعت کاملاً مشخص است. و اين نوع حرکت گام به گام گلوله تقريباً نمايي است از حرکت گلوله بر سطح شيبدار. حال هر قدر فاصله زماني بين ضربه ها کوتاهتر انتخاب شود، نمودار ترسيمي صورت واقعي حرکت را بهتر نمايش خواهد داد.
آنچه که در اين جا از طريق ترسميي عايد مي شود، در مورد نيروهاي پيوسته مؤثر، از طريق محاسبه انتگرال به دست مي آيد. در آنجا هم انتخاب نقطه مبدأ و اندازه سرعت اوليه کاملاً اختياري است. چنانچه اين معلومات در دست باشند، روال بعدي حرکت کاملاً مشخص و معلوم خواهد بود. پس بعيد نيست که يک قانون واحد بر حسب انتخاب شرايط اوليه ناظر بر يک رشته حرکتهاي بيشمار بوده باشد، همچنانکه حرکتهاي سقوطي و پرتابي بيشمار را يگانه قانوني شامل مي گردد که نيروي سنگيني در راستاي عمودي و به سمت پايين عمل مي کنند.
در مسائل مکانيکي معمولاً موضوع حرکت يک جسم واحد در ميان نيست، بلکه صحبت بر سر چندين جسم است که بر يکديگر نيرو وارد مي آورند. در اين صورت نيروها نيز معلوم نيستند و خود مضافاً به حرکت ناشناخته بستگي دارند. از اين رو مي توان تصور کرد که شناسايي حرکت چندين جسم به شيوه محاسباتي بسيار پيچيده و دشوار است.

14. اصل انرژي

اما اصلي هست که مسئله را بسيار آسان و روشن مي کند و نيز براي ادامه تحول علوم فيزيکي داراي اهميت زياد شده است. و اين همان اصل بقاي انرژي است. در اين جا طبعاً نمي توانيم صورت کلي و عام اين اصل را بيان يا اثبات کنيم. قصد ما فقط اين است که در ضمن بررسي يک مثال ساده، به محتواي اين اصل پي ببريم.
يک گلوله آونگي را که به سمتي کشيده از يک ارتفاع معين رها کنند، در سمت ديگر نقطه مرکزي باز تا همان ارتفاع بالا خواهد رفت - البته با يک اختلاف جزئي که معلول اصطکاک و مقاومت هواست (ش. 8). چنانچه مسير ديگري نظير ناودان سرسره براي گلوله در نظر بگيريم و گلوله را بر اين مسير بگذاريم تا بغلتد، باز همين وضع پيش خواهد آمد (ش. 9)، يعني گلوله در اين مسير نيز همواره از نو به ارتفاعي که قبلاً داشته بود، خواهد رسيد.
از اين جا به آساني مي توان دريافت که سرعت گلوله در هر نقطه اختياري p در واقع در مسيرش بستگي به اين دارد که نقطه مزبور تا چه اندازه پايين تر از نقطه ابتدايي A قرار گرفته باشد. براي آنکه يقين حاصل کنيم، قطعه مسافت AP را تغيير مي دهيم و بقيه مسير را که PB باشد به همان صورت برجا مي گذاريم. چنانچه گلوله اين بار با يک سرعت اوليه ديگر حرکتش را از نقطه p ادامه دهد، انتهاي مسير آن ديگر نقطه B نخواهد بود؛ چون براي رسيدن به نقطه B محققاً يک سرعت اوليه معين از نقطه p لازم است. پس نتيجه مي گيريم که سرعت گلوله در نقطه p به شکل مسير بستگي ندارد، و چون نقطه p اختياري است، اعتبار نتيجه گيري اخير جنبه عمومي دارد. به اين ترتيب، فقط ارتفاع سقوط h است که عامل تعيين کننده سرعت v است. صحت اين قضيه البته منوط به اينست که سطح شيار در حکم خط سير گلوله مقاومتي نداشته باشد، يعني نيرويي در جهت مخالف حرکت گلوله اعمال نکند، بلکه فقط فشار عمودي گلوله راتحمل نمايد. چنانچه شيار مزبور حذف شود، حرکت سقوطي يا پرتابي به ميان مي آيد، و عين همين قضيه صادق خواهد بود: سرعت در هر موضعي فقط به ارتفاع سقوط بستگي دارد.
اين واقعيت را نه تنها از طريق تجربه مي توان اثبات نمود، بلکه از قوانين حرکت هم مي توان استخراج کرد. در اين ضمن مضافاً شکل قانون حرکت که نحوه بستگي سرعت به ارتفاع سقوط را تنظيم مي کند به دست مي آيد، به اين شرح که:
هرگاه راه سقوط x از پايين به بالا مثبت به حساب آيد(ش. 10) و v و m و G به ترتيب سرعت و جرم و وزن جسم را نمايش دهند، آنگاه مقدار
[10]
G x +
E =
در تمام طول راه سقوط به يک اندازه و نامتغير خواهد بود.
به منظور اثبات اين مطلب، ابتدا فرض مي کنيم که E يک مقدار اختياري و تابع حرکت باشد، به طوري که در هر لحظه تغيير کند. E در خلال زماني t به اندازه e تغيير مي کند. اينک نسبت e / t را به عنوان سرعت تغيير E تلقي مي کنيم، به اين معنا که در اين مورد نيز (چنانکه قبلاً در تعريف سرعت v و شتاب b ملاحظه شد)، خلال زماني t همواره کوچکتر و کوچکتر منظور مي گردد. چنانچه مقدار E در طول زمان تغيير نکند، سرعت تغيير آن طبعاً صفر خواهد بود، و بعکس. حال تغيير e مربوط به E را محاسبه مي کنيم. ارتفاع سقوطي x در فاصله زماني t به اندازه vt کاهش مي يابد، و سرعت v در همين فاصله به اندازه w = bt افزايش پيدا مي کند. از اين رو E پس از گذشت زمان t به اندازه
خواهد بود. اينک با توجه به
v + w)2 = v2 + w2 + 2vw)
ملاحظه مي شود که مرجع حاصل جمع قطعه هاي v و w را مي توان تجزيه نمود به يک مربع با ضلع v، يک مربع با ضلع w و دو مستطيل متساوي داراي ضلعهاي v و w (ش.11). از اين جا نتيجه مي شود:
mvw + Gx - Gvt +
E’
چنانچه مقدار قبلي E را از E’ بکاهيم، باقي خواهد ماند
mvw - Gvt +
E E’ -= e
يا چون w = bt است، خواهیم داشت:
و در نهايت سرعت تغيير به صورت زير به دست خواهد آمد:
Gv - mvb + t
اما در جمله داراي t طرف راست تساوي را مي توان ناديده گرفت، زيرا که t را مي توان به دلخواه کوچک انتخاب کرد. بدين ترتيب براي سرعت تغيير اندازه نهايي زير حاصل مي گردد:

ولي مقدار اين عبارت به اعتبار قوانين مکانيک صفر است، زيرا که بنابر دستور [8] داريم mb = mg = G. به اين ترتيب اثبات شد که مقدار E در رابطه [10] در طول زمان غيرمتغیير باقي مي ماند.
پس چنانچه در لحظه t = 0 براي نقطه آغاز x و سرعت اوليه v اندازه هايي اختيار شود، عبارت E مقداري پيدا خواهد کرد که در تمام طول حرکت ثابت باقي خواهد ماند.
ازاين جا نتيجه مي شود که اگر جسم بالا رود، يعني اگر x افزايش يابد، از سرعت بايد کاسته شود، و بعکس. به عبارت ديگر، ترقي هر يک از دو جمله E به بهاي تنزل جمله ديگر تمام مي شود. اولي وضع سرعت را توصيف مي کند، دومي ارتفاعي را که جسم در خلاف نيروي سنگيني پيدا کرده است. براي هر يک از اين دو جمله نامي مخصوص در نظر گرفته شده است:
T = را که انرژي جنبشي يا انرژي حرکتي مي نامند، و U = Gx را که قادر به تحويل کار است انرژي پتانسيل. رويهم اين دو جمله به صورت مختصر کلي
[11]
T + U = E
انرژي مکانيکي خوانده مي شود، و اصي که بر تغيير ناپذيري اين انرژي در ضمن حرکت حکم مي کند، به اصل بقاي انرژي موسوم است
بعد هر کميت از نوع انرژي به صورت [Gl] = [E] است، و يکاي آن p cm.
اين توضيح که انرژي پتانسل قادر به انجام کار است، البته از توانايي کاري سرچشمه مي گيرد که بدن انسان به هنگام بلند کردن وزني از خود ظاهر مي کند. بنابر اصل انرژي، اين کار به هنگام سقوط وزن به انرژي جنبشي تبديل مي گردد. حال اگر عکس اين قضيه اتفاق بيفتد، مثلا به جسمي از طريق پرتاب انرژي جنبشي بدهند، اين انرژي در ضمن بالا رفتن جسم به انرژي پتانسيل تبديل خواهد شد.
آنچه که در اين جا در مورد رکت سقوطي بيان کرديم، به دقت تمام و کاملترين وجه براي دستگاه هاي مرکب از جسمهاي متعدد اختياري نيز صدق مي کند، البته با اين قيد که دو شرط زير مي بايد از قبل برقرار باشد:
1) دستگاه بايد در خود بسته باشد، يعني هيچ عامل خارجي در آن تأثير نکند.
2) هيچ فرايندي که انرژي مکانيکي را به شکل ديگر انرژي از قبيل انرژي گرمايي، الکتريکي يا شيميايي و غيره تبديل کند، نبايد در ميان باشد.
در اين صورت، عبارت
E = T + U
همواره صادق است؛ به اين شرح که انرژي جنبشي به سرعتها، و انرژي پتانسيل به مواضع جسم متحرک بستگي دارد. اين در واقع عاليترين حالت قضيه است که به قوت تمام در مکانيک ستارگان تحقق مي يابد. در اين جا قوانين ديناميک در حد اعلاي خود معتبرند، و اين همان موردي است که اصلهاي آن را نمايان کرديم.
ولي اين حالت در صحنه زمين هرگز پيش نمي آيد، چون در اينجا هر حرکتي تحت تأثير اصطکاک واقع مي شود، و اين اصطکاک مقداري از انرژي را به گرما تبديل مي کند. ماشينهايي که به وسيله آنها حرکت ايجاد مي کنيم، نيروهاي گرمايي، شيميائي، الکتريکي و مغناطيسي را به نيروهاي مکانيکي مبدل مي سازند. بدين ترتيب اصل انرژي در اينجا با شکل محدود مکانيکي نمي تواند تحقق يابد؛ ولي با گسترشي که به صورت آن داده شود، همواره اين امکان هست که اعتبار آن حفظ گردد. چنانچه انرژي گرمايي را Q، انرژي شيميايي را C، انرژي الکترومغناطيسي را W بخوانيم و تا آخر، اصل بقاي انرژي براي دستگاه هاي بسته معتبر است، به طوري که مجموع انرژي دستگاه
(17) E = T + U + Q + C + W + …..
هميشه ثابت خواهد ماند.
تعقيب يا بررسي کشف و اثبات اين واقعيت که روبرت ماير (3) ژول(1842) و هلمهلتز(1847) چگونه انرژي هاي غيرمکانيکي را از حيث کمي تعيين کرده اند، ما را از مسير اصلي کارمان دور خواهد کرد. ولي بعداً وقتي از عمق ارتباطي که نظريه نسبت بين جرم و انرژي آشکار مي نمايد صحبت کنيم، به مفهوم انرژي احتياج خواهيم داشت.

15. يکاهاي ديناميکي نيرو و جرم

روشي که با آن قوانين پايه اي مکانيک را استخراج کرده ايم، اعتبارش تا اندازه اي محدود است به سطح ميز و محيط همجوار و نزديک به آن. چون ما آزمايشها را بر سطح افقي يک ميز، بر سطحهاي شيبدار، با آونگ و ديگر وسايل ساده مشابه انجام داده ايم. در واقع همل مفهومها و قوانين را از آزمايشهاي محيط آزمايشگاه استخراج کرده ايم. عمل ما در ضمن اين فايده را داشت که نيازي به فرضيه هاي فضا نداشتيم و لازم نبود سر خود را در اين مورد درد بياوريم. حرکتهاي مستقيم را؛ که به موجب آنها قانون لختي عمل مي کند، به وسيله خط کش مي توان روي ميز ترسيم نمود. متر مساحي، قطبنما و ساعت نيز براي اندازه گيري مسيرها و حرکتها بايد در اختيار باشند.
اينک بحث بر سر خروج از چهار ديواريهاي محدود و ورود به فضاي عالم است. گام نخست عبارت است از يک «مسافرت به دور جهان» که به زبان عادي البته منظور کره کوچک زمين است، و نه فضاي عالم. حال اين سؤال را مطرح مي کنيم که: آيا کليه قوانين استخراج شده مکانيک، همان طور که در اينجا معتبرند، در يک آزمايشگاه واقع در بوئنوس آيرس يا در کاپشتات اعتبار خواهند داشت؟ پاسخ اين سئوال مثبت است، جز در يک مورد که به اندازه شتاب سنگيني g مربوط مي گردد. قبلاً ديديم که اين شتاب را از طريق آزمايش با آونگ مي توان به دقت اندازه گرفت. اينک معلوم شده است که يک آونگ درخط استوا کمي آهسته تر از همين آونگ در مناطق شمالي يا جنوبي نوسان مي کند و شماره نوسانها در خلال يک شبانه روز که مدت يک دور گردش زمين است، کمتر خواهد بود؛ از اين جا نتيجه مي شود که اندازه g در خط استوا به کمترين حد مي رسد و در جهت شمال و جنوب رشد مي کند. اين افزايش تا محل دو قطب زمين، که مقدار g حداکثر است، يکنواخت صورت مي گيرد. علت اين جريان را بعداً خواهيم شناخت، در اين جا تصديق اين واقعيت کافي است. اما همين جريان براي دستگاه يکايي که تاکنون در اندازه گيري نيروها و جرمها به کار برده ايم، مشکلات زيادي ايجاد مي کند.
تا جايي که وزنها را به وسيله ترازويي بازويي (شاهيني) مقايسه کنند، مشکلي در ميان نخواهد بود. ولي هنگامي که يک ترازوي فنري (نيروسنج) را در آزمايشگاه اينجا مدرج و ميزان مي کنيم و سپس آن را به محل عرضهاي جغرافيايي شمالي تر و جنوبي تر مي بريم، مي بينيم که اين نيروسنج براي وزنه هايي که در آزمايشگاه توزين کرده ايم وزنهاي ديگري را نشان مي دهد. از اين رو، اگر وزن بر طبق عمل ما در گذشته با نيرو يکسان تلقي گردد، چاره اي جز اين نيست که ادعا شود: نيروي فنري تغيير کرده، يعني تابع عرض جغرافيايي است. ولي محققاً اين طور نيست: اين نيروي سنگيني است که تغيير کرده، نه نيروي فنر. پس نابجا خواهد بود، اگر وزن قطعه فلز واحدي در همه نقاط زمين، به عنوان يکاي نيرو به کار برده شود. اين عمل فقط وقتي مي تواند انجام گيرد که شتاب سنگيني g به وسيله آونگ در نقاط مزبور اندازه گرفته شده باشد؛ و اين همان شيوه ايست که در امور فني به کار مي رود، يعني وزن يک جسم متعارف در واقع در پاريس به پوند موسوم است، مقياس نيرو به شمار مي آيد. ما تاکنون از همين قياس استفاده کرده ايم، البته بدون آنکه به قابليت تغيير آن بر حسب محل توجه کرده باشيم. ولي در اندازه گيريهاي دقيق مي بايد توجه شويم که تفاضل اندازه ها بر مبناي محل متعارف (پاريس) به حساب آيد.
علم از اين دستگاه يکا که براي يک محل معين از زمين امتياز قائل است، چشم پوشيد و دستگاهي را پذيرفت که تا حدي اختياري است.
براي گزينش چنين دستگاهي، قانون پايه اي مکانيک خود يک طريقه مناسب ارائه مي کند. به جاي بازگشت از جرم به نيرو، جرم در حکم کميت اصلي داراي بعد مستقل [m] تعيين مي شود و يکاي آن به دلخواه انتخاب مي گردد: يک قطعه فلز معين را گرفته آن را به عنوان تعريف يکاي جرم مي پذيرند. در واقع اين همان قطعه فلزي است که در امور فني به عنوان يکاي وزن (پوند پاريسي) و در اين جا به عنوان يکاي جرم گرم (g) خوانده مي شود.
ما از اين پس دستگاه يکاهاي فيزيکي را به کار مي بريم. اين يکاها عبارت است از: cm براي طول، sec براي زمان، g براي جرم.
اينک بعد اشتقاقي نيرو خواهد شد

و يکاي آن
gcm / که dyn نيز خوانده مي شود.
وزن را از رابطه G = mg تعريف مي کنند. يعني يکاي جرم داراي وزني است به اندازه G = 1g × g که بر حسب عرض جغرافيايي تغيير مي کند و اندزاه آن براي عرض جغرافيايي ما 981dyn است. اين يکاي فني نيرو است. نيروي يک ترازوي فنري (نيروسنج) برحسب dyn طبعاً يک مقدار ثابت خواهد بود، زيرا که توانايي اين نيرو براي به حرکت درآوردن يک جرم معين مستقل از عرض جغرافيايي است.
اينک بعد ضربه نيرو و اندازه حرکت خواهد شد:

و يکاي آن gcm/sec و بالاخره بعد انرژي به صورت

و يکاي آن به اندازه
يا dyncm به دست مي آيد.

پي‌نوشت‌ها:

1.مثلاً اين وضعيت ناديده گرفته مي شود که، مقاومتي هم به هنگام ايجاد چرخش گلوله غلتان هست که به توزيع جرم در درون گلوله بستگي دارد (گشتاور لختي) و بايد خنثي گردد.
2. Eotvos؛ در سال 1961 ديکه (Dicke) آزمايشهايي در همين زمينه انجام داد و دستاوردهاي اوتوش را با دقتي بيشتر تأييد نمود. رقم اختلاف نسبي جرم سنگين و لخت را آزمايشهاي اتوش به 9 - 10 معين کرد، حال آنکه آزمايشهاي ديکه رقم مزبور را تا 11 - 10تقليل داد.
3. Robert Mayer

منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ی هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.