بازی های فون نویمان منشأ نظریه‌ی بازی ها

بازی هایی که ترکیبی از مهارت و شانس هستند بهترین نمایش زندگی انسان اند؛ به ویژه فعالیت های نظامی و تجربه های پزشکی که مقداری به شانس و مقداری به مهارت بستگی دارند. مناسب است که مطاله‌ی کاملی از بازی ها به توجه به ریاضیات انجام شود.
گوتفرید ویلهلم فون لایب نیتز (1) (برگرفته از کتاب مورگن اشترن، واژه مه‌ی تاریخ اندیشه ها) شاید عجیب نباشد که اقتصاد را علمی کسالت بار می خوانند. در اکثر علوم، فرد متخصص می تواند پیش گویی دقیقی انجام بدهد ماده‌ی شیمیایی را با هم مخلوط کنید، آن گاه شیمیدان به شما می گوید که پس از مدتی چه چیزی به دست خواهید آورد. از ستاره شناسی بپرسید کسوف بعدی کی اتفاق خواهد افتاد تا زمان و بهترین مکانی را به شما بگوید که می توانید از آن جا کسوف را مشاهده کنید؛ حتی اگر ده ها سال بعد اتفاق بیفتد.
اما اگر مردم و پول را با هم ترکیب کنید، در نهایت دیوانه خواهید شد. هیچ اقتصاددانی واقعاً نمی داند کسوف بعدی کی در بازار سهام رخ می دهد. هنوز بسیاری از اقتصادانان معتقدند آن ها روزی علمی پیش آگاهی دهنده را تجربه خواهند کرد. در واقع بعضی از آن ها اصرار دارند که امروزه نیز با نگاه به اقتصاد به شکل بازی ای عظیم، در حال تجربه‌ی علمی پیش آگاهی دهنده هستند.
در نگاه اول به نظر می رسد بناکردن علم اقتصاد بر روی نظریه‌ی ریاضیاتی بازی ها به همان اندازه معقول است که پیش گویی گرایش های معاملات املاک به وسیله‌ی بازی مونوپولی (2). اما در طول نیم قرن گذشته و به ویژه در دو دهه‌ی گذشته، نظریه‌ی بازی ها خود را به عنوان ابزار دقیق ریاضیاتی ای تثبیت کرده است که علم اقتصاد تا مدت ها از آن بی بهره بود.
نظریه‌ی بازی ها دقت لازم را برای مفهوم اقتصاد فازی فراهم می کند؛ درباره‌ی این که چگونه مصرف کننده اولویت های خود را مقایسه می کند (مقیاسی که به طور فریبنده با اصطلاح ساده‌ی منفعت (3) عنوان می شود). حتی مهم تر از آن، نظریه‌ی بازی ها نشان می دهد که چگونه می توان استراتژی های لازم را برای به دست آوردن حداکثر منفعت ممکن (که به دست آوردن بیش ترین بازدهی است.) تعیین کرد که هدف فرضی هر شرکت کننده‌ی منطقی در نبردهای زندگی اقتصادی است.
هرچند هزاران سال است که مردم بازی می کنند و برای مدت طولانی مشغول تبادل اقتصادی بوده اند، تا قرن بیستم هیچ کس ارتباط میان اقتصاد و ریاصیات را آشکار نکرده بود. ادغام بازی ها و اقتصاد (طرح کردن ریاضیاتی جهان واقعی انتخاب ها و پول به بازی های پوکر و شطرنج) انقلابی در کاربرد ریاضیات در جهت کمّی کردن رفتار انسان ایجاد کرد. بیش ترین اعتبار نظریه‌ی بازی ها مرهون ریاضی دانی خارق العاده و یکی از برجسته ترین متفکران قرن بیستم یعنی جان فون نویمان است.

نبود تمرکز

اگر بتوان کسی را در قرن گذشته شخصی جامع الأطراف (4) نامید، آن فرد فون نویمان است. واقعاً مایه‌ی تأسف است که او در میان سالی درگذشت. اگر فون نویمان مثلاً تا هشتاد سالگی عمر می کرد، این شانس را داشتم تا به صحبت هایش گوش کنم یا حتی با او مصاحبه کنم و این نابغه‌ی برجسته را از نزدیک ببینم. متأسفانه او در سن پنجاه و سه سالگی در گذشت، با این همه به اندازه‌ی کافی عمر کرد تا میراث گران بهایی از خود در چندین رشته‌ی مختلف به جا بگذارند. مشارکتش در فیزیک، ریاضیات، علوم کامپیوتر، و اقتصاد او را در زمره‌ی یکی از غول های اندیشمند همه‌ی ادوار این رشته ها قرار داد. تصور کنید چه کارهایی می توانست انجام بدهد اگر خود را در یک زمینه متمرکز می کرد.
البته او کارهای زیادی را به انجام رساند. مثلاً فون نویمان فرمول بندی استاندارد مکانیک کوانتوم را وضع کرد. دقیقاً مخترع کامپیوتر دیجیتالی نبود، اما آن را بهبود بخشید و در استفاده از آن در تحقیقات علمی پیشگام بود. ظاهراً فقط برای لذت، انقلابی در اقتصاد به پا کرد.
فون نویمان در سال 1903 در مجارستان به دنیا آمد. فرزند بانکداری بود که برای حق استفاده از لقب فون، مبلغی پرداخته بود. در کودکی بزرگ سالان را با قدرت فکری اش، با گفتن لطیفه هایی به زبان یونانی، یا با به خاطر سپردن شماره‌ی تلفن ها خیره می کرد. بعدها در دانشگاه بوداپست در رشته‌ی ریاضی ثبت نام کرد اما به خود زحمت نداد تا سر کلاس ها حاضر شود؛ چرا که در همان زمان مشغول گذراندن رشته‌ی شیمی در دانشگاه برلین بود. به بوداپست برگشت و در امتحان شرکت و رتبه‌ی اول را کسب کرد. سپس ابتدا در دانشگاه برلین و بعد در دانشگاه زوریخ به تحصیل در رشته‌ی شیمی ادامه داد.
من در کتاب بیت و آونگ بعضی از شیطنت های فون نویمان را شرح داده ام، مانند وقتی که در سمت مشاور دعوت شده بود تا مشخص کند که آیا شرکت راند (5) به کامپیوتر جدیدی برای حل مسائل مشکل احتیاج دارد یا نه. فون نویمان پس از حل مسئله در ذهنش گفت که شرکت به کامپیوتر جدید نیاز ندارد. سیلویا ناسار در بیوگرافی جان نش، حکایت دیگری از فون نویمان درباره‌ی حقه‌ی مشهور یک مسئله‌ی ریاضی نقل می کند. دو دوچرخه سوار از فاصله‌ی بیست مایلی یکدیگر هر کدام با سرعت ده مایل در ساعت حرکت می کنند. در همین حال مگسی با سرعت پانزده مایل در ساعت بین دو دوچرخه سوار پرواز می کند و باز می گردد. وقتی دو دوچرخه سوار به یکدیگر می رسند مگس چه قدر پرواز کرده است؟ این مسئله را می توان با جمع کردن تعداد زیادی راه های کوتاه تر و کوتاه تر طی شده توسط مگس بین دو دوچرخه حل کرد (این روش در ریاضیات به عنوان جمع سری های نامحدود شناخته شده است). اگر شما متوجه حقه‌ی مسئله شده باشید می توانید فوراً آن را حل کنید. یک ساعت طول می کشد تا دو دو چرخه سوار به هم برسند و بدیهی است که مگس در یک ساعت پانزده مایل پرواز کرده باشد. وقتی این سؤال را برای فون نویمان طرح کردند او در عرض یکی دو ثانیه به آن جواب داد. طراح پرسید شما حقه را بلد بودید، فون نویمان پاسخ داد: «کدام حقه؛ من فقط سري هاي نامحدود را جمع کردم». قبل از آن که فون نویمان در سال 1930 به امریکا بیاید، موقعیت خود را به عنوان ریاضدان برجسته ای در اروپا تثبیت کرده بود و در شناخت عمده‌ی موضوعاتی مثل منطق و نظریه‌ی مجموعه ها تأثیر داشت و در دانشگاه برلین تدریس می کرد. اما او در واقع کرم کتاب نبود. از زندگی شبانه در کاباره های برلین لذت می برد و بیش تر از علم عاشق بازی پوکر بود. او استعدادش به ریاضیات و بازی ورق را به حوزه‌ی جدید اقتصاد سوق داد و در این زمینه ابزارهای ریاضیاتی ای ابداع کرد که ممکن است روزی شباهت های عمیقی را آشکار کنند که شالوده‌ی علائق متنوع علمی اش هستند. علاوه بر آن، فون نویمان مشابه هری سلدونِ آسیموف نشان داد که چگونه می توان روش های سخت را برای مسائل اجتماعی به کار برد.
یکی از مفسران می نویسد: «فون نويمان رياضيدان برجسته اي بود که مشارکتش در علوم ديگر از اين اعتقاد ناشي مي شد که مي توان در پس تعاملات انساني قواعد بي طرفانه يافت. از اين رو، کارهاي او تبديل رياضيات به ابزاري کليدي در نظريه هاي اجتماعي را ثابت کرد» (6).

منفعت و استراتژی

به طور قطع ابداع نظریه‌ی مدرن بازی ها با مقاله‌ی فون نویمان در سال 1928 شروع شد، اما ریشه های نظریه‌ی بازی ها بسیار عمیق تر است. بازی ها عمری به اندازه‌ی انسان دارند و هرازگاه متفکران بررسی کرده بودند که چگونه می توان به بازی ها به طور مؤثرتری پرداخت. با این حال، تا قرن بیستم نظریه‌ی بازی ها با شکل مدرنش به عنوان شاخه ای از ریاضیات که ترکیبی از دو ایده‌ی نسبتاً ساده بود ظاهرنشد. اولین ایده، منفعت (مقیاسی از آن چه می خواهید) و دومین ایده، استراتژی (چگونه آن چه را می خواهید به دست آورید) است. منفعت، مقیاسی برای اندازه گیری ارزش یا اولویت است. این ایده تاریخی طولانی و پیچیده دارد که در نظریه های فلسفی به عنوان منفعت گرایی (7) شناخته می شود. یکی از معروف ترین شارحان این ایده جرمی بنتام (8) فیلسوف اجتماعی انگلیسی و پژوهشگر حقوق بود. بنتام در سال 1780 می نویسد: «منفعت ويژگي هر چيزي است که از طريق آن تمايل به سود، لذت يا خوشبختي ايجاد مي شود تا از رخداد شرارت، درد، زيان، يا عدم خوشبختي جلوگيري کند» (9).
بنابراین، برای بنتام، منفعت تقریباً یکسان با خوشبختی یا لذت بود. در «منفعت حداکثري»، هر فرد سعی می کند تا لذتش را افزایش بدهد و دردش را کم کند. برای جامعه به عنوان یک کل واحد، منفعت حداکثر به معنای «بيش ترين خوشبختي براي بيش ترين افراد» است (10).
منفعت گرایی بنتام شامل بعضی از دیدگاه های فلسفی دیوید هیوم، دست آدام اسمیت، بود. یکی از پیروان متنفذ بنتام، اقتصاددان انگلیسی دیوید ریکاردو (11) بود نظریه‌ی منفعت را در فلسفه‌ی اقتصادش گنجاند.
در اقتصاد، سودمندی منفعت به این بستگی دارد که منفعت از لحاظ کمّی بیان شود. مثلاً خوبشختی به سادگی محاسبه شدنی نیست. اما (همان طور که بنتام اشاره کرد) می توان ابزارهای خوشبختی را همانند مقیاس اندازه گیری منفعت تلقی کرد. مثلاً ثروت ابزاری برای افزایش خوشبختی فراهم می آورد و آسان تر اندازه گرفته می شود. بنابراین در اقتصاد، نگرش معمول، اندازه گیری نفع شخصی به صورت پول است. پول وسیله‌ی مناسبِ مبادله برای مقایسه‌ی ارزش چیزهای مختلف است. اما در اکثر مراحل زندگی (به استثنای چاپ و نش!) پول همه چیز نیست. بنابراین، شما به تعریفی کلی نیاز دارید تا منفعت را به شکل ریاضی و مفید بیان کنید.
سال ها قبل از بنتام، نگرش ریاضی به کمّی کردن منفعت در جواب مشهور سال 1738 دانیل برنولی (12)، ریاضیدان سویسی (یکی از برنولی های معروف در این زمینه)، ظاهر شد. دانیل برای حل یک پارادوکس ریاضی درباره‌ی قمار که پسرعمویش نیکولاس (13) آن را مطرح کرده بود، پی برد که منفعت به سادگی با کمیت برابر نیست. مثلاً منفعت حاصل از مقدار مشخصی پول، به این بستگی دارد که در حال حاضر چه مقدار پول دارید. جایزه‌ی یک میلیون دلاری منفعت کمی برای بیل گیتس (14) دارد تا برای من. هنگامی که مقدار پول در حال افزایش پیدا کردن است دانیل برنولی روشی را برای محاسبه‌ی کاهش منفعت پیشنهاد می کند.
بدیهی است ایده‌ی منفعت (چیزی که می خواهید به حداکثر برسانید)، گاهی اوقات بسیار پیچیده می شود. اما در بیش تر وضعیت های معمولی، منفعت معما نیست. اگر بسکتبال بازی می کنید، دوست دارید بیش ترین امتیاز را بیاورید. در شطرنج دوست دارید حریفتان را مات کنید. غالباً مسئله‌ی شما تعریف منفعت نیست، بلکه انتخاب استراتژی مناسبی برای بیش تر کردن آن است. نظریه‌ی بازی ها محاسبه می کند که کدام استراتژی بهترین است (15).
به نظر می رسد اولین تلاش ریاضیاتی قابل توجه برای حل این قسمت از مسئله را یک انگلیسی به نام جیمز والدگریو (16) در سال 1713 به انجام رسانده باشد. والدگریو در حال تحلیل یک بازی ورق دونفره به «Le Her» بود و برای پیدا کردن بهترین استراتژی راهی را مطرح کرد که از چیزی استفاده می کرد که امروز به عنوان نگرش minimax یا minmax (17) شناخته شده است. کسی توجه زیادی به والدگریو نکرد، بنابراین کار او تأثیری بر توسعه‌ی نظریه‌ی بازی ها در آینده نداشت. ریاضیدان گاهی اوقات تفننی روی موضوعی کار می کردند که امروزه به عنوان ریاضیات نظریه‌ی بازی ها شناخته می شود، اما نگرشی منسجم یا رشته ای به حساب نمی آمد که آشکارا تأثیرات خردمندانه ای داشته باشد. فقط در قرن بیستم بود که کارهای جدی برای طراحی اصول ریاضی بازی های استراتژیک انجام شد. اولین فرد ارنست تسرملو (18)، ریاضیدانی آلمانی، بود که در مقاله اش در سال 1913 بازی شطرنج را بررسی می کند؛ این مقاله نقطه‌ی شروع ریاضیات نظریه‌ی بازی ها در نظر گرفته می شد. او شطرنج را فقط به عنوان نمونه ای از بازی های دو نفره‌ی استراتژیک برگزید که بازیکن ها، بدون دخالت شانس، همه‌ی حرکت ها را انتخاب می کنند؛ و این به هر حال امتیاز مهمی بود. بازی پوکر مستلزم استراتژی است، اما شانس هم در آن دخالت دارد. اگر در پوکر یک دست بد بیاورید، احتمالاً می بازید و اهمیت ندارد چه قدر استراتژی تان زیرکانه بوده است، اما در شطرنج همه‌ی حرکت ها را بازیکن ها انتخاب می کنند و از کارت بُر زدن یا تاس انداختن یا سکه بالا انداختن یا چرخیدن چرخ و از شانس خبری نیست. تسرملو خود را به بازی هایی با استراتژی محض محدود کرد؛ بازی هایی که بدون پیچیدگی عوامل تصادفی بودند.
ظاهراً مقاله‌ی تسرملو درباره‌ی شطرنج بعضی از خوانندگان را گیج کرد، چرا که بسیاری از گزارش های ثانویه درباره‌ی جواب هایش مبهم و متناقض هستند. اما به نظر می رسد او تلاش کرد تا نشان دهد که اگر بازیکن مهره‌ی سفید موفق شود آرایش ممتازی از مهره ها بسازد (آرایشی برنده)، آن گاه محتمل است که بازی با حرکات کم تری در مقایسه با تعداد آرایش های ممکن پایان یابد (داشتن آرایش ممتاز به معنای به دست آوردن وضعیتی است که در آن بازیکن مهره‌ی سفید فارغ از این که بازیکن مهره‌ی سیاه چه حرکتی می کند، مطمئن است برنده می شود - با فرض آن که حرکت اشتباهی نکند).
تسرملو با استفاده از اصول نظریه‌ی مجموعه ها (یکی از تخصص های ریاضی فون نویمان) این قضیه را ثابت کرد. بعداً این اثبات اولیه‌ی او را ریاضیدانان دیگر و خود تسرملو اصلاح کردند اما درس اصلی نظریه‌ی مجموعه ها برای استراتژی شطرنج مهم نبود، بلکه این اهمیت داشت که نشان دهد ریاضیات می تواند برای تحلیل ویژگی های مهم هر بازی استراتژیکی به کار رود.
شطرنج انتخاب خوبی برای گونه‌ی مهمی از بازی های استراتژیک بود که به عنوان بازی های دو نفره‌ی مجموع - صفر (19) شناخته می شوند. این بازی ها به این دلیل مجموع - صفر نامیده می شوند که هر وقت بازیکنی برنده شود، بازیکن دیگر خواهد باخت. علائق دو حریف کاملاً در تقابل با هم است (شطرنج همچنین یک نمونه از بازی هایی است که بازیکنان اطلاعات کامل دارند. بدان معنا وضعیت بازی و همه‌ی تصمیماتی که بازیکن ها می گیرند مشخص است).
تسرملو به این سؤال پاسخ نداد که بهترین استراتژی هنگام بازی شطرنج چیست یا حتی این که آیا استراتژیِ قطعیِ نتیجه بخش و مطمئنی وجود دارد یا نه. اولین کار در این زمینه را ریاضیدان برجسته‌ی فرانسوی امیل بورل (20) کرد. بورل، در اوایل دهه‌ی 1920، نشان داد که بهترین استراتژی قابل اثبات در بعضی حالات مخصوص بازی های دونفره‌ی مجموع - صفر وجود دارد. او تردید داشت که آیا به طور کلی امکان اثبات بهترین استراتژی قطعی برای چنین بازی هایی وجود دارد یا نه.
این چیزی بود که فون نویمان دقیقاً انجام داد. او مشخص کرد که در بازی های دو نفره‌ی مجموع - صفر همیشه راهی وجود دارد تا بهترین استراتژی ممکن را پیدا کرد یا به دنبال استراتژی ای بود که به واسطه‌ی آن، با توجه به قواعد بازی و انتخاب های حریف، امکان برد شما حداکثر شود (یا باخت شما حداقل شود). این کاربر مبنای قضیه‌ی جدید Minimax بود که فون نویمان اولین بار در دسامبر 1928 آن را در انجمن ریاضی گوتینگن ارائه داد و سپس این قضیه را به صورت کامل در مقاله‌ی سال 1928 خود با عنوان نظریه‌ی بازی های خانگی (21) توسعه داد که اساس انقلاب او در علم اقتصاد بود (22).

هجوم بازی ها به علم اقتصاد

فون نویمان در مقاله‌ی سال 1928 تلاش نکرد تا چیزی درباره‌ی علم اقتصاد بنویسد بلکه این مقاله کاملاً درباره‌ی ریاضی بود و قضیه ای را درباره‌ی بازی های استراتژیک اثبات می کرد. در سال های بعد، او با همکاری اقتصاددانی به نام اسکار مورگن اشترن نظریه‌ی بازی ها را با علم اقتصاد ترکیب کرد.
مورگن اشترن، متولد 1902 در آلمان، در دانشگاه وین در سال های 1929 تا 1938 اقتصاد تدریس می کرد. در کتابی به سال 1928، همان سالی که مقاله‌ی Minimax فون نویمان چاپ شد، مورگن اشترن درباره‌ی مشکلات پیش گویی علم اقتصاد بحث کرد. نکته‌ی خاصی که او به آن اشاره کرد «اثر پيش گويي بر وقايع پيش گويي شد» بود. مورگن اشترن می دانست که این مسئله موضوعی ویژه برای علوم اجتماعی و اقتصاد است. وقتی شیمیدانی پیش گویی می کند که مولکول ها چگونه در لوله‌ی آزمایش واکنش خواهند داد، مولکول ها به این پیش گویی توجهی نمی کنند. آن ها فارغ از این که شیمیدان درست پیش گویی کرده است یا نه، کاری را که باید بکنند انجام می دهند. اما در علوم اجتماعی، مردم در مقایسه با مولکول ها از خود استقلال بیش تری نشان می دهند. به ویژه اگر بدانند شما در حال پیش گویی کار و فعالیت آن ها هستید ممکن است عمل دیگری انجام بدهند فقط برای این که شما را برنجانند. واقع بینانه تر آن که بعضی از افراد ممکن است پیش گویی کردن را یاد بگیرند و سعی کنند از این پیش آگاهی به نفع خودشان استفاده کنند یا شرایطی را که منجر به پیش گویی شده است با وارد کردن عوامل تصادفی به هم بزنند (به همین دلیل در سه گانه‌ی بنیاد، نقشه‌ی سلدون می بایست محرمانه باقی می ماند. اگر کسی از نقشه باخبر می شد، نقشه دیگر عملی نمی شد).
در هر صورت، مورگن اشترن مسئله را با سناریوی ماجراهای شرلوک هولمز (23) توضیح داد. در داستان آخرین مسئله (24)، هولمز سعی می کرد تا در طول مسافرت لندن به پاریس از چنگ پروفسور موریارتی (25) فرار کند. موریارتی ممکن بود حدس بزند که هولمز به چه فکر می کند. اما هولمز هم می توانست پیش بینی کند که موریارتی چه پیش بینی کرده است و الی آخر: من فکر می کنم که او فکر می کند که من فکر می کنم که او فکر می کند... تا بی نهایت (26).
بنابراین، مورگن اشترن نتیجه گرفت که موقعیت به استراتژی نیاز دارد. او در مقاله‌ی سال 1935 که درباره‌ی پارادوکس شناخت کامل آینده تحقیق می کرد دوباره به موضوع هولمز - موریارتی برگشت.
در آن زمان پس از یک دوره تدریس درباره‌ی این موضوع، ریاضیدانی به نام ادوئارت چخ (27) با مورگن اشترن درباره‌ی ایده های مشابه در مقاله‌ی فون نویمان درباره‌ی بازی های خانگی صحبت کرد. مورگن اشترن مسحور این فکر شد و منتظر فرصتی تا فون نویمان را ملاقات کند و درباره‌ی ارتباط مقاله‌ی سال 1928 و نظریات خود راجع به اقتصاد بحث کند.
در سال 1938 شانس به مورگن اشترن رو کرد و فرصت سه ساله برای تدریس در دانشگاه پرینستون را پذیرفت (در همان زمان فون نویمان در مؤسسه‌ی مطالعات پیشرفته (28) در حوالی پرینستون مشغول به کار بود). مورگن اشترن می گوید: «دليل اصلي ام براي رفتن به پرينسون به دست آوردن فرصتي بود تا بتوانم با فون نويمان آشنا شوم» (29). آن گونه که مورگن اشترن نقل می کند، او به سرعت توانست علاقه‌ی فون نویمان به نظریه‌ی بازی ها را زنده کند و به این ترتیب شروع کرد به نوشتن مقاله ای درباره‌ی رابطه‌ی نظریه‌ی بازی ها با علم اقتصاد. با انتقادهای فون نویمان به پیش نویس اولیه، مقاله طولانی تر شد تا این که نهایتاً فون نویمان به عنوان نویسنده‌ی همکار به مورگن اشترن پیوست. در این زمان، سال 1940، مقاله طولانی و طولانی تر شد تا این که نهایتاً دانشگاه پرینستون آن را به صورت کتابی در سال 1944 منتشر کرد (مطالعات تاریخی بعدی نشان می دهد که فون نویمان قبلاً بخش اعظم کتاب را بدون کمک مورگن اشترن نوشته بود) (30).
کتاب نظریه‌ی بازی ها و رفتار اقتصادی فوراً به کتاب بالینی نظریه‌ی بازی ها تبدیل شد. در نگاه معتقدانِ به نظریه‌ی بازی ها، این کتاب در علم اقتصاد شبیه کتاب اصول (31) نیوتن در علم فیزیک بود. این کتاب نوعی نیوتنی کردن آدام اسمیت بود که دقت ریاضی فراهم کرد تا توصیف کند چگونه تعامل های فرد بر مجموعه‌ی اقتصاد تأثیر می گذارد. فون نویمان و مورگن اشترن می نویسند: «اميدواريم نشان دهيم که مسائل معمول در رفتار اقتصادي دقيقاً مشابه مفاهيم رياضي بازي هاي استراتژيک اند». آن ها ادعا کردند که معلوم خواهد شد «نظريه ي بازي هاي استراتژيک ابزار مناسبي براي توسعه ي نظريه ي رفتار اقتصادي است» (32).
نویسندگان این نظریه را در کتابی پُر از معادلات و نمودار، با بیش از 600 صفحه بسط دادند. به ویژه قسمت های اولیه‌ی کتاب که فوق العاده خواندنی اند، اهداف و نیات نویسندگان را در مقدمه‌ی مفصلی بیان می کنند تا اقتصاددانان شکاک را ترغیب کنند که این علم نیاز به بازنگری دارد.
در حالی که فون نویمان و مورگن اشترن می گویند که بسیاری از اقتصاددانان از ریاضیات استفاده می کرده اند، همچنین ادعا می کنند که «کاربردش زياد از موفقيت آميز نبوده است»؛ به ویژه وقتی که با علوم دیگر مثل فیزیک مقایسه شود. در صفحات نخست کتاب، فیزیک به عنوان مدلی توصیف می شود که نشان می دهد چگونه ریاضیات می تواند باعث شود که دانشی مبهم، دقیق و کاربردی شود - برخلاف علم اقتصاد که ایده های پایه اش به قدری مبهم بیان شده بودند که تلاش های گذشته برای استفاده از ریاضیات محکوم به شکست بودند. به اعتقاد نویسندگان کتاب: «مسائل اقتصادي غالباً به گونه اي مبهم بيان شده اند و کاربرد رياضيات در خصوص آن ها نااميد کننده است؛ چرا که کاملاً مشخص نيست دقيقاً چه مسائلي هستند» (33). علم اقتصاد به نظریه ای نیاز داشت که سنجش دقیق و پُر معنی را ممکن سازد و نظریه‌ی بازی ها این نیاز را بر آورده کرد.
فون نویمان و مورگن اشترن با احتیاط تأکید می کردند که نظریه شان فقط قدمی اولیه است. آن ها نوشته اند: «در حال حاضر سيستمي جهاني براي نظريه ي اقتصادي وجود ندارد و اگر چنين نظريه اي توسعه بيابد، احتمالاً در طول عمر ما نخواهد بود» (34).
اما نظریه‌ی بازی ها توانست بنیاد چنین نظریه ای را با تمرکز بر روی ساده ترین تعامل های اقتصادی فراهم کند تا روزی به عنوان راهنما برای توسعه‌ی اصول کلّی قادر به حل مسائل پیچیده تر باشد. همانگونه که فیزیک مدرن وقتی شورع شد که گالیله مسئله‌ی ساده‌ی سقوط اجسام را مطالعه کرد، علم اقتصاد هم می توانست از درک مشابهی از رفتارهای ساده‌ی اقتصادی بهره ببرد. به اعتقاد فون نویمان و مورگن اشترن: «در هر علمي پيشرفت هاي بزرگ وقتي به دست مي آيند که در مقايسه با اهداف نهايي، مسائل ساده تر باشند و روش هايي توسعه يابند که بتوانند بيش تر و بيش تر گسترش يابند» (35). به همین دلیل بر روی ساده ترین وجه علم اقتصاد - تعامل های اقتصادی خریداران و فروشندگان - تمرکز کردند. در حالی که علم اقتصاد، به عنوان یک کلّ، درگیر تمامی سیستم های پیچیده‌ی تولید، قیمت گذاری مواد و درآمد و هزینه است، اما ورای آن مسئله‌ی انتخاب افراد درگیر در اقتصاد مطرح است.

رابینسون کروزو با گیلیگان ها ملاقات می کند

روزهایی که فون نویمان و مورگن اشترن روی نظریه‌ی خود کار می کردند، کتاب های درسی استاندارد علم اقتصاد، تعریفی از مدل اقتصادی ساده ای به نام اقتصاد رابینسون کروزو (36) ارائه دادند. کروزو تک و تنها در جزیره ای برای خودش صاحب اقتصاد بود. او انتخاب می کرد چگونه از منابع موجود استفاده کند تا منفعتش را حداکثر کند و با شرایطی که طبیعت برقرار کرده بود دست و پنجه نرم کند.
سمیوئل بولز، اقتصاددان دانشگاه ماساچوست (37)، برایم شرح داد که کتاب های درسی به اقتصاد فقط به شکل فعالیت شمار زیادی رابینسون کروزو نگاه می کردند. در حالی که کروزو با طبیعت سروکار داشت و این نگاهی نئوکلاسیک به نظریه‌ی اقتصاد بود. بولز گفت: «اين چيزي بود که همه فکر مي کردند، اما چيز عجيبي در اين باره وجود داشت». به نظر می رسید نظریه‌ی تعامل های اجتماعی بر اساس فردی پایه گذاری می شد که فقط به صورت غیراجتماعی، با طبیعت و نه با مردم، تعامل داشت. بولز گفت: «نظريه ي بازي ها چارچوب متفاوتي اختيار کرد: من در وضعيتي هستم که در آن رفاه و خوشي ام بستگي به ديگران دارد و رفاه شما هم بستگي به آن چه من انجام مي دهم دارد. بنابراين ما استراتژيک فکر مي کنيم» (38).
این دقیقاً نکته ای بود که فون نویمان و مورگن اشترن در سال 1944 برآن تأکید کردند. اقتصاد رابینسون کروزو به طور بنیادی و مفهومی از اقتصاد جزیره‌ی گیلیگان (39) متفاوت است. این فقط به دلیل پیچیدگی تأثیرات اجتماعی مردم نیست که روی انتخاب شما درباره‌ی قیمت اجناس و خدمات اثر می گذارد. نتایج انتخاب شما و توانایی تان برای کسب منفعت دلخواهتان به ناچار با انتخاب های دیگران تقابل پیدا می کند. ادعای فون نویمان و مورگن اشترن این بود که «اگر دو يا چند نفر با يکديگر جنس مبادله کنند، نتيجه ي کار هر فرد فقط منحصراً به عمل آن فرد بلکه به عمل ديگران هم بستگي دارد» (40).
به بیان ریاضی، این بدان معنی است که دیگر نمی توانید به سادگی منفعت حداکثری ساده ای را برای رابینسون کروزو محاسبه کنید. محاسبات شما باید آمیزه ای از هدف های رقابتی، منفعت حداکثری برای گیلیگان، میلیونر و همسرش، ستاره‌ی سینما، پروفسور، و ماری آن (41) را در نظر بگیرد. فون نویمان و مورگن اشترن به این نکته اشاره کردند که «قبلاً به چنين مسئله اي در رياضيات کلاسيک پرداخته نشده است».
در واقع تصور بنتام از «بيش ترين محصول ممکن از بيش ترين تعداد ممکن» از نظر ریاضی بی معنی است. مثل این است که بگویید بیش ترین غذای ممکن را با کم ترین هزینه می خواهید. در این باره فکر کنید: شما می توانید هیچ هزینه ای نپردازید (و هیچ غذایی نخرید) یا صاحب همه‌ی غذاهای عالم با قیمت بسیار زیادی بشوید. کدام را می خواهید؟ قطعاً نمی توانید جوابی برای این سؤال پیدا کنید. در اقتصاد جزیره‌ی گیلیگان، خواستن بیش ترین منفعت برای بیش ترین افراد موضوعیت ندارد، بلکه موضوع این است که همه‌ی افراد بیش ترین منفعت ممکن را برای خودشان می خواهند. به عبارت دیگر، «بيش ترين منفعت ممکن، خواست افراد مختلف است» (42) و در تلاش برای رسیدن به خواسته شان، عملکردهای هر فرد تحت تأثیر پیش بینی های عملکرد دیگران قرار می گیرد و بر عکس، یا همان مسئله‌ی قدیمی «من فکر مي کنم که او فکر مي کند که من فکر مي کنم که...». این موضوع منجر به اقتصادی اجتماعی با شرکت کنندگان زیاد می شود که ذاتاً با اقتصاد رابینسون کروزو تفاوت دارد. به بیان فون نویمان و مورگن اشترن: «اين مسئله اي است که اساساً نظريه ي بازي هاي استراتژيک براي پرداختن به آن ابداع شد» (43).
البته گفتن آسان تر از عمل کردن است. گفتن این که جزیره‌ی گیلیگان پیچیده تر از رابینسون کروزو است یک مسئله است و این که چگونه باید ریاضیات آن را انجام داد مسئله ای دیگر. مطمئناً می توانید از چیز ساده ای مثل تجزیه و تحلیل تعامل های بین فقط دو نفر شروع کنید. پس از آن که فهمیدید چگونه دو نفر با هم تعامل دارند، می توانید از همان اصول استفاده کنید تا پی ببرید پس از وارد شدن نفر سوم یا نفر چهارم، و الی آخر، به بازی چه اتفاقی رخ می دهد (نهایتاً وقتی بر ریاضیاتی مسلط شوید که رفتار افراد جامعه را به عنوان یک کل تحلیل می کند، به رمز گریزپایِ طبیعت دست می یابید).
به هر حال می توانید ببینید که چگونه تعقیب کردن چیزها به سرعت مشکل می شود. هر فردی در بازی (یا اقتصاد) بر اساس طیف وسیعی از متغیرها دست به انتخاب می زند. در اقتصاد رابینسون کروزو، مجموعه‌ی متغیرهای او شامل همه‌ی عواملی می شود که بر منفعت حداکثری اش اثر می گذارد. اما اگر یک کشتی به ساحل جزیره‌ی کروزو رسیده بود، هرکدام از بازیکن های جدید مجموعه‌ی جدیدی از متغیرهایشان را وارد بازی می کردند. پس از آن، کروزو مجبور بود همه‌ی متغیرهای جدید را به حساب بیاورد.
به علاوه بازیکن بیشتر به معنای اقتصاد پیچیده تر، کالاها و خدمات بیش تر، و روش های تولیدی متفاوت است. بنابراین اقتصاد اجتماعی به سرعت به یک کابوس ریاضی تبدیل می شود که به نظر می رسد استادان این فن هم قادر به حلش نخواهند بود. اما جای امید، هم برای علم اقتصاد و هم برای جامعه شناسی، وجود دارد. این امید براساس ایده‌ی ساده‌ی اندازه گیری دما به وجود آمده است.

اندازه گیری دمای جامعه

فون نویمان و مورگن اشترن از میان شباهت های بین فیزیک و اقتصاد درباره‌ی نظریه‌ی گرمایی (آن چه بیش تر به عنوان ترمودینامیک شناخته شده است) زیاد صحبت کردند. مثلاً متوجه شدند اندازه گیری دما دقیقاً منجر به نظریه‌ی گرمایی نمی شود. فیزیکدانان برای درک چگونگی اندازه گیری دما به شیوه‌ی واضح، ابتدا به نظریه ای نیاز داشتند. به همین منوال، نظریه‌ی بازی ها ابتدا به توسعه نیاز داشت تا ابزارهایی به اقتصاددانان بدهد که برای اندازه گیری صحیح متغیرهای اقتصادی به آن ها نیاز داشتند.
مثال نظریه‌ی گرمایی نقش تعیین کننده‌ی دیگری در نظریه‌ی بازی ها ایفا کرد. از همان ابتدا، فون نویمان و مورگن اشترن این مسئله را روشن کردند که قصد ندارند وارد باتلاق فلسفی تعریف جزئیاتِ دقیق مفهوم منفعت شوند. برای آن ها جهت توسعه نظریه‌ی بازی ها برای استفاده در اقتصاد، کافی بود تا منفعت را معادل پول در نظر بگیرند. برای تاجر، پول مقیاس عقلانی برای منفعت است و برای مصرف کننده، درآمد (منهای هزینه) مقیاس خوبی برای منفعت است. می توانید منفعت کالایی را به عنوان قیمتی در نظر بگیرید که راضی به پرداخت آن هستید. پول می تواند به عنوان «وجه رايج» برای تبدیل هر چیزی یا هر واقعه و تجربه ای به کار رود. بنابراین، یکسان گرفتن منفعت با پول، یک فرض راحتِ ساده سازی شده است که اجازه می دهد نظریه بر روی مفاهیم استراتژیکی تمرکز کند که چگونه چیزی را که می خواهید، به دست آورید، بدون این که نگران پیچیدگیِ تعرف چیزی باشید که می خواهید.
به هر حال جنبه‌ی مهم منفعت، که فون نویمان و مورگن اشترن باید به آن اشاره می کردند، باقی ماند. در وهله‌ی اول، آیا ممکن بود بتوان منفعت را به طریق عددی تعریف کرد تا برای نظریه‌ی ریاضی به کار برده شود. (برنولی راهی برای محاسبه‌ی منفعت پیشنهاد کرده بود، اما تلاش نکرد تا ثابت کند که این مفهوم می تواند پایه‌ی انتخاب های منطقی شود). پول (که قطعاً عددی است) واقعاً می توانست جانشین مناسبی برای مفهوم پیچیده‌ی منفعت باشد؛ فقط اگر واقعاً منفعت بتواند با مفهوم عددی نشان داده شود. بنابراین، آن ها بایست نشان می دادند که تعریف منفعت به شیوه‌ی معمول ریاضیاتی ممکن است. این به معنای تشخیص اصول موضوعه ای بود که بتوان مفهوم منفعت را از آن ها استنباط و به طور کمّی اندازه گیری کرد.
همان طور که روشن شد منفعت می توانست شبیه نگرشی که فیزیکدانان برای ساخت مفهوم علمی دما به کار بردند، به طور کمّی اندازه گرفته شود. مفاهیم اوله‌ی منفعت و دما مشابه اند. می توان منفعت یا اولویت را مثل ترتیب منظمی در نظر گرفت. اگر شما A را به B و B را به C ترجیح بدهید، پس قطعاً A را به C ترجیح خواهید داد. اما چندان معلوم نیست که بدانید چه قدر A را به B یا B را به C ترجیح می دهید. این موضوع زمانی خیلی شبیه مسئله‌ی حرارت بود. می توانید بگویید بعضی چیزها گرم تر یا سردتر از چیزهای دیگر هستند. قبل از توسعه‌ی نظریه‌ی دمایی، راهی دقیق وجود نداشت تا قطعاً گفت چیزها چه مقدار گرم تر یا سردتر هستند. اما امروزه مقیاس دمای مطلق، بر اساس قوانین ترمودینامیک، دما را کاملاً دقیق نشان می دهد. فون نویمان و مورگن اشترن نشان دادند چگونه می توان به طریق مشابه ترتیب منظم را به مقیاسِ عددی دقیق منفعت تبدیل کرد.
می توانید اساس این روش را از بازی در نسخه‌ی تغییریافته‌ی مسابقه‌ی تلویزیونی بیایید معامله کنیم، بگیرید (مسابقه ای که در آن مجری به میهمان مسابقه فرصت می دهد تا جایزه اش را جایزه ای با ارزش تر مبادله کند گرچه ممکن است با خطر باخت هم مواجه شود). فرض کنید مجری سه گزینه به شما پیشنهاد می کند: یک BMW روباز، تلویزیون پلاسما، یا یک سه چرخه‌ی دست دوم. فرض کنیم شما BMW را بیش تر از همه می خواهید و بعد از آن تلویزیون را به سه چرخه ترجیح می دهید. بنابراین، راه ساده ای برای منظم کردن منفعت نسبی سه محصول وجود دارد. اما حالا وقت معامله است. گزینه‌ی شما یا گرفتن تلویزیون است یا با احتمال 50-50 به دست آوردن BMW است. تلویزیون پشت در شماره‌ی 1 قرار دارد و BMW هم یا پشت در شماره‌ی 2 یا پشت در شماره‌ی 3 است. پشت در دیگر هم سه چرخه قرار دارد.
حالا باید واقعاً فکر کنید. اگر شما در شماره‌ی 1 را انتخاب کنید، باید به تلویزیون در مقایسه با BMW ارزشی بیش تر از 50 درصد داده باشید. فرض کنیم که بازی پیچیده تر است و درهای بیش تری دارد و احتمال بردن BMW به 60 یا 70 درصد تغییر کرده است. در بعضی موقعیت ها علاقه مندید BMW را شانسی ببرید و در آن موقعیت استنتاج می کنید که منفعت ها از نظر عددی با هم برابر هستند. به عنوان مثال شما به تلویزیون در مقایسه با BMW ارزشی معادل 75 درصد می دهید (به علاوه‌ی 25 درصد سه چرخه). در نتیجه برای تبدیل منفعت به یک مقدار عددی، باید به طور دلبخواهی مقداری را به گزینه ای نسبت بدهید. سپس می توانید گزینه های دیگر را با استفاده از قواعد احتمالات مسابقه با آن گزینه مقایسه کنید.
تا این جا به نظر خوب می آید. اما قبل به کار بردن آن در اقتصاد اجتماعی مسئله باقی می ماند؛ جایی که فقط منفعت شخصی شما مطرح نیست و باید انتخاب های دیگران را نیز در نظر بگیرید. در مقیاس کوچک اقتصاد جزیره گیلیگان، انتخاب های استراتژیک محض می تواند با چیزهایی مثل ائتلاف با بعضی بازیکن ها تغییر کند. دوباره نظریه‌ی گرمایی امیدواری هایی را ایجاد می کند.
دما مقیاسی برای نشان دادن سرعت حرکت مولکول هاست. در اصل، توصیف سرعت یک مولکول منفرد چندان دشوار نیست، همان گونه که می توانید به سادگی منفعت رابینسون کروزو را محاسبه کنید. اما همان گونه که با جزیره‌ی گیلیگان روزگار سختی داشتید، ردیابی سرعت تعداد کمی از مولکول هایی که با هم اندر کنش (44) دارند واقعاً غیرممکن است. اما اگر شما میلیاردها میلیارد مولکول داشته باشید، اندر کنش ها به مقدار میانگین میل می کنند و با استفاده از نظریه‌ی گرمایی می توانید پیش بینی دقیقی درباره‌ی دما بکنید (ریاضیاتی که پشت سر این مسئله قرار دارد مکانیک آماری است که در فصل های بعدی در داستان نظریه‌ی بازی ها به موضوع کانونی بدل می شود).
همان طور که فون نویمان و مورگن اشترن ذکر کردند: «سروکار داشتن با تعداد بسيار زياد، ساده تر از تعداد متوسط است» (45). این دقیقاً نکته ای است که روان تاریخ آسیموف در نظر می گرفت. حتی اگر شما نتوانید هر مولکول منفردی را دنبال کنید، می توانید رفتار جمعی مولکول های بسیار زیاد را پیش گویی کنید، با همان دقتی که دمای یک گاز را اندازه می گیرید. می توانید مقدار مربوط به میانگین سرعت همه‌ی مولکول ها را اندازه بگیرید که انعکاسی از اندرکنش مولکول های منفرد است. پس چرا این کار را برای انسان ها نکنیم؟ این اندازه گیری برای هری سلدون به کار آمد و ممکن است برای اقتصادی نسبتاً بزرگ نیز کار کند. فون نویمان و مورگن اشترن نوشتند: «وقتي تعداد شرکت کننده ها بسيار زياد مي شود، اين اميد به وجود مي آيد که تأثير هر شرکت کننده ي خاص قابل صرف نظر کردن باشد» (46).
فون نویمان و مورگن اشترن می توانستند بر اساس مفهوم منفعت که در ابتدا تعریف کردند پول را مقیاس منفعت در نظر بگیرند و کار را پیش ببرند.
از این رو، بخش عمده‌ی کتابشان به موضوع پیدا کردن بهترین استراتژی برای کسب بیش ترین پول اختصاص داده شد.
در این جا لازم است منظور آن ها از استراتژی روشن شود. استراتژی در نظریه‌ی بازی ها نه نگرشی عمومی به بازی، بلکه اقدامی بسیار اختصاصی است. نظریه‌ی بازی ها شبیه تنیس نیست که در آن مثلاً استراتژی شما می تواند «بازي تهاجمي» یا «بازي تدافعي» باشد. استراتژی نظریه‌ی بازی ها مجعوعه‌ی تعریف شده ای از انتخاب ها برای هر شرایط احتمالی است که ممکن است ظاهر شود. در بازی تنیس استراتژی شما می تواند این گونه باشد: «وقتي حريف سرويس مي زند، هرگز به سمت تور ندويد؛ وقتي مساوي يا جلو هستيد، سرويس بزنيد و به سمت جلو برويد؛ وقتي در بازي عقب هستيد، هميشه به عقب زمين برگرديد و قواعد ديگري براي وضعيت هاي ديگر بيابيد».
نکته‌ی ضروری دیگری درباره‌ی استراتژی در نظریه‌ی بازی ها وجود دارد و آن تشخیص بین استراتژی های محض (47) و مخلوط (48) است. در بازی تنیس می توانید بعد از هر سرویس به سمت تور بروید (یک استراتژی محض) یا این که یکی از سه سرویس را به سمت تور بروید و در دو سرویس دیگر به سمت خط عقب زمین بیایید (استراتژی مخلوط). غالباً استراتژی های مخلوط برای این که نظریه‌ی بازی ها کار کند ضروری اند.
در هر رویداد، سؤال این نیست که آیا استراتژی عمومی خوبی وجود دارد، بلکه موضوع این است که آیا مجموعه‌ی مناسبی از قواعد برای رفتارهای استراتژیک وجود دارد که همه‌ی احتمالات را دربر بگیرد. در حقیقت این مجموعه برای بازی دونفره‌ی مجموع - صفر وجود دارد. می توانید بهترین استراتژی را با استفاده از قضیه‌ی minimax پیدا کنید که فون نویمان آن را در سال 1928 ارائه داد. دلایل اثبات قضیه‌ی فون نویمان به طور چشم گیری پیچیده بود. اما جوهره‌ی آن را می توان طوری خلاصه کرد که به سادگی به خاطر سپرده شود.: هنگام بازی پوکر گاهی لازم است که بلوف بزنید.

MINIMAX

نکته ای که باید از نگرش minimax در بازی دو نفره‌ی مجموع - صفر به خاطر سپرد این است که هر وقت بازیکنی می برد، بازیکن دیگر می بازد. بنابراین، استراتژی شما باید در جست وجوی حداکثر کردن بُرد باشد که به معنای حداقل کردن بُرد حریفتان است و البته حریفتان هم می خواهد همین کار را انجام دهد.
بسته به نوع بازی می توانید بهترین بازی ممکن را بکنید، ولی چیزی نبرید. قواعد و شروط بازی ممکن است به گونه ای باشد که مثلاً هر کس که بازی را شروع کند، همیشه برنده می شود. با این حال امکان وجود دارد که بعضی استراتژی ها منجر به باخت بیش تر شوند. بنابراین، باید تلاش کنید تا سود حریفتان را (و باخت خودتان را) حداقل کنید. سؤال این است که کدام استراتژی را باید انتخاب کنید؟ و آیا هر وقت بازی می کنید باید همین استراتژی را به کار بگیرید؟
در بعضی بازی ها، واقعاً ممکن است استراتژی محضی پیدا کنید که برد شما را حداکثر کند (و باخت شما را حداقل کند) بدون توجه به این که بازیکن حریف چه می کند. پس بدیهی است که آن استراتژی را به کار بگیرید و اگر بازی تکرار شد، هر دفعه همان استراتژی را بازی کنید. اما گاهی اوقات، بسته به قواعد بازی، عاقلانه ترین انتخاب وابسته به حرکتی است که حریف شما انجام می دهد و شما ممکن است ندانید که آن انتخاب چه خواهد بود. این همان چیزی است که نظریه‌ی بازی ها را جذاب می کند. ابتدا اجازه بدهید نگاهی به مثالی ساده بیندازیم. فرض کنید باب (49) ده دلار به آلیس (50) بدهکار است. باب پیشنهاد بازی ای را می دهد که در آن اگر او بِبَرد، بدهی اش کم می شود (در جهان واقعی آلیس این پیشنهاد را قبول نمی کند و همان ده دلار را می خواهد). اما برای روشن تر شدن نظریه‌ی بازی ها آلیس باید موافقت خود را اعلام کند. باب این قواعد را برای بازی پیشنهاد می کند: او و آلیس یکدیگر را در کتاب خانه ملاقات می کنند. اگر باب زودتر به کتاب خانه بیاید، چهار دلار به آلیس می دهد و اگر آلیس زودتر بیاید، او شش دلار آلیس خواهد داد و اگر هر دو هم زمان برسند، باب 5 دلار می پردازد (همان طور که قبلاً گفتم احتمالاً آلیس این پیشنهاد را رد می کند).
حالا فرض کنیم آن ها با هم یا در همسایگی هم زندگی می کنند. هر کدام از آن ها دو استراتژی برای رسیدن به کتاب خانه دارند: پیاده بروند یا سوار اتوبوس بشوند (فقیرتر از آن هستند که از خودشان ماشینی داشته باشند، به همین دلیل است که باب برای پرداخت 10 دلار چانه می زند). هر دو می دانند که اتوبوس سریع تر از پیاده روی است. البته این بازی خیلی ابتدایی است. هر دو با اتوبوس می روند و هم زمان به کتاب خانه می رسند و باب 5 دلار به آلیس خواهد پرداخت (51). آن چه در این بازی وجود دارد این است که چگونه نظریه‌ی بازی ها نشان می دهد که کدام استراتژی انتخاب شود. در یک ماتریس پرداخت (52)، اعداد نشان می دهند که بازیکن سمت چپ (آلیس) چه مقدار برنده می شود.

باب	آلیس
پیاده روی	اتوبوس
6	5	پیاده روی
5	4	اتوبوس

در بازی مجموع - صفر، اعداد در ماتریس پرداخت تعیین می کنند که چه مقدار بازیکن سمت چپ (در این نمونه آلیس) برنده می شود (از آن جایی که بازی مجموع - صفر است، اعداد نشان می دهند بازیکن بالای جدول چه مقدار می بازد) اگر عدد منفی باشد، بدان معنی است که بازیکن بالای جدول برنده شده است. در بازی های مجموع غیر صفر، هر درایه‌ی ماتریس شامل دو عدد است که هر عدد برای یک بازیکن است (اگر شمار بازیکن ها بیش تر باشد، اعداد بیش تری داریم که نمایش ماتریس در بازی های چندنفره را دشوار می سازد).
مهم نیست باب چه استراتژی ای را انتخاب کند؛ بدیهی است که آلیس باید استراتژی اتوبوس را انتخاب کند؛ چرا که همیشه بهتر یا به خوبی پیاده روی است. مهم نیست آلیس چه استراتژی ای را انتخاب کند. باب نیز اتوبوس را انتخاب خواهد کرد؛ چرا که باخت او را حداقل می کند، انتخاب پیاده روی چیزی را بهتر نمی کند و حتی ممکن است بدتر هم بکند.
البته شما نیازی به دانستن نظریه‌ی بازی ها ندارید تا بتوانید این قضیه را بفهمید. پس اجازه بدهید نگاهی به مثال دیگری از دنیای واقعی بیندازیم. در جنگ جهانی دوم، ژنرال جورج کنی (53) می دانست که ژاپنی ها کاروانی از کشتی های تدارکاتی را به گینه‌ی نو (54) می فرستند. طبیعتاً متفقین می خواستند کاروان را بمباران کنند، اما کاروان باید یکی از دو مسیر ممکن را انتخاب می کرد، یکی به سوی شمال بریتانیا و دیگری به سوی جنوب. هر کدام از این مسیرها سه روز طول می کشید. اساساً متفقین می توانستند طی سه روز کاروان را بمباران کنند. اما آب و هوا در این موضوع نقش داشت. پیش بینی ها نشان می داد که مسیر شمال در یکی از این روزها بارانی خواهد بود و در نتیجه زمان بمباران را حداکثر به دو روز محدود می کرد. در مسیر جنوبی هوا صاف بود و دید کافی برای سه روز بمباران فراهم بود. ژنرال کنی می بایست تصمیم می گرفت که هواپیماهای شناسایی خود را به شمال بفرستد یا جنوب. اگر آن ها را به جنوب می فرستاد و کاروان از مسیر شمال می رفت، یک روز بمباران را از دست می داد (از دو روز بمباران ممکن). اگر هواپیماهای شناسایی به شمال می رفتند و کاروان از مسیر جنوبی می رفت، هواپیماهای بمب افکن هنوز برای دو روز بمباران وقت داشتند.
بنابراین، ماتریس پرداختی شبیه شکل زیر با اعداد روزهای بمباران نیروهای متفقین را نشان می دهد.

ژاپن	متفقین
جنوب	شمال
2	2	شمال
3	1	جنوب

اگر شما از منظر نیروهای متفقین به این ماتریس بازی نگاه کنید، ممکن است نتوانید به سرعت دریابید که استراتژی درست کدام است. اما از نگاه ژاپنی ها، می توانید به سادگی ببینید که رفتن از مسیر شمال تنها مسیری است که درست به نظر می رسد. اگر کاروان مسیر جنوبی را انتخاب می کرد، این تضمین وجود داشت که دو و شاید حتی سه روز بمباران می شد. با انتخاب مسیر شمالی حداکثر دو روز (و شاید فقط یک روز) بمباران می شد که بهتر از انتخاب مسیر جنوب بود. ژنرال کنی می توانست مطمئناً نتیجه بگیرد که ژاپنی ها از مسیر شمال می روند، بنابراین تنها استراتژی عاقلانه‌ی متفقین فرستادن هواپیماهای شناسایی به شمال بود (در واقعیت ژاپنی ها مسیر شمالی را انتخاب کردند و بمباران سنگینی را از طرف متفقین تحمل کردند).
البته انتخاب استراتژی صحیح، همیشه واضح نیست. اجازه بدهید به مثال آلیس و باب برگردیم و ببینیم پس از آن که آلیس بازی احمقانه‌ی باب را نپذیرفت، چه اتفاقی افتاد. از آن جا که بعید بود آلیس بتواند 10 دلارش را پس بگیرد، پس بازی دیگری را پیشنهاد کرد تا باعث شود باب کمی مغزش را در انتخاب استراتژی به کار بیندازد. در مدل بازی آلیس، آن ها یک ماه تمام، در هر هفته پنج روز به کتاب خانه می روند. اگر هر دو سوار اتوبوس شوند، باب به آلیس 3 دلار می دهد. اگر هر دو پیاده بروند، باب 4 دلار به آلیس می دهد و اگر باب سوار اتوبوس شود و آلیس پیاده و بعد از باب به کتاب خانه برسند، باب 5 دلار می دهد. اگر باب پیاده برود و آلیس سوار اتوبوس شود و زودتر برسد، باب 6 دلار می دهد. اگر کمی گیج شدید، نگران نشوید؛ این بازی باب را هم گیج می کند. در زیر ماتریس بازی را می بینید.

باب	آلیس
پیاده روی	اتوبوس
6	3	پیاده روی
4	5	اتوبوس

باب می فهمد که استراتژی ساده ای برای این بازی وجود ندارد. اگر او سوار اتوبوس شود،3 دلار باید بدهد، اما آلیس احتمالاً پیاده خواهد رفت و این بدان معنی است که باب باید 5 دلار به آلیس بدهد. بنابراین باب باید تصمیم بگیرد که پیاده برود، به این امید که فقط 4 دلاربدهد. اما ممکن است آلیس تغییر عقیده بدهد و سوار اتوبوس بشود در نتیجه باب باید 6 دلار به او بدهد. نه آلیس و نه باب نمی توانند مطمئن شوند که دیگری چه می کند. بنابراین، در این جا بهترین استراژی واضح وجود ندارد.
به خاطر داشته باشید که آلیس شرط کرده بود بازی بیست بار تکرار شود. قواعد بازی نمی گوید که شما باید هر روز استراتژی یکسانی را انتخاب کنید (اگر شما این کار را انجام دهید، استراتژی محضی را برگزیره اید که هرگز تغییر نمی کند). به عکس فکر می کند که او باید از استراتژی مخلوط استفاده کند، یعنی بعضی روزها پیاده برود و بعضی روزها با اتوبوس. آلیس می خواهد بداند باب چه حدسی می زند و البته باب هم می خواهد بداند آلیس چه حدسی می زند. بنابراین باب هم استراتژی مخلوط را انتخاب می کند.
این جوهره‌ی بینش زیرکانه‌ی فون نویمان بود. دربازی دونفره‌ی مجموع - صفر، همیشه می توانید بهترین استراتژی را انتخاب کنید. در بسیاری از موارد استراتژی مخلوط بهترین استراتژی است.
در این مثال خاص، محاسبه‌ی بهترین استراتژی های مخلوط برای آلیس و باب ساده است. به خاطر داشته باشید که استراتژی مخلوط، مخلوطی از استراتژی های محض است که هر کدام با درصد خاصی از زمان انتخاب می شوند (یا به عبارت دیگر با احتمال خاص) (55). در نتیجه باب می خواهد نسبت درصد گزینه‌ی پیاده روی را در مقابل اتوبوس سواری با استفاده از دستورالعمل کتاب قدیمیِ نظریه‌ی بازی ها که در کتاب خانه پیدا کرده است محاسبه کند (56). پس از خواندن کتاب، او هزینه‌ی وقتی که آلیس پیاده می رود (سطر دوم ماتریس) را با مقداری مقایسه می کند که آلیس سوار اتوبوس می شود (سطر اول ماتریس) و هزینه های سطر دوم را از سطر اول کم می کند (جواب 2- و 2+ است، اما علامت منفی نامربوط است). این دو عدد بهترین نسبت را برای استراتژی های باب تعیین می کند، یعنی 2:2 یا 50-50 (توجه کنید که عدد ستون دوم سهم اولین استراتژی را تعیین می کند و عدد ستون اول سهم استراتژی دوم را تعیین می کند. در این بازی عددها اتفاقی مساوی شدند. از طرف دیگر آلیس با کم کردن ستون دوم از ستون اول اعداد 3- و 1 را به دست می آورد (یا 3 و 1 با در نظر نگرفتن علامت منفی). بنابراین آلیس باید استراتژی دوم (پیاده) را سه برابر استراتژی اول (اتوبوس) انتخاب کند (57). در نتیجه آلیس باید از هر چهار بار، یک بار سوار اتوبوس شود و سه چهارم مواقع پیاده برود. باب باید نیمی از مواقع پیاده برود و نیمی از مواقع سوار اتوبوس شود. هر دو نفر باید با استفاده از روش انتخاب (58) تصادفی، استراتژی مورد نظر را انتخاب کنند. باب فقط کافی است یک سکه به هوا بیندازد. آلیس باید از جدول اعداد تصادفی استفاده کند (59). اگر یکی از دو نفر همیشه پیاده برود (یا همیشه سوار اتوبوس بشود)، دیگری قادر است استراتژی مفیدتری انتخاب کند.
مفهوم استراتژی مخلوط (استفاده از روش تصادفی برای انتخاب از بین استراتژی های مختلف محض) جوهره‌ی اثبات قضیه‌ی minimax است که فون نویمان ارائه داد. با انتخاب استراتژی مخلوط صحیح، می توانید تضمین کنید که بهترین نتیجه به دست می آید فقط اگر حریفتان بهترین بازی ممکن را انجام دهد. اگر حریف شما نظریه‌ی بازی ها را بلد نباشد، حتی ممکن است نتیجه‌ی بهتری به دست آورید.

فراتر از بازی ها

نظریه‌ی بازی ها فقط درباره‌ی بازی پوکی یا شطرنج یا حتی درباره‌ی اقتصاد نیست. این نظریه درباره‌ی انتخاب تصمیم های استراتژیک است، خواه در اقتصاد خواه در هر موضوع دیگری از زندگی واقعی. هر وقت مردم در تعقیب هدفی با هم رقابت می کنند یا تعامل دارند، نظریه‌ی بازی ها نتیجه‌ی مورد انتظار از کاربرد استراتژی های مختلف را شرح دهد. اگر شما می دانید که چه نتیجه ای می خواهید، نظریه‌ی بازی ها استراتژی مناسب را برای به دست آوردن آن دیکته می کند. اگر اعتقاد دارید که تعامل مردم با یکدیگر به آن سبب است که بهترین استراتژی ممکن را برای به دست آوردن آرزوهایشان پیدا کنند، پس نظریه‌ی بازی ها ممکن است با ایده‌ی جدید رمز طبیعت (راهنمای رفتار بشر) مرتبط باشد.
فون نویمان و مورگن اشترن، در کتابشان راجع به رمز طبیعت صحبت نکردند، اما به نظریه‌ی بازی ها به مثابه‌ی توصیفی از «نظم جامعه» یا «استاندارد رفتار» در یک سازمان اجتماعی، اشاره کردند. آن ها تأکید کردند که چگونه «نظريه ي پديده هاي اجتماعي» به ریاضیاتی متفاوت با آن چه عموماً در فیزیک استفاده می شود نیاز خواهد داشت، مثل ریاضیات نظریه‌ی بازی ها. آن ها نوشتند: «قطعاً نظريه ي رياضي بازي هاي استراتژيک به دليل ارتباط بين مفاهيمش و سازمان اجتماعي معقول به نظر مي رسد» (60).
در شکل اولیه اش، نظریه‌ی بازی ها بیش تر به عنوان ابزاری محاسباتی برای مسائل استراتژیک جهان واقعی محدود شده بود. می توانید مثال هایی از بازی های دونفره‌ی مجموع - صفر در زندگی واقعی پیدا کنید، اما معمولاً این بازی ها یا به قدری ساده اند که به نظریه‌ی بازی ها نیاز ندارید تا بگوید چه باید انجام بدهید، یا به قدری پیچیده اند که نظریه‌ی بازی ها نمی تواند همه‌ی ملاحظات را در نظر بگیرد.
البته این انتظار که کتابی زمینه‌ی جدیدی را معرفی کند و همه‌ی مسائل آن زمینه را حل کند غیر واقع بینانه است. تعجب آور نیست که فون نویمان و مورگن اشترن در به کار بردن نظریه‌ی بازی ها در موقعیت هایی پیچیده تر از بازی های دونفره‌ی مجموع - صفر کاملاً موفق نبودند. اما زمان زیادی طول نکشید که قدرت نظریه‌ی بازی ها افزایش یافت و این مدیون ریاضیات زیبای جان فوربز نش بود.

پي‌نوشت‌ها:

1- Gottfried Wilhelm von Leibnitz.
2- Monopoly.
3- Utility.
4- Polymath.
5- Rand Corporation.
6- Maria Joao Cardoso De Pina Cabral, “John von Neumann’s Contribution to
Economic Science,” International Social Science Review, Fall-Winter 2004. Available online at http:II www.fmdarticles.com/plarticles/mi-mOIMRIis-S-4-79.
7- Utilitarianism.
8- Jeremy Bentham.
9- Jeremy Bentham, An Introduction to the Principles of Morals and Legislation,
Clarendon Press, Oxford, 1907 (1789), Chapters, I, III. While written in 1780 and
distributed privately, it wasn’t published until 1789.
10- Jeremy Bentham, A Fragment on Government, London, 1776, Preface. Available
online at http://www.ecn.bris.ac.uk/het/bentham/govemment.htm. Although Bentham is sometimes credited with conining this phrase, a very similar expression was
authored by the Irish philosopher Francis Hutcheson in 1725: “That action is best which procures the greatest happiness for the greatest numbers.”
11- David Ricardo.
12- Daniel Bernoulli.
13- Nicholas.
14- Bill Gates.
15- Strictly speaking, utility theory can be used without game thory to make economic
predictions, and it often is. But before game theory came along, the mathematical basis of utility was less than solid. In formulating game theory, von Neumann and Morgenstem developed a method to compute utility with mathematical rigor. Utility theory on its own can be used individuals making solitary decisions, but when one person’s choice depends on what others are choosing, game theory is then necessary to calculate the optimum decision.
16- James Waldgrave.
17- نگرش مینی ماکس یا حداقل گرفتن از مجموعه‌ی حداکثرها.
18- Ernst Zermelo.
19- Zero-Sum.
20- Emile Borel.
21- Theory of Parlor Games.
22- In 1937, von Neumann published another influential paper, not specifically linked
to game theory, that presented a new view on the nature of growth and equilibrium in economic systems. That paper was another major element of von Neumann’s contribution to economic science. See Norman Macrae, John von Neumann, Pantheon Books, New York, 1991, pp. 247-256.
23- A dvantures of Sherlock Holmes.
24- Final Problem.
25- Moriarty.
26- In the story, Moriarty appears in Victoria station just as Holmes and Watson’s train departs for Dover, where a ferry will transport them to France. Watson believes they have successfully escaped from the villain, but Holmes points out that Moriarty will now do what Holmes himself would have done-engage a special train to speed him to Dover before the ferry departs. But anticipationg this move by Moriarty, Holmes decides to get off the train in Canterbury and catch another train to Newhaven, site of another ferey to France. Sure enough, Moriarty hired a special train and went to Dover. But a game theorist would wonder why
Moriarty would not have anticipated the fact that Holmes would have anticipated Moriarty’s move, etc. See Leslie Klinger, ed., The New Annotated Sherlock Holmes, Vol. 1, W.W. Norton, New York, 2005, pp. 729-734.
27- Eduard Cech.
28- Institute for Advanced Study.
29- Oskar Morgentstem, “The Collaboration between Oskar Morgenstem and John von Neumann on the Theory of Game,” Journal of Economic Literature, 14 (September 1976), reprinted in John von Neumann and Oskar Morgenstem, Theory f Games and Economic Behavior, Sixtieth-Anniversary Edition, Princeton University Press, Princeton, N.J., 2004.
30- Robert J. Leonard, “From Parlor Games to Social Science: Von Neumann, Morgenstem, and the Creation of Game Theory, 1928-1944,” Journal of Economic Literature, 33 (1995): 730-761.
31- Principia.
32- John von Neumann and Oskar Morgenstem, Theory of Games and Economic Behavior, Sixtieth-Anniversary Edition, Princeton University Press, Princeton, NJ., 2004, p. 2.
33- Ibid., p. 4.
34- Ibid., p. 2.
35- Ibid., p. 6.
36- Robinson Crusoe.
37- Massachusetts.
38- Samuel Bowles, telephone interview, September 11, 2003.
39- Gilligan's Island.
40- Von Neumann and Morgenstem, Theory of Games, p 11.
41- Marry Ann.
42- Ibid., p. 11.
43- Ibid., p. 12.
44- Interacting Molecules.
45- Ibid., p. 14.
46- Ibid., Theory of Games and Economic Behavior, p. 13.
47- Pure.
48- Mixed.
49- Bob.
50- Alice.
51- If you really want to get technical, you have to subtract the bus fare from the winnings (or add it to the cost) when calculating the payoffs for this game. But that makes it too complicated, so let’s assume they live ina “free ride” zone.
52- Pay of Matrix.
53- George Kenny.
54- New Guinea.
55- Thus a mixed strategy is a “probability distribution” of pure strategies. The concept of probability distribution will become increasingly important in later chapters.
56- J.D. Williams, The Compleat Strategist: Being a Primer on the Theory of Games of Strategym Me Graw-Hill, New York, 1954.
57- The actual math for calculating the optimal strategies for this game matrix is given in the Appendix
58- random-choice device. (روش انتخاب تصادفی).
59- In the original formulation of game theory, von Neumann insisted on treating games as if they were only one-shot affairs-ho repetitions. In that case, a mixed strategy could not be implemented by choosing different strategies different percentages of the time. You could make only one choice. If your minimax solution was a mixed strategy, you had to use the random-choice device to choose which of the possible pure strategies you should play.
60- Von Neumann and Morgenstem, Theory of Games, p. 43.

منبع مقاله :
سیگفرید، تام؛ (1392)، ریاضیات زیبا: جان نش، نظریه بازی ها، و جست وجوی رمز طبیعت، ترجمه مهدی صادقی، تهران: نشر نی، چاپ دوم