پیوندهای بیکن

علم شبکه ها، برخلاف فیزیک ذرات زیراتمی یا ساختارهای بزرگ جهان، علم جهان واقعی است. جهان مردم، دوستی ها، شایعات، شرکت ها، و بحران های مالی.
دانکن واتس، شش درجه (1)
علوم جدید بسیار مدیون شخصی به نام بیکن است. اگر این جمله را چهار قرن پیش می گفتید، منظورتان فرانسیس بیکن (2)، فیلسوف معروف انگلیسی، بود که بر اهمیت روش های تجربی برای بررسی طبیعت تأکید داشت. تأثیر بیکن به حدی اساسی بود که گاهی اوقات تولد علوم جدید را انقلاب بیکنی می نامند.
به هر حال، امروزه وقتی شما بیکن و علم را هم زمان ذکر می کنید احتمالاً نه درباره‌ی فرانسیس بیکن، بلکه درباره‌ی کوین بیکن، هنرپیشه‌ی هالیوود، صحبت می کنید. بعضی ها حتی ممکن است بگویند که دومین انقلاب بیکنی هم در راه است.
در حال حاضر خیلی ها شنیده اند که کوین بیکن در صنعت سینما، هنرپیشه ای با بیش ترین ارتباطات بوده است. او آن قدر فیلم بازی کرده است که می توانید تقریباً هر دو هنرپیشه ای را، از طریق شبکه ای از فیلم ها که او در آن ها بازی کرده است، به هم مرتبط کنید. مثلاً، جان بلوشی (3) و دمی مور (4) به واسطه‌ی بازی بیکن در فیلم های خانه‌ی حیوانات (5) (با بلوشی) و معدود مردان خوب (6) (بامور) به هم متصل می شوند. هنرپیشه هایی که هیچ وقت با بیکن همبازی نبوده اند را نیز می توان غیرمستقیم به هم متصل کرد. پنلوپه کروز (7) فیلم مشترکی با بیکن ندارد، اما در فیلم آسمان وانیلی (8) همبازی تام کروز (9) بود و نام کروز در فیلم معدود مردان خوب با بیکن همبازی بوده است. تا اواسط سال 2005، بیکن با حدود 2 هزار بازیگر همبازی بود و با شش واسطه یا کم تر به بیش از 99/9 درصد هنرپیشه های پایگاه اطلاعاتی هنرپیشه ها از تاریخ 1892 تا 2005 متصل می شود. از این نظر بیکن منحصربه فرد است.
شهرت بیکن الهام بخش رنسانسی در شاخه ای از ریاضیات شد که نظریه‌ی گراف (10) یا ریاضیات شبکه ها نامیده می شود. نقش بیکن در شبکه‌ی هنرپیشه ها، ریاضیدانان را به کشف خواص جدیدی درباره‌ی انواع شبکه ها رهنمون کرد که با ابزارهای فیزیک آماری توصیف می شدند. علم بیکنی به ویژه توجه فیزیکدانان آماری را معطوف شبکه های اجتماعی کرد و سبک جدیدی در قبال مسئله‌ی پیش گویی رفتار جمعی انسان اختیار کرد.
در واقع ریاضیات جدید شبکه، چارچوبی برای علم تعامل های اجتماعی انسان (رمز طبیعت) ایجاد کرده است. نگرش فیزیک آماری برای کمّی کردن شبکه های اجتماعی توجه کمی به نظریه‌ی بازی ها نشان داده است. به هر حال بسیاری از محققان معتقدند که بین این دو موضوع ارتباطی وجود دارد. نظریه‌ی بازی ها منحصراً ریاضیات تحلیل رفتار فردی نیست، بلکه قواعدی را تعیین می کند که به وسیله‌ی آن شبکه های پیچیده تشکیل می شوند. آن چه شبکه‌ی کوین بیکن را به عنوان بازی مطرح کرد ممکن است در نهایت باعث هم گرایی علم شبکه ها و نظریه‌ی بازی ها شود.

شش درجه

اوایل دهه‌ی 1990، حضور کوین بیکن در اکثر فیلم های عامه پسند، توجه شماری از دانشجویان پنسیلوانیا را به خود جلب کرد. آن ها یک بازی طراحی کردند که در آن بازیکن ها سعی می کردند کوتاه ترین مسیری را پیدا کنند که کوین بیکن را به هنرپیشه های دیگر متصل می کرد. وقتی در سال 1994 در برنامه ای تلویزیونی این بازی را تبلیغ کردند، بعضی از دانشجویان باهوش علوم کامپیوتر در دانشگاه ویرجینیا در حال تماشای تلویزیون بودند. به زودی آن ها پروژه ای تحقیقاتی را شروع کردند و وب سایتی طراحی کردند که اتصال های بیکن به هر هنرپیشه‌ی دیگری را به سرعت محاسبه می کرد (می توانید در آدرس www.oracleofbacon.org آن را ببینید). 1952 هنرپیشه مستقیماً در فیلم مشترکی با بیکن همبازی بودند و «عدد بيکن» 1 دارند. 169،274 هنرپیشه‌ی دیگر با واسطی با بیکن ارتباط دارند و «عدد بيکن» 2 دارند. بیش از 470،000 هنرپیشه «عدد بيکن» 3 دارند. به طور متوسط بیکن می تواند با 770،269 هنرپیشه در پایگاه اطلاعاتی فیلم با حدود 95 /2 درجه متصل شود (11). از این شمار 770،187 (تقریباً 99/9 درصد) با شش درجه یا کم تر با بیکن ارتباط دارند. به عبارت دیگر، تقزیباً همه‌ی هنرپیشه ها، کم تر از شش درجه فاصله از بیکن دارند.
بنابراین، به نظر می رسید بازی بیکن یافته‌ی جامعه شناسان دهه‌ی 1960 را تأیید می کرد؛ زمانی که استنلی میلگرم (12)’ روانشناس اجتماعی’ آزمایش مشهوری بر روی نامه های پستی انجام داد. در این آزمایش، از افرادی در نبراسکا (13) خواسته شده بود که بسته ای را برای شخصی بفرستند که می شناسند و گیرنده نیز آن را آشنای دیگر بفرستد تا نهایتاً به دست دلال سهامی در بوستون برسد. به طور متوسط، کمی بیش از پنج مرحله طول می کشید تا بسته به دست گیرنده‌ی نهایی برسد. این آزمایش پیشنهاد می کرد که هر دو نفر می توانند از طریقی با کم تر از شش درجه فاصله (14) به هم متصل شوند.
این ایده اوایل دهه‌ی 1990، به واسطه‌ی فیلمی با همین عنوان به کارگردانی جان گوئار (15) توجه عمومی را به خود جلب کرد. از نقطه نظر علمی، بازی بیکن و فیلم گوئار هم زمانی مناسبی برای مطالعه‌ی شبکه ها داشتند. مفهوم شش درجه این ذهنیت را ایجاد کرد که شبکه ها موضوع جالبی برای مطالعه هستند؛ مخصوصاً وقتی که ابزارهای مطالعه‌ی شبکه ها در قالب کامپیوترهایی به شبکه‌ی جهانی اینترنت متصل شوند.

ما شبکه هستیم

در دوران جوانی من، «شبکه» به معنای شبکه های ABC’ NBC، یا CBS بود. بعدها ESPN, CNN, PBS و دیگر شبکه ها اضافه شدند، اما ایده‌ی اساسی مشابه بود. با تغییر جهت فرهنگ جهانی از تلویزیون به کامپیوتر، مفهوم شبکه از تعریف اولیه اش فراتر رفت. امروزه به نظر می رسد که شبکه ها همه جا هستند و همه چیز شبکه است. شبکه ها به دولت، محیط، و اقتصاد نفوذ کرده اند. جامعه به شبکه های انرژی، شبکه های ارتباطاتی و شبکه های حمل و نقل وابسته است. تجارت، شبکه های خریداران و فروشندگان، تولید کنندگان و مصرف کنندگان، و شبکه‌ی تجار داخلی را به کار گرفته است. نقشه ها شبکه ای از رودخانه ها و جاده ها را نشان می دهند. زنجیره‌ی غذایی بیان دیگری از شبکه است. بدن شبکه ای از اندام ها، رگ های خونی، عضلات، و اعصاب است. شبکه خود ما هستیم.
از میان همه‌ی این شبکه ها یک شبکه از همه برجسته تر است، اینترنت و شبکه‌ی جهانی وب (16). در واقع دو شبکه وجود دارد. اینترنت شامل شبکه‌ی فیزیکی از کامپیوترها و روترها (17) است در حالی که شبکه‌ی جهانی وب، بخش نرم افزاری آن است که شامل اطلاعات یا صفحاتی است که با ابراتصالات URL به هم متصل اند. در طول دهه‌ی 1990، اینترنت و وب به سرعت در میان مردم گسترش یافت. مردم در همه‌ی مقاطع مختلف زندگی با زبان شبکه شروع به فکر درباره‌ی جهانشان کردند. پیش از این، کلمه‌ی شبکه به صورت غیررسمی برای چیزهایی، مثل گروه های دوستان یا شرکای تجاری، استفاده می شد؛ اما در طول سال های آخر قرن بیستم، مفهوم شبکه دقیق تر شد و در انواع سیستم ها در زیست شناسی، تکنولوژی، و جوامع کاربرد پیدا کرد.
در جهان علم، شبکه ها الهام بخش نقطه نظرات جدیدی برای سنجش بعضی از پیچیده ترین مسائل اجتماعی شدند. درک چگونگی رشد و تکامل شبکه ها، بقا، یا تخریب شبکه ها می تواند مانع آسیب به ای میل ها، بهبود پوشش تلفن های همراه، و حتی درمان سرطان شود. کشف قوانین حاکم بر شبکه ها می تواند سرنخ های حیاتی برای چگونگی محافظت از (یا حمله به) هر چیزی، از شبکه های برق و اکوسیستم ها گرفته تا وب سایت ها و سازمان های تروریستی، فراهم کند. فیزیکدانان متخصص ریاضیاتِ شبکه ها به حوزه های مطالعه‌ی سیستم های کامپیوتری، تجارت جهانی، شیمی پروتئین ها، خطوط هوایی، و شیوع بیماری ها وارد شده اند.
استفاده از ریاضیات برای مطالعه‌ی شبکه ها موضوع کاملاً جدیدی نیست. در واقع، قدمت ریاضیات شبکه ها حداقل به قرن هجدهم برمی گردد؛ وقتی که لئونارد اویلر (18)، ریاضیدان سویسی، با تجربه و تحلیل شبکه‌ی پل های شهر کونیشسبرگ (19) در پروس شرقی، این زمینه را پایه گذاری کرد. در اواسط قرن بیستم، پل اردوس (20) و آلفرد رنیی (21) ریاضیاتی را برای توصیف شبکه ها در انتزاعی ترین شکل (در اصل نقاط روی صفحه که خطوط آن ها را به هم متصل کرده اند) توسعه دادند. نقطه ها به عنوان گره ها شناخته می شوند (یا گاهی اوقات رأس ها) و خطوط، یال ها (یا معمولاً اتصالات) نامیده می شوند. چنین نمایشی از نقطه ها و خطوط از نظر تکنیکی گراف شناخته می شوند؛ بنابراین، ریاضیات سنتی شبکه ها به عنوان نظریه‌ی گراف شناخته شده است. (22)
گرافی از رأس ها و یال ها می تواند تقریباً هر چیزی در جهان واقعی را نمایش دهد. گره ها می توانند هر سوژه یا موجودی مثل مردم، شرکت ها، کامپیوترها، یا ملت ها باشند و اتصالات می تواند سیم هایی باشند که ماشین ها را به هم متصل می کنند، روابط دوستانه ای که مردم را به هم متصل می کند، بازی در فیلم های مشترکی که هنرپیشه ها را به هم متصل می کند، یا هر ویژگی یا تجربه‌ی مشترک دیگری. البته همه‌ی مردم به انواع شبکه ها، مثل شبکه های خانواده، شبکه های دوستان، و شبکه های همکاران تعلق دارند. شبکه هایی از مردم وجود دارد که در آن افراد سرمایه، دیدگاه های سیاسی، یا سایر چیزها را به اشتراک می گذارند.
ریاضیات نظریه‌ی سنتی گراف، برای توصیف چنین شبکه هایی چندان مناسب نیست. نقطه ها و خط هایش همان قدر شبیه شبکه های واقعی است که کارت امتیاز به بازی بیس بال شباهت دارد. کارت امتیاز در بازی بیس بال، همه‌ی بازیکن ها و موقعیت هایشان را ثبت می کند، اما شما با خواندن کارت امتیاز نمی فهمید بازی بیس بال شبیه چیست. گراف ها نیز همین طور هستند. ریاضیات استاندارد گراف، شبکه های ثابتی برای گره هایی توصیف می کند که تصادفی به هم متصل شده اند. در حالی که در جهان واقعی، شبکه ها معمولاً رشد می کنند، بخش های جدید و ارتباطات جدیدی به آن اضافه می شود: گرچه شاید بعضی بخش ها و ارتباطات حذف شود و این موضوع غالباً تصادفی نیست. در شبکه ای تصادفی، هر گره معادل بقیه است و بعضی گره ها اتصالات بیش تر یا کم تری با بقیه دارند. اما در بسیاری از شبکه های جهان واقعی، بعضی گره ها به طور غیرمعمول اتصالات زیادی دارند (مثلاً در شبکه‌ی شرکای جنسی، بعضی افراد ارتباطاتی بیش تر از میانگین دارند که این موضوع مهمی برای درک نحوه‌ی شیوع ویروس ایدز است). در شبکه های واقعی، خوشه هایی (23) نظیر گروه هایی از دوستان نزدیک شکل می گیرد.
اردوس و رنیی به خوبی می دانستند که نقطه ها و خط هایشان همه‌ی پیچیدگی های شبکه های جهان واقعی را در بر نمی گیرد. آن ها به عنوان ریاضیدان، نگران واقعیت نبودند و مدلشان را برای کمک به درک خواص ریاضی ارتباطات تصادفی توسعه دادند. توصیف ارتباطات تصادفی از نظر ریاضی امکان پذیر بود، اما توصیف همه‌ی پیچیدگی های شبکه های جهان واقعی امکان پذیر نبود. کسی نمی دانست که چگونه باید این کار را انجام دهد.
پس از آن، مقاله ای در مجله‌ی نیچر چاپ شد که همه چیز را تغییر داد. در چهارم ژوئن 1998 «جنون شبکه» (24) متولد شد، یعنی وقتی که دانکن واتس و استیون استروگتز (25) مقاله‌ی کوتاهی (فقط دو صفحه و نیم) با عنوان «ديناميک جمعي شبکه هاي جهان کوچک» (26) چاپ کردند (27).

جنون شبکه

وقتی چند سال بعد استروگتز را در کنفرانسی دیدم از او پرسیدم چرا شبکه ها یکی از داغ ترین موضوعات اواخر دهه‌ی 1990 بود. گفت: «فکر مي کنم مقاله ي ما باعث شد. اگر شما بپرسيد دقيقاً چه وقت شروع شد، فکر مي کنم در 1998 وقتي که مقاله مان درباره ي شبکه هاي جهان کوچک (28) در مجله ي نيچر چاپ شد». درباره‌ی منشأ این مقاله از استروگتز سؤال کردم. گفت: «وقتی من و واتس کارمان را در سال 1995 شروع کردیم، از موضوع کوین بیکن خبر داشتیم و چیزهایی درباره‌ی «شش درجه جدايي» شنيده و فيلمش را ديده بوديم» (29).
البته کوین بیکن خودش در علم انقلابی ایجاد نکرد. بازی بیکن هنگامی معروف شد که مردم راجع به اینترنت آگاهی پیدا کردند و این را مدیون شبکه‌ی جهانی وب بودند. استروگتز گفت: «فکر مي کنم وب باعث شد که ما راجع به شبکه فکر کنيم». وب نه تنها نمونه ای از شبکه‌ی وسیع بود، بلکه شبکه های زیاد دیگری نیز برای تحقیق در دسترس قرار داد. البته گسترش وب و موتورهای جست وجو، امکان تهیه‌ی نقشه‌ی ارتباطات خود وب را میسر کردند؛ همچنین این امکان را فراهم کردند که شبکه های دیگر را نیز بتوان فهرست کرد و به سادگی به آن ها دسترسی داشت (پایگاه داده‌ی هنرپیشه های فیلم یکی از نمونه های اولیه بود). مثلاً داده های واکنش های متابولیک در کِرم های نماتود (30) یا اندرکنش های ژن ها در مگس میوه می توانستند به طور مشابهی جمع آوری و منتقل شوند.
استروگتز گفت: «پايگاه داده هاي بزرگ در دسترس قرار گرفتند و محققان مي توانستند به آن ها دسترسي داشته باشند. مردم شروع کردند به فکرکردن درباره ي چيزهايي مثل شبکه ها. قبل از آن حتي به شبکه هاي واقعي نيز معمولاً به صورت شبکه نگاه نمي شد. شبکه ي نيروي برق به عنوان مدار (31) شناخته مي شد و به جاي اصطلاح سيستم تلفن، شبکه ي تلفن مي شنيديد. ما به آن ها به عنوان شبکه فکر نمي کرديم. فکر نمي کنم که با حرکت از يک اتصال به اتصالي ديگر، احساس حرکت درون شبکه را داشتيم».
اما وب متفاوت بود؛ فکر کردن راجع به آن به عنوان یک کل غیرممکن بود. شما باید اتصال به اتصال در آن پیش بروید و وب با همه‌ی زمینه های علمی در تماس بود و همه نوع متخصصی را به ایده‌ی شبکه مرتبط می کرد. استروگتز گفت: «در بسياري از زمينه هاي مختلف علمي، آن چه ما تفکر شبکه اي مي ناميم شروع به ظاهر شدن کرد».
با این حال تا هنگام چاپ مقاله‌ی واتس - استروگتز در سال 1998 هنوز انقلاب در ریاضیات شبکه شروع نشده بود. آن ها نشان دادند چگونه می توان مدلی از یک «جهان کوچک» ساخت که در آن به طور متوسط با تعداد کمی گام بتوان از گرهی در شبکه به هر گره دیگری رفت. مدل آن ها آن قدر شگفت انگیز بود که موجی به راه انداخت که منجر به نوعی «جنون شبکه» شد. اما استروگتز فکر می کند بعضی از جنبه های مدل به اشتباه به عنوان عامل احیای ریاضیات شبکه معرفی شده است؛ مثلاً بعضی از متخصصان گفته اند که تأثیر اصلی مقاله‌ی واتس - استوگتز ریشه در تشخیص ماهیت «جهان کوچک» در بعضی از شبکه های جهان واقعی دارد. بعضی دیگر اشاره کرده اند که «خوشه اي بودن» اتصالات (گروه های کوچکی از گره ها که بیش تر از گره های تصادفی با هم ارتباط دارند) کشفِ کلیدیِ مقاله بود.
استروگتز گفت: «از نظر من اين نگاه ها به اهميت مقاله، اشتباه است. فکر مي کنم علتِ محبوبيتِ مقاله در آن بود که ما براي اولين بار شبکه هايي از موضوعات مختلف را با هم مقايسه کرديم و دريافتيم که در اين شبکه ها خواص مشابهي وجود دارد».
به عبارت دیگر، هرچند شبکه ها متنوع هستند، ویژگی های عمومی و مشترکی دارند که می توان با دقت به صورت ریاضی توصیف کرد. چنین عمومیتی مردم را امیدوار کرد که ریاضیات شبکه می تواند چیزی بیش تر از کار ملال آور دسته بندی اتصالات در شبکه ای و سپس رفتن به شبکه‌ی دیگری باشد. به نظر می رسد که برخلاف این موضوع، قوانین عمومی برای شبکه ها می تواند وجود داشته باشد که پیش گویی دقیق چگونگی رشد، تکامل، و رفتار انواع مختلف شبکه ها (شبکه های شیمیایی مثل پروتئین ها در سلول ها، شبکه های عصبی مثل سلول های عصبی در مغز، شبکه های اجتماعی مثل هنرپیشه ها در فیلم ها، یا دلالان سهام در اقتصاد) را امکان پذیر می سازد.

جهان های کوچک

یکی از ویژگی های عمومی کلیدی در شبکه های مختلف این است که بسیاری از آن ها ویژگی جهان کوچک را نشان می دهند. مثلاً وقتی که گره های شبکه انسان ها باشند، جهان های کوچک قاعده هستند. بنابراین، کشف قواعد حاکم بر شبکه‌ی جهان کوچک می تواند کلید پیش بینیِ آینده‌ی جامعه باشد.
واتس و استروگتز با تمرکز بر شبکه های حد واسط بین شبکه های کاملاً منظم و کاملاً تصادفی، ماهیت جهان کوچک شبکه های معینی را روشن کردند. در شبکه ای منظم، گره ها فقط به همسایه های نزدیکشان متصل هستند. در مثالی خیلی ساده، مجموعه ای از گره های مرتب شده در دایره ای را در نظر بگیرید که هر نقطه با خطی فقط به نقطه های مجاور دو طرفش متصل می شود.
در شبکه ای پیچیده تر (اما هنوز منظم) می توانید نقاط را به نزدیک ترین همسایه های دوم نیز متصل کنید. در این حالت هر گره با چهار گره دیگر ارتباط دارد (دو همسایه در هر طرف).
از طرف دیگر، در شبکه ای تصادفی، بعضی گره ها به گره های زیادی متصل هستند و بعضی گره ها ممکن است فقط به یک گره متصل باشند. بعضی گره ها ممکن است به گره های مجاور و بعضی به گره های دورتر متصل باشند. بعضی گره ها ممکن است هم به گره های مجاور و هم به گره ها دورتر متصل باشند. چنین شبکه ای شلوغ و آشفته خواهد بود و به معنای شبکه ای تصادفی است.
در شبکه ای تصادفی، پیداکردن مسیری نسبتاً کوتاه از گرهی به هر گره دیگری، با توجه به اتصالات تصادفی گره های دورتر، معمولاً ساده است. در شبکه های منظم، حرکت به این سادگی نیست. برای رفتن از نقطه ای در دایره به نقطه ای در طرف دیگر دایره باید راهی طولانی را از طریق همسایه های متصل به هم بروید.
اما در شبکه‌ی حد واسط (نه کاملاً منظم و نه کاملاً تصادفی)، چه چیزی اتفاق افتاد که واتس و استروگتز را حیرت زده کرد؟ فرض کنید که با شبکه ای منظم شروع و سپس چند اتصال تصادفی بین گره ها اضافه می کنید. روشن شد که اضافه کردن حتی درصد کمی اتصالات، میان برهایی بین گره های دورتر ایجاد می کند و شبکه‌ی حد واسط جدید، شبکه‌ی جهان کوچک خواهد شد. (بدین معنی که می توانید با چند گام کوچک به هر جای شبکه بروید). اما شبکه های حد واسط ویژگی مهم شبکه های منظم را حفظ می کنند. گره های مجاور هنوز بیش تر از حد متوسط با هم ارتباط دارند (بدین معنی که خوشه ای هستند)، در حالی که در شبکه های تصادفی چنین خوشه هایی غالباً وجود ندارد.
ریاضیات گراف هایی با ترکیبی از خواص شبکه های منظم و تصادفی جالب بود؛ اگرچه ضرورتاً مهم نبود. اما نیاز به تعداد کمی میان بر برای ایجاد شبکه‌ی جهان کوچک نشان داد که شبکه های جهان کوچک ممکن است در طبیعت عمومی باشند.
واتس و استروگتز این احتمال را در سه مثال از جهان واقعی آزمایش کردند: شبکه‌ی هنرپیشه های فیلم هایی با بازی کوین بیکن، شبکه‌ی انتقال نیروی برق در غرب ایالات متحده، و شبکه‌ی سلول های عصبی در کرم سی الگانس (32)(33). در هر سه مورد، این شبکه ها خواص جهان کوچک را نشان می دادند که شبیه مدل های شبکه های فرضی حد واسط منظم و تصادفی بودند.
واتس و استروگتز نتیجه گرفتند که «بنابراين، پديده ي جهان کوچک پديده اي نادر و منحصر به شبکه هاي اجتماعي يا مدلي ايده آل و مصنوعي نيست و ممکن است براي بسياري از شبکه هاي بزرگ و پراکنده در طبيعت عمومي باشد» (34).
اگر چنین باشد (که بود)، واتس و استروگتز فصل جدیدی را برای ریاضدانان و فیزیکدانان گشوده بودند که در آن می شد همه‌ی انواع شبکه های مهم را با مجموعه ابزار مشترکی تجزیه و تحلیل کرد. همان گونه که فیزیک آماری امکان مطالعه‌ی پیچیدگی های مولکول های گاز را فراهم کرد، ریاضدانان می توانستند از ریاضیات مشابهی برای محاسبه‌ی خواص معین یک شبکه استفاده کنند و همان گونه که همه‌ی گازها، فارغ از نوع مولکول هایشان، از قوانین یکسانی تبعیت می کردند، بسیاری از شبکه ها از نظم ریاضی مشابهی پیروی کردند. استروگتز گفت: «همه سؤال مي کردند جالب نيست که شبکه هاي کاملاً متفاوت خواص مشترکي را نشان مي دهند؟»
چندین ویژگی شبکه ها را می توان با اعدادی مشابه با دما یا فشار گاز (آن چه دانشمندان پارامترهای توصیف کننده‌ی سیستم می نامند) کمّی کرد. متوسط تعداد گام ها برای رفتن از گرهی به گره دیگر یا طول مسیر (35)، یکی از این پارامترهاست. پارامتر دیگر، «ضريب خوشه بندي» (36)، است که نشان می دهد چه قدر احتمال دارد دو گره، که به گره سومی متصل هستند، مستقیماً به یکدیگر نیز متصل شوند. میزان خوشه بندی نسبتاً بالا یکی از ویژگی های مشخصه‌ی شبکه های جهان کوچک است. طول مسیر کوتاه در شبکه های جهان کوچک، مشابه شبکه های تصادفی است. از طرف دیگر، ضریب خوشه بندی بالا کاملاً با شبکه های تصادفی متفاوت و بیش تر شبیه شبکه های منظم است.
به این خاصیت خوشه بندی به ویژه در شبکه های اجتماعی توجه می شود؛ مثلاً، اگر ژانت با سوزان و آنجلیا دوست باشد، با احتمالی بیش تر از متوسط سوزان و آنجلیا نیز همدیگر را می شناسند. استروگتز ذکر می کند که «تمايل به تشکيل مثلث ها وجود دارد و شما چنين چيزي را در شبکه هاي تصادفي نمي بينيد». علاوه بر ضریب خوشه بندی و طول مسیر، عدد مهم دیگر تعداد متوسط اتصالاتی است که گرهی را به گره های دیگر متصل می کند و ضریب درجه (37) نامیده می شود (درجه‌ی یک گره برابر تعداد گره های دیگری است که به آن متصل اند). کوین بیکن، به عنوان گره در شبکه‌ی هنرپیشه ها، گرهی با درجه‌ی بسیار بالا رتبه بندی می شود، چرا که با بسیاری از هنرپیشه های دیگر ارتباط دارد. درجه‌ی اتصال بالای بیکن باعث می شود که متوسط طول مسیر بین بیکن و سایر هنرپیشه ها کوتاه باشد. اما با تعجب ملاحظه شد که بیکن از هنرپیشه هایِ دارای درجه‌ی اتصال بالا دور است. با محاسبه‌ی تعداد متوسط گام ها برای اتصال به هنرپیشه های دیگر او حتی در فهرست هزارتایی اول هم قرار نگرفت.
در واقع این موضوع روشن می کند که اهمیت واقعی بیکن برای شبکه چندان به این مربوط نیست که او چه قدر خاص است بلکه مهم این است که او از چه نوعی است. بسیاری از هنرپیشه ها، مثل بیکن، همچون «هاب» (38) هستند که تعداد زیادی از اعضای جامعه را به هم پیوند می دهند و وجود چنین هاب هایی یکی از ویژگی های مشترک حیاتی در بسیاری از شبکه های جهان واقعی است.

توان آزادی مقیاس (39)

در اواسط سال 2004، هنرپیشه‌ی صدر فهرست «پراتصال ترين ها» (بر اساس متوسط مقدار گام هایی که او را به همه‌ی هنرپیشه های دیگر متصل می سازد)، رود استایگر (40) با 679 /2 گام بود. بیکن با 95 /2 در رتبه‌ی 1049 قرار داشت (هنوز هم بیکن از 99 درصد هنرپیشه ها اتصالات بیش تری دارد و هاب مهمی در نظر گرفته می شود). در رتبه‌ی دوم کریستوفر لی (41) با 684 /2 و در جایگاه بعدی دنیس هوپر (42) با 698 /2 قرار دارند. در میان هنرپیشه ها زن، کارن بلک (43) در رتبه‌ی بیست و یکم قرار دارد.
این هنرپیشه های با اتصالات زیاد، هاب ها، هستند که با گام های کمی رفتن از هنرپیشه ای به هنرپیشه‌ی دیگر را آسان می سازند. دو هنرپیشه را تصادفی انتخاب کنید احتمالاً با سه گام یا کم تر می توانید آن ها را به هم متصل سازید و نیاز به گام های بیش تر از چهار غیرمعمول است. اگر بیش تر و بیش تر بگردید، تعداد کمی هنرپیشه پیدا می کنید که به گام های بیش تری برای اتصال به هم نیاز دارند، اما احتمالاً به دلیل این است که شما تعمداً هنرپیشه هایی را انتخاب کرده اید که اتصالات زیادی ندارند و احتمالاً کسانی هستند که فقط در یک فیلم بازی کرده اند (به خاطر داشته باشید که من گفتم دو نفر را تصادفی انتخاب کنید).
هاب هایی مثل بیکن یا هوپر باعث می شوند که شبکه‌ی هنرپیشه ها از نوع جهان کوچک باشد. آن ها رفتن از گرهی به گره دیگر را ساده می کنند. همان گونه که هاب های فرودگاهی اصلی مثل شیکاگو یا دالاس، فرودگاه های کوچک را در شبکه‌ی خطوط هوایی به هم وصل می کنند و شما می توانید بدون تعویض های زیاد هواپیما از شهری به شهر دیگر بروید.
به هر حال چنین هاب های بزرگی عموماً در شبکه های تصادفی یا منظم وجود ندارند. در شبکه‌ی منظم، هر گره مقدار یکسانی اتصال دارد و در نتیجه هابی وجود ندارد. در شبکه‌ی تصادفی، میان بر وجود دارد، اما پیدا کردن آن ممکن است بسیار سخت باشد، چرا که هاب های بزرگ بسیار نادر هستند. در شبکه ای تصادفی هر گره (هنرپیشه یا فرودگاه) همان قدر احتمال دارد اتصال داشته باشد که هر گره دیگری و بنابراین اکثر آن ها با درجه‌ی مشابهی به هم متصل هستند. فقط مقدار کمی از گره ها اتصالاتی خیلی بیش تر یا خیلی کم تر از متوسط دارند. اگر هنرپیشه ها تصادفی به هم متصل بودند، از رتبه بندی آن ها بر اساس تعداد اتصالات، نمودار زنگی شکلی به دست می آمد که اکثر آن ها نزدیک وسط منحنی بودند، اما در شبکه های جهان کوچک، چنین «مقياس نوعي» (44) از تعداد اتصالات وجود ندارد.
چنین توزیعی به عنوان «بدون مقياس» (45) شناخته می شود. در شبکه های بدون مقیاس، بسیاری از گره ها به سختی یک ارتباط دارند. بعضی گره ها میانگین ارتباطات خوبی دارند و تعداد کمی نیز هاب هایی با اتصالات بسیار زیاد خواهند بود. برای ریاضیدانان و فیزیکدانان، چنین توزیع بدون مقیاسی نشانه ای قطعی از «قانون توان» (46) است.
در مقاله ای فوق العاده که در سال 1999 در مجله‌ی ساینس چاپ شد، رکا آلبرت (47) و آلبرت باراباسی (48) از دانشگاه نتردام، به ماهیت «بدون مقياس» بسیاری از انواع شبکه ها و متعاقب آن به فواید «قانون توان» برای توصیف آن ها پرداختند. قانون توان، سیستم هایی را توصیف می کند که شامل تعداد کمی چیزهای بزرگ و تعداد زیادی چیزهای کوچک است. مثلاً، در امریکا تعداد انگشت شماری شهر با جمعیت میلیونی، تعداد زیادی شهرهایی با جمعیت متوسط در حدود صدهزار تا یک میلیون نفر و تعداد بسیار بسیار زیادی شهرهای کوچک تر وجود دارد. در مورد زمین لرزه ها نیز این وضعیت برقرار است. تعداد بسیار زیادی زمین لرزه‌ی کوچک که درخور توجه نیستند، تعداد کمی زمین لرزه‌ی متوسط که می تواند مثلاً ظرف ها را تکان دهد، و تعداد بسیار کمی زمین لرزه های شدید رخ دهند که پل ها و ساختمان ها را فرو می ریزند.
باراباسی و آلبرت در مقاله شان نشان دادند که چگونه احتمال این که گرهی در شبکه‌ی «بدون مقياس» به تعدادی از گره های دیگر متصل شود با افزایش تعداد اتصالات کاهش می یابد. بدین دلیل گفته می شود که شبکه های «بدون مقياس» تعداد زیادی گره هایی با اتصالات کم، تعداد کمی گره هایی با اتصالات متوسط، و تعداد انگشت شماری گره با اتصالات بسیار زیاد (مثل گوگل، یاهو یا آمازون در شبکه‌ی جهانی وب) دارند. گره هایی با اتصالات کم شایع هستند، مثل زمین لرزه های کوچک، گره هایی با اتصالات بسیاربسیار زیاد نسبتاً نادر هستند، مثل زمین لرزه های عظیم. میزانی که در آن احتمال اتصالات کاهش می یابد، دقیقاً مثل ریاضیات توصیف کننده‌ی اندازه‌ی شهرها یا زمین لرزه ها، با قانون توان محاسبه می شود. به عبارت دیگر، یک نظریه‌ی خوب از شبکه ها باید نه فقط توضیح دهد که چگونه کوین بیکن (یا دنیس هوپر) می تواند اتصالات زیاد داشته باشد، بلکه باید توضیح دهد که چرا شبکه ها شبیه زمین لرزه ها هستند.
باراباسی و آلبرت بر اساس این تشخیص، تفسیری را پیشنهاد کردند که شبکه ها به ندرت آرایش ایستایی از گره هایی با تعداد ثابتی از اتصالات هستند، بلکه عموماً ساختارهایی هستند که رشد و تکامل می یابند. آن ها فرض کردند که با رشد شبکه به وسیله‌ی اضافه کردن گره های جدید، اتصالات جدید به صورت تصادفی تشکیل نمی شوند، بلکه هر گره جدیدی ترجیح می دهد که به گره هایی که قبلاً تعداد زیادی اتصال داشته متصل شود. به عبارتی، غنی، غنی تر می شود و نتیجه‌ی چنین فرایند رشدی، شبکه ای بدون مقیاس با هاب های بسیار غنی است. دینامیک (49) این فراید نشان داد که توسعه‌ی شبکه های بزرگ به وسیله‌ی پدیده‌ی خودسازماندهی کنترل می شود که در ورای ویژگی های سیستم های منفرد قرار دارد (50).
در حالی که طرح «اتصال ترجيحي» (51) به طور واقعی تشکیل هاب ها را پیش گویی کرد، بسیاری از جنبه های دیگر شبکه های جهان واقعی، مثل خوشه ای بودن، را توضیح نداد. روشن شد که همه‌ی شبکه های جهان کوچک، بدون مقیاس نیستند. مثلاً کار اولیه‌ی باراباسی و آلبرت پیشنهاد می کرد که شبکه های توصیف شده‌ی واتس و استروگتز، هم بدون مقیاس و هم جهان کوچک هستند. اما این شبکه ها این چنین نیستند. شبکه‌ی برق، جهان کوچک است، اما بدون مقیاس نیست. هنوز مثال های زیادی از شبکه ها وجود دارد که هم جهان کوچک و هم بدون مقیاس هستند و شبکه‌ی جهانی وب نمونه ای از آن است. شبکه های اجتماعی نوعاً هم جهان کوچک و هم بدون مقیاس هستند. بنابراین، به نظر می رسد درک شبکه ها بر اساس «قانون توان» استراتژی خوبی برای استفاده از شبکه ها جهت مطالعه‌ی تعامل های انسانی است.
پس از کار برجسته‌ی باراباسی و آلبرت در کمّی کردن تکامل شبکه ها، بسیاری از گروه های دیگر به جست وجو برای مشخص کردن همه‌ی کیفیت های مهم شبکه ها و ابداع مدل های ریاضی برای توصیف آن ها پرداختند. از جمله سازمان هایی که به این موضوع روی آوردند شرکت مایکروسافت بود که طبیعتاً علاقه‌ی زیادی به اینترنت و شبکه‌ی جهانی وب دارد. بنابراین، بهترین دانشمندان آن شدت مشغول تحقیق در ریاضیات شبکه ها هستند. مدیران این گروه، زن و شوهری ریاضیدان به نام های جنیفر تور چایس (52) و کریستین بورگز (53) هستند. وقتی از آزمایشگاه تحقیقاتی مایکروسافت در سیاتل بازدید کردم، آن ها خلاصه ای از کارهایشان را برای تشخیص ویژگی هایی توضیح دادند که ریاضیات شبکه برای بررسی اساس ساختار وب نیاز دارد.
چایس توضیح داد: «اينترنت و شبکه ي جهاني وب در حال رشد هستند، اما مهندسي نمي شوند. واقعاً کسي اينترنت را طراحي نکرده و قطعاً کسي نقشه ي ساختار شبکه ي جهاني وب را نکشيده است». به تبع آن، وب بسیاری از نکات دقیق یک شبکه‌ی طبیعی را دارد که مدل ریاضی خوبی مثل خاصیت جهان کوچک بودن (توانایی رفتن از صفحه ای به صفحه‌ی دیگری با تعداد نسیتاً کم گام ها) و پدیده‌ی خوشه ای بودن (اگر یک صفحه‌ی وب به ده صفحه‌ی دیگر متصل باشد، شانس زیادی وجود دارد که بسیاری از این ده صفحه به یکدیگر متصل باشند) برای بررسی آن نیاز است. ویژگی مهم دیگر، اتصال ترجیحی است که باراباسی تشخیص داد و نشان می دهد که چگونه شبکه ای رشد می کند و بزرگ می شود. همچنان که وب رشد می کند و صفحات جدید به شبکه اضافه می شوند، صفحات قدیمی تمایل دارند که اتصالات بیش تری در مقایسه با صفحات جدید به دست آورند. اما این همیشه درست نیست که صفحات قدیم تر دارای بیش ترین اتصالات هستند. چایس توضیح می دهد: «اين فقط نتيجه ي کهنگي و قدمت نيست». مثلاً آلتاویستا زمانی کادیلاکِ موتورهای جست وجوی وب بود اما اکنون گوگل جوان تر اتصالات بسیار بیش تری دارد. بنابراین سایت های مختلف باید اتصالات را نه فقط بر اساس مزیت سنشان بلکه بر اساس زیبایی یا «سازگاري» (54) به دست آورند.
چایس می گوید: «قدمت آلتاويستا بيش تر است، اما مردم تمايل دارند که به گوگل وصل شوند. در نظر بعضي اين صفحه بهتر است. سايت هاي قديم تر به طور متوسط اتصالات بيش تري دارند، اما اگر سايتي از بقيه ي سايت ها مناسب تر باشد، اين موضوع مسئله ي سن را جبران مي کند. اگر من دو برابر مناسب باشم و سن من نصف باشد، پس بايد تقريباً تعداد اتصالات يکساني داشته باشم» (55).
ویژگی مهم دیگر وب، که در بسیاری (و نه همه) شبکه های دیگر هم وجود دارد، این است که اتصالات جهت دار هستند. بر خلاف اینترنت که در آن سیم ها دو طرفه اند، ابر اتصالات (56) صفحات وب فقط به یک جهت می روند. چایس گفت «فقط به اين دليل که من به CNN متصل هستم، نمي توان گفت که CNN هم به من متصل است».
طبیعتاً، ریاضیات شبکه ها نیاز دارد تا نشان بدهد که وب بدون مقیاس است. سایت های کمی اتصالات زیادی دارند، بیش تر سایت ها اتصالات متوسطی دارند و اکثراً اتصالات کمی دارند. چایس و بورگز تأکید کردند که معادلات توصیف کننده‌ی وب باید نه فقط چنین توزیعی از اتصالات، بلکه باید حضور «بخشي به شدت متصل شونده» (57) از صفحات وب را پیش گویی کند. در «بخش به شدت متصل شونده» یا scc، شما می توانید با دنبال کردن ابراتصالات صفحه ای در یک زمان از صفحه ای به صفحه‌ی دیگری بروید. چایس می گوید اگر صفحه‌ی کسی در scc باشد، او می تواند مسیری را به هر صفحه‌ی scc دیگری پیدا کند. «من مي توانم مجموعه اي از ابراتصالات را دنبال کنم و به صفحه ي آن شخصي بروم و آن شخص مي تواند مجموعه اي از ابراتصالات را دنبال کند و به صفحه ي من برگردد».
ساخت مدل های ریاضی که همه‌ی ویژگی های وب را بازسازی کند هنوز ادامه دارد. اما مدل های ساخته شده برای وب و دیگر شبکه ها پیشنهاد می کنند که ریاضیدانان آینده روزی قادر خواهند بود که رفتار بسیاری از شبکه هایی را که فعالیت های انسان مربوط هستند، مثل اقتصاد، شبکه های اجتماعی و سیاسی، اکوسیستم ها، شبکه های پروتئینی داخل سلولی، و شبکه های تماس که باعث شیوع بیماری می شود، توضیح دهند.
چایس گفت: «فکر مي کنم رياضيات شبکه ها علم جديد هيجان انگيزي خواهد بود».

بازگشت به بازی ها

از آن جا که نظریه‌ی بازی ها ادعای توصیف رفتار انسان ها را دارد، از چایس پرسیدم که آیا این نظریه در ریاضیات جدید شبکه‌ی اجتماعی نقشی بازی می کند؟ خوشبختانه او گفت: «بله، ما تلاش مي کنيم تا توضيح دهيم چرا ساختارهاي شبکه به اين طريق رشد کرده اند و اين دقيقاً مسئله ي نظريه ي بازي هاست. بنابراين، کار زيادي بر روي مدل هاي نظريه ي بازي ها براي رشد اينترنت و شبکه ي جهاني وب وجود دارد».
در واقع چایس، بورگز، و همکارانشان نشان داده اند که چگونه ریاضیاتی که شبیه نگرش نظریه‌ی بازی هاست می تواند بروز اتصالات ترجیحی را در شبکه ای در حال رشد توضیح دهد. این موضوع حداقل کردن هزینه ها با توجه به رقابت است، هزینه‌ی برقراری ارتباط و هزینه‌ی عملیاتی کردن آن وقتی که ساخته می شود (این مسئله شبیه خرید خودرو است. شما می توانید خودرویی ارزان بخرید که استفاده از آن هزینه‌ی زیادی روی دستتان می گذارد یا قیمت بیش تری برای مدلی با کارایی بیش تر و هزینه‌ی نگهداری کم تر بپردازید). این سبک و سنگین کردن را می توان به عنوان رقابتی بین ساختارهای مختلف شبکه در نظر گرفت و ریاضیاتی که حداقل هزینه را پیش بینی می کند، همچنین پیش بینی می کند که چیزهایی مثل اتصالات ترجیحی، تکامل شبکه را توصیف خواهد کرد.
کاربردهای واضح تری از نظریه‌ی بازی ها در توصیف تکامل انواع شبکه ها به کار رفته است. مثلاً یک استفاده‌ی معمول از مدل های شبکه درک مجموعه ای از اندرکنش های شیمیایی درون سلول های زنده است. آثار متقابل هزاران پروتئین در نهایت تعیین می کند که سلول ها چگونه رفتار کنند که غالباً موضوع مرگ و زندگی است. نظریه‌ی بازی ها می تواند در توضیح چگونگی تکامل شبکه های بیوشیمیایی به شکل پیچیده‌ی فعلی شان کمک کند.
البته زیست شناسان به طور طبیعی فرض می کنند که متابولیسم سلولی باید برای رسیدن به شرایط بهینه، جهت سوخت رسانی به فعالیت سلولی، به کارآمدترین شکل تکامل یابند. اما کارآمدترین یعنی چه؟ این به محیط بستگی دارد و محیط شامل گونه های دیگری می شود که برای بهینه شدن تکامل یافته اند. زیست شناس محاسباتی توماس پفایفر (58) و بیوفیزیکدان استفان شوستر (59) ذکر می کنند: «بنابراين، با تکامل به سمت خصوصيات بهينه، ارگانيسم ها محيطشان را تغيير مي دهند که اين خود خصوصيات بهينه را تغيير مي دهد» (60). این نوعی دینامیک است که نظریه‌ی بازی ها (به ویژه نظریه‌ی بازی های تکاملی) برای آن مناسب است. مثلاً، ATP مولکول کلیدی در شبکه‌ی شیمیایی سلولی است که انرژی مورد نیاز را برای راه انداختن فرایندهای متابولیکی مهم فراهم می کند. ATP محصول زنجیره ای از واکنش های شیمیایی است. سلول برای زنده ماندن به منیع ثابتی از ATP نیاز دارد و بنابراین، خط تولید واکنش باید هر روز هفته بیست و چهار ساعت کار کند.
البته آرایش های ممکن و مختلفی برای این خط تولید وجود دارد که ترکیب های مختلفی از واکنش هایی است که می توانند ATP تولید کنند (مثل بسیاری از شبکه ها راه های متعددی برای رفتن به یک هاب وجود دارد). سؤال مهم زیست شناسی سلولی این است که آیا سلول ها باید سریع ترین شکل ممکن برای تولید ATP یا کارآمدترین شکل ممکن (با مسیرهایی که مقادیر بیش تری ATP از مقدار یکسان مواد خام تولید می کنند) را انتخاب کنند. بعضی از مسیرهای واکنش سریع تر هستند، اما اتلاف بیش تری دارند و سلولی که می خواهد به متابولیسم بهینه برسد باید این دو وضعیت را سبک و سنگین کند.
تجزیه و تحلیل بر مبنای نظریه‌ی بازی ها نشان می دهد که بهترین استراتژی بستگی به ارگانیسم های مختلف مجاور دیگری دارد که برای منابع رقابت می کنند. وقتی رقابت وجود دارد، نظریه‌ی بازی ها تولید ATP سریع، اما با اتلاف مواد را توصیه می کند که نوعی پیش بینی است که با مفهوم روشن تخصیص بهینه‌ی منبع متناقض است. اگر جمعیتی از میکروب ها برای غذا رقابت می کنند، به نظر می رسد که بهترین کار برای هر گروه از میکروب ها استفاده‌ی کارآمد از مواد غذایی در دسترس باشد، اما نظریه‌ی بازی ها چیز دیگری می گوید. این مثال دیگری از مسئله‌ی معمای زندانی است. در این که چه چیزی برای افراد بهترین است، این که چه چیزی برای کل گروه بهترین است به حساب نمی آید.
پفایفر و شوستر توجه کردند که «اين پارادوکس نشان مي دهد تمايل مصرف کنندگان به حداکثر کردن سازگاري شان در واقع منجر به کاهش سازگاري شان مي شود. نتيجه اي که نمي توان از بهينه سازي سنتي به دست آورد. در چارچوب نظريه ي بازي هاي تکاملي، توليد آهسته و کارآمد ATP را مي توان نوعي رفتار مشارکتي نوع دوستانه ديد، در حالي که توليد سريع و ناکارآمد ATP را مي توان نوعي رفتار خودخواهانه در نظر گرفت» (61).
اما در این فرض که سلول ها غالباً خودخواهانه برای افزایش احتمال بقایشان عمل می کنند هنوز اشتباهی وجود دارد. ریاضیات نظریه‌ی بازی ها پیشنهاد می کند در شرایطی که همسایه های میکروب، غذای متفاوتی مصرف می کنند (به طوری که رقابتی برای منبع غذایی وجود ندارد)، تولید کارآمدتر ATP با صرف نظر کردن از سرعت، استراتژی بهتری برای بقاست. مشاهدات نیز به طور واقعی تأیید می کنند در سلول هایی که نوعاً از منابع مشترک با دیگران مصرف می کنند (مثل بعضی مخمرها)، متابولیسمی تکامل یافته است که از مکانیسم سریع اما اتلاف کننده برای تولید ATP استفاده می کند. در ارگانیسم های پرسلولی، سلول ها با همسایگانشان مشارکتی تر رفتار می کنند و مسیرهای متابولیکی تکامل یافته است که ATP کارآمدتر تولید می کنند.
به نظر می رسد که سلول های سرطانی استراتژی مشارکتی را نقض کرده اند و رفتار خود خواهانه تری دارند (با استفاده از فرایند تولید ATP نا کارآمد). نظریه‌ی بازی ها هنوز سرطان را درمان نکرده است، اما چنین بینشی درباره‌ی ویژگی های سلول های سرطانی ممکن است در فرایند غلبه بر آن کمک کند.
در سطح تکاملی بالاتری، ترکیب ریاضیات شبکه و نظریه‌ی بازی ها ممکن است قادر به توضیح اشکال پیشرفته تر رفتار مشارکتی انسان باشد. نظریه‌ی بازی های تکاملی به مسائل مشارکت (چگونه رفتار نوع دوستانه می تواند در جوامعی ظاهر شود که از افراد خودخواه تشکیل شده است) عمدتاً به اجرای بازی معمای زندانی تحت شرایط مختلف تکیه کرده است. در بعضی نسخه های این بازی، بازیکن ها ممکن است با فرد دیگری در جمعیت مواجه شوند و سپس تصمیم بگیرند که آیا مشارکت کنند یا تک روی کنند. هر چند در نسخه ای، بازیکن ها چنین تصمیمی را فقط در تعامل با همسایه های مجاورشان اتخاذ می کنند (به عبارت دیگر، بازی «ساختاري فضايي» (62) دارد). روشن شده است که در بازی هایی با قیود فضایی (حداقل وقتی که بازی از نوع معمای زندانی است) احتمال بیشتری دارد که مشارکت ظاهر شود.
اما شاید بازی معمای زندانی همیشه ماهیت زندگی واقعی را دقیقاً دربرنگیرد. زندگی گاهی اوقات شبیه نوع متفاوتی از بازی است. مثل بازی توده‌ی برف (63) که در آن انتخاب بهترین استراتژی با بازی کلاسیک معمای زندانی متفاوت است. در معمای زندانی، هر بازیکن بیش ترین سود را با تک روی به دست می آورد، فارغ از این که بازیکن دیگر چه می کند. در بازی توده‌ی برف، بهترین حرکت شما تک روی است، فقط اگر حریفتان مشارکت کند. اگر حریف هم تک روی کند، برای شما بهتر است که مشارکت کنید. (64) قیود فضایی نیز به شیوه‌ی متفاوتی در تکامل مشارکت در بازی توده‌ی برف تأثیر می گذارد و مشارکت را کاهش می دهد. این یافته گیج کننده است و اعتبار نظریه‌ی بازی ها را برای مطالعه‌ی مشارکت زیر سؤال می برد.
به هر حال همان گونه که فیزیکدانان، فرانسیسکو سانتوس (65) و خورخه پاچکو (66)، ذکر کرده اند قید فضایی بازیکن هایی که فقط با همسایگانشان تعامل دارند واقع بینانه نیست. توصیف واقع بینانه تر از بازیکن ها، احتمالاً شبکه ای بدون مقیاس از ارتباطات بازیکن هاست که ارتباطات اجتماعی واقعی را شبیه سازی می کند. با ترکیب ریاضی شبکه های بدون مقیاس و نظریه‌ی بازی ها فیزیکدانان دریافتند که مشارکت باید، چه در بازی معمای زندانی و چه در بازی توده‌ی برف، ظاهر شود. این فیزیکدانان در مقاله ای در سال 2005 گزارش کردند: «برخلاف نتايج قبلي، هر وقت که شبکه ي ارتباطات، مشابه با گراف هاي بدون مقياس، از طريق مکانيسم هاي رشد و اتصال ترجيحي ايجاد شود، مشارکت خصيصه ي غالب براي همه ي مقادير پارامترهاي مربوط در هر دو بازي معماي زنداني و توده ي برف است» (67).
مقالات زیاد دیگری ارتباط بین ریاضیات نظریه‌ی بازی ها و شبکه ها را بررسی کرده اند. به نظر من این محدوده نتایج ریاضی تری خواهد داد. شبکه ها سیستم های پیچیده ای هستند که در طول زمان ظاهر می شوند و رشد می کنند و نظریه‌ی بازی ها، همان گونه که زیست شناسان تکاملی کشف کرده اند، ابزاری قوی برای توصیف تکامل چنین پیچیدگی هایی است. (مقاله ای اختصاصاً نسخه ای از بازی معمای زندانی را مدل سازی کرده است که نشان می دهد چگونه بازی تکرار شونده می تواند منجر به شبکه ای پیچیده در حالتی شود که نویسندگان مقاله آن را «تعادل نش شبکه» می نامند) (68).

پي‌نوشت‌ها:

1- Duncan Watts, Six Degrees.
2- Francis Bacon.
3- John Belushi.
4- Demi Moore.
5- Animal House.
6- A Few Good Men.
7- Penelope Cruz.
8- Vanilla Sky.
9- Tom Cruise.
10- Graph Theory.
11- www.imdb.com. There are additional actors in the database who cannot be linked
to Bacon because they appeared either alone or with no other actors who had appeared in any other movies including actors connected to the mainstream acting community.
12- Stanley Milgram.
13- Nebraska.
14- Six Degree of Separation.
15- John Guar.
16- World Wide Web.
17- Router.
18- Leonard Euler.
19- Konigsberge.
20- Paul Erdos.
21- Alfred Renyi.
22- Similar network math was developed by Anatol Rapoport, who is better known, of
course, as a game theorist.
23- Clusters.
24- Network Mania.
25- Steven Strogatz.
26- Collective Dynamics of Small-World Networks.
27- Duncan Watts and Steven Strogatz, “Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks,” Nature, 393 (June 4, 1998); 440-442.
28- Small-World Networks.
29- Steven Strogatz, interview in Quincy, Mass., May 17, 2004.
30- Nematode.
31- Grid.
32- C. Elegance.
33- These three examples were chosen because of the availability of full data on their
connections; at that time, C. elegans was the only example of a nervecell network that had been completely mapped (with 302 nerve cells), the Internet Movie Data Dase provided information for actor-movie links, and the power grid diagram was on public record.
34- Watts and Strogatz, “Collective Dynamics,” p. 441.
35- Path Lenght.
36- Clustering Coefficient.
37- Degree Coefficient.
38- Hub.
39- The power of scale freedom.
40- Rod Steiger.
41- Christopher Lee.
42- Dennis Hopper.
43- Karen Black.
44- Typical Scale.
45- Scale Free.
46- Power Law.
47- Reka Albert.
48- Albert Barabasi.
49- Dynamics.
50- R6ka Albert and Albert-Ldszl6 Barab^si, “Emergence of Scaling in Random
Networks,” Science, 286 (15 October 1999): 509.
51- Preferential Attachment.
52- Jennifer Tour Chayes.
53- Christian Borgs.
54- Fitness.
55- Jennifer Chayes, interview in Redmond, Wash., January 7, 2003.
56- Hyperlinks.
57- Strongly connected component.
58- Thomas Pfiffer.
59- Stefan Schuster.
60- Thomas Pfeiffer and Stefan Schuster, “Game-Theoretical Approaches to Studying the Evolution of Biochemical Systems,” Trends in Biochemical Sciences, 30 (January 2005): 20.
61- Ibid., pp. 23-24.
62- Spatially Structured.
63- Snowdrift.
64- Suppose the drivers of two cars are caught on opposite sides of a snowdrift, both wanting to get through to go home but neither wild about shoveling snow. The “cooperator” would get out of the car and shovel through the snowdrift, while the “defector” would stay warm inside the car. If both defect, no snow gets shoveled and neither gets to go home, so they bouth lose. If they bout shovel, they get to go home with half the work required of one ahoveling alone. But if on shovels the whole thing, the other gets to go home for free. Game theory math shows that each driver’s best move depends on the other’s: If the other guy defects, your best move is to cooperate; if the other guy cooperates, your best move is to defect. This game is mathematically the same as the hawk-dove game in evolutionary game theory.
65- Francisco Santos.
66- Jorge Pacheco.
67- F.C. Santos and J.M. Pacheco, “Scale-Free Networks Prowide a Unifying Framework for the Emergence of Cooperation,” Physical Review Letters, 95 (August 26, 2005). A subsequent paper by Zhi-Xi Wu and colleagues at Lanzhou University in China questions whether it is the scale-free nature of the networkthat is really responsible for this difference, but that’s and issue for further network/game theory research. See Zhi-Xi Wu et al., “Does the Scale-Free Topology Favor the Emergence of Cooperation?” http://arxiv.org/abs/physics/0508220, Version 2, September 1, 2005.
68- Hoger Ebel and Stefan Bomholdt, “Evolutionary Games and the Emergence of Complex Networks,” http://arxiv.org/abs/cond-mat/0211666, November 28, 2002.

منبع مقاله :
سیگفرید، تام؛ (1392)، ریاضیات زیبا: جان نش، نظریه بازی ها، و جست وجوی رمز طبیعت، ترجمه مهدی صادقی، تهران: نشر نی، چاپ دوم