ویژگی های لگاریتم

اگر خواص لگاریتم برای شما روشن شود، ریاضیات برای شما شیرین می شود. این مقاله کمک خواهد کرد که این مفاهیم را بهتر درک کنید.
، اگر .
همان طور که در این مثال قابل مشاهده است، این عبارت یک عبارت لگاریتمی است که بسیاری از ما ممکن است در کل برنامه های درسی دانشگاهی با آن مواجه شده باشیم. اما این عبارت چه معنی دارد؟ این بدان معنی است که اگر y، به توان b برابر با x باشد، آن گاه مقدار لگاریتمی از x به مبنای b باید برابر با y است. این یکی از خواص اساسی لگاریتم است. لگاریتم x، به مبنای b، به صورت نوشته می شود که لگاریتم x بر مبنای b است و y یک نما است. اگر اعدادی را در عبارت بالا جای گزین کنیم، مثلاً x = 100 و بر مبنای 10، آنگاه مقدار Y برابر 2 است.
لگاریتم برای اولین بار توسط جان نپر (در سال 1614) و جوست بورگی (در سال 1620) اختراع شد. هدف از این کار، ساده سازی محاسبات بسیار پیچیده ریاضی بود. روش نپر در مورد این موضوع، جبری بود، در حالی که روی کرد بورگی هندسی بود. سپس ریاضی دانانی مانند جان والیس (در سال 1685) و یوهان برنولی (در سال 1694) ایده مفهوم لگاریتم را با مفهوم تابع نمایی پیوند دادند. و امروز، لگاریتم در هر زمینه ای، امور مالی و یا نجوم، نقش عمده ای در حل مسائل پیچیده ریاضی ایفا می کنند.

با ساده سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش‌های پیش رفته‌ای مانند اختر شناسی، نقشه برداری، هوا نوردی و . . . کمک گرفت. پیر سیمون لاپلاس درباره لگاریتم گفته ‌است:
"وسیله‌ای ستودنی است که به کمک آن کار چند ماه به چند روز کاهش می‌یابد، عمر اختر شناسان را دو برابر می‌کند و از خطاهای کوچک می‌گذرد و از جمله‌های طولانی و جدا نشدنی ریاضی بی زار است".
وسیله کلیدی که پیش از در دست رس قرار گرفتن ماشین حساب و رایانه برای محاسبه لگاریتم از آن استفاده می‌شد و به وسیله آن ارزش لگاریتم روشن شد، جدول لگاریتم بود. چنین جدولی برای اولین بار به وسیله هنری بریگز در سال ۱۶۱۷ بلا فاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. پس از آن جدول‌های وسیع تر و دقیق تری نوشته شد. در این جدول‌ها مقدار و برای هر عدد x در یک بازه مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولاً پایه ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. از آن جایی که تابع وارون است، به آن پاد لگاریتمantilogarithm) ) می‌گویند. لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان به وسیله تابع پاد لگاریتم و یا خود جدول به دست آورد.
زمانی که رایانه در دست رس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و تفریق لگاریتم‌ها بسیار آسان تر از روش‌های ساده سازی مانند روش Prosthaphaeresis است. روش یاد شده بر پایه اتحادهای مثلثاتی است. شمارش توان‌ها و ریشه‌های اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول کاهش می‌یابد.
در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبه لگاریتم، بخش اعشاری و بخش صحیح را از یک دیگر جدا می‌کردند. مانند نمونه زیر:

وسیله‌ی دیگری که برای شمارش لگاریتم کار برد داشت، خط ‌کش لغزان بود.
به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچک تری نشان داد. برای نمونه دسی ‌بل یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن فشار صدا و نسبت ولتاژ کار برد دارد. در شیمی نیز پ هاش که معیاری برای نشان دان میزان اسیدی بودن مایعات است، در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. هم چنین لگاریتم در نظریه پیچیدگی محاسباتی و در برخی شکل‌های هندسی مانند برخال‌ها کار برد دارد. از دیگر کار بردهای آن می‌توان به فاصله در موسیقی و رابطه‌های شمارش اعداد اول اشاره کرد. این مبحث هم چنین در محاسبه زمان اجرای الگوریتم‌های برنامه‌های کامپیوتری استفاده می‌شود.
کار برد
مفهوم لگاریتم کار بردهای زیادی در بیرون و درون دنیای ریاضی دارد. برخی از پیش آمدهای لگاریتم در طبیعت، بیشتر به مفهوم نا متغیر مقیاس مرتبط است. برای نمونه هر خانه پوسته بدن آب زی ناتیلوس تقریباً رو نوشتی از خانه کناری آن است که با یک ضریب ثابت مقیاس یافته ‌است و یک مار پیچ لگاریتمی را ساخته‌ است. قانون بنفورد در توزیع شمارگان (رقم‌ها) را هم می‌توان با مفهوم نا متغیر مقیاس توضیح داد. هم چنین مفهوم لگاریتم به بحث خود همانندی هم مرتبط است. برای نمونه پردازش لگاریتمی کمک می‌کند تا برای حل یک مسئله، نخست آن را به دو مسئله همانند کوچک تر بخش کنیم. سپس جواب دو بخش را به هم پیوند دهیم. شکل‌های هندسی خود همانند که در آن‌ها بخش‌هایی از شکل متناسب با سراسر آن است هم به لگاریتم وابسته‌اند. مقیاس لگاریتمی مقیاس بسیار پر کاربردی برای بررسی کمی تغییرات پدید آمده در مقدار اصلی است. افزون بر این، چون تابع log(x) به ویژه برای xهای بزرگ رشد بسیار کندی دارد، می‌توان داده‌های علمی در بازه‌های بزرگ را به خوبی فشرده کرد. هم چنین پیش می‌آید که در بسیاری از فرمول‌های علمی مانند معادله فنسک، معادله نرنست و . . . از ویژگی‌های لگاریتم بهره برد.
خواص لگاریتم طبیعی
لگاریتم معمول به صورت ، تعریف می شود و زمانی صادق است که باشد. بنا بر این، هنگامی که می گوییم log (x)، پایه به طور ضمنی 10 است، به عبارتی . با این حال، اگر مبنا ثابتی در حدود 718281828ر2 (ثابت e یا عدد نپر) باشد، آنگاه عبارت این گونه باز نویسی می شود . این لگاریتم اغلب به عنوان لگاریتم طبیعی شناخته شده است. لگاریتم طبیعی برای همه اعداد حقیقی مثبت x در ناحیه تعریف شده در زیر منحنی y (پوشش داده شده از ) تعریف شده است. برای متغیرهای واقعی، هم چنین به عنوان ارزش واقعی تابع در نظر گرفته شده و اغلب به عنوان تابع معکوس تابع نمایی شناخته شده است. برخی از خواص لگاریتم در ادامه شرح داده شده است (برای دو متغیر x و y، با پایه e):

8. (ln (1 / x) = - ln (x
خواص لگاریتم نرمال مانند بالا است، به جز این که در حالت نرمال مبنا 10 است.

خواص لگاریتم معکوس
عدد حقیقی مثبت غیر 1 را در نظر بگیرید که به صورت بیان می شود. در این جا، x را می توان به عنوان لگاریتم b در مبنای a تعریف کرد. در عبارت صورت لگاریتمی و صورت نمایی است. در ادامه خواص لگاریتم معکوس بیان شده است.

بنا بر این، هنگام ارز یابی، تابع نمایی را به صورت زیر در نظر بگیرید:

بنا بر این، بیان لگاریتمی معکوس برای عبارت بالا به صورت مقابل خواهد بود:
شکل کلی الگوریتم معکوس می تواند به صورت زیر نوشته شود:

در ادامه مثالی ارائه شده است:
سؤال:
لگاریتم معکوس تابع را تعیین نمایید.
پاسخ:
طبق خواص لگاریتم معکوس، است.
بنا بر این،

لگاریتم یک مبحث اساسی از ریاضیات است که در حل بسیاری از معادلات پیچیده در مقیاس بزرگ استفاده می شود. دقیقاً، هر جا صحبت از تابع نمایی باشد، لگاریتم نقشس اساسی را ایفا می کند. بسیاری از معادلات پیچیده جبری از طریق لگاریتم و با استفاده از ماشین حساب علمی حل می شوند. این ویژگی از ریاضی نه تنها در علم ریاضیات، بلکه در مباحث دیگر نظیر فیزیک، شیمی، زیست شناسی و نجوم استفاده می شود. حتی بسیاری از کامپیوترهای مبتنی بر الگوریتم از آن برای حل معادلات بزرگ و دشوار ریاضی استفاده می نمایند. منبع مقاله :
متن منابع